直线与圆的方程
、直线的方程
已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1）
P 2（ x 2,y 2 ）
当 x 1 = x 2 时， =900
， 不存在。当 0 时， =arctank ， <0 时， =
②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0） 特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴） （ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。
② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系
（ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ，
③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。
、两直线的位置关系
k=
y 2 y 1
x
2 x
1
20 2
已知 方程 说明 斜截式 K 、b
Y=kx+b
不含 y 轴和行平 于 y 轴的直点斜式 P
1=(x 1,y 1) k
y-y 1=k(x-x 1)
不含 y 轴和平
行 于 y 轴的直线 两点式
P
1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2)
y y 1 x x 1
不含坐标辆和
平行于坐标轴 的直线
y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy
1 ab 不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线 一般式
Ax+by+c=0
A 、
B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式 几种特殊位置的直
线
①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴：
y=b ④平行于 y 轴： x=a
⑤过原点： y=kx y 的二元一
次方程。
1、倾斜角：
0< < k 0
2
= 不存在
2
+arctank
2、斜
1、
说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）
kk 2、L 1到
L 2的角为 0，则tan 1k
2k2 k
1
k1 （ k 1k 2
1）
①两行平线间距离：
c
1 c
2
L 1=AX+BY+C 1=0 L 2： AX+BY+C 2=0 d
A 2
B 2 ②与 AX+BY+C=0 平行且距离为 d 的直线方程为 Ax+By+
C ± d A 2 B 2
③与 AX+BY+C 1=0 和 AX+BY+C 2=0 平行且距离相等的直线方程是
AX BY
C 1 C 2
2
5、对称：（1）点关于点对称： p （x 1,y 1）关于 M （ x 0,y 0
）的对称
P （2X 0 X 1 ,2Y 0
Y 1）
4、点到直线距
离：
d
Ax
0 By 0 c
（已知点（ p 0（x 0,y 0），L ：AX+BY+C=0 ）
A
2
B 2
k 2 k 1 1 k 2k 1 tan 3、夹角：
般方法：
如图： （思路 1）设 P 点关于 L 的对称点为 P 0（x 0,y 0） 则 Kpp 0﹡K L =－1
P, P 0 中点满足 L 方 程 解出 P 0（x 0,y 0） （思
路 2）写出过 P ⊥ L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出 P 0（x 0,y 0）的坐标。
（3）直线关于点对称
L ： AX+BY+C=0 关于点 P （ X 0、 Y 0）的对称直线 l ：A （2X 0-X ）+B （2Y 0-Y ）+C=0 （4）直线关于直线对称
①几种特殊位置的对称：已知曲线 f （x 、y ）=0
关于 y=x 对称曲线是 f （y 、x ）=0 关于 y= -x 对称曲线是 f （-y 、 -x ）=0 关于 x=a 对称曲线是 f （2a-x 、 y ）=0 关于 y=b 对称曲线是 f （x 、 2b-y ）=0
一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。 三、简单的线性规划
约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。 要点：①作图必须准确（建议稍画大一点） 。②线性约束条件必须考虑完整。 ③先
找可行域再找最优解。 四、圆的方程
2
2
1、圆的方程：①标准方程 x a 2
（y b ） r 2
， c （ a 、b ）为圆心， r 为半径。 ②一般方程：
x 2 y 2
DX EY F 0 ，
C D
2 , E
2 ， r D
2
2
E
2 4F
2 2 2
当 D 2
E 2
4F 0 时，表示一个点。
22
当 D 2 E 2
4F 0 时，不表示任何图形。
关于 x 轴对称曲线是 关于 y 轴对称曲线是 关于原点对称曲线是 f （x 、 -y ）=0 f （-x 、 y ）=0 f P
x
y b rsin 为参数
以 A （X 1，Y 1），B （X 2，Y 2）为直径的两端点的圆的方程是 （X-X 1）（ X-X 2）+（Y-Y 1）（Y-Y 2）=0 2、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离 d ，然后与 r 比较大小。 3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
判定： ①联立方程组， 消去一个未知量， 得到一个一元二次方程： △> 0 相交、 △＝ 0 相切、△< 0 相离
②利用圆心 c （a 、 b ）到直线 AX+BY+C=0 的距离 d 来确定： d
2 2 2 2 与圆
x 2 y 2 r 2
相切于点（ x 1、y 1）的切线方程是 x 1x
y 1y r 2
与圆 （x a ）2
（y b ）2
r 2
相切于点（ x 1、y 1）的切成方程 为： （x 1 a ）（x a ） （y 1 b ）（y b ） r 2
与圆 x 2
y 2
DX EY F 0 相切于点（ x 1、y 1）的切线是
x x 1 y y 1 x 1x y 1y D( 1) E( 1
) F 0
(x a)2 (y b) 2 r 2
外一点
(x 1 a)2
(y 1 b)2
①设切点是 p 1（x 1、 y 1）解方程组 先求出 p 1 的坐标，再写切线的方程
②设切线是 y y 0 k(x x 0)即 kx y kx 0 y 0 0 ka b kx 0 y 0 再由 0 0
r ，求出 k ，再写出
方程。
k 2
1
（当 k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于 x 轴的切线） ③已知斜率的切线方程：设 y kx b （ b 待定），利用圆心到 L 距离为 r ，确定 b 。 5、圆与圆的位置关系
由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含） 、相切（外切、内切） 6、圆系
①同心圆系： (x a)2
(y b)2
r 2
，(a 、b 为常数， r 为参数)
③参数方程： x a r cos
2）过圆外一点
切线方程的求法：
已 知 ： p 0(x 0 ， y
0） 是 圆
(x 0 a)(x 1 a) (y 0
b)(y 1 b)2
或： x 2 y 2
DX EY F 0(D 、E 为常数， F 为参数) ②圆心在 x 轴： (x a) 2
y 2
r 2
2 2 2
③圆心在 y 轴： x 2 (y b)2 r 2
④过原点的圆系方程 (x a) 2
(y b)2 a 2 b
2 ⑤过两圆 C 1 : x 2
y 2
D 1X
E 1Y
F 1 0 和
C 2 : x 2
y 2
D 2 X
E 2Y
F 2 0的交点的圆系方程为 x 2
y 2
D 1 X
E 1Y
F 1 入(x 2
y 2
D 2X
E 2Y
F 2 0(不含 C 2)，其中
入为参数
若 C 1 与 C 2 相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。 类型一：圆的方程
例 1 求过两点 A(1 , 4) 、B(3 , 2)且圆心在直线 y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2 ,4)与 圆的关系．
分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P 与圆的 位置关系，只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆 外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：(待定系数法)
设圆的标准方程为 (x a)2 (y b)2 r 2
． ∵圆心在 y 0 上，故 b 0 ． ∴圆的方程为 (x a) 2
y
2 r 2
．
又∵该圆过 A(1,4)、 B(3,2)两点．
(1 a)2 16 r 2
∴
(3 a)2 4 r 2
解之得： a 1，r 2
20．
所以所求圆的方程为 ( x 1)2
y 2
20 ． 解法二：(直接求出圆心坐标和半径)
因为圆过 A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为
42
k AB 1，故l的斜率为 1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l 的方程
13
为：y 3 x 2即x y 1 0 ．
又知圆心在直线y 0上，故圆心坐标为C( 1, 0)
∴半径r AC (1 1)24220 ．
故所求圆的方程为(x 1)2 y2 20 ．
又点P(2, 4)到圆心C( 1,0) 的距离为
22
d PC (2 1)24225 r ．
∴点P 在圆外．
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
例 2 求半径为 4，与圆x2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直线y 0相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x a)2 ( y b)2 r2．
圆C 与直线y 0相切，且半径为 4，则圆心C 的坐标为C1(a,4)或C2(a, 4)．
22
又已知圆x2 y2 4x 2y 4 0的圆心A的坐标为(2,1) ，半径为 3．
若两圆相切，则CA 4 3 7 或CA 4 3 1 ．
(1)当C1 (a , 4)时，(a 2)2 (4 1)2 72，或(a 2)2 (4 1)2 12(无解)，故可得
a 2 2 10 ．
∴所求圆方程为(x 2 2 10)2 (y 4)2 42，或(x 2 2 10)2 (y 4)2 42．
2 2 2 2 2 2
(2)当C2(a, 4)时，(a 2)2( 4 1)272，或(a 2)2( 4 1)2
12(无解)，故
a 2 2 6 ．
∴所求圆的方程为(x 2 2 6)2 (y 4)2 42，或(x 2 2 6)2 (y 4)2 42．说明：对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆与直线y 0相切且半径为 4，则圆心坐标为C(a ,4) ，且方程形如
(x a)2 (y 4)2 42．又圆 x 2 y 2 4x 2y 4 0，即 (x 2)2 (y 1)2 32
，其圆 心为
A(2 , 1) ，半径为 3．若两圆相切，则 CA 4 3．故 (a 2)2
(4 1)2
72
，解之得
2 2 2
a 2 2 10 ． 所 以 欲 求 圆 的 方 程 为 (x 2 2 10)2 ( y 4)2 42
， 或 (x 2 2 10)2
(y 4)2
42
．
上述误解只考虑了圆心在直线 y 0上方的情形， 而疏漏了圆心在直线 y 0下方的情形． 另 外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．
例 3 求经过点 A(0 , 5) ，且与直线 x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程． 分析： 欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ，故只需确定 圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解： ∵圆和直线 x 2y 0与 2x y 0相切， ∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 x 2y 0和 2x y 0的距离相等．
∴
x 2y x 2y ．
∴
5 5 ．
∴两直线交角的平分线方程是 x 3y 0或3x y 0 ． 又∵圆过点 A(0,5) ，
∴圆心 C 只能在直线 3x y 0 上． 设圆心 C(t ,3t)
∵C 到直线 2x y 0的距离等于 AC
化简整理得 t 2
6t 5 0 ．
解得： t 1或 t 5 ∴圆心是 (1, 3)，半径为 5或圆心是 (5 , 15) ，半径为
5 5 ．
∴所求圆的方程为 (x 1)2
(y 3)2
5或 (x 5)2
(y 15)2
125．
2t 3t
t 2 (3t 5) 2
5
说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上， 到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．
例 4、 设圆满足： (1)截 y 轴所得弦长为 2；(2)被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为 3:1，在
满足条件 (1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 l ：x 2y 0 的距离最小的圆的方程． 只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准
方程．满
的半径，求出圆的方程．
解法一： 设圆心为 P(a , b) ，半径为 r ． 则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a ．
由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ，故圆截 x 轴所得弦长为
2r ．
22
∴r 2
2b 2
又圆截 y 轴所得弦长为 2．
2
∴
r
2
又∵ P(a, b)到直线 x 2y 0的距离为
a 2
b d
5
22
a
2 4b 2
4 ab
2 2 2 2
a 2
4b 2
2( a 2
b 2
)
22
2b
2 a 2
1
从而确定圆心坐标得 分析： 要求圆的方程， 足两个条件的圆有无数个， 其圆心的集合可看作动点的轨迹， 若能求出这轨迹的方程， 便可 利用点到直线的距离公式， 通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标， 进而确定圆 1．
∴ 5d 2
a 2b
当且仅当 a b 时取“ =”号，此时 d
min
ab
这时有
2b2 a 2 1
∴a 1或a 1
∴或
b 1 b 1
5
又r 22b2 2
故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 解法二：同解法一，得
a 2b
d．
5
∴ a 2b 5d ．
∴ a2 4b2 4 5bd 5d2．
将a 22b 21代入上式得：
2b2 4 5bd 5d 2 1 0．
上述方程有实根，故
8(5d 2 1) 0，
∴d 5．
5
5
将d 代入方程得b 1 ．
5
又2b2a2 1 ∴ a 1．
由a 2b 1 知a 、b 同号．
故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例 5 已知圆O：x2 y2 4，求过点P2，4 与圆O相切的切线．
解：∵点P 2，4 不在圆O上，∴切线PT 的直线方程可设为y k x 2 4
2k 4
根据d r ∴ 2
1k2
3
解得k3
4
3
所以y x 2 4
4
即3x 4 y 10 0
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x 2 ．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决(也要注意漏解)．还可以运用x0x y0y r 2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．
2 2 2 2
例 6 两圆C1：x2y2D1x E1y F10 与C2：x2y2D2x E2y F20 相交于A、B两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．
分析：首先求A 、B两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．
解：设两圆C1 、C2 的任一交点坐标为(x0 , y0) ，则有：
22
x0 2 y02 D1 x0 E1y0 F1 0 ①
22
x0 y0 D2x0 E2 y0 F2 0 ②
①－②得：(D1 D2)x0 (E1 E2)y0 F1 F2 0 ．
∵ A 、B 的坐标满足方程(D1 D2)x (E1 E2)y F1 F2 0 ．
∴方程(D1 D2 )x ( E1 E2) y F1 F2 0 是过A 、B 两点的直线方程．
又过A、B 两点的直线是唯一的．
∴两圆C1 、C2的公共弦AB 所在直线的方程为(D1 D2)x (E1 E2)y F1 F2 0．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求” 的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．
22
例7、过圆x2 y2 1外一点M (2,3) ，作这个圆的两条切线MA、MB ，切点分别是A、B ，求直线AB的方程。
练习：
1．求过点M (3,1) ，且与圆(x 1)2 y2 4相切的直线l的方程．解：设切线方程为y 1 k(x 3) ，即kx y 3k 1 0 ，
∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2，
∴ |k 3k 1| 2，解得k 3，
2 4
k2 1
3
∴切线方程为y 1 (x 3) ，即3x 4y 13 0，
4
当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为x 3，圆心(1,0) 到此直线的距离等于半径2，故直线x 3 也适合题意。
所以，所求的直线l的方程是3x 4y 13 0或x 3．
5
2 2
2、过坐标原点且与圆x2y24x 2y 0 相切的直线的方程为
2
解：设直线方程为y kx，即kx y 0 .∵圆方程可化为(x 2)2 (y 1)2 5，∴圆心
2
10 2k 1 10 1
为( 2，-1)，半径为.依题意有，解得k 3 或k ，∴直线方程为
2k 2 1 2 3
y 3x或y 1x.
3
22
3、已知直线5x 12y a 0与圆x2 2x y2 0相切，则a 的值为 .
2 2 5 a
解：∵圆(x 1)2 y2 1的圆心为(1，0)，半径为 1，∴1，解得a 8或a 18.
52 122
类型三：弦长、弧问题
例8、求直线l :3x y 6 0被圆C : x2 y2 2x 4y 0截得的弦AB的长.
例9、直线3x y 2 3 0 截圆x2 y2 4 得的劣弧所对的圆心角为
解：依题意得，弦心距d 3 ，故弦长AB 2 r 2 d 2 2 ，从而△ OAB 是等边三角形，
故截得的劣弧所对的圆心角为AOB .
3
例10、求两圆x2y2x y 2 0和x2y25的公共弦长
类型四：直线与圆的位置关系
例11、已知直线3x y 2 3 0和圆x2 y2 4 ，判断此直线与已知圆的位置关系 . 例12、若直线y x m 与曲线y 4 x2有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围 . 解：∵曲线y 4 x2表示半圆x2 y2 4(y 0)，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是2 m 2或m 2 2.
例 13 圆 (x 3)2 ( y 3)2
9上到直线 3x 4 y 11 0 的距离为 1 的点有几个？ 分析： 借助图形直观求解．或先求出直线 l 1、 l 2 的方程，从代数计算中寻找解答．
解法一： 圆 (x 3)2
(y 3)2
9的圆心为 O 1(3,3) ，半径 r 3． 3 3 4 3 11 设圆心 O 1到直
线 3x 4y 11 0的距离为 d ，则 d 2 3．
3
2 42
如图，在圆心 O 1同侧，与直线 3x 4y 11 0平行且距离为 1 的直线 l 1与圆有两个交
点，这两个交点符合题意．
又 r d 3 2 1．
∴与直线 3x 4y 11 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有 3 个．
解法二： 符合题意的点是平行于直线 3x 4y 11 0 ，且与之距离为 1 的直线和圆的
m 11 交点．设所求直线为 3x 4 y m
0 ，则 d
1，
32 42
，
∴ m 11 5 ，即 m 6 ，或 m 16 ，也即 l 1：3x 4y 6 0，或 l 2：3x 4y 16 0．
设圆 O 1：(x 3)2
(y 3)2
9的圆心到直线 l 1、l 2 的距离为 d 1 、d 2，则
∴
l 1 与 O 1相切，与圆 O 1 有一个公共点； l 2 与圆 O 1 相交，与圆 O 1 有两个公
共点．即符 合题意的点共 3 个．
说明： 对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
∴圆 O 1到 3x 4y 11 0距离为 1
的点有两个．
3 3
4 3 16
32 42
设圆心 O 1到直线 3x 4y 11 0的距离为 d ，则 d 3 3 4 3 11
32 42
3 3
4 3 6
d
2
显然，上述误解中的d 是圆心到直线3x 4y 11 0 的距离，d r ，只能说明此直
线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，
因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．
练习 1：直线x y 1与圆x2 y2 2ay 0 （a 0）没有公共点，则a的取值范围是
a1
解：依题意有a ，解得 2 1 a 2 1.∵ a 0 ，∴ 0 a 2 1.
2
练习 2：若直线y kx 2与圆（x 2）2（y 3）2 1有两个不同的交点，则k的取值范围是.
2k 1 4 4
解：依题意有1，解得0 k ，∴ k 的取值范围是（0, ）.
k 2 1 3 3
练习3
、圆x2 y2 2x 4y 3 0 上到直线x y 1 0 的距离为2 的点共有（）．
（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个
分析：把x2 y2 2x 4y 3 0 化为x 1 2 y 2 2 8 ，圆心为1， 2 ，半径
为r 2 2 ，圆心到直线的距离为2 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于
2 ，所以选 C．
练习4、过点P 3，4 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C：x 12 y 2 2 4
有公共点，如图所示．
分析：观察动画演示，分析思路．解：设直线l 的方程为
y 4 k x 3
即
kx y 3k 4 0 根据d r 有
k 2 3k 4
1 k
2 2
整理得
3k 24k 0
解得
类型五：圆与圆的位置关系
问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？ 例 14、判断圆 C 1 : x 2
y 2
2x 6y 26 0 与圆 C 2 : x 2
y 2
4x 2y 4 0 的位置 关系， 例 15：圆 x 2
y 2
2x 0 和圆 x 2
y 2
4y 0 的公切线共有 条。
解：∵圆 (x 1)2
y 2
1的圆心为 O 1(1,0) ，半径 r 1 1，圆 x 2
(y 2)2
4的圆心为
O 2(0, 2)，半径 r 2 2，∴ O 1O 2
5,r 1 r 2 3,r 2 r 1 1.∵r 2 r 1 O 1O 2 r 1 r 2，
∴两圆相交 .共有 2 条公切线。
练习
1：若圆 x 2 y 2 2mx m 2 4 0 与圆 x 2 y 2 2x 4my 4m 2
8 0 相切， 则实数 m 的取值集合是 .
解：∵圆 (x m)2 y 2 4的圆心为 O 1( m,0) ，半径 r 1 2，圆 (x 1)2 (y 2m)2
9的
圆心为
O 2 ( 1,2m) ，半径 r 2 3 ，且两圆相切，∴ O 1O 2 r 1 r 2或 O 1O 2 r 2 r 1，
5 12 5 m 25
，∴实数 m 的取值集合是 { 152
, 5
2, 0,2}
. 2：求与圆 x 2
y 2
5外切于点 P( 1,2) ，且半径为 2 5 的圆的方程
解：设所求圆的圆心为 O 1(a,b) ，则所求圆的方程为 (x a)2 (y b)2
20 .∵两圆
外切 11
于 点 P ，∴ OP 1
OO 1
，∴ ( 1,2) (a,b) ， ∴ a 3,b 6 ，∴所 求圆的 方程为
3
1
3 22
(x 3) 2 (y 6)2
20.
类型六：圆中的对称问题
例 16、圆 x 2
y 2
2x 6y 9 0关于直线 2x y 5 0 对称的圆的方程是
(m 1)2
(2m)2
5 或 (m 1)2
(2m)2
1，解得 m
12
或 m 2，或 m 0或
5
例 17 自点 A 3，3 发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，反射光线
所在的直线与圆 C ： x 2
y 2
4x 4y 7 0相切
(1)求光线 l 和反射光线所在的直线方程． (2)光线自 A 到切点所经过的路程．
分析、略解： 观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出
点 A 的对称点 A 的坐标为 3， 3 ，其次设过 A 的圆 C 的切线方程为
y k x 3 3
根据 d r ，即求出圆 C 的切线的斜率为
k
4 或
k 3
34 进一步求出反射光线所在的直线的
方程为
4x 3y 3 0 或 3x 4y 3 0
最后根据入射光与反射光关于 x 轴对称，求出入射光所在直线方程为
4x 3y 3 0 或 3x 4y 3 0
2 2 2 光路的距离为
A'M ，可由勾股
定理求得 AM 2
A C 2
CM 2
7 ．
说明： 本题亦可把圆对称到 x 轴下方，再求解．
类型七：圆中的最值问题
例 18：圆 x 2
y 2
4x 4y 10 0上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与最小距离 的差是
解：∵圆 (x 2)2
(y 2)2
18的圆心为( 2，2)，半径 r 3 2 ，∴圆心到直线的距离
(d r) (d r) 2r 6 2.
例 19 (1)已知圆 O 1：(x 3)2
(y 4)2
1， P(x, y) 为圆 O 上的动点， 求 d x 2
y 2
的最 大、最小值．
(2)已知圆 O 2：(x 2)2 y 2 1， P(x, y)为圆上任一点．求 y 2
的最大、最小值，
求 x1
x 2y 的最大、最小值．
分析： (1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决． 解： (1)(法 1)由圆的标准方程 (x 3)2
(y 4)2
1．
10
2
5 2 r ， ∴直线与圆相离， ∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
y
图
2
2 2 2
则 d x 2 y 2 9 6cos cos 2
16 8sin sin 2
4
26 6cos 8sin 26 10 cos(
) (其中 tan )．
所以 d max 26 10 36， d min 26 10 16．
（法 2）圆上点到原点距离的最大值 d 1等于圆心到原点的距离 d 1'
加上半径 1，圆上点到原 点距离的最小值 d 2 等于圆心到原点的距离 d 1'
减去半径 1．
所以 d 1 32
42
1 6 ．
d 2 3 4 1 4 ．
得 sin tcos 2 3t ， 1 t 2
sin( ) 2 3t
即 y 2 的最大值为 3 3
，最小值为
3 3
x 1 4 4
此时 x 2y 2 cos 2sin 2 5cos( ) ． 所以 x 2 y 的最大值为 2 5 ，最小值为 2 5．
（法2）设 y 2
k ，则kx y k 2 0．由于 P （x, y ）是圆上点，当直线与圆有
交点 x1
时，如图所示，
可设圆的参数方程为
x 3 cos ,
y 4 sin ,
是参数）．
所以 d max
36
． d min
16 ．
（2） （法 1）由 （x 2）2
y 2
1得圆的参数方程：
x 2 cos ,
是参数．
y sin ,
则
y 2 sin 2 ．令
x 1 cos 3
sin 2 cos 3
2 3t
sin( ) 1 所以 t max
33 4
，
t
min
33 4