学生：科目：第阶段第次课教师：课题
函数的基本概念与定义域
教学目标1.了解函数的的基本概念，并能熟练的应用
2.理解函数的三种表示方法，了解分段函数，并能够简单的应用
3.会求函数的定义域
重点、难点函数的定义的理解；求简单函数的定义域
考点及考试要求
1.了解函数的概念；
2.理解函数的三种表示方法；
3.了解简单的分段
函数
教学容
知识框架
知识点一、区间的概念
设b
a
R
b
a<
∈且
,
,
定义名称符号数轴表示
}
|
{b
x
a
x≤
≤闭区间]
,
[b
a
}
|
{b
x
a
x<
<开区间)
,
(b
a
}
|
{b
x
a
x<
≤前闭后开区间)
,
[b
a
}
|
{b
x
a
x≤
<前开后闭区间]
,
(b
a
区间是集合的有一种形式.对于区间的理解应注意：
（1）区间的左端点必修小于右端点，有时我们将b-a成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a；
（2）注意开区间)
,
(b
a与点)
,
(b
a在具体情景中的区别.若表示点)
,
(b
a的集合应为{}),(b
a；（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
DOC格式.
例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器，以单位时间体积为a 的速度灌水.试求水面高y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域.
例6.已知函数32341++-=
ax ax ax y 的定义域为R ，数a 的取值围.
例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）
复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈
⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式
知识点 最新考纲 函数及其表示 了解函数、映射的概念． 了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题. 函数的基本性 质 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值. 指数函数 了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算． 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式． 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数 了解幂函数的概念． 掌握幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 1 2的图象和性质. 函数与方程 了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其 应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征． 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决. 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A 、B 设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系 f ：A →B 如果按照某种确定的对应关系f ， 使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应 如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应
名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 y ＝f (x )(x ∈A ) 对应f ：A →B 是一个映射 (1)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (4)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) (6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3 x 3＋1 C ．y ＝x 2 x ＋1 D ．y ＝x 2＋1 解析：选B.对于A ，函数y ＝( x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义 域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. ★备考知考情 定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等. 一、知识梳理《名师一号》P13 知识点一常见基本初等函数的定义域 注意： 1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！ 2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！ (1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0 (3)一次函数、二次函数的定义域均为R (4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R (5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞) (6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0} 部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充） 三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为 {|,,}2 ∈≠+∈x x R x k k Z π π 如果函数是由几个部分的数学式子构成的， 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合． 知识点二 基本初等函数的值域 注意： 值域必须写成集合或区间的形式！！！ (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是： 当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 2 4a }； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 2 4a } (3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0} (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0} (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R . （补充）三角函数中 正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R
一、定义域问题 1. （陕西文2）函数21lg )(x x f -=的定义域为 （A ）［0，1］ （B ）（-1，1） （C ）［-1，1］ （D ）（-∞，-1）∪（1，+∞） 解析：由1-x 2>0得-1 实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 第04讲函数的概念 一、考情分析 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用； 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 二、知识梳理 1.函数的概念 设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域 (1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数. (2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. [微点提醒] 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 三、经典例题 考点一求函数的定义域 【例1-2】函数y＝1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________； 【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π 2(k ∈Z ). ∴－1≤x ≤1且π4＋k π 函数的定义域解析与练 习及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 函数的定义域 1、已知函数式求定义域： 例1、求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）． 解： （1），即；（2），即； （3）且，即． （4）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为． （5）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为 ． 点拨：要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑用到不等式或不等式组，然后借助于数轴进行求解． 2、求抽象函数的定义域 讲解：求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域，不管 “”中的“x”被什么代换，它们都得首先遵循这一“规则”，在这一“规则”之下再去求解具体的x的范围． 例2、已知的定义域为，求，的定义域． 解： ∵的定义域为，∴，∴，即的定义域为， 由，∴，即的定义域为． 点拨：若的定义域为，则的定义域是的解集． 例3、已知的定义域为，求，的定义域． 解： ∵的定义域为，∴即的定义域为． 又∵的定义域为，∴，∴ 即的定义域为． 点拨：已知的定义域，则当时，y=kx＋b的函数值的取值集合就是的定义域． 例4、已知函数的定义域是[a，b]，其中a<0 解答： ∵函数的定义域为[a，b]，∴a≤x≤b， 若使有意义，必须有a≤－x≤b即有－b≤x≤－a．∵a<0 实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。 函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析 函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 （1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ； ②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合； ④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x 0中 ； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点） （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可 得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 （2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有 函数的定义及表示 知识讲解 一、函数 1.函数的概念 概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x =，x A ?其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =，所有函数值构成的集合{()}y y f x x A =?，叫做这个函数的值域． 2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则 3.函数的表示法 1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； 2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 4.求函数定义域注意事项 1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义； 3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2 x x k k Z π π ??，； 6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集． 5.分段函数 定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数． 6.复合函数 定义：若()y f u =，()u g x =，(),x a b ∈，(),u m n ∈，那么[()]y f x =称为复合函数，u 称 为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域． 注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式． 二、映射 定义：设A B ， 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x 在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射，这时称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ，于是 ()y f x = x 称为y 的原象，映射f 也可记为： :f A B ? ()x f x ? 其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 的值域．通常记作()f A ． 映射三要素：集合A B 、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B ?，集合A 中每一个元素 在集合B 中都有唯一的元素与之对应，从A 到B 的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B 中有多余元素． 三、函数求解析式 1.换元法 2.方程组法 四、函数求值域 1.直接法（分析观察法） 2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值 域． 3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中 要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c =++(0)a 1或2()[()]()F x a f x bf x c =++(0)a 1类的函数的值域问题，均可使用配方法． 4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法． 函数的概念 教学目标：理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域；了解映射的概念；理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数；了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象（不要求根据函数值求自变量的范围）。 知识点回顾： 1.对于两个非空的数集A 、B ，集合A 每一个x ，对应着B 中唯一的y ，函数值域应为B 的一个子集。 2.初等函数的定义域（使函数解析式有意义） ○ 1分式的分母不为0；○2偶次根式被开方数大于或等于0（奇次根式定义域为R ）；○3对数函数的真数大于0，底数大于0且不等于1；○4零指数幂底数y=x 0=1(x 不等于0)；○5正切函数2π π+≠k x ；○6实际问题有意义；○7若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；○8若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x ∈[a,b]时g(x)值域； 基础训练： 1．函数)13lg(13)(2++-= x x x x f 的定义域是____________ 2．函数x x x f 11)(+ +=的定义域为____________ 3．函数23)(x x x f -=的定义域为____________ 4．若函数)(x f y =的定义域为?? ????2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________； 5.若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________ 高中数学函数的定义域测试题(含答案) 高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 二. 教学目标： 理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。 三. 教学重点：函数性质的运用． 四. 教学难点：函数性质的理解。 ［学习过程］ 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的 实际意义。 页 1 第 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R； ②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） 实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E = 第一章 函数 1.1 函数的概念及其基本性质（4课时） 教学要求：理解集合、区间、邻域及映射的概念，理解函数的概念，掌握函数的表示方法，了解函数的基本性质，理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学重点难点：重点是理解集合、映射及函数的概念；难点是理解反函数及隐函数的概念。 教学过程： 一、集合及其运算 1、集合概念 (1) 什么是集合? 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素. (2) 集合的表示法 a 列举法：就是把集合的元素一一列举出来表示.由元素n a a a ,,21组成的集合A,可表示成 A={n a a a ,,21} b 描述法：若集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成,就可表示成 }|{P x x M 具有性质= (3) 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性. (4) 元素与集合,集合与集合之间的关系：属于、包含、子集、真子集、空集. ２、集合的运算 (1) 并集 {| }A B x x A x B ?=∈∈或；(2) 交集 {| } A B x x A x B ?=∈∈且 (3) 差集 \{| }A B x x A x B =∈?但 (4) 全集与补集(或余集) 全集用I 表示，称A I \为A 的补集记作C A . 即 \{| }C A I A x x I x A ==∈?但 集合的并、交、补满足下列法则： (1) 交换律：A B B A ?=?，A B B A ?=? (2) 结合律：)()(C B A C B A ??=??，)()(C B A C B A ??=?? (3) 分配律：)()()(C B C A C B A ???=??， )()()(C B C A C B A ???=?? (4) 对偶律：C C C B A B A ?=?)(，C C C B A B A ?=?)( （5）幂等律：A A A ?=A A A ?=；（6）吸收律：A A ?Φ=A A ?Φ= 两个集合的直积或笛卡儿乘积 {(,)| }A B x y x A y B ?=∈∈ 且 二、区间与邻域 1、映射与领域 区间：开区间 ),(b a 、闭区间 ],[b a 、半开半闭区间],(b a ，),[b a 、有限,无限区间. 邻域：)(a U 或}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U a ：邻域的中心,δ：邻域的半径 去心邻域： }||0|{),(δδ<-<=a x x a U 左δ邻域),(a a δ-、右δ邻域),(δ-a a . 2、映射概念 定义 设,A B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每一个元素x .按法则f ,在B 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作 f B →：A 或,f y x A →∈：x| 其中，并y 称为元素x 的像，记作)(x f ，即 )(x f y =,而x 称为元素y 的一个原像。 映射f 的定义域：f D A =，映射f 的值域：(){()|}f R f A f x x A ==∈ 函数 第二节 求函数值和函数的定义域 《预习案》 知识点概念： )(x f y =，x ∈A .其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值. 1、 求下列函数的定义域： （1）()7 41 +=x x f （2）()131-++-=x x x f 2、求下列函数定义域： （1） x x y -++=21 1 （2） 1 1 += x y 3、求下列函数定义域： （1） x x y -++=211 （2） 1 1 +=x y 4、求下列函数的定义域： （1）()1 2 -+=x x x f ； （2）()1 42 --= x x x f ； （3）()x x x f -+-=11； （4）()1 21 12 2+-+ ++=x x x x x f 5、已知函数()x x x f 232 +=， （1）求()()()()22,2,2-+-f f f f 的值； （2）求()()()()a f a f a f a f -+-,,的值。 6、设()f x =π，则(2)f =__________. 7、已知函数()2 1 3++ += x x x f ， （1）求函数的定义域；（2）求()?? ? ??-32,3f f 的值；（3）当0>a 时，求()()1,-a f a f 的值。 8、已知函数()2532 +-=x x x f ，求() ()()()()3,3,,2f a f a f a f f ++--的值； 9、若()c bx x x f ++=2 ，且()()03,01==f f ，求()1-f 的值. 《探究案》 复合函数：设y 是u 的函数()u f y =，而u 又是x 的函数()x g u =，设M 为()x g u =的值域， N 是函数()u f y =的定义域，若N M ?,则y 成为x 的函数。记作：()[]x g f y =，这个函数 叫做由()u f y =及()x g u =复合而成的复合函数。u 叫中间变量，f 称为外层函数，g 称为内 层函数 高考数学函数的定义域和值域复习试题(含 答案) 高考数学函数的定义域和值域复习试题（含答案) 高考数学函数的定义域和值域复习试题及答案解析 一、选择题 1.（2０13 陕西高考）设全集为R，函数f(x)=1－x的定义域为Ｍ，则为( ) A.(－,1) Ｂ．(１，+ ) C.（－,1] D.[1,＋) B [要使f(x）=1-x有意义,须使1-x 0，即ｘ1. M=(-,1]，＝(1，+ ).] ２.函数y=13x-2+lｇ(2x-1)的定义域是（) Ａ.2３，＋B.12,+ Ｃ.２３,+ Ｄ.12，２3 Ｃ[由３x-2 0,２ｘ-1 0得x 23.］ 3.下列图形中可以表示以M={x|０x 1}为定义域,以N＝{y|０y1｝为值域的函数的图象是( ) C [由题意知，自变量的取值范围是[０，1］,函数值的取值范围也是[0,1],故可排除Ａ、B;再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x,N中都有唯一的元素与之对应,故排除D.] 4．（２014长沙模拟)下列函数中，值域是（0，+ )的是( ) A.y=x2－2x+1B．y=ｘ+2ｘ+１（ｘ(0，+ ）) C．y=１x２＋2x+１(x N）D.ｙ=1｜x+１| D ［选项A中y可等于零;选项B中y显然大于1;选项C 中ｘN,值域不是（0，+ );选项D中|x+1｜０,故y 0．] 5.已知等腰△ABＣ周长为10,则底边长ｙ关于腰长x的函数关系为y=10-２x，则函数的定义域为() Ａ.R B.{x|ｘ0} C.｛x|0 ｘ5} D.x｜52 x 5 Ｄ[由题意知ｘ０,10－2x0，2x 1０-２x即52 x ５.] 6.函数y=2ｘ-1的定义域是(-,1) [2,５),则其值域是( ) Ａ．(- ，0) 12,2 Ｂ.(- ，2] Ｃ．- ，12 [2，+ ) Ｄ．(0，＋） Ａ[∵x (- ，1）[２,5)， 故x－1(- ,0) [1，4）, 2x-1 (- ，0)１2,2.］ 7.若函数f（x)=1log3(２x+c)的定义域为12，1(1,+)，则实数c的值等于( ) A.１Ｂ.-1 C．－2 D.-1２ B [由2x+c ０且log3(2x＋c)0， 得ｘ-c２且x １-c2. 又f(ｘ)的定义域为１２,１(1,+), １-c2＝１.c=-1.] 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限 4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题实变函数试题库(5)及参考答案
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