矩阵对角化的若干方法
冯莉
（吕梁学院汾阳师范分校数学与科学系，山西吕梁，032200）
摘 要：矩阵对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文主要介绍了三种将矩阵对角化的方法和一些特殊矩阵对角化的方法，并以例题加以说明。
关键词：可对角化；特征值；特征向量；对角化方法；矩阵初等变换 1 引言
形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，研究矩阵对角化问题是很有实用价值的。主要体现在线性变换对不同基下矩阵的相似关系和二次型在化简过程中矩阵之间的合同关系。利用这些关系可以很快求出矩阵的方幂、方阵的行列式和逆、幂等矩阵的秩与迹的关系等问题。另外，矩阵对角化对于我们在几何上研究二次曲面也有一定的帮助。然而，我们知道)2(≥n 方阵在复数域C 上一定与上（下）三角阵相似，在一些特殊情况下，它才与对角阵相似。基于此，本文介绍矩阵对角化的三种方法：用特征值和特征向量将矩阵对角化、用矩阵的初等变换将矩阵对角化、用矩阵的乘法运算将矩阵对角化，然后介绍了几种特殊矩阵对角化的方法作为补充。
2 有关定义、命题与结论
为了全文的完整叙述，摘录有关命题、结论、定义如下：
定义 如果数域P 上，对n 级矩阵A 存在一个可逆矩阵T 使AT T 1-为对角形矩阵，则称矩阵A 在数域P 可对角化；当A 可对角化时，我们说将A 对角化，即指求可逆矩阵
T
使AT T 1-为对角形矩阵。
由特征值、特征向量的定义，A 的特征值 、、21λλ在主对角线上的次序应与其相
应特征向量在可逆矩阵T 的次序相一致。
命题1 n 阶方阵A 与对角阵相似?A 有n 个线性无关的特征向量 推论1 n 阶方阵A 有n 个不同特征值，那么A 与对角阵相似
命题2 设n 阶方阵的全部特征值为)(s 21n s ≤λλλ、、
、 ，那么A 与对角阵相似?
n
V s
i i
=∑=1
dim λ
，我们这里称i
V λdim 叫做i
V λ特征子空间的几何维数
推论2 n 阶方阵A 与对角阵相似?A 的每一个特征值的代数重数等于它的几何重数
以上结论是矩阵对角化方法的理论基础，其他的定理、方法都是在此基础上推导出
来的。
3 矩阵对角化的三种方法
3.1 利用特征值和特征向量将矩阵对角化
由于这种方法相对来说比较基础、简单、机械，一般教材都有详细介绍，这里用图示加以总结。
3.2 利用矩阵的初等变换将矩阵对角化
定理 如果{}E A E ，/)(-λ经过初等变换化为{})()(λλP D ，，其中/)(A E -λ表示特征矩阵的转置，)(λD 为对角阵，则
1）A 的特征值为)(λD 对角线上元素乘积所得的关于λ多项式的根
2）对于A 的每一个特征值i λ，其特征向量是)(i P λ中与)(i D λ的零行对应的行向量 3）由2中的推论2可得出，A 可以对角化的充要条件是)(i D λ中零行的数目等于i
λ的重数
说明：对{}E A E ，/)(-λ作初等变换使/)(A E -λ化为)(λD 的过程中，使用的列变换不影响0)(/=-X A E λ的线性无关的解，从而收到了特征值、特征向量同步求解的效果，
以致于可逆矩阵T 和对角矩阵的求解可以分别从最终的-λ矩阵)(λP 和)(λD 中“读”出来。
3.3 利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化
定理 设s 21λλλ、、、 是A 在数域P 上的全部互不相同的特征值 1）若0)())((21=---E A E A E A s λλλ ，则A 可以对角化，反之则反
2）设i λ是r 重根，则A 的属于),,2,1(s i i =λ的特征向量是矩阵)(1
E A j s
i j j λ-∏≠=列向量
组中的前r 列
说明：相比起来此法在具体对角化的过程中运算量没有明显减少，但因其步骤简单、求解思路清晰可以作为利用数学软件求解的理论依据。因为计算机在求解特征值、矩阵乘积时只需要一行简单的代码即可完成。
例 判定矩阵???
?
?
?????----=16
3
222123
A 可否对角化，若可以，求可逆矩阵T ，使AT T 1
-为
对角阵
解法一：)4()2(1
6
3
2221
2
3
||2
+-=+---+--=
-λλλλλλA E ，所以特征值是-4和2（二
重）
解齐次线性方程组0)4(=--X A E ，得一基础解系为/)3,2,1(-
解齐次线性方程组0)2(=-X A E ，得一基础解系为/)1,0,1(和/)2,1,0(，特征值2的代数重数等于其几何重数，所以A 可对角化。
取???
?
?
???
??-=21
3
102
011
T ，则?????
????
?-=
-22
4
1
AT T 解法二：{}
→???
?
?
???
??+--+---=-10
1
2
1
0106
22
00132
3
)(/λλλλE A E ，
??
??
?
??
???+-+----→??????????+-+----+-30
1
)
4)(2(4
20
2
100
2
1
00001
30
1
24
20
210422
01001
212
λλλλλλλ
λλλλλ?????
?????---+---→121)
4)(2(0
2100
201
00001
λλλλ，故A 的特征值是-4和2（二重） []???
?
??????--=--32
10
00210060
100001
)4()4(P D ，，得/)3,2,1(-是A 属于-4的特征向量。 []???
??
?????--=32
10
210000
100001
)2()2(P D ，，得/)2,1,0(和/)3,2,1(--是A 属于2的特征向量。于是，取???
?
?
?????---=32
3
212101
T ，则????
?
????
?-=
-22
4
1
AT T
解法三：由上知-4和2是A 的全部不同的特征值，容易验证
)2)(4(E A E A -+=0，所以A
可对角化。由定理可知，2是二重根，A 的属于2的特征向
量是矩阵E A 4+列向量组的前2列；A 的属于-4的特征向量是矩阵
E
A 2-列向量组的前1列，由此可得出可逆矩阵为：
???
?
?
?????--=36
3
222
127
T ，则????
?
????
?-=
-42
2
1
AT T
上述3种方法各有利弊，在使用的时候须结合矩阵本身的特点加以区别对待，灵活把握。
4 几种特殊矩阵对角化的方法——对一般矩阵对角化方法的补充 4.1 实对称矩阵的对角化
实对称矩阵一定可对角化，可以按照合同关系利用二次型的配方法、按照相似关系利用特征值、特征向量将其对角化。
一般教科书给出的方法可以简述为：（1）求特征值（2）求对应的特征向量（3）将特征向量标准正交化（4）写出T 及),,,(211n diag AT T λλλ =-。这里限于篇幅不举例介绍。
4.2 循回方阵的对角化 4.2.1 基本循回阵的对角化
n 阶矩阵?????
??
?
????
?
???=00
1
100001000010
P 称为基本循回阵，容易求出它的特征方程为 01=-n
λ，在复数域上有n 个不同的特征根：)1,,1,0(2sin
2cos
-=+=n k n
k i n
k k ππξ
取向量??????????????=-11n k k
ξξα ，则有αξξξξξαk
k k n k k P =??????????????=?????????????????????
?
????
?
???=-11
00
1
100001000010
21
（因1=n k ξ），则，??????
?
???????=-11n k k
ξξα 为特征值k ξ对应的P 的特征向量。做矩阵?????
????
???=----111
1
1
111
111
n n n n T ξξξξ
。因为||T 为Vandermonde
行列式，所以可逆。?????
????
?
?
?=--11
1
1n PT T ξξ
4.2.2 循回阵的对角化
矩阵?????
??
?
????????=------03
2
1
3012
2
101
1210
c c c c c c c c c c c c c c c c Q n n n n n n
称为循回阵，Q 可以由基本循回阵的多项式表
出：112210--++++=n n P c P c P c E c Q ，设112210)(--++++=n n x c x c x c c x f ，则
?
????
??????
?=+++=------)()
()
1()
(111
1
11
101
n n n f f f PT T
c PT T
c E c QT T
ξξ
，所以循回
阵都是可以对角化的。
4.3 对合矩阵一定可以对角化
设A 为对合矩阵，则E A =2。
设λ为A 的特征值，α为属于λ的特征向量，)()()(2αλλαααA A A A A ===
αλ2=，又ααα==E A 2，得α
αλ=2
，移项得10)1(22=?=-λαλ，即1±=λ
由?=E A 2)(E A r ++n A E r =-)(，对特征值1，齐次线性方程组X A E )(-=0有
)()(A E r A E r n +=--个特征向量。对特征值-1，齐次线性方程组X
A E )(--=0有
)()(A E r A E r n -=+-个特征向量。又因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以A
有n A E r A E r =-++)()(个无关的特征向量，从而A 可对角化。
4.4 幂等矩阵一定可以对角化
设A 为幂等矩阵，则A A =2。
幂等矩阵对角化的讨论与对合矩阵对角化的讨论类似，但幂等矩阵的特征值只有1和0，同样可以对角化。
4.5 非零的幂零矩阵一定不可对角化
设A 为非零的幂零矩阵，则0=m A ，且0≠A 。
易知A 的特征值全为0，若A 可对角化，则存在可逆矩阵T ，使01=-AT T ，所以
001
==-T
T A ，与0≠A 矛盾。所以，幂零矩阵若可对角化，那么一定是零矩阵。
本文主要阐述总结了一些矩阵对角化的方法，简捷方便，易于操作，可以在遇到实际问题需要矩阵对角化做以参考。但为了深入理解高等代数关于对角化的重要思想，还应该知道每一种方法、定理的理论依据，本文限于篇幅，这里多做省略。
参考文献
【1】 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003 【2】 魏站线.线性代数要点与解题[M].陕西：西安交通大学出版社,2006. 【3】 陈汉藻.矩阵可对角化的一个充要条件[J].数学通报，1990.2.
【4】 高吉全.矩阵特征值与特征向量的同步求解方法探讨[J].数学通报，1991.12.
Several Methods of The Diagonalization of Matrix
Feng Li
（The Math and Science Department of Lvliang College Fen Y ang Teacher's school，ShanXi LvLiang，
032200）
Abstract: Diagonalization of matrix is an important issue in matrix theory.This paper,introduces three methods of matrix diagonalization and some special matrix diagonalization,and illustrates it with examples.
Key words：diagonalizable; eigenvalues; eigenvectors; the method of diagonalization;matrix elementary operation
作者简介：冯莉（1981.3~），女，山西忻州人，本科，助教，研究方向：代数几何
通讯地址：山西省汾阳市文峰路8号吕梁学院汾阳师范分校，155********