第16练 定积分问题
[题型分析·高考展望] 定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.
体验高考
1.(2015·湖南)??0
2(x －1)d x ＝________.
答案 0
解析 ?
?0
2(x －1)d x ＝????12x 2－x ???
2
0＝1
2×22－2＝0. 2.(2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.
答案 1.2
解析 由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示.
设抛物线方程为y ＝ax 2，将点(5，2)代入抛物线方程得a ＝225，故抛物线方程为y ＝2
25x 2，抛
物线的横截面面积为
S 1＝2??0
5???
?2－225x 2d x ＝2????2x －275x 3???
5
0＝403(m 2
)， 而原梯形下底为10－2
tan45°
×2＝6(m)，
故原梯形面积为S 2＝12(10＋6)×2＝16(m 2)，S 2S 1＝16
40
3
＝1.2.
3.(2015·天津)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________. 答案 16
解析 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形如图，
由?
????
y ＝x 2
，y ＝x ，得A (1，1)， 面积S ＝??0
1x d x －?
?0
1x 2d x ＝12x 2???
1
0－13x 3???
1
0＝12－13＝16.
4.(2015·福建)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.
答案
5
12
解析 由题意知，阴影部分的面积 S ＝?
?1
2(4－x 2
)d x ＝(4x －13x 3)???
2
1＝5
3，
∴所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝5
31×4＝5
12
.
高考必会题型
题型一 定积分的计算
例1 (1)????
－
π2
π
2(sin x ＋cos x )d x 的值为( )
A.0B.π
4
C.2
D.4
(2)若f (x )＝?
????
x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，
2，1＜x ≤2.则??－1
2 f (x )d x 等于( )
A.0B.1C.2D.3 答案 (1)C
(2)C
解析 (1)原式＝(－cos x ＋sin x )?
?
?
π2
－
π
2
＝1－(－1)＝2，故选C.
(2)??－1
2f (x )d x ＝??－1
1(x 3＋sin x )d x ＋??1
22d x
＝(14x 4－cos x )???
1
－1
＋(2x )???
2
1＝0＋2＝2. 点评 (1)计算定积分，要先将被积函数化简，然后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；
(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.
变式训练1 (1)已知复数z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则??0
a ()4－x 2＋x d x
的值为( )
A.2＋πB .2＋π
2C.4＋2πD .4＋4π
(2)??0
3|x 2－4|d x 等于( )
A.213
B.223
C.233
D.253 答案 (1)A (2)C
解析 (1)因为z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R )为实数，所以a ＝2，??0
a (4－x 2＋x )d x ＝?
?0
24－x 2d x ＋
1
2x 2
???
2
0，由定积分的几何意义知，??0
24－x 2d x 的值为以原点为圆心，以2为半径的圆的面积
的四分之一，即是π，所以??0
2
4－x 2
d x ＋12x 2???
2
的值为2＋π，故选A.
(2)画出函数图象如图所示，可知??0
3|x 2－4|d x ＝??0
2(4－x 2)d x ＋?
?2
3(x 2－4)d x ＝8－83＋(9－12－
8
3＋8)＝23
3
.
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
例2 (1)由曲线y ＝x 2与y ＝x 的边界所围成区域的面积为
( )
A.13
B.23
C.1
D.16 (2)y ＝1
2
e
x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.9
2
e 2B.4e 2C.2e 2D.e 2 (3)由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)
的面积是( )
A.1
B.π4
C.223
D.22－2
答案 (1)A (2)D (3)D
解析 (1)由题意可知，曲线y ＝x 2与y ＝x 的边界所围成区域的面积 S ＝?
?0
1(x －x 2
)d x ＝(23x 3
2－13x 3)???
1
0＝23－13＝13.
(2)因为y ′＝121
2e x ，所以y ′|x ＝4＝1
2
e 2，
所以在点(4，e 2)处的切线方程是y －e 2＝1
2e 2(x －4)，
当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝2， 所以切线与坐标轴所围成三角形的面积是 S ＝1
2
×|－e 2|×2＝e 2，故选D. (3)方法一 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π
4.
故所求阴影部分的面积
S ＝???0
π
4 (cos x －sin x )d x ＋?
???
π4
π
2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )????
π
4
＋(－cos x －sin x )?
??
π
2π
4
＝sin π4＋cos π4－sin0－cos0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π
4)]＝
22－2.
故选D.
方法二 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π
4.
根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积
S ＝2???0π
4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x )????
π
40
＝2(sin π4＋cos π
4－sin0－cos0)＝22－2.
点评 求曲边多边形面积的步骤
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.
变式训练2 如图所示，由函数f (x )＝sin x 与函数g (x )＝cos x 在区间????0，3π
2上的图象所围成的封闭图形的面积为( )
A.32－1
B.42－2
C.2
D.2 2 答案 B
解析 f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 在????0，3π2上的交点坐标为????π4，22，????5π4，－2
2， 两函数图象所围成的封闭图形的面积为
S ＝???0
π
4(cos x －sin x )d x ＋????π4
5π
4(sin x －cos x )d x ＋?
???
5π4
3π
2(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )
????
π
4
－(sin x ＋cos x )?
??
5π
4π4
＋(sin x ＋cos x )?
?
?
3π
25π
4
＝42－2.故选B.
高考题型精练
1.已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( )
A.gt 203
B.gt 20
C.gt 202
D.gt 2
06
答案 C
解析 由题意，可知所走路程为??0t 0v d t ＝??0t 0gt d t ＝12gt 2???
t 00＝12gt 20.
2.定积分??0
1(e x ＋2x )d x 的值为( )
A.1
B.e －1
C.e
D.e ＋1 答案 C
解析 ??0
1(e x ＋2x )d x ＝??0
1e x d x ＋?
?0
12x d x
＝e x ???
1
0＋x 2???
1
＝e ，故选C. 3.若???0
π
2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )
A.－1
B.1
C.－3
D. 3 答案 A
解析 ???0π
2(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )????
π
20
＝－a ＋1＝2，a ＝－1.
4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝??0
3(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )
A.15
B.20
C.25
D.30 答案 A
解析 由已知得S 10＝??0
3(1＋2x )d x ＝12，根据等差数列性质可得S 10＝12，S 20－S 10＝5，S 30
－S 20＝S 30－17亦成等差数列，故有12＋S 30－17＝10?S 30＝15. 5.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.4B.6C.103D.163
答案 D
解析 因为???
y ＝x
y ＝x －2
?x ＝4，
根据定积分的几何意义可得，
?
?0
4
(x －x ＋2)d x ＝(23x 3
2－12x 2＋2x )???
4
0＝163，故选D.
6.设f (x )＝????
?
x 2
，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则??0
e f (x )d x 的值为( )
A.43
B.54
C.65
D.7
6 答案 A
解析 根据定积分的运算法则，由题意，
可知??0
e f (x )d x ＝??0
1x 2d x ＋??1
e 1x
d x ＝13x 3???
1
0＋ln x ???
e
1＝13＋1＝43.
7.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ，x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成.向矩形OABC 内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为1
4
，则a 的值是( )
A.7π12
B.2π3
C.3π4
D.5π6 答案 B
解析 由题意可得，是与面积有关的几何概型，构成试验的全部区域是矩形OACB ，面积为a ×6
a ＝6.记“向矩形OACB 内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A ， 则构成事件A 的区域即为阴影部分，
面积为??0
a
sin x d x ＝－cos x ???
a
0＝1－cos a ， 由几何概型的计算公式可得P (A )＝14＝1－cos a 6，cos a ＝－1
2，
又∵a ∈(0，π)，∴a ＝2π
3，
故选B.
8.已知??0
2(3x 2＋k )d x ＝16，则k 等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4 答案 D
解析 ??0
2(3x 2
＋k )d x ＝(x 3
＋kx )???
2
0＝8＋2k ＝16，所以k ＝4.故选D.
9.定积分??0
1(2＋1－x 2)d x ＝________.
答案 π4
＋2
解析 ??0
1(2＋1－x 2)d x ＝??0
12d x ＋?
?0
11＋x 2d x
＝2x ???
1
0＋??011＋x 2d x ＝2＋??0
11＋x 2d x ， 令y ＝1＋x 2，得x 2＋y 2＝1(y ≥0)， 点(x ，y )的轨迹表示半圆.
??0
1
1＋x 2d x 表示以原点为圆心， 以1为半径的圆的面积的14，
故?
?0
11＋x 2d x ＝14×π×12＝π
4，
∴?
?0
1(2＋1－x 2)d x ＝π
4＋2.
10.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为1
12
，则a 的值为________.
答案 －1
解析 由曲线在原点处与x 轴相切，可得f ′(0)＝0＝b ， 此时f (x )＝－x 3＋ax 2＝x 2(a －x )，
据定积分知，阴影部分面积为－?
?a
0(－x 3＋ax 2)d x ＝1
12，
解得a ＝－1. 11.已知a ＞0，(
a
x －x )6的展开式的常数项为15，则??－
a
a (x 2＋x ＋4－x 2)d x ＝______. 答案
2＋2π
3
＋ 3 解析 根据二项展开式的通项公式可知，
T k ＋1＝C k 6(－1)k a
6－k
1
(6)
2
k k x
－－＝C k 6(－1)k a 6－k
3
32
k x
－，
∴令k ＝2，
∴C 26(－1)2a 4
＝15?a ＝1(a ＞0)，
∴??－a a (x 2＋x ＋4－x 2)d x
＝??－1
1x 2d x ＋??－11x d x ＋??－1
1
4－x 2d x .
作出??－1
1
4－x 2d x 表示的图象如图，
根据定积分的几何意义及定义， 从而可知??－11x 2d x ＋??－11x d x ＋??－1
1
4－x 2d x
＝23＋0＋12·1·3·2＋16π·4＝2＋2π3
＋ 3. 12.计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积.
解 由?????
y ＝x ＋3，y ＝x 2
－2x ＋3，
解得x ＝0及x ＝3.
从而所求图形的面积 S ＝??0
3[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x
＝?
?0
3(－x 2
＋3x )d x ＝????－13x 3＋32x 2???
3
0＝9
2.