东南大学 2002 年数学分析试题解答

东南大学2002年数学分析试题解答

一、叙述定义(5分+5分=10分)

1．()+∞=?∞

→x f x lim ． 解：M x f E x E M >??>?)( , ,0 ,0．

2．当+→a x 时，)(x f 不以A 为极限．

解：

二、计算（9分×7=63分）

1．求曲线210 ),1ln(2≤

≤?=x x y 的弧长． 解：dx x f s ∫+=βα 2)]('[1

∫∫∫?=?++?=?+=??+=21 0 21

0 222

1

0 22

213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x ． 2．设x y z e x g z y x f u y sin ,0),,( ),,,(2===，g f ,具有一阶连续偏导数，

0≠??z g ，求dx

du ． 解：由0),,(2=z e x g y 得02321=++dz g dy g e dx xg y

，从而 x

z z f x y y f x f dx du ?????+?????+??==32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ?++?+． 3．求∫dx x

x 2ln ( 解：令dt e dx e x x t t t === , ,ln ，

∫=dx x x 2)ln (∫?dt e e t t t 22

=∫

=?dt e t t 2t t te e t ????22C e t +??2 C x

x x +++?=2ln 2)(ln 2． 4．求()2

0lim x a x a x

x x ?+→()0>a ． 解：()2

0lim x a x a x

x x ?+→

2222

2220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim x

x o a x a x x o a a x a x x +++?+++++=→ 12a a

+=． 5．计算第二型曲面积分

∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧

解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==，

则2

r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤．

∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x 222=∫∫++S dxdydz z y x )(2 πθθθπ

=++=∫∫dr r r r r d 2 0 1

0 2)sin cos (2． 6．求常数λ

，使得曲线积分22 0, L x x r dx r dy r y y

λλ?==∫v 滑闭曲线L 成立．

解：

7．在曲面)0,0,0(,142

2

2>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．

解：设14),,(2

2

2?++=z y x z y x F ，则2,2,2z z F y y F x x F =??=??=??，所求切平面方程为： 0)(2

)(2)(2=?+?+?z Z z y Y y x X x ， 求得在三个坐标轴上的截距分别为:

,44 ,444 ,4442

22222222z

z y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++= )1161161()44(2

222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==2221611z y x ++． 令)14(1611),,(2

22222?+++++=z y x z

y x z y x P λ，则由 02132,022,022333=+?=??=+?=??=+?=??λλλz z

z P y y y P x x x P ,

,1422

2=++z y x 解得==y x ,16,2,21==λz =min d 16． 三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）

1．判定级数∑∫∞=+1 0 1sin n n dx x

x π的敛散性． 解：原级数为正项级数，据积分中值定理， 0sin (sin )ln 1ln 11n

x dx x n n n ππππξ????=+≤+????+????

∫， 又级数1ln 1n n n π

π∞=??+????∑收敛，所以原级数收敛． 2．设)(x f 在区间[2,0]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有 1)('' ,1)(<

)('')0)((')()0(2x f x x f x f f ?+?+=ξ 2)2(2

)('')2)((')()2(x f x x f x f f ?+?+=η， ])('')2)((''[2

1)('2)0()2(22x f x f x f f f ???+=?ξη， ])('')2)((''[2

1)0()2()('222x f x f f f x f ?????=ξη， ])('')2)((''[2

1)0()2(21)('22x f x f f f x f ???+?=ξη ++≤

)0(21)2(21f f 22)(''2

1)2()(''21x f x f ?+??ξη 2221)2(211x x +?+≤2)1(2+?≤x ， '()2f x ≤．

3．证明积分∫∞

+? 0 dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛．

4．证明函数x x x f ln )(=

在),1[+∞上一致连续． 证明：x x x x x x

x f 22ln ln 21)('+=+=，1)(' ,1 ,021ln 21)(''max ===??=x f x x x x x f 由拉格郎日中值定理，

1212121212,[1,), , ()()'()x x x x f x f x f x x x x δξ?∈+∞?