二次函数综合应用题(有答案)

解：(1) y=50- x (0≤x ≤160，且 x 是 10 的整数倍)。

2 2(3) W= -

x +34x +8000= - (x -170) +10890，

∴当 x=160 时，W 最大=10880，当 x=160 时，y=50- x=34。答：一天订住 34 个房间时， （ （

函数综合应用题

题目分析及题目对学生的要求

1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。 需要注意的是：

(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)

(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。

2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项 式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。 一般式化为定点式） 最值的求法：

(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。

3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起 来。

推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出 x 的取值范围。

备选思路一：先将不等号看做等号，求出 x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后 x 的取值范围；

备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在 注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。

一、求利润的最值

1. (本题满分 10 分) 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时， 房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对 游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍)。

(1) 设一天订住的房间数为 y ，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式；

(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

1

10 1 1 (2) W=(50- x)(180+x -20)= - x 2

+34x +8000；

10 10 1 1

10 10

当 x<170 时，W 随 x 增大而增大，但 0≤x ≤160，

1

10 宾馆每天利润最大，最大利润是 10880 元。

2． 本题满分 10 分）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件； 如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件 商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接 写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？

解：1）y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2+110x+2100（0

（

（2）y=-10(x-5.5)2+2402.5．

a=-10<0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．

0

当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

（3）当y=2200时，-10x2+110x+2100=2200，解得：x=1，x=10．

12

∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．

∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．

3．（本题10分）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖

10件。设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．

⑴求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？

解：⑴y=150-10x,0≤x≤5且x为整数；

⑵当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为1560元；（2011·四调武汉）23、杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元．按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；

（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由．解：（1）设y=kx+b，则由图象知：，

解得k=﹣，b=30，

∴y=﹣x+30，100≤x≤180；

（2）设公司第一年获利W万元，

则W=（x﹣60）y﹣1500=﹣x2+36x﹣3300=﹣（x﹣180）2﹣60≤﹣60，

∴第一年公司亏损了，当产品售价定为180元/件时，亏损最小，最小亏损为60万元；（3）若两年共盈利1340万元，

， (

因为第一年亏损 60 元，第二年盈利的为（x ﹣60）y=﹣

x 2+36x ﹣1800，

则﹣

x 2+36x ﹣1800﹣60=1340，

解得 x 1=200，x 2=160，

∵100≤x≤180∴x=160，∴每件产品的定价定为 160 元时，公司两年共盈利达 1340 万元． 4. 某商品的进价为每件 40 元，如果售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果售价超 过 50 元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每月少卖 3 件.设每件商品的售价为 x 元，每个月的销售量 为 y 件.

（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；

（2）设每月的销售利润为 W ，请直接写出 W 与 x 的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 解：

5．本题满分 10 分)某商场将进货价为 30 元的书包以 40 元售出，平均每月能售出 600 个．调 查表明：这种书包的售价每上涨 1 元，其销售量就减少 10 个．

(1)请写出每月售出书包的利润 y(元)与每个书包涨价 x(元)间的函数关系式； (2)设某月的利润为 10 000 元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由； (3)请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于 6000 元．

二、求面积

（本题满分10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.

（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围.

三、根据实际情况合理建立坐标系解题

1．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分A CB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

；2．（本题满分10分）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．

（1）建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为（0，2.25），水柱的最高点的坐标为（1，3），求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）（2）如图，在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3m，最内轨道的半径为r m，其上每0.3m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏．求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？

R

r

第23题图

3.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h．已知球网与O 点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．

四、方案设计类问题

1、宜万铁路开通后，给恩施州带来了很大方便．恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A、B两种材料共50箱．已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨；B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨；不计箱子之间的空隙，设A种材料进了x箱．

（1）求厂家共有多少种进货方案（不要求列举方案）？

（2）若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y（万元）与x（箱）的函数关系大致如下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数解析式（求函数解析式不取近似值），

确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润．

x1520253038404550

y10约27.5840约48.20约49.10约47.1240约26.99

2、某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，

设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．当x为何值时，S取

得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；

（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为

O 1和O

2

，且O

1

到AB、BC、AD的距离与O

2

到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药

材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l）中S 取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由。

．

3、把一边长为 40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度 忽略不计）．

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无 盖的长方形盒子．

①要使折成的长方形盒子的底面积为 484cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形 的边长；如果没有，说明理由．

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板 的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为 550cm 2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）