第 一 章 一阶微分方程的解法的小结
⑴、可分离变量的方程： ①、形如
)()(y g x f dx
dy
= 当0)(≠y g 时，得到
dx x f y g dy
)()
(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、
xy dx
dy
= 解：当0≠y 时，有
xdx y
dy
=，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y +=
所以)(112
12
C x e C C e
C y ±==为非零常数且
0=y 显然是原方程的解；
综上所述，原方程的解为)(12
12
为常数C e
C y x =
②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M
当0)()(≠y N x P 时，可有
dy y N y Q dx x P x M )
()
()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）
x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2
2
=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2
2
≠--y x 时，有
dx x x
dy y y 1
12
2-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C
y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C
y x ；
当0)1)(1(2
2
=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2
2
为常数C C y x =--。
⑵可化为变量可分离方程的方程：
①、形如)(x
y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx
du
x =+为变量可分离方程，得到
)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x
y
f =。
②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx
dy
解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b
a
dx du b =+为变量可分离方程，
得到)(0
),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。
③、形如
)(2
221
11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、
02
2
11=b a b a ，转化为
)(by ax G dx
dy
+=，下同①； 0
2、
022
1
1≠b a b a ，??
?=++=++00
222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()(
)(221
12211u v g u
v b a u v
b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()(
xy v xy f dx dy x ==),(2
22),(x
y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++
以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、
2
5
--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u
u dx du 71+=-
，有dx udu 7-= 所以)(72
2
为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72
22
为常数）
（C C
x y x =+--。
例2.2、
1
212+-+-=y x y x dx dy
解：由???=+-=+-012012y x y x 得到?????=-=3131y x ，令??
???-
=+=3131y v x u ，有???==du dx dv dy ，代入得到 u
v
u v v u v u du dv 21222--
=
--=，令u v t =，有udt tdu dv +=，代入得到t t du dt u t 212--=+，化简得到，)1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=，有)(2
)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=，
所以有)(112
1C e C t
t C u ±=+-=
，，故代入得到)0(,3131313113
1
12
1
≠?????
?
??+-++-
-
=+
C x y x y C x
（3）、一阶线性微分方程： 一般形式：)()()01x h y x a dx
dy
x a =+（ 标准形式：
)()(x Q y x P dx
dy
=+ 解法：1、直接带公式：
))(()()()()()()(?
?+??=??+?=---C dx x Q e e dx x Q e e Ce y dx x P dx x P dx x P dx x P dx x P 2、积分因子法：
])()([)
(1
)(?+=
C dx x Q x x x y μμ，?=dx x P e x )()(μ 3、IVP ：
)()(x Q y x P dx
dy
=+，00)(y x y = ???+?=+??=-
-
x
x ds
s P ds
s P x
x ds
s P ds s P dt e
t Q e
y y dt e
t Q e
y t
x t
x x
x x
x 0
00000)()(00)()()())((
例3、1)1()1(++=-+n x x e ny dx
dy
x 解：化简方程为：
n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1
)(n x x e x Q x n x P +=+-= 代入公式得到n dx
x n
dx
x P x e
e x -1)()1()(+=?=?
=+-μ
所以，)()
()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x
n
n
x
n
n
++=++++=?
-
(4)、恰当方程：
形如dy y x N dx y x M dG t s y x G dy y x N dx y x M ),(),(..),,(,0),(),(+=?=+ 解法：先判断是否是恰当方程：
如果有
x y x N y y x M ??=??)
,(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ),()
,(),,(),(.),,(y x N y
y x G y X M x y x G t
s y x G =??=??, 有)(,),(为常数C C y x G =；
例4、0)46()63(3
2
2
2
=+++dy y y x dx xy x
解：由题意得到，3
2
2
2
46),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+= 由
x
N
xy y M ??==??12得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个),()
,(),,(),(.),,(y x N y
y x G y X M x y x G t
s y x G =??=?? 由
2263),()
,(xy x y X M x
y x G +==??得)(3),(223y y x x y x G ?++=，
两边对y 求偏导得到
32246)(6y y x y y x y
G
+='+=???，得到34)(y y ='?，有4)(y y =?， 故4
2
2
3
3),(y y x x y x G ++=，由0=dG ，得到
)(,34223为常数C C y y x x =++
(5)、积分因子法：
方程是一个恰当方程0..),,(,0),(),(=+?=+Ndy Mdx t s y x dy y x N dx y x M μμμ，那么称),(y x μ是原方程的积分因子；积分因子不唯一。
①当且仅当)(x N
x
N
y M ?=??-
??，原方程有只与x 有关的积分因子，且为?=dx x e y x )(),(?μ，
两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(4)。
②当且仅当)(y M
x
N
y M φ=-??-
??，原方程有只与y 有关的积分因子，且为?=dy y e y x )(),(φμ，
两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(4)。 例5.1、02)3(2
=++xydy dx y e x
解：由xy y x N y e y x M x
2),(,3),(2
=+=得
y y y x
N
y M 426=-=??-??，且有x x N x N
y M 2)(==??-???，有22
),(x e
y x dx
x =?=μ，原方程两边同乘2x ，得到,02)3(322=++ydy x dx y e x x 化为0))22((232=++-y x e x x d x ，得到解为
)(,)22(232为常数C C y x e x x x =++-
例5.2、0)(3
=+-dy y x ydx
解:由题意得到，)(),(,),(3
y x y x N y y x M +-==，有
2)1(1=--=??-??x
N
y M 有y
y M x
N
y M 2)(-==-??-??φ，有22
)(),(--=?=?=y e e y x dy y dy y φμ，原方程两边同乘2-y ，得
到0)2
()(2
2=-=--+y y x d dy y y x y dx ，得到原方程的解为： )(,2
2
为常数C C y y x =- (6)、贝努力方程： 形如
n y x Q y x P dx
dy
)()(=+, 解法：令n
y u -=1，有dy y n du n
--=)1(，代入得到
)()1()()1(x Q n u x P n dx
du
-=-+，下同（3） 例6、
26xy x
y
dx dy -=
解：令1-=y u ，有dy y du 2
--=，代入得到
x u x dx du =+6，则x x Q x
x P ==)(,6
)(， 有6)()(x e x dx x P =?=μ，)(,8][)(6
266为常数C x C x C xdx x x x u +=
+?=?-，把u 代入得到)(,816
2为常数C x C
x y +=
. (7)、一阶隐式微分方程：
一般形式：0),,(='y y x F ，解不出y '的称为一阶隐式微分方程。 下面介绍四种类型：
),()1(y x f y '= ),()2(y y f x '= 0),()3(='y x F 0),()4(='y y F
①、形如),(dx
dy x f y =， 一般解法：令dx
dy
p =
，代入得到),(p x f y =，两边对x 求导得到dx dp p f x f p ??+??=，这是关于x ，p 的一阶线性微分方程，仿照(3)，
1、得出解为为常数C C x p ),,(?=，那么原方程的通解为
为常数C C x x f y )),,(,(?=
2、得出解为为常数C C p x ),,(φ=，那么原方程的通解为
为常数C p C p f y C p x ,)
),,(()
,(??
?==φφ 3、得出解为为常数C C p x ,0),,(=Φ，那么原方程的通解为
为常数C p x f y C p x ,)
,(0
),,(??
?==Φ ②、形如),(dx
dy y f x = 一般解法：令dx
dy
p =
，代入有),(p y f x =，两边对y 求导，得到dy dp p f y f p ??+??=1，此方
程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解为常数C C p y ,0),,(=Φ，那么原方程的通解为
为常数C p y f x C p y ,)
,(0
),,(??
?==Φ ③、形如0),(='y x F
一般解法：设)(,)()
(为参数t t y t x ???='=φ?，dt t t dx y dy )()(?φ'='=，两边积分得到
?+'=为常数C C dt t t y ,)()(?φ，于是有原方程的通解为
为常数C t x C
dt t t y ,)()()(?
?
?=+'=???φ ④、形如0),(='y y F
一般解法：设)(,)
()
(为参数t t y t y ??
?='=φ?，由关系式dx y dy '=得dx t dt t )()(φ?='，有
dt t t dx )()(φ?'=，两边积分得到?+'=为常数，C C dt t t x )
()
(φ?，于是有
??
???
=+'=?为常数，C t y C dt t t x )()()(?φ? 例7.1 y y x '+='13
解：令y p '=，得到31p p x +=
，两边对y 求导，得到dy
dp
p p p p ))1(31(14
3+-=， 有dp p p dy )3
2(3
2--
=，得到
为常数C C p p y ,2322++=，于是通解为 为常数，C C p p y p p x ???
????
++=+=23
23
21 例7.2 y e y y '
'=2
解：令y p '=，得到
p e p y 2=，两边对x 求导，得到dx
dp
e p p p p
)2(2+=，有 dp e p dx p )2(+=，两边积分得到为常数C C e p x p ,)1(++=，于是通解为
为常数C e p y C
e p x p
p ,)1(2?
??=++= 例7.3 12
2
='+y x
解：设,sin cos ?
??='=t y t x 有dt t dt t t dx y dy 21
2cos )sin (sin -=
-?='=，所以 为常数C C t
t y ,2
42sin +-=
于是通解为
??
???=+-=为常数C t x C
t t y ,cos 2
42sin 例7.4 1)1(2
2='-y y
解：设,cos 1sin ??
?
??=='t y t y 有)tan (cos sin 1cos sin 2
2t d t dt dt t t t y dy dx -=-=-='=，所以 为常数C C t x ,tan +-=
于是通解为
??
???=
+-=为常数C t y C t x ,cos 1
tan (8)、里卡蒂方程： 一般形式：
)()()(2x R y x Q y x P dx
dy
++= 一般解法：先找出一个特解)(0x y ，那么令z y y 10+
=，有dx
dz z dx dy dx dy 201-=，代入原方程得到 )()1
)(()1)((102020x R z y x Q z y x P dx dz z dx dy ++++=-，
化简得到 0)())()(2(0=+++x P z x Q y x P dx
dz
，为一阶线性微分方程，解出
为常数C C x x z ),,()(?=
那么原方程的通解为
为常数C C x y y ,)
,(1
0?+
=
例8 0)2(2
2
=-+'xy y x
解：我们可以找到一个特解x
y 10=，验证：2
01
x y -=
'
，代入满足原方程。 令z x y 11+=
，dx dz z x y 2211--='，代入有0)2)11(()11(2222
=-++--z
x x dx dz z x x ，
化简得到，12=+z x dx dz ，所以有为常数C x C x C dx e e x z dx
x dx
x
,3][1)(22
2+=+??=?
所以原方程的解为
为常数C x C
x x y ,31
12
++=
或 x y 1=