考点11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
概念方法微思考
1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？
提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理． 2．两种原理解题策略有哪些？ 提示 ①明白要完成的事情是什么；
②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； ③有无特殊条件的限制； ④检验是否有重复或遗漏．
1．（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
【答案】D
【解析】根据正六边形的性质，则111D A ABB -，111D A AFF -满足题意， 而1C ，1E ，C ，D ，E ，和1D 一样，有248?=， 当11A ACC 为底面矩形，有4个满足题意， 当11A AEE 为底面矩形，有4个满足题意， 故有84416++= 故选D ．
2．（2020?上海）已知{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有__________种． 【答案】18
【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种，
故共有：2464218++++=． 故答案为：18．
3．（2018?新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有
__________种．（用数字填写答案） 【答案】16
【解析】方法一：直接法，1女2男，有122
412C C =，2女1男，有21
244C C = 根据分类计数原理可得，共有12416+=种，
方法二，间接法：33
6
420416C C -=-=种， 故答案为：16．
4．（2018?上海）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________（结果用数值表示） 【答案】180
【解析】根据题意，分2步分析：
①，学生甲必须参赛且不担任四辩，则甲可以担任一、二、三辩，有3种情况，
②，在剩下的5名学生中任选3人，安排到其他三个辩手的位置，有3
5
60A =种情况， 则有360180?=种不同的安排方法种数； 故答案为：180．
1．（2020?金安区校级模拟）2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有( ) A ．6种 B ．24种 C ．36种 D ．42种
【答案】B
【解析】第一步从4个没转播的频道选出2个共有24A 种，在把2个报道的频道选1个有1
2A 种，
根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有21
4
224A A =种． 故选B ．
2．（2019?西湖区校级模拟）从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数a bi +，其中虚数有( ) A ．36个 B ．42个 C ．30个 D ．35个
【答案】A
【解析】a ，b 互不相等且为虚数，
∴所有b 只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，
a 从剩余的6个选一个有6种，
∴根据分步计数原理知虚数有6636?=（个)．
故选A ．
3．（2020?汉阳区校级模拟）学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶馆》不能在周一、周三上演；《天籁》不能在周三、周四上演；《马蹄声碎》不能在周一、周四上演，则所有的可能情况有( )种． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【解析】由题意，周一只能上演《天籁》，周四只能上演《茶馆》， 故周二上演《雷雨》，周三上演《马蹄声碎》； 或者周二上演《马蹄声碎》，周三上演《雷雨》． 故所有的可能情况有2种， 故选C ．
4．（2020?沙坪坝区校级模拟）设集合1{(A a =，2a ，3a ，4a ，5a ，6)|{1i a a ∈-，1}，1i =，2，3，4，5，6}，那么集合A 中满足条件“12345622a a a a a a -+++++”的元素的个数为( ) A ．35 B ．50 C ．60 D ．180
【答案】B
【解析】集合1{(A a =，2a ，3a ，4a ，5a ，6)|{1i a a ∈-，1}，1i =，2，3，4，5，6}， 要满足“12345622a a a a a a -+++++”
由题可得：i a 中有2个1-，4个1，或3个1-，3个1，或4个1-，2个1，共三类情况符合条件． 所以A 中满足条件“12345622a a a a a a -+++++”的元素的个数为：2
346
6
6
50+
+
=；
故选B ．
5．（2020?安徽模拟）中国足球队超级联赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队打完3场比赛，则该球队积分情况共有几种( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11
【答案】B
【解析】打完3场比赛，可能出现的胜负情况为：三胜，二胜一平，二胜一负，一胜二平，一胜二负，一胜一平一负；三平，二平一负，一平二负；三负；
对应的积分依次为：9，7，6，5，3，4，3，2，1，0；共9种积分情况． 故选B ．
6．（2020?吉林模拟）一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B ，第4秒后又回到A 点的不同爬行路线有( )
A ．6条
B ．7条
C ．8条
D ．9条
【答案】B
【解析】根据已知，可作出右图， 由图知，不同的爬行路线有7条， 故选B ．
7．（2020?青羊区校级模拟）由数字0，1，2，3组成的无重复数字的4位数中，比2019大的数的个数为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
【答案】B
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①、当首位为3时，将剩下的三个数字全排列，安排在后面的三个数位，有3
3
6A =种情况，即有6个符合条件的4位数； ②，当首位为2时，
若百位为1或3时，将剩下的两个数字全排列，安排在后面的两个数位，有2
2
24A =种情况，即有4个符合条件的4位数；
若首位为2，百位为0时，只有2031一个符合条件的4位数；
综上共有64111
++=个符合条件的4位数；
故选B．
8．（2020?大同模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有()
A．30种B．50种C．60种D．90种
【答案】B
【解析】①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有121020
??=种，
②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有131030
??=种，
所以总共有203050
+=种．
故选B．
9．（2020?武侯区校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()个．
A．324 B．216 C．180 D．384
【答案】A
【解析】由题意知本题需要分类来解：
当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：23131
3343390
C A C A C
+=种；
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：2311231
3343333234
C A C C C A C
+=种，根据分类计数原理得到共有90234324
+=个．
故选A．
10．（2020?和平区校级二模）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有()
A．512 B．192 C．240 D．108
【答案】D
【解析】能被5整除的四位数末位是0或5的数，因此分两类
第一类，末位为0时，其它三位从剩下的数中任意排3个即可，有3
560
A=个，
第二类，米位为5时，首位不能排0，则首位只能从1，3，4，5选1个，第二位和第三位从剩下的任选2个即
可，有12
4448
A A=个，
根据分类计数原理得可以组成6048108
+=个不同的能被5整除的四位数．
故选D ．
11．（2020?阿拉善盟一模）将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有( )种． A ．12 B ．36 C ．72 D ．108
【答案】B
【解析】第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有2
4
6C =种， 第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有3
3
6A =种， 根据分步计数原理不同的分配方案有6636?=种． 故选B ．
12．（2019?河南模拟）某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A 校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为( ) A ．36 B ．96 C ．114 D ．130
【答案】D
【解析】甲去A 校，再分配其他5个人，
①如果都不去A 校，则分配方法有2
2
22216A ???=种； ②如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有313
5
33()42C C A -=种； ③如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有2213
533
322()72C C C A A -=种； 由加法原理可得不同分配方法有164272130++=种． 故选D ．
13．（2019?西湖区校级模拟）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有( )种 A ．19 B ．26 C ．7 D ．12
【答案】B
【解析】顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，
①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人2
2
2A =种， 当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有
11
2215C C +=，
故有257+=种，
②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人2
2
2A =种， 当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有11
2
215C C +=， 故有257+=种，
③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则12
3
26C A =种， 若没有人使用现金，则有22
32
6C A =种， 故有6612+=种，
根据分步计数原理可得共有776626+++=种， 故选B ．
14．（2019?诸暨市模拟）假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖(219)元的货款（不找零），则有__________种不同的支付方式． 【答案】6
【解析】9元的支付有两种情况，522++或者5211+++， ①当9元采用522++方式支付时，
200元的支付方式为2100?，或者1100250?+?或者110015022010?+?+?+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313??=种支付方式； ②当9元采用5211+++方式支付时：
200元的支付方式为2100?，或者1100250?+?或者110015022010?+?+?+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313??=种支付方式； 所以总的支付方式共有336+=种． 故答案为：6．
15．（2020?泰安二模）北京大兴国际机场为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．
【答案】10
【解析】①西一跑道、西二跑道均被选取，有2
2
2A =种起飞方式； ②西一跑道、西二跑道只有一道被选取，有112
2
228C C A =种起飞方式； 由分类计数原理可知，满足条件的安排方法有2810+=种． 故答案为：10．
16．（2020?杜集区校级模拟）某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有__________种． 【答案】120
【解析】先排6个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有5个空位符合条件， 再将4人插入5个空位中，则共有451120A ?=种情况， 故答案为：120．
17．（2020?宝山区一模）2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有__________场球赛． 【答案】66
【解析】根据题意利用组合数得2
121211
662
C ?=
=． 故答案为：66．
1?1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题 一、选择题 1. 一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人一会用第2种方法完成, 从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）? A. 8 B. 15 C. 16 D. 30 答案：A 2.从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有 （ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 答案：B 1, 2, 3, 4可组成无重复数字的两位数的个数是（ B. 20 C. 16 D. 12 答案：C 5.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节 需选择一套服装参加歌舞演出， A. .24 B. 14 则李芳冇（ ）种不同的选择方式（ D. 9 ) C. .10 答案：B 6.设儿〃是两个非空集合，定义A ： ,b) a E A, bE ,若 P 二 = {0,1,2}, e = {1,2,3,4}, 则体0中元索的个数是（ ） A. 4 B. 7 C. 12 D. 16 答案：C 二、填空题 7.商店里冇15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共冇 _______ 种不同的选法; 要买上衣，裤子各一件，共有 ______ 种不同的选法. 答案：33, 270 8.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 ________ 种行车路线. ）条不同的线路可通电 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 4.由数字0, A. 25 3.如图所示为一电路图，从弭到〃共冇（ 答案：D
9.已知{0,3,4},呢{127,8},则方程（x-a）2+（y-fe）2 =25表示不同的圆的个数是 答案：12 10.__________________________________________________________________ 多项式（q +色+dj?（b] +乞）+ （。4 +他）?（仇+仿）展开后共有___________________________ 项. 答案：10 11.___________________________ 如图，从A-C,有种不同走法,. 12.将三封信投入4个邮箱，不同的投法有__________种. 答案：6 答案：43三、解答题 13.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同. （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ ? （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 解：(1) N = 5 + 4 = 9 种; (2) N = 5x4 = 20种. 14.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级＞1人组成. （1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选1人为校学牛会常委，有多少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法? 解：(1) N = 5 + 6 + 4 = 15 种；. (2)N = 5x6x4 = 120种； (3) 2 = 5x6 + 6x4 + 4x5 = 74种15.己知集合M ={-3,-2,-1,0,1,2}, P（a, b）是平面上的点，a, be M .（1）P（a, b）可表示平面上多少个不同的点？ （2）P（a, b）可表示多少个坐标轴上一的点？ 解：（1）完成这件事分为两个步骤：自的取法有6种，方的取法也有6种, ???戶点个数为^6X 6=36（个）； （2）根据分类加法计数原理，分为三类： ①x轴上（不含原点）有5个点； ②y轴上（不含原点）有5个点； ③既在/轴，又在y轴上的点，即原点也适合，
考点11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 概念方法微思考 1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？ 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理． 2．两种原理解题策略有哪些？ 提示 ①明白要完成的事情是什么； ②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； ③有无特殊条件的限制； ④检验是否有重复或遗漏． 1．（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 【答案】D 【解析】根据正六边形的性质，则111D A ABB -，111D A AFF -满足题意， 而1C ，1E ，C ，D ，E ，和1D 一样，有248?=， 当11A ACC 为底面矩形，有4个满足题意， 当11A AEE 为底面矩形，有4个满足题意， 故有84416++= 故选D ． 2．（2020?上海）已知{3A =-，2-，1-，0，1，2，3}，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有__________种． 【答案】18 【解析】当3a =-，0种， 当2a =-，2种， 当1a =-，4种； 当0a =，6种， 当1a =，4种； 当2a =，2种， 当3a =，0种， 故共有：2464218++++=． 故答案为：18． 3．（2018?新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有
分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 知识与技能： ①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法： ①通过对两个原理概念的学习培养学生的理解能力、归纳概括能力和类比分 析能力； ②通过对两个原理的应用，提高学生对数学知识的应用能力； 情感态度与价值观： ①了解学习本章的意义，激发学生的学习兴趣 ②引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式. 教学重点理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 教学难点弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”. 教学方法启发式 教具准备多媒体 教学过程 一、引入课题 引例：从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？ 决问题. 设计意图：从贴近学生实际生活的实例出发，让学生明白本节课的教学内容，激发学生学习兴趣。 师生互动：老师提问学生回答。 二、讲授新课： 1、分类加法计数原理 问题1：（多媒体展示）十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法?有３＋２＝５种方法 探究１：（多媒体展示）你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.） 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法. 那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲
地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。 发现新知：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +???++=21种不同的方法.（也称加法原理） 设计意图：由特例到定义的设计思路让学生理解加法原理的概念，体现了一般存在于特殊之中的辩证法思想，便于让学生理解概念。 师生互动：由老师提问学生回答的方式进行。在本知识点中学生可能对“一件事”的概念的理解不是很好，在学生回答完后，老师应该进行点拨。 知识应用 例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？ 设计意图：通过本例及变式练习让学生进一步理解“分类”的含义。并向学生指出分类的关键是弄清“一件事”是什么。 师生互动：由老师引导学生回答例题，由学生独立解答变式，并回答“一件事”是什么。 分类加法计数原理特点： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 设计意图：让学生总结加法原理的特点，加深对概念的理解。 师生互动：由学生总结，老师给以补充。 2 、分步乘法计数原理 问题2：（多媒体展示）从A 村道B 村的道路有3条，从B 村去C 村的路有2条，从C 村去D 的道路有3条，小明要从A 村经过B 村，再经过C 村，最后到D 村，一共有多少条路线可以选择？ 从A 村经 B 村去C 村有 2 步, 第一步, 由A 村去B 村有 3 种方法, 第二步, 由B 村去C 村有 2 种方法, 第三步，从C 村到Ｄ村有３种方法 所以从A 村经 B 村又经过C 村到Ｄ村共有 3 ×2 ×３= １８ 种不同的方法 探究2：（多媒体展示）你能说说这个问题的特征吗？（分析要完成的“一件事” 是什么.） 完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有３种不同的方法，在第2步中有２种不同的方法，第三步有３种不同的方法. 那么完成这件事共有3 ×2 ×３= １８种不同的方法.一件事就是：从Ａ村到Ｄ村的一种走法 发现新知 分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么
分类加法计数原理与分步乘法计数原理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念. 2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别. 3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题. 1.分类计数原理与分步计数原理 (1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2 +…+m n种不同的方法 注意：○1分类计数原理又称为加法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容； ○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成； ○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重). (2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法. 注意：○1分步计数原理又称为乘法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤； ○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性； ○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代. 2.分类计数原理和分步计数原理的区别 辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。 类型一分类计数原理 例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？ [解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题 一.选择题 1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ） Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30 2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种 3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ） Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12 5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式 Ａ． 24 Ｂ．14 Ｃ． 10 Ｄ．9 6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==， ，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16 二、填空题 7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法． 8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线． 9．已知{}{}0341278a b ∈∈， ，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ． 10．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项． 11．如图，从A →C ，有 种不同走法． 12．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种． 三、解答题 13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学目的 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣. 2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力. 3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题. 教学重点 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点： 分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 教 具 多媒体、实物投影仪 教学过程 一、引入课题 今天我们来学习两个计数原理：分类加法计数原理和分类乘法计数原理。这两个原理不仅是我们解决计数问题的依据，也是我们学习排列组合和概率论的基础。 二、引出两个原理 问题1: 重庆的王先生欲回老家广州过年，从重庆到广州可以乘坐火车或者汽 车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到广州共有多少种不同的走法？ 分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从 重庆到广州，所以，共有3+2=5种不同的走法。 由问题1引出分类加法计数原理： 完成一件事情，有两类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有n 种不同的方法，那么完成这件事共N=m+n 种不同的方法.（也称加法原理）（板书） 追问：如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类办法中有1m 种不同的方法， 在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的 方法.那么完成这件事共多少种不同的方法？.（口述） 回答：有n m m m N +???++=21种方法。 问题2：王先生在广州过完年后要去北京拜访朋友．第一天他必须乘火车去天津 办一件事，然后次日再乘汽车到北京。一天中，广州到天津的火车有３
分类计数原理和分步计数原理教案 教学内容: 分类计数原理和分步计数原理 教学目标: 理解两计数原理的内涵;能运用两计数原理解简单计数问题及综合问 题 教学重点: 分类计数原理和分步计数原理的定义 教学难点: 应用两计数原理解题 教学方法: 讲解法 教学过程: 例:从甲地到乙地每天有三趟火车和两趟汽车,一天里从甲地到乙地 共有多少种走发? (图) 从甲地到乙地要途经丙地,一天里从甲地到丙地有三趟火车,从丙 地到乙地有 两趟汽车.问甲地到乙地有多少种走法? (图) 1. 复习两原理. 2. 分类计数原理中每一种方法都完成了这件事.分步计数原理中完 成这件事的任何一种方法都要分成n 个步骤. 分类和分步都要有标准. 3. 例题讲解: 例:书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同 的文艺书，第三层放有2本不同的体育书. (1).从书架上任取1本书,有多少不同的取发? 4+3+2=9 (2).从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法? 24234=?? (3).从中取出两本书,且计算机书,文艺书,体育书每种只能选1本, 有多少种不同的取法? 26232434=?+?+? 4.课堂练习: ● 有高一学生3名,高二学生5名,高三学生4名,选1名去参加接待外宾活 动,有多少种不同的选法? ● ()()()543214321321c c c c c b b b b a a a +++++++++展开后有多少 项? ● 在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在A={}5,4,3,2,1,0内取值的不 同点共有多少个? 5.布置作业: ● 复习资料第347页,课下知能提升1----6题.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理讲义 教学目标： 知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 第一课时 引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？
（2）发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N += 种不同的方法. （3）知识应用 例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）. 变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________种。 2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_________________种不同的选法。 3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有 __________种。 4、从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法。 5、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？ （2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？ 6、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？ （2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？ 7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色， （1）共有多少种不同的涂色方法？ （2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有_________________种不同的走法。 9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_________________个。 10、从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有_________________种。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案） 选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C. 2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( ) A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 B．81 C．6 D．64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D. 4．5 本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( ) A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种． 5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从 “×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2 000 B．4
分类计数原理与分步计数原理
课题： 分类计数原理与分步计数原理 教材分析： 《分类计数原理与分步计数原理》，是高中数学第十章排列、组合的第一节课，是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章的一个关键。 教学目标： 知识与技能目标： 准确理解两个原理，弄清它们的区别，培养学生分析问题、理解问题、归纳问题的能力 过程与方法目标： 通过例题让学生理解两个计数原理，并能够将两个技术原理应用到实际问题中去。 情感、态度与价值观目标： 培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。 教学重点： 分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别 教学难点： 对较为复杂事件的分类和分步 教学方法： 启发引导式教学 教具准备： 作图工具 课型： 新授课 教学过程： 问题引入一 问题1从芜湖到合肥，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。假若一天中，火车有4班, 汽车有20班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析:从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有20种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以从甲地到乙地共有4+20+3=27种方法。 问题 2 在全班同学中选出一名同学做班长，有多少种选择？ 新知探究一 分类计数原理：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。 说明： （1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加，因此分类计数原理又称加法原理。 （2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数。 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A 大学有5个自己感兴趣的强项专业，B 大学有4个自己感兴趣的强项专业，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。 问题引入二 问题3 如图,假设由芜湖去巢湖的道路有3条，由巢湖去合肥的道路有2条。从芜湖经巢湖去合肥，共有多少种不同的走法? 分析: 芜湖经巢湖去合肥有2步, 第一步, 由芜湖去巢湖有3种方法, 第二步, 由巢湖去合肥有2种方法, 所以芜湖经巢湖去合肥共有3×2=6种不同的方法。 问题 4 在全班每个组中都选出一名同学做组长，有多少种选择？ 新知探究二 分步计数原理：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成， 并且对于前面几芜湖北 南 北
第十一篇计数原理 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________． 解析按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)． 答案960种 2．(2012·新课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________． 解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2种选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6种选派方法．由分步乘法计数原理，不同选派方案共有2×6＝12(种)． 答案12种 3．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________． 解析第一步先排甲，共有A14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A55种不同的排法．因此不同的演讲次序共有A14·A55＝480(种)． 答案480种
4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为________． 解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9； 以2为首项的等比数列为2,4,8； 以4为首项的等比数列为4,6,9； 把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列， ∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8(个)． 答案8 5．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________． 解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)． 当x≠2时，由P?Q，∴x＝y. ∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法． 因此满足条件的点共有7＋7＝14(个)． 答案14 6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)． 解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法． 第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法． 由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)． 答案36 7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
分类计数原理与分步计数原理 年级__________ 班级_________ 学号_________ __________ 分数____ 总分一二三 一、选择题(共33题，题分合计165分) 1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有 A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 2.若x∈｛1，2，3｝，y∈｛５，7，9｝，则x·y的不同值有 A.2个 B.6个 C.9个 D.3个 3.七名男同学和九名女同学，组成班组乒乓球混合双打代表队，共可以组成 A.7队 B.8队 C.15队 D.63队 4.集合A={1，2，3，4}，B={a,b,c}，从集合A到集合B的不同映射f个数有 A.24个 B.4个 C.34个 D.43 5.计算1！+2！+3！+…+100！得到的数，其个位数字是 A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知集合 {}{}7,6,5,4 ,3,2 ,1- - = - =N M，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐 得分阅卷人
标系中可表示第一、二象限不同的点的个数是 A.18 B.10 C.16 D.14 7.用1，2，3，4四个数字中任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有 A.8个 B.9个 C.10个 D.5个 8.若 100 100 5 5 4 4 3 3 2 2 1 2 A A A A A A S+ + + + + + = ，则S的个位数字是 A.8 B.5 C.3 D.0 9.7名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法有 A.720种 B.360种 C.1440种 D.120种 10.有三位同学去阅览室借5本不同的书，不同的借法种数有 A.3 B.5 C.35 D.53 11.某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有 A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 12.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 A.510种 B.10５种 C.50种 D.以上都不对 13.三位同学分别从"计算机"及"英语打字"两项活动中选修一项，不同的选法种数有 A.3 B.6 C.8 D.9 14.从1~8这八个数字中任取两个数相加（不重复取），其和是偶数的种数比其和是奇数的种数 A.多1种 B.多4种 C.少2种 D.少4种 15.正方体的每一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数最多是 A.3对 B.6对 C.12对 D.24对 16.从6本不同的书中任意取出4本分给四位同学，每人一本，不同的分法共有 A.24种 B.120种 C.360种 D.1440种 17.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 18.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有 A.34 B.43 C.A 3 4 D.44 19.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是
人教A版选修2—3 精讲细练 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 、知识精讲 .计数原理 .计数原理选取 对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准, 设计好分类方案，防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤顺序，使各步互不干扰. 二、典例细练 【题型一】：分类加法计数原理的简单应用 例题1:书架上层放有13本不同的数学书，中层放有14本不同的语文书，下层
放有15本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？ 【解析】要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法： 第1类，从上层取一本数学书有13种不同的方法； 第2类，从中层取一本语文书有14种不同的方法； 第3类，从下层取一本化学书有15种不同的方法. 其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事， 故从中取一本书的方法种数为13+14+15=42. 【点评】分类的原则：标准一致，不重复，不遗漏. 变式训练：某校高三共有三个班，其各班人数如下表： (1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 【解析】：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类： 第1类，从1班任选一名学生，有50种不同选法； 第2类，从2班任选一名学生，有60种不同选法； 第3类，从3班任选一名学生，有55种不同选法. 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 50+60+55=165(种) (2)由题设知共有三类： 第1类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第2类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第3类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法； 由分类加法计数原理知，不同的选法共有
课时训练1两个计数原理(1) 一、选择题 1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从两个口袋里任取一张英语单词卡片,则不同的取法有(). A.50种 B.30种 C.20种 D.600种 2.高二(1)班有学生56人,其中男生38人,从中选取1名男生和1名女生作代表,参加学校组织的社会调查团,则选取代表的方法有(). A.38种 B.18种 C.684种 D.864种 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果1条长裤与1件上衣配成一套,则不同的配法种数为(). A.7 B.12 C.64 D.81 4.有不同的红球8个,不同的白球7个,不同的黄球6个,现从中任取两个不同颜色的球,不同的取法有(). A.336种 B.21种 C.104种 D.146种 5.某通讯公司推出一组手机号码,卡号的前七位数字固定.从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为() A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 6.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为(). A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 7.将红、黄、绿、黑四种不同的颜 色涂入图中的五个区域内,要求相 邻的两个区域的颜色都不相同,则 不同的涂色方法有(). A.48种 B.72种 C.24种 D.27种 9.(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为() A． 1 8B． 3 8 C． 5 8D． 7 8 10.有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是() A．8种B．9种 C．10种D．11种 二、填空题 更多精品文档
13分类加法计数原理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（ ） A ．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B ．甲乙丙，乙丙甲 C ．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D ．甲乙，甲丙，乙丙 2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 3．异面直线,a b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（ ） A ．20 B ．9 C ．39C D ．2121 4554C C C C 4．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ） A ．5种 B ．4种 C ．9种 D ．20种 5．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（ ）种． A ．8 B ．15 C ．18 D ．30 6．已知两条异面直线a ，b 上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为 A ．40 B ．16 C ．13 D ．10 二、填空题 7．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法有______种．（以数字作答） 8．异面直线a,b 上分别有4个点和5个点,由这9个点可以确定的平面个数是_____. 9．甲，乙，丙，丁四名同学做传递手帕游戏（每位同学传递到另一位同学记传递1次），手帕从甲手中开始传递，经过5次传递后手帕回到甲手中，则共有__________种不同的传递方法．（用数字作答） 10．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 三、解答题 11．有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
分步计数原理与分类计数原理 基本知识点复习 1.分步计数原理: 2.分类计数原理: 复习练习题选 一、选择题 1．甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出地4人中恰好有1名女同学地选法有（ ）A.150种 B.180种 C.300种 D.345种2.某班新年联欢会原定地5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么不同地插法地种类为（ ）A.42 B.30 C.20 D.12 3.甲、乙两人从4门功课中各选修2门，则甲、乙所选地课程中至少有一门不相同地选法共有（ ） A.6种 B.12种 C.30种 D.36种 4.三边长均为整数，且最大边长为11地三角形地个数是（ ） A.25 B.26 C.36 D.37 5.设集合I={1,2,3,4,5}，选择I 地两个非空子集A 、B 要使B 中最小地数大于A 中最大地数，则不同地选择方法共有（ ）A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 6.设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q=},|),{(Q b P a b a ∈∈，若P={0,1,2}，Q={1,2,3,4}，则P*Q 中地元素地个数是（ ）A.4 B.7 C.12 D.16 7.从长度分别为1,2,3,4,5地五条线段中任取三条地不同取法有n 种，以取出地 三条线段为边可组成地钝角三角形地个数为m ，则n m 等于（ ）A.101 B.51 C.103 D.5 2 8.若)(x f y =是定义域为A={}*,71|N x x x ∈≤≤，值域为{0,1}地函数，则这样地函数共有（ ） A.128个 B.126个 C.14个 D.16个 9.已知直线01=++by ax 中地a,b 是取自集合}2,1,0,1,2,3{---中地两个不同地元素，并且直线地倾斜角大于060，那么符合这些条件地直线共有（ ）A.8条 B.11条 C.13条 D.16条 10.从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程122 22=+n y m x 中地m 和n ，
计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 专题1分类加法计数原理 ■(2015河北邯郸二模,分类加法计数原理,填空题,理13)我们把中间位数上的数字最大,而面两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132、341等,那么由1、2、3、4、5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是.(用数字作答) 解析:根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类, 第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种(132,231); 第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有=6种; 第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有=12种; 根据分类计数原理,得到由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20种. 答案:20 专题3排列、组合的综合应用 ■(2015辽宁锦州二模,排列、组合的综合应用,选择题,理8)分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,并每名水暖工只去一个居民家,且每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有() A.种 B.种 C.种 D.种 解析:根据题意,分配4名水暖工去3个不同的居民家里,要求4名水暖工都分配出去,且每个居民家都要有人去检查; 则必有2名水暖工去同一居民家检查, 即要先从4名水暖工中抽取2人,有种方法, 再将这2人当做一个元素,与其他2人,共3个元素,分别分配到3个不同的居民家里,有种情况, 由分步计数原理,可得共种不同分配方案. 答案:C ■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,排列、组合的综合应用,填空题,理13)有4名优秀学生A,B,C,D 全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有 种. 解析:第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有种,再把3个元素(包含一个复合元素)保送 到甲、乙、丙3所学校有种, 根据分步计数原理,不同保送方案共有=36种. 答案:36 1