北京交通大学2012-2013第一学期 概率论与数理统计期中试题答案
1.（6分）设1.0)(=A P ，9.0)|(=A B P ，
2.0)|(=A B P ，求)|(B A P . 解：()0.09P AB =，
………………2分
()()()
(|)0.2()1()
P BA P B P AB P B A P A P A -=
==-，()0.27P B = ………………2分 )|(B A P =3
1.………………2分
2. (12分) (12分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机的取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。
(1)求先抽到的一份是女生表的概率；
(2)已知后抽到的一份表是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。
解：
记i H ={抽到第i 地区考生的报名表},i=1,2,3. j A ={第j 次抽到的报名表是男生的},j=1,2.
………………2分
………………2分
又因为
;107)();3,2,1(31)(11===
H A P i H P i 则有
.
2520
)(;158)(3121==H A P H A P 由全概率公式知
)1(∑==
=3
1
11)()()(i i i H A P H P A P p ??
?
??++=
25515710331.9029=,
)
()
()()2(22121A P A A P A A P q =
=由全概率公式得
∑==3
1
2121)()()(i i i H A A P H P A A P ,
)(31
3
1
2
1
∑==
i i H A
A P ,30
7
97103)(121=?=
H A A P
………………2分
………………2分
………………2分
………………2分
3、(10分) 甲、乙、丙三人独立的向同一飞行目标各射击一次，击中的概率分别为0.4，
0.5，0.7。如果只有一人击中，则目标被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则目标被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则目标一定被击落。求目标被击落的概率。
解：设A 表示“目标被击落”，321,,B B B 依次表示“甲、乙、丙击中目标”，
i C 表示“有
i 个人击中目标”，i =1，2，3。
则有题设有：7.0)(,5.0)(,4.0)(321===B P B P B P
3213213211B B B B B B B B B C =
)()()()(3213213211B B B P B B B P B B B P C P ++=
)()()()()()()()()(321321321B P B P B P B P B P B P B P B P B P ++=
36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=??+??+??= ……2分
3213213212B B B B B B B B B C = 同理 41.0)(2=C P ……2分
,308148157)(221=?=
H A A P .30
52420255)(321=?=
H A A P ,923053083073
1)(21=??
????++=
A A P 所以
)()()(23
1
2i i i H A P H P A P ∑==而
∑==
3
1
2
)
(31
i i H A
P ,90
61
252015810731=??? ??++=
)
()
(221A P A A P q =所以
.
61
20906192==
3213B B B C = 14.0)(3=C P ……2分
由全概率公式得：
∑==3
0)|()()(i i i C A P C P A P ……2分
458.0114.06.041.02.036.0=?+?+?= ………………2分
解
……2分
知}2{2
1
==X P
3
2
2-+=b a
……3分
……1分
:)(的性质利用分布函数x F ),
0()(}{--==i i i x F x F x X P ,
1)(=+∞F )32
(
)(a b a --+=.
1=+b a 且.6
5,61==
b a 由此解得
的分布律。并求试确定常数且的分布函数为
分）设离散型随机变量X b a X P x b a x a x a x x F X ,,,2
1
}2{.2,
,21,
32
,11,,1,
0)(10.(4=
=?????
????≥+<≤-<≤--<=
……4分
5、(4分)已知盒子里有10张卡片，上面分别标有号码（1号～10号），从中抽取5次，
每次随机地取一张，观察其上的号码后放回．设X 表示观察到奇数号码的次数，则随机变量X 服从什么分布（指出其参数）.
答：(4分)b(5,0.5).
仅说明分布，没有写出参数2分 6、（8
分）随机变量X 与Y 相互独立, 且均服从区间[]0,3上的均匀分布, 试求
P {min (X ,Y )1≤}和P {max (X ,Y )>1}.
(8分)5/9,8/9. 解：P {X 1>}=3
1
13dx ?=2
3
……2分
P {min (X ,Y )1≤}=1- P {min (X ,Y )1>}= 1- P {X 1>,Y 1>}=1- P {X 1>}P {Y 1>}
=1-22
33
?=5/9 ……3分
X 211-2
13
16
1P
????
????
?≥<≤<≤--<=.
2,1,21,21,11,6
1,1,0)(x x x x x F 因此有
P {max (X ,Y )>1}= 1-P {max (X ,Y )≤1}=1-P {X 1≤,Y 1≤}= 1-P {X 1≤}P {Y 1≤} =1-11
33
?=8/9
……3分
7、(14分)设随机变量X 服从标准正态分布(已知9772.0)2(,8413.0)
1(=Φ=Φ)。
(1)写出X 的概率密度)(x f X ；
(2)随机变量2X Y =，求Y 的概率密度)(y f Y ；
(3)随机变量??
?
??≤<-<≤-≤≤-=其它
或,32112,
21
1,1X X X Z , 求Z 的分布律.
解：(1) 2221)(x X
e x
f -
=
π
,∞<<∞-
x
……2分
(2) ).(),(y F x F Y X Y X 的分布函数分别为和设
}{}{)(2y X P y Y P y F Y ≤=≤= ……1分 .0)(0= )()(}{)(0y F y F y X y P y F y X X Y --=≤ ≤-=≥时，当 )()(y F y f Y Y '= ……2分 ?????≥=?????≥-+=-其它 其它 ,00,21 ,00)],()([21 )(2y e y y y f y f y y f y X X Y π ……3分 (3) (1)0.8413,(2)0.9772Φ=Φ= {1}{11}(1)(1)2(1)120.841310.68262{2}{21}{12}2[(2)(1)]2(0.97720.8413)0.27182{3}1{1}{2}10.68260.27180.0456P Z P X P Z P X P X P Z P Z P Z ==-≤≤=Φ-Φ-=Φ-=?-=??==-≤<-+<≤=Φ-Φ=?-=??==-=-==--=分 分 | 1 2 3 |0.68260.27180.0456 Z P ……2分 8、(12分)设二维随机变量 (X ,Y ) 在 D ={(x ,y ) | 1≤ x ≤ 3, 1≤ y ≤ x } 上服从均匀分 布。 (1) 求(X ,Y ) 的联合密度f (x ,y )； (2) 判断X 与Y 是否独立? 给出理由； (3) 求Z=X+Y 密度函数. 解：(1) D 的面积m(D) = 2, 所以, (X,Y) 的联合密度 f(x,y)=??? ??∈. 0,),(21 其它D y x ……………………+4 (2) 设X 与 Y 的边际密度函数分别为f X (x) 和f Y (y), f X (x)=?+∞ ∞-dy y x f ),(=dy x ?1 21=)1(21-x , (13≤≤x ). f Y (y)=? +∞ ∞ -dx y x f ),(=dx y ?3 21 =)3(21y -, (13≤≤y ).……3分 因为 f(x,y)≠ f X (x)f Y (y) , 所以 X 与Y 不独立。………1分 （3） ()(),Z X f z f x z x dx +∞ -∞ =-?……1分 非零区域131x z x x ≤≤??≤-≤? ???≤≤+≤≤?x z x x 21,31 当24z ≤<时， ()1 212z z Z f z dx -=?1 42z =- 当4 6z ≤≤时， ()3212 z Z f z dx =? 3 42z =-+ 其它，()0Z f z = ()1 ,24423 ,46420, Z z z z f z z ?-≤ ?∴=-+ ≤≤????? 其它 ……………3分 9、（10分）某箱装100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件.现从中随机 取一件，定义三个随机变量123,,X X X 如下： ???=其它等品 抽到, 0,1i X i 1,2,3i = 试求： （1） 随机变量1X 与2X 的联合分布律；（2） 随机变量 2132X X -的分布律。 解：(1)∵()1~1,0.8X B ， ()2~1,0.1X B ……2分 则 ()12,X X 的联合分布律为 如 ()1280 1,00.8100 P X X === = ……3分 （2）2132X X -的分布律为 ……5分 10、 解 ……3分 得由 ,1d d ),()1(=?? +∞∞ -+∞ ∞ -y x y x f x cx y y y d e d 10 ?? -+∞ = ,)3(2 d e 202c c y y c y =Γ==?+∞-.1=?c y y x f x f X d ),()() 2(? +∞ ∞ -= ?? ?≤>=-. 0, 0,0, e x x x x ?-12y ? ? ?+∞<<<=-. ,0, 0, e ),( ),(14(其他的联合概率密度为分）设随机变量y x cx y x f Y X y }. 21{},21{)4(); (),()3(??)2(; )1(=<< ……3分 ……3分 ……3分 ……2分 x y x f y f Y d ),()(? +∞ ∞ -= ,)()(),(,0y f x f y x f y x Y X ?≠+∞<<<上由于在(,)(3) 0,()()X Y Y f x y y f x y f y >=?? ???+∞<<<=. ,0,0, 22其他y x y x (,)0,()()Y X X f x y x f y x f x >= ???+∞<<<=-. , 0,0, e 其他y x y x }21{)4(< 2{} 2,1{<<<= Y P Y X P ? ?? ∞ -∞ -∞-= 2 12 d )(d d ),(y y f y x y x f Y ???--= 2 0210 2 d e 21d e d y y y x x y x y .e 51e 21e 212 21 ------=又由条件密度的性质知, d )2(}21{1 x x f Y X P Y X ? ∞ -== , 0,20, 2 )2(其他而 x x x f Y X x x Y X P d 2}21{10?==<. 4 1= 北 京 交 通 大 学 2011-2012学年第二学期《概率论与数理统计（B ）》期中考试试卷（A ） 学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 请注意：本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一（满分8分）已知,.)(30=A P ,.)(40=B P ..)|(50=B A P 求),(AB P ),(B A P ? ),|(A B P ).(A B P - 解 由概率乘法公式....)|()()(205040=?==B A P B P AB P ----2分 由概率加法公式.....)()()()(50204030=-+=-+=?AB P B P A P B A P ----2分 ...)()()|(3 2 3020=== A P A B P A B P ----2分 ....)()()(102030=-=-=-AB P B P A B P ----2分 二（满分10分）高射炮向某飞机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立)，设每发炮弹击中飞机的概率均为0.3，又知若飞机中一弹，其坠落的概率为0.2；若飞机中两弹，其坠落的概率为0.6；若中三弹则必然坠落. (1) 求飞机被击落的概率；(2) 若飞机被击落，求它中两弹的概率。 解 令{}{} ..,,飞机被击落令，弹飞机中===B i i A i 321因每弹击中与否相互独立,故有 ...)(i i i i C A P -=337030 则...)(,...)(...)(027030189070303441070303332221===??==??=A P A P A P ， ----2分 由题意得.)|(,.)|(.)|(16020321===A B P A B P A B P ， （1） 由全概率公式 )|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= =0270601890204410.....+?+? ..22860= -------4分 （2） 由贝叶斯公式 ....)()|()()|(50127 63 2286011340222≈===B P A B P A P B A P -------4分 三（满分6分）甲箱中有9个黄球和1个白球，乙箱中有10个黄球. 每次从甲、乙两箱中随机各取1球交换放入另一箱中，这样做了3次，求白球出现在甲箱中的概率. 解 设{} .,,321==i i A i ，甲箱中次交换以后白球出现在则 {}.乙箱中 次交换以后白球出现在i A i = -----1分 故 )|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P += = ,.82010 1 101109109=?+? -----2分 )|()()|()()(2322323A A P A P A A P A P A P += =..756010 11001810910082=?+? ------3分 四（满分14分）已知随机变量X 的概率密度为,,)(+∞<<-∞=-x Ce x f x X (1)求常数C ; (2)在对X 进行的5次独立观察中,试求X 的值都小于1的概率. (3)令? ??≤->=.,, ,0101X X Y 求Y 的分布律. 解 (1)由于 ? +∞ ∞ -=1dx x f )( 则 120 ==+??+∞ ∞ --C dx Ce dx Ce x x 因此.2 1 = C ----4分 (2) {}?∞-=<11dx x f X P )(=??+∞--1002121dx e dx e x x =).(22 1 -e -------4分 令Y 表示5次独立观察中X 的值小于1的概率的次数,则.,~??? ? ?-225e B Y 令{}15的值都小于次独立观察中X A =.则 ().)(322225 5 -= ?? ? ??-=e e A P ----2分 (3),}{}{2 1 21010==≤=-=?∞--dx e X P Y P x .2 1 211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P 则Y 的分布律为 Y -1 1 P 21 21 ——4分 五(满分8分) 连续地做某项试验,每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k 次试验成功时第k +1次试验成功的概率是;21当第k 次试验失败时第k +1次试验成功的概率是 .4 3 若第一次试验成功的概率为,2 1 记X 为首次获得成功时所需的试验次数,求X 的分布律. 解 .321} ,,,,{==k k A k 次试验成功第令由题意知.,,, 321的可能取值为 X 显然 ,2 1 1}{= =X P ------2分 )(}{k k A A A A P k X P 121-== ------2分 )|()|()|()(121213121-=k k A A A A P A A A P A A P A P .,241834341212 2 ≥?? ? ???=?? ? ? ???=--k k k 即 X 1 2 3 … P 21 83 32 3 … ———4分 六（满分8分）设连续型随机变量X 的分布函数为 ?? ? ??≥<≤-+-<=.,,,arcsin ,, )(111110x x x b a x x F (1)求常数a 和b ； (2)求X 的概率密度. 解：(1)由)(x F 在-1和1处的连续性得 ?????=-=+ - →-→),()(lim ),()(lim 1111F x F F x F x x -----1分 即 ?? ???=+=-,,1202ππb a b a -----2分 解得 ?? ???==. ,π121b a ------1分 因此?????≥<≤-+-<=.,,,arcsin ,, )(11111 2110x x x x x F π (2) ??? ?? <≤--==.011112其他, ,,)(')(x x x F x f π ------4分 七(满分10分) 已知随机变量),(Y X 在三角形区域D :10<< 解 (1)因三角形区域D 的面积为 2 1 ,故),(Y X 的联合概率密度为 ? ??<<<=.,, ,),(其他0102y x y x f ——4分 （2）由于当10< X -=== ??+∞ ∞ -1221 ——2分 当10< Y 220 === ?? +∞ ∞ - ——2分 从而当10<< 因此X 与Y 不独立. ——2分 八（满分10分）设随机变量),(Y X 具有联合密度函数为 ???<<=-., , ,),(其他002x y e y x f x λλ (1) 求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2) 求条件概率密度).|(|x y f X Y 解 (1)当0>x 时, ,),()(x x x X xe dy e dy y x f x f λλλλ--+∞ ∞ -===?? 20 2 则 ???>=-., , ,)(其他002x xe x f x X λλ ——3分 当0>y 时, .),()(y y x Y e dx e dx y x f y f λλλλ-+∞ -+∞ ∞ -===?? 2 因此 ?? ?>=-. , ,, )(其他00y e y f y Y λλ ——3分 (2)当0>x 时, ??? ??<=--. ,,,)|(|取其他值y x y xe e x y f x x X Y 022λλλλ ?????<=. , ,, 取其他值y x y x 01 ——4分 九（满分6分）已知随机变量),,(~12N X 令.32-=X Z 求}.{1>Z P 解 由正态分布的性质，可得 ).,(~81N Z 则.)()()(2 101111= Φ-=≤-=>Z P Z P ----6分 十（满分10分）设随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?????<<<<=,, , ,,),(其它0001 2a y a x a y x f 其中a 是大于零的常数.求 (1)Y X Z +=的概率密度； (2) .? ?? ???≤≤ 22a Y a X P 解 (1) Z =X+Y 的概率密度为 ?+∞ ∞ --=dx x z x f z f X Z ),()( ——2分 仅当?? ? -<< x 0时上述积分的 ——1分 x 图4 被积函数不等于零,参考图4,即得 ?????????≤<≤<=??-其他，，,,,)(021012 02a z a dx a a z dx a z f a a z z Z =???? ?????≤<-≤<. , ,,, 其他， 022022a z a a z a a z a z ——4分 (2) .,21 2 42222222 ==???? ??≤? ?? ??? ≤ ≤= ??????≤≤a a a Y P a Y a X P a Y a X P -----3分 十一（满分10分）设B A ,为两个随机事件,且.)|(,)|(,)(2 13141=== B A P A B P A P 令 ., , , ???=?? ?=, 1,-,1,1,-,1不发生发生不发生发生B B Y A A X 求: (1)二维随机变量),(Y X 的联合分布律; (2) x 的方程0212=++X x X x 至少有一个实根的概率. (3) },min{Y X Z =的分布律. 解： 由于 ,)|()()(12 1 ==A B P A P AB P 故 .)|()()(6 1 == A B P AB P B P 则 ,)(},{12 1 11====AB P Y X P -----1分 ,)()()(},{61 11=-==-==AB P A P B A P Y X P -----1分 ,)()()(},{12 1 11=-===-=AB P B P B A P Y X P -----1分 .},{3 212161121111=--- =-=-=Y X P -----1分 即),(Y X 的分布律为 X Y -1 1 -1 32 121 1 61 12 1 (2) 方程02=++Y Xx x 当且仅当在042 ≥-=?Y X 时至少有一实根,因而所求的概率为 .}{}{}{6 5 10402 = -==≥-=≥?Y P Y X P P ——2分 (3) Z 的所有可能的取值为-1,1. ,},{}{12 1111=====Y X P Z P .}{12 1112111=- =-=Z P 则Z 的分布律为 Z -1 1 P 1211 12 1 ——4分 北 京 交 通 大 学 2010-2011学年第一学期《概率论与数理统计（B ）》期中考试试卷（A ） 学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 请注意：本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一.（满分6分）已知()P A = 14，()P B A 13=，()P A B 1 3 =，求()P A B ?。 解： 由概率加法公式()P ()()()A B P A P B P AB ?=+- 由概率乘法公式()P ()()1 12 AB P A P B A == ----2分 ()()P ()P AB B P A B 1 4 = = ()P ()()()A B P A P B P AB 1115 441212 ?=+-=+-= ----4分 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， 绪论 1、公路施工机械主要分哪几类，各是什么，每种类型的代表机械名称？ 答：按我国对施工机械的分类主要分为（土石方机械）、（压实机械）、（路面机械）、（桥涵机械）、起重机械、桩工机械、钢筋混凝土机械、凿岩机械与风动工具等八大类。 2、何为机械化程度 答：机械所完成的工程量占总工程量的比重。 第一章工程机械基础: 1、单缸四行程柴油机一个工作循环的工作过程包括哪几个行程？ 答：由进气、压缩、做功和排气四个行程完成一个工作循环。 2、柴油机的组成包括那几个机构系统？ 答：柴油机由机体、曲轴连杆机构、配气机构、燃油系统、润滑系统、冷却系统、启动系统等组成。 3、润滑系的主要作用是什么？ 答：不断地向发动机的各零件摩擦表面输送清洁的机油，以减少零件的摩擦阻力和磨损；流动的机油还能带走机件摩擦产生的热量和磨损磨落下来的金属屑，以防止机件温度升高，破坏配合间隙而造成不良后果，同时也防止了零件的磨料磨损；由于润滑粘度和吸附作用的存在而形成油膜，因此机油能起密封作用。 4、冷却系分为哪两种？ 答：风冷系和水冷系。 5、什么是有效扭矩、有效功率、油耗率？ 答：发动机通过飞轮对外输出的扭矩称为有效扭矩，有效功率：发动机机轴上所净输出的功率。是发动机扣除本身机械摩擦损失和带动其他辅机的外部损耗后向外有效输出的功率。油耗率：每小时喷入发动机的燃油质量与发动机推力之比。 6、底盘包括哪几个系统，各是什么？ 答：汽车底盘由传动系、行驶系、转向系和制动系四部分组成。汽车传动系，包括离合器、变速器、自动变速器、万向传动装置、驱动桥等。汽车转向系，包括转向器、转向操纵机构、转向传动机构、动力转向装置等。汽车制动系，包 ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 北京交通大学远程教育 课程作业 年级： 层次： 专业名称： 课程名称： 作业序号： 学号： 姓名： 作业说明： 1、请下载后对照网络学习资源、光盘、学习导航内的导学、教材等资料学习；有问题在在线答疑处提问； 2、请一定按个人工作室内的本学期教学安排时间段按时提交作业，晚交、不交会影响平时成绩；需要提交的作业内容请查看下载作业处的说明 3、提交作业后，请及时查看我给你的评语及成绩，有疑义请在课程工作室内的在线答疑部分提问；需要重新上传时一定留言，我给你删除原作业后才能上传 4、作业完成提交时请添加附件提交，并且将作业附件正确命名为学号课程名称作业次数 《信号抗干扰技术》习题二 一、填空： *（3-1-1）1、设备的电磁兼容试验按内容包括（）和（）两方面要求。 （3-2-1）2、信号设备的抗干扰度实验室设备的（）测试。目的是测试设备承受各种（）能力。 *（3-2-1）3、信号抗扰度试验通过受试设备的端口来施加，这里的端口是指（）的特定接口，包括（）端口、（）端口、（）端口和（）端口。 （3-3-1）4、射频电磁场辐射抗扰度试验应在（）中进行。对于频率较低的辐射电磁场抗扰度试验可在（）中进行。 *（3-3-2）5、直接放电有两种形式：（）和（）。 （3-3-4）6、脉冲磁场有（）或（）所引起。 （3-3-5）7、电感负载断开时，会在断电出产生（）骚扰。 *（3-3-10）8、交流电源谐波的抑制措施主要通过加强（）来改善对（）的抑制效果。 （4-1-1）9、无绝缘轨道电路按原理分为两类：（）和（）。 （4-1-2）10、ZPW-2000扩展了载频数量，每个载频频率微调后划分为（）和（）两种类型。 （4-2-3）11、轨道电路自身的EMC设计是一个系统工作，应包括（）、（）、（）、（）软件处理等全面设计。 （4-3-2）12、ZPW-2000轨道电路补偿电容容量主要与（）和（）有关。 （4-3-3）13、音频FSK轨道电路接收端对信号解调之前，主要采用（）和（）来对传导性干扰进行防护。 （4-4-3）14、重载条件下牵引电流干扰最严重，而谐波比例与（）和（）有关。 （5-1-1）15、25HZ相敏轨道电路受电端二元二位继电器具有可靠的频率选择性和（）。 （5-2-3）16、25HZ相敏轨道电路产生误动的根源主要来自（）。 （5-3-1）17、根据电磁兼容原理，抗干扰的本质是减小（），同时提高（）的抗扰度水平。 第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 北交大远程教育-软件工程作业 请于10月12日前提交作业，严禁抄袭 软件工程第一次作业 (教材第1、2、3章) (注意:答案请用蓝色字 ) 一(填空题 1( 软件是计算机系统中的程序、数据及其相关文档的总和。(教材第1章，1.1.2) 2( 软件工程方法学包含的三个要素: 方法、工具和过程。 (教材第1章，1.2.3) 3( 目前使用最广泛的软件工程方法学是: 传统方法学和面向对象方法学。(教材第1章， ) 1.2.3 4( 构成软件项目的最终产品: 应用程序、系统程序、面向用户的文档资料和面向开发者 的文档资料。(课件，1.1) 5( 软件生命周期的三个时期: 软件定义、软件开发和运行维护。(教材第1章，1.3) 6( 可行性研究的目的: 确定问题是否值得去解决。(教材第2章，2.1) 7( 一个软件项目要至少要从技术可行性、经济可行性和操作可行性 3个方面研究 其可行性。(教材第2章，2.1) ( 成本效益分析首先是估算将要开发的系统的开发成本，然后与可能取得的效益进行比较和权8 衡。(教材第2章，2.6) 二(选择题 1、随着开发小组人数的( A )，因交流开发进展情况和讨论遇到的问题而造成的通信开销也急剧增加。 A. 增加 B. 降低 C. 稳定 D. 不稳定 2、软件需求分析阶段的工作，可以分为4个方面:对问题的识别、分析与综合、编写需求分析文档以及( B )。 A. 软件的总结 B. 需求分析评审 C. 阶段性报告 D. 以上答案都不正确 3、进行需求分析可使用多种工具，但(C)是不适用的。 A数据流图 B.判定表 C.PAD图 D.数据字典 4、在需求分析之前有必要进行(B)工作 A.程序设计 B.可行性分析 C.ER分析 D.3NF分析 5、软件需求分析阶段建立原型的主要目的是(C ) A.确定系统的性能要求 B.确定系统的运行要求 C.确定系统是否满足用户需要 D.确定系统是否满足开发人员需要 1 三(简答题 1( 什么是软件生命周期模型,试比较瀑布模型、快速原型模型、增量模型和螺旋模型的优缺点，说明每种模型的适用范围。(教材第1章，1.3,1.4) 答: 软件生命周期模型是描述软件开发过程中各种活动如何执行的模型 1，瀑布模型 优点: 1)可强迫开发人员采用规范的方法(例如:结构化技术); 2)严格地规定了每个阶段必须提交的文档; 3)要求每个阶段交出的所有产品都必须经过质量保证小组的仔细验证。缺点: 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) 习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件: 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 北京交通大学学历继续教育 专科毕业实习（调研）规范 第一章总则 第一条为进一步规范学历继续教育专科毕业实习（调研）工作，提高毕业实习（调研）质量，结合学校实际，特制订本规范。 第二条毕业实习（调研）是专科培养方案的组成部分，是学生在掌握基本理论知识和技能的基础上，综合运用所学基础理论、基本技能和专业知识，与工作实践相结合，分析和解决问题的综合实践教学环节。 第三条毕业实习（调研）要体现学校人才培养的目标与要求。通过毕业实习（调研），巩固学生的专业意识和科学态度，验证和巩固其所学的专业理论知识，培养学生独立发现并综合应用所学知识分析和解决实际问题的能力。 第二章毕业实习（调研）任务 第四条学生在毕业实习（调研）期间必须独立完成毕业实习报告或毕业调研报告，二者任选其一。 第五条毕业实习报告。经指导教师认可，学生根据专业培养目标自行联系相关单位相关岗位开展实习，若学生现有工作岗位与所学专业相对应可直接在本单位实习。学生通过从事本专业相关的技术工作、业务工作或管理工作，了解本专业业务范围内的工作组织形式、管理方式及技术方法，发现存在的问题与不足，并寻求解决问题的方法与途径。实习结束后，学生独立完成毕业实习报告，总结自己在认识上和业务上的收获、感想、心得体会及合理化建议。 第六条毕业调研报告。经指导教师认可，学生自行选择专业相关机构或社会生活中与专业相关的某一情况、某一事件、某一问题，进行深入细致的调查研究，结合所学专业知识，在实践中调查了解其客观实际情况，根据调查掌握的大量、真实、全面的客观事实和具体数据进行分析、研究，反映问题，寻找规律，揭示本质，总结经验。调研结束后，学生独立完成毕业调研报告，概述调研目的、意义、过程，分析调研数据，总结经验教训，提出合理化建议，解决生产和管理中的实际问题。 第七条毕业实习（调研）报告的撰写应遵守学术道德和学术规范。 第三章毕业实习（调研）过程管理 第八条毕业实习（调研）及撰写报告时间一般安排8—10周，其中，实习或调研时间为5—8周。具体安排以学校每学期发布的专科毕业实习（调研）日程安排为准。 第九条学生在毕业实习（调研）指导教师的指导下，依照学校发布的毕业实习（调研）日程安排表，完成每一项工作。 第四章毕业实习（调研）报告评阅 第十条毕业实习（调研）报告评阅分为指导教师评阅和评阅教师评阅。 第十一条指导教师评阅。在毕业实习（调研）报告完成后，由指导教师对 福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: 北京交通大学现代远程教育交通类专业 《高等数学》（专升本）模拟试题（1） （闭卷考试，满分100分，考试时间120分钟） 班级 学号 姓名 1、 函数lg(1lg )y x =-的定义域 ; 2、 若0 tan 3lim sin x arc x x →= ; 3、 设,0, (),0. x e x f x a x x ?<=?+≥?，则当a= 时，使函数)(x f 成为连续函数。 4、 填入一个函数使等式成立：2 ()sec 3d xdx =。 5、 =? 2 1 ln x tdt dx d ; 6、 若22sin()z y x =+, 则dz= ; 7、 以12()x y C C x e =+为通解的二阶线性常系数齐次微分方程是 ; 8、 幂级数(1) 2 1n x n n n ∞∑+=的收敛半径是 . 二、 选择题（每小题3分，共21分） 1、 设函数2 (1)35,f x x x +=++则()f x 等于 （ ） A. 2 (2)x + B.2x C. 23x x ++ D. 2(1) x + 2、 函数)(x f 在点x 0处可导是)(x f 在点x 0处连续的 （ ） A. 充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分, 也不必要条件. 3、设函数,arctan )(2 x x f =则在[-1,1]上满足罗尔定理结论的ξ= （ ） A. 2 1- B. 0 C. 2 1 D. 1 4、若点x 0为函数)(x f 的极值点，则下面命题正确的是 （ ） A.0'()0f x = B.0'()0f x ≠ C.不存在或)('0)('00x f x f = D.0'()f x 不存在 5、设)(x f 的原函数为x 1， 则=')(x f （ ） A. x ln B. x 1 C. 2 1x - D. 3 2x . 6、级数1 2 1(1)ln n n n ∞ -=-∑是 （ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散的 D. 敛散性不定 7、对于微分方程''3'2,x y y y e -++=其特解的一般形式y *为 （ ） A.*x y Ae -= B. *()x y Ax B e -=+ C. *x y Axe -= D. *2x y Ax e -=. 三、计算极限值：??? ??-- →11 1 lim 0x x e x 。 （6分） 四、设由方程e xy e y =+所确定隐函数y=f(x), 求)0('')0('f f 和。（6分） 五、确定函数x e x x f -+=21)(的单调区间，求其最大值。（6分） 六、计算积分、设??? ??≤≤-<≤-+=. 10,1, 01,1)(2 x x x x x f 求?-11)(dx x f 。 （6分） 七、设?????>+≤=. 1,; 1,)(2x b ax x x x f 要使f(x)在x=1处可导，求常数a 和b 的值。（6分） 八、设), (y x x f z =,(其具中f 有二阶连续偏导数),求 2 2 2 2 2 , , y z y x z x z ???????. (6分） 九、计算二 重积分D d σ??，其 D 为圆周,0,y x y ==22 1x y +=在第一象限 所围成的平面闭区域。（6分） 十、将函数2 31)(2 ++= x x x f 展开成)4(+x 的幂级数 .（6分） 十一、求微分方程x xe y y y 39'6''=+-的通解。(7分） 概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名： 概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的 随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案
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