中点模型的构造及应用
一、遇到以下情况考虑中点模型：
任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段
出现两个或三个中点考虑三角形中线定理
已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”
有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型
三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1
二、中点模型辅助线构造方法分类
（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）
当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在?ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：?ADC≌?EDB。作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在?ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：?BED≌?CFD。作用：转移线段和角。
（三）直角三角形斜边中线法
当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。
如下图，在Rt ?ABC 中，A C B 90∠=?，D 为AB 中点，则有：
1
2
CD AD BD AB ===
（四）等腰三角形三线合一
当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。
在?中:（1）AC=；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。
（五）中位线法
当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。
如图，在?ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 边中点，则有DE BC ，1DE BC 2
=。
三、练习
（一）倍长中线法
1.（2014秋?津南区校级期中）已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．
2.（2017?湘潭）如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数
3.（2017江西萍乡，15）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若CA＝CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．
4.（2014?鄂尔多斯）如图1，在?ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．且∠AEC＝2∠ABE．连接BF、AC．
（1）求证：四边形ABFC的是矩形；
（2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠△ABM，使点B恰好落在线段DF上的点B′处（如图2），AB＝13，AC＝12，求MF的长．
5.（2017?贵阳,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB、AD、DC之间的等量关系为____________；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC＝2：3，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．
（二）倍长类中线法
1.（2016秋?江都区期中）已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE ＝∠CDE．求证：AB＝CD．
2.（2017?重庆，24）在△ABM 中，∠ABM ＝45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ．
（1）如图1，若AB =，BC ＝5，求AC 的长；
（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD ＝MC ，点E 是△ABC 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF ．
3.（2017?山西，17）已知：如图，在?ABCD 中，延长AB 至点E ，延长CD 至点F ，使得BE ＝DF ．连接EF ，与对角线AC 交于点O ．
求证：OE ＝OF ．
（三）直角三角形斜边中线法
1.（2016?乌鲁木齐，9）如上图，在Rt △ABC 中，点E 在AB 上，把这个直角三角形沿CE 折叠后，使点B 恰好落到斜边AC 的中点O 处，若BC ＝3，则折痕CE
的长为（ ）
A.
B. C. D.6
2. （2015?乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（ ）
A ．1-） B. （1，
C. 2-（）
D. （2，
3.（2017?新疆，22）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积
4.（2017?北京，22）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
5.（2015北京东城，23）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值
（四）等腰三角形三线合一
1.（2017?荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l 交AC于点D，则∠CBD的度数为（）
A.30°
B.45°
C.50°
D.75°
2.（2017?陕西，9）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为（）
A.5
B.
C. D.
3.（2017?呼和浩特，18）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD＝CE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC 的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
（五）中位线法
1.（2015?郑州）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝12，BD＝8，CD＝6，
E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）
A.14
B.18
C.20
D.22
2.（2013?乌鲁木齐，15）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE
于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．
3.（2017?遵义）如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、
CE的中点，则△AFG的面积是（）
A.4.5
B.5
C.5.5
D.6
4.（2017?天津，17）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．
5.（2014春?硚口区期末）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N 分别为OB、OC的中点．
（1）求证：MD和NE互相平分；
（2）若BD⊥AC，EM＝OD＋CD＝7，求△OCB的面积．
6.（2017?云南，20）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．
7.（2017?长春）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，
可以得到：DE∥BC，且
1
DE BC
2
（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：__________．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的
中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为______.
8.（2015?巴东县模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB＝5
4
，则当∠ABC＋∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．
几何综合 题型一：中点模型的构造 中点模型 ①中线（点）：倍长（类）中线 ②两中点：中位线 ③等腰三角形底边中点：三线合一 ④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半?构造两等腰 ⑤中垂线：中垂线上的点连两端点 有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线． 典题精练 【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 的中点，过点C 作AB 的垂线交AB 于 点E ，若∠EMD = 3∠MEA ．求证：BC =2AB ． D C B A E M 【解析】证法一： 如右图（a ），延长EM 交CD 的长线于点E '，连结CM
∵AB ∥CD ， ∴∠ME'D =∠MEA ． 又AM = DM ，∠AME =∠DME' ∴△AFM ≌△DE M '． ∴EM =E M ' ∵AB ∥CD ，CE ⊥AB ， ∴EC ⊥CD ． ∴CM 是Rt △ECE '斜边EE '的中线， ∴ME '=MC ． ∴ME D E CM '='， ∴∠EMC = 2ME D ∠'= 2∠AEM ． ∵∠EMD =3∠MEA ， ∴∠CMD =∠DCM ， ∴MD = CD ． ∵AD = 2DM ，AB = CD ，AD = BC ， ∴BC = 2AB ． 证法二： 如右图(b )，过点M 作MM AB '∥交BC 于M '，过点M '作 M E ME ''∥交AB 的延长线于点E '，连接EM '． ∴点M '是BC '的中点，EE AB '=，E BM EAM ∠''=∠， M E B M EA ''=∠，M MD EAM E BM '=∠=∠'' ∵点M '是Rt △EBC 斜边BC 的中点， ∴M E BM '='，∴BEM M BE ∠'=∠'． ∴180E BM BEM ∠''=?-∠'． ∵∠EMD = 3∠MEA ，∴2M MD MEA ∠'=∠， ∴2E BM M E B ∠''=∠'' ∴ 1802BEM M E B ?-∠'=∠''， 1 902 M E B BEM ∠''=?-∠'． ∴E EM E ∠=∠''．∴EM EE '=',∴BM AB '=． ∴BC = 2AB ． 【例2】 如图所示，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方 形ACFG ，点M 为BC 中点， ⑴ 求证：AM ⊥EG ；⑵ 求证：EG = 2AM ． (a ) E’ M E A B D (b ) M’ E’ M E A B C D
2图图1 构造全等倍长类中线倍长中线 E A F B D C D B A C D B A C F E D C B A F D B A C E 第八章 中点四大模型 模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 模型分析 如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE=AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）。如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE=FD ，易证： △FDB ≌△FDC （SAS ）。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。 模型实例 例1．如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接 BE 并延长AC 于点F ，AF=EF 。求证：AC=BE 。
D B A C 热搜精练 1．如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围。
N M D B A C 连接中线D A B C 2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果 2222BM CN DM DN +=+。 求证：()22214 AD AB AC =+。 模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
N M B A C F D B A C E 模型分析 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线 合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三 角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。 模型实例 例1．如图，在△ABC 中，AB=AC-5，BC=6，M 为BC 的中点， MN ⊥AC 于点N ， 求MN 的长度。 热搜精练 1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE=AF 。 求证：∠EDB=∠FDC 。
初中数学常用几何模型及构造方法大全几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间… 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 角分线模型 往角两边作垂线 往角两边截取等线段 过角分线某点作垂线 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变换 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点模型的构造及应用 一、遇到以下情况考虑中点模型： 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一” 有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型 三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1 二、中点模型辅助线构造方法分类 （一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在?ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：?ADC≌?EDB。作用：转移线段和角。 （二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在?ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：?BED≌?CFD。作用：转移线段和角。
（三）直角三角形斜边中线法 当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。 如下图，在Rt ?ABC 中，A C B 90∠=?，D 为AB 中点，则有： 1 2 CD AD BD AB === （四）等腰三角形三线合一 当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。 在?中:（1）AC=；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。 （五）中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在?ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 边中点，则有DE BC ，1DE BC 2 =。 三、练习 （一）倍长中线法 1.（2014秋?津南区校级期中）已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．
E D C B A F A B C E G 典型中点构造 题型一：三角形中位线 三角形中位线 定义：连接三角形两边中点的线段； 定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 如图：若DE 为ABC △的中位线,则DE BC ∥，且1 2 DE BC = 三角形中位线中隐含的重要性质： ①一个三角形有三条中位线． ②三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． ③三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． ④三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一． 如图：EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有 ①AEG EBF GFC FGE △≌△≌△≌△ ②AEFG EBFG EFCG S S S ==平行四边形平行四边形平行四边形 ③12EFG ABC C C =△△，1 4 EFG ABC S S =△△
E D C B A F E D C B A 【引例】 如图，已知ABC △，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证：DE BC ∥且1 2 DE BC =． 【解析】 延长DE 到点F ，使EF=DE ，连接FC ，DC ，AF ． ∵AE=EC ∴四边形ADCF 是平行四边形 ∴CF//DA 且CF=DA ， CF //BD 且CF=BD ∴四边形DBCF 是平行四边形 ∴DF //BC 且DF=BC 又12 =DE DF ∴DE //BC ，且1 2 =DE BC 【例1】 已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥． ⑴ 如图1，E 、F 是AB 、CD 的中点．求证：EF AD BC ∥∥且1 ()2 EF AD BC =+． ⑵ 如图2，E 、F 是BD 、AC 的中点．试写出EF 与AD 、BC 之间的关系． ⑶ 如图3，若梯形满足90B C ∠+∠=?．E 、F 是AD 、BC 的中点．试写出EF 与AD 、 BC 之间的数量关系 图1 F E D C B A A B C D E F 图2 图3 F E D C B A 【例2】 ⑴四边形ABCD 中， E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证： ①()12EF AC BD < +；②()1 2 EF AD BC ≤+ ⑵四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：()2221 4 EF BD AC = +． A B C D E F A E B C F D 备用图 F E D C B A
初中数学中点模型的构 造及应用 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型： ?任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 ?出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 ?已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 ?已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一” ?有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型 ?三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1 二、中点模型辅助线构造方法分类 （一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在?ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：?ADC≌?EDB。作用：转移线段和角。 （二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在?ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：?BED≌?CFD。作用：转移线段和角。 （三）直角三角形斜边中线法 当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。
如下图，在Rt ?ABC 中，ACB 90∠=?，D 为AB 中点，则有： 12 CD AD BD AB === （四）等腰三角形三线合一 当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。 在?ABC?中:（1）AC=BC?；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=BD?，（4） CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。 （五）中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在?ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 边中点，则有DE BC ，1DE BC 2 =。 三、练习 （一）倍长中线法 1.（2014秋津南区校级期中）已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ． 2. （2017?湘潭）如图，在ABCD 中，DE ＝CE ，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ． （1）求证：△ADE ≌△FCE ； （2）若AB ＝2BC ，∠F ＝36°．求∠B 的度数 3.（2017江西萍乡，15）如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，E 是CD 的中点，过点C 作AB 的平行线交AE 的延长线于点F ，连接BF ． （1）求证：CF ＝AD ； （2）若CA ＝CB ，试判断四边形CDBF 的形状，并说明理由．
初中数学几何模型 中点模型 【模型1】倍长 1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE． （1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长； （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗写出你的猜想，并给予证明. 图3 图2 图1 G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，BAF DAE∠ = ∠． (1)求证：CE=CF； (2)若? = ∠120 ABC，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF 于H．求证：∠BGE=∠CHE． H G E F A B D C
E A B C O D E A B C O D B O A C 角平分线模型 【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为. H G F E A D B C 手拉手模型 【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠ ，， 【结论】OAC OBD ?；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠ 平分； - 【例5】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为. 【例6】如图，ABC中，90 BAC? ∠=，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE，AG⊥BE 于F，交BC于点G，求DFG ∠ G F D C B A E
全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称
共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变形 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转： 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
中考数学复习几何模型专题讲解 专题4 4 中点模型中点模型 名师点睛 中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。 A B C D E A B C D E F E D C B A 典题探究 例题1. 如图，在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、 N ．求证：MQ ＝QN ． 【解答】证明：连接BG 和CE 交于O ，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形， ∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC， ∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC， 在△BAG和△EAC中，， ∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE． ∵BE、BC、CG的中点M、Q、N， ∴MQ＝CE，QN＝BG， ∵BG＝CE， ∴QN＝MQ． 变式练习>>>> 变式练习 1. 如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点， 四边形BCGF和四边 形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形． 【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P， ∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方 形， ∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2
二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O B C O A C D E O B C D E O A C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4
g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 初中数学常用几何模型及构造方法大全， 掌握它轻松搞定压轴题！ 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换 平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角;遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称. 共旋转模型
中点模型的构造 技巧提炼：很多几何题会给出“点×是线段××的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该想到什么 呢？“中点”有哪些作用呢？ 1、已知任意三角形一边上的中点，可以考虑： （1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。如图 （2）三角形中位线定理。 2、已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。 3、已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。 4、有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点， 例出直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条 件的时候，可以用辅助线添加。 典例精讲 例1如图所示，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上的中线AD的取值范围。 例2如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF， 求证：AC=BE。 变式练习： 1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，AF与EF相等吗，为什么？ 2、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线交于点F，交AB于点G，若AD为 △ABC的角平分线，求证：BG=CF。
例3如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED⊥FD，以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角 三角形？ 变式练习： 1、如图，已知M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF。求证：BE+CF>EF。 2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2=1（AB2+AC2）。 4 例4已知，如图，在△ABC 中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M，求证： FM=EM。 例5 △ABD 和△ACE 都是直角三角形，且 ABD= ∠ACE=90°，如图，连接DE，设M为DE 的中点，连接∠ MB、MC。求证：MB=MC 。
课题：几何有关中点的专题复习 【教学目标】复习掌握几何中有关中点的性质定理，能根据题目的已知条件找出和中点有关的常用组合搭配，合理建立几何模型，并加以分析解决问题。 【教学重点】学会根据题目的已知条件找出和中点有关的常用组合搭配，合理建立几何模型。 【教学难点】正确添加适当辅助线。 【教学过程】数学是规律性很强的学科，比如辅助线的构造有很强的技巧性，而几何题中出现“中点”后，往往需要根据不同的条件作出辅助线，下面这些和中点有关的常用组合搭配，你能补全思路及图形吗？ 实战中，有些题表面上看没有“中点”，但是实际上“中点”已隐含在条件中，比如特殊四边形中，常常就有这样的隐含条件，我们必须了解： ①平行四边形中隐含条件：平行、中点； ②菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直； ③矩形中隐含条件：平行、中点、垂直； ④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直． ——几何问题之中点题型 一.中点有关联想归类： 1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质； 2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；（反之也成立） 3.三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”； 4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）； 5.有中点时常构造垂直平分线； 6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）； 7.倍长中线。8字形 8.中点四边形是矩形是菱形原四边形性质对角线垂直或相等 9.二次函数、反比例函数和中点联系，中点坐标公式，对称性的运用 10.弦中点（弧中点）垂径定理（注意弦必须是非直径） 11.中点与面积结合，平分面积 二.与中点问题有关的四大辅助线：
初中数学几何模型 【模型1】倍长 1、 倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长； （2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. 图3 图2图1G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 中点模型
【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，BAF DAE∠ = ∠． (1)求证：CE=CF； (2)若? = ∠120 ABC，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF于H．求证：∠BGE=∠CHE． H G E F A B D C 【模型1】构造轴对称 【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 角平分线模型
精品文档 学生姓名上课时间 学生年级 辅导老师 学校 科目 教学重点教学目标中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线 开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格 新课导入知识点归纳 1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）； 2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； 3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 做辅助线思路一：倍长中线法 经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围. 【课堂训练】 1.如图，已知CB、CD分别是钝△角AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论： ①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 新 课 内 容 第1题图第2题图 2.如图，在正方形A BCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若A G＝1， BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（） ①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.如图，在△ABC中，AB＞BC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G，求证：BF＝CG． G B A F E D C 5.如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，连接BE并延长交AC 于点F，AE＝EF，求证：AC＝BF. A E F B D C 6.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角△形ABD和△ACE，F 为BC边上中点，FA的延长线交DE于点G，求证：①DE＝2AF；②FG⊥DE． D G E A B F C
中点模型 授课日期时间 主题中点模型 教学内容 学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？ 直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？1. 直角三角形斜边中线定理： 如图，在Rt ABC ?中，90 ACB ∠=?，D为AB中点，则有： 1 2 CD AD BD AB ===。 C B A D 2. 三线合一： 在ABC ?中:（1）AC BC =；（2）CD平分ACB ∠；（3）AD BD =，（4）CD AB ⊥. “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。 D A B C 3. 中位线定理：如图，在ABC ?中，若AD BD =，AE CE =，则// DE BC且 1 2 DE BC =。 E D A B C 4. 中线倍长(倍长中线)： 如图（左图），在ABC ?中，D为BC中点，延长AD到E使DE AD =，联结BE，则有：ADC ?≌EDB ?。
作用：转移线段和角。 A B C E D D M C B A 例1：如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且CE AB=，求证：CED BAD∠ = ∠. A D B C E 提示：用倍长中线法，借助等腰三角形和全等三角形证明 试一试：如图，已知在ABC ?中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且AC BE=，延长BE 交AC于F，求证：EF AF=。 F E D B C A 证明：延长DE至点G，使得ED=DG，联结CG 类比倍长中线易得：△BDE≌△CDG 所以∠BED=∠DGC，BE=CG 因为BE=AC，所以AC=GC 所以∠EAC=∠DGC， 因为∠BED=AEF G F E D B C A
中考数学几何模型4：中点模型 名师点睛拨开云雾开门见山中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。 A B C D E A B C D E F E D C B A 典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN． 【解答】证明：连接BG和CE交于O， ∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形， ∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC， ∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC， 在△BAG和△EAC中，，
∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE． ∵BE、BC、CG的中点M、Q、N， ∴MQ＝CE，QN＝BG， ∵BG＝CE， ∴QN＝MQ． 变式练习>>> 1. 如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形． 【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P， ∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形， ∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF； MB∥CE，且MB＝CE＝CD＝DH， ∴四边形BCDM是平行四边形， ∴∠CBM＝∠CDM， 又∵∠FBP＝∠HDC， ∴∠FBM＝∠MDH， 在△FBM和△MDH中， ∴△FBM≌△MDH（SAS）， ∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH． ∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM， ∵BM∥CE， ∴∠AMB＝∠E， 同理：∠DME＝∠A． ∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM， ∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD） ＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM） ＝∠FBC＝90°， ∴△FMH是等腰直角三角形． 例题2. 如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF ⊥DE．
几何证明——中点模型(中级) 【知识要点】 1、中位线定理：如图，在ABC ?中，若AD BD =，AE CE =，则//DE BC 且1 2 DE BC = 。 2、中线倍长(倍长中线)： 如图（左图），在ABC ?中，D 为BC 中点，延长AD 到E 使AD DE =，连接BE ，则有：ADC ?≌EDB ?。 作用：转移线段和角。 注意： ①在实际运用中，与某个中点相连的线段，都可以将其看作“中线”，从而都可以考虑将它倍长（需要的话）。 ②如上右图，如果出现“两条平行线夹中点”的情形，一定会出现“X 全等”或“叉叉全等”或“8字型全等”， 有时这个“叉叉”需要我们自己画出来（辅助线）. 3、直角三角形斜边中线定理： 如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，D 为AB 中点，则有：1 2 CD AD BD AB === 。 4、三线合一： 在ABC ?中:（1）AC BC =；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD BD =，（4）CD AB ⊥. “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。 A 请牢记：当你发现有某一条线同时具备了“垂线”、“角平分线”、“中线”三种功能当中的任意两种功能时，那么这条线就一定是某个等腰三角形的对称轴，换句话说，以这条线为对称轴必定有等腰三角形出现. 【经典例题】
例1、如图所示，已知D 为BC 中点，点A 在DE 上，且CE AB =，求证：CED BAD ∠=∠. D B E 例2、如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且AC BE =，延长BE 交AC 于F ，求证：EF AF =。 B 例3、如图，在ABC ?中，AD 为A ∠的平分线，M 为BC 的中点，ME AD //， 求证：()AC AB CF BE += =2 1 。 B C 例4、如图,已知ABC ?中，CE BD ,为高线，点M 是DE 的中点，点N 是BC 的中点.求证： DE MN ⊥。
动点最值基本模型 一、最值类型 1.饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。 2.小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂线段最短的性质得到结果。 3.穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与圆的位置关系得到结果。 4.转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。 5.三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大（小）值。 6.结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂【如包河一模20题】【瑶海一模第10题】、小垂+穿心【如庐阳二模第10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第10题】饮马+转换【如蜀山二模第10题】等 ※二、分类例析 一、饮马型 例1：如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，CE=3, DE=1, 点P在AC上，则PE+PD 的最小值是_____ . 解析：如图 例2：如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为____.
解析：如下图 二、小垂型 例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________. 解析：如下图 三、穿心型 例4：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，M是AD边的中点，N是AB 边上一动点，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是____. 解析：如下图 四、转换型 例5:如图，P为菱形
初中数学几何模型大全+ 经典题型（含答案） 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。 垂直也可以做为轴进行对称全等。 说明：上图依次是45°、30°、°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全 构造方法：遇60 度旋60 度，造等边三角形 遇90 度旋90 度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180 度，造中心对称
说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“ 8”字模型可以证明。 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等 腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和