§2.1函数及其表示
2014高考会这样考 1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法；2.考查分段函数的简单应用；3.由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．
复习备考要这样做 1.在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念．
1．函数的基本概念
(1)函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法．
2．映射的概念
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
3．函数解析式的求法
求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4． 常见函数定义域的求法
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .
(4)y ＝a x
(a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .
(5)y ＝tan x 的定义域为????
??x |x ∈R 且x ≠k π＋π
2，k ∈Z .
(6)函数f (x )＝x a
的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． [难点正本 疑点清源] 1． 函数的三要素
函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定 的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等． 2． 函数与映射
(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．
(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函 数． 3． 函数的定义域
(1)解决函数问题，函数的定义域必经优先考虑； (2)求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：
①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 1． (2011·浙江)设函数f (x )＝4 1－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 答案 －1 解析 ∵f (x )＝ 41－x ，∴f (a )＝41－a ＝2，∴a ＝－1. 2． (课本改编题)给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N ) 的图象是一条直线；④f (x )＝x 2 x 与g (x )＝x 是同一个函数． 其中正确命题的序号有________． 答案 ①② 解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数． 对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线； 对于④由于这两个函数的定义域不同，所以它们不是同一个函数． 3． 函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其 中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________． 答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 4． (2012·江西)下列函数中，与函数y ＝ 13 x 定义域相同的函数为 ( ) A ．y ＝ 1sin x B ．y ＝ln x x C ．y ＝x e x D ．y ＝sin x x 答案 D 解析 函数y ＝ 13 x 的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0?x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D. 5． (2012·福建)设f (x )＝???? ? 1，x >0，0，x ＝0， －1，x <0，g (x )＝? ?? ?? 1，x 为有理数， 0，x 为无理数，则f (g (π))的值 为 ( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．π 答案 B 解析 根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0. 题型一 函数与映射 例1 有以下判断： (1)f (x )＝|x | x 与g (x )＝??? ?? 1 x ≥0－1 x <0表示同一函数； (2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2 －2x ＋1与g (t )＝t 2 －2t ＋1是同一函数； (4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ? ?? ??f ? ????12＝0. 其中正确判断的序号是________． 思维启迪：可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 答案 (2)(3) 解析 对于(1)，由于函数f (x )＝|x | x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝ ? ?? ?? 1 x ≥0－1 x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值， 由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线 x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以 f (x ) 和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ? ????12＝??????12－1－??????12＝0， 所以f ? ?? ??f ? ????12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． 探究提高 函数的三要素：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由 定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函 数．特别值得说明的是，对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同， 只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函 数值是否相同)不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断． 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2 －4a ，－1}，N ＝{b 2 －4b ＋1， －2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D 解析 由已知可得M ＝N ，故???? ? a 2 －4a ＝－2，b 2 －4b ＋1＝－1 ????? ? a 2 －4a ＋2＝0，b 2 －4b ＋2＝0， 所以a ，b 是方程x 2 －4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4. 题型二 求函数的解析式 【例2】 (1)已知f ? ?? ??2x ＋1＝lg x ，求f (x )； (2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式； (3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系． 解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2 t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1 . (2)设f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2 ＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2 ＋2x ＋1. (3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得， f (x )＝23lg(x ＋1)＋13 lg(1－x )，x ∈(－1,1)． 探究提高 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以 x 替代g (x )，便得f (x )的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)消去法：已知关于f (x )与f ? ?? ??1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外 一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． (2012·武汉模拟)给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ； (2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式． 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2 . 则f (t )＝(t －1)2 ＋2(t －1)＝t 2 －1， ∴f (x )＝x 2 －1 (x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2 ＋bx ＋3， ∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2 ＋b (x ＋2)＋3－(ax 2 ＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴? ?? ?? 4a ＝4 4a ＋2b ＝2，∴? ?? ?? a ＝1 b ＝－1， ∴f (x )＝x 2 －x ＋3. 题型三 函数的定义域 【例3】 (1)函数y ＝ ln x ＋1－x 2 －3x ＋4 的定义域为______________． (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2x x －1 的定义域是 ( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1) 思维启迪：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要 注意自变量的取值和各个字母的位置． 答案 (1)(－1,1) (2)B 解析 (1)由????? x ＋1>0－x 2 －3x ＋4>0，得－1 (2)依已知有? ?? ?? 0≤2x ≤2， x －1≠0， 解之得0≤x <1，定义域为[0,1)．故选B. 探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． (2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取 值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]． (1)若函数f (x )＝ x －4 mx ＋4mx ＋3 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 __________． 答案 ? ??? ??0，34 解析 f (x )的定义域为R ，即mx 2 ＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，符合条件． ②当m ≠0时，Δ＝(4m )2 －4×m ×3<0， 即m (4m －3)<0，∴0 4 . 综上所述，m 的取值范围是???? ??0，34. (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________． 答案 [1,3] 解析 由? ?? ?? 0≤x ＋1≤4 0≤x －1≤4，得1≤x ≤3. 故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]． 题型四 分段函数 【例4】 )定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝??? ?? log 21－x ， x ≤0， f x －1－f x －2， x >0， 则f (2 014) 的值为________． 思维启迪：注意到2 014较大，较难代入计算求出值，所以可通过x 取较小数值探究函 数f (x )值的规律性，再求f (2 014)．也可以先用推理的方法得出f (x )的规律性，再求 f (2 014)． 答案 1 解析 方法一 由已知得 f (－1)＝lo g 22＝1，f (0)＝log 21＝0， f (1)＝f (0)－f (－1)＝－1，f (2)＝f (1)－f (0)＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝0，f (4)＝f (3)－f (2)＝1， f (5)＝f (4)－f (3)＝1，f (6)＝f (5)－f (4)＝0， f (7)＝f (6)－f (5)＝－1，f (8)＝f (7)－f (6)＝－1，…， 所以f (x )的值以6为周期重复出现， 因此，f (2 014)＝f (4)＝1. 方法二 ∵x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)． 两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)， ∴f (x ＋3)＝－f (x )，f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6. 因此，f (2 014)＝f (6×335＋4)＝f (4)＝1. 探究提高 求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围． 设函数f (x )＝? ?? ?? 2－x ，x ≤2， log 81x ，x >2，则满足f (x )＝1 4 的x 值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．2或3 D ．－2 答案 C 解析 当x ≤2时，由f (x )＝14，得2－x ＝14.解得x ＝2. 当x >2时，由f (x )＝14，得log 81x ＝1 4，解得x ＝3. 3.忽视函数的定义域 典例：求函数y ＝log 13 (x 2 －3x )的单调区间． 易错分析 忽视函数的定义域，认为x 的范围是全体实数，导致错误． 解 设t ＝x 2 －3x ，由t >0，得x <0或x >3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函 数t 的对称轴为直线x ＝3 2，故t 在(－∞，0)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增． 而函数y ＝log 13t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y ＝log 13(x 2 －3x ) 的单 调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)． 温馨提醒 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先 求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断 两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原 因，容易忽视定义域，导致错误． 4.分段函数意义理解不清 典例：设函数f (x )＝? ?? ?? x 2 ＋bx ＋c x ≤02 x >0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关 于x 的方程 f (x )＝x 的解． 易错分析 (1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2 ＋bx ＋c .所以可构建 方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论，不能忽视自变量的限制条件． 规范解答 解 当x ≤0时，f (x )＝x 2 ＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)， f (－1)＝－3，∴? ?? ?? －22－2b ＋c ＝c －12 －b ＋c ＝－3，解得? ?? ?? b ＝2， c ＝－2，[4分] ∴f (x )＝? ?? ?? x 2 ＋2x －2x ≤0， 2 x >0.[6分] 当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2 ＋2x －2＝x ， 得x ＝－2或x ＝1.由x ＝1>0，所以舍去．[8分] 当x >0时，由f (x )＝x 得x ＝2，[10分] 所以方程f (x )＝x 的解为－2、2.[12分] 温馨提醒 (1)对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件． (2)就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，上述解法中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件. 方法与技巧 1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应关系相同． 2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定 义域上进行． 3．函数的解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解． 失误与防范 求分段函数应注意的问题： 在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集. (时间：60分钟) A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·山东)函数f (x )＝ 1ln x ＋1＋4－x 2 的定义域为 ( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2] D ．(－1,2] 答案 B 解析 由???? ? x ＋1>0，ln x ＋1≠0， 4－x 2≥0 得－1 2． (2012·江西)设函数f (x )＝???? ? x 2 ＋1，x ≤1，2 x ，x >1，则f (f (3))等于 ( ) A.15 B ．3 C.23 D.13 9 答案 D 解析 由题意知f (3)＝23，f ? ????23＝? ????232＋1＝139 ， ∴f (f (3))＝f ? ????23＝13 9 . 3． 设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于 ( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 答案 D 解析 由g (x )＝2x ＋3，知f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7. 4． 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x ) 的图象可能是 ( ) 答案 B 解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 已知f (x )＝x 2 ＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 答案 6 解析 由f (1)＝f (2)＝0，得????? 12 ＋p ＋q ＝0 22 ＋2p ＋q ＝0， ∴? ?? ?? p ＝－3 q ＝2，∴f (x )＝x 2 －3x ＋2. ∴f (－1)＝(－1)2 ＋3＋2＝6. 6． 已知f ? ??? ?1－x 1＋x ＝1－x 2 1＋x 2 ，则f (x )的解析式为____________． 答案 f (x )＝2x 1＋x 2 解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝1－? ?? ? ?1－t 1＋t 21＋? ?? ? ?1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2，从而f (x )的解析 式为 f (x )＝ 2x 1＋x 2. 7． 若函数f (x )＝2x 2 ＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0] 解析 由题意知2x 2 ＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2 ＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2 ＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 三、解答题(共25分) 8． (12分)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2 ＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. ∴a (x ＋1)2 ＋b (x ＋1)＝ax 2 ＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1， ∴????? 2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1 ，解得????? a ＝1 2 b ＝1 2 .∴f (x )＝12x 2＋1 2 x . 9． (13分)记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－ 2 x －1 的定义域为集合N ， 求： (1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N . 解 (1)M ＝{x |2x －3>0}＝? ????? x |x >32， N ＝?????? x |1－ 2x －1≥0＝{x |x ≥3或x <1}； (2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝{x |x <1或x >3 2 }． B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2 ＋2x ，对于实数k ∈B ，在集 合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是 ( ) A ．k >1 B ．k ≥1 C ．k <1 D ．k ≤1 答案 A 解析 由题意知，方程－x 2 ＋2x ＝k 无实数根，即x 2 －2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意． 2． (2011·福建)已知函数f (x )＝? ?? ?? 2x ，x >0， x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 A 解析 由题意知f (1)＝21 ＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0. ①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. 3． 设f (x )＝? ?? ?? x 2 ，|x |≥1， x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x ) 的值域是 ( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．[1，＋∞) 答案 C 解析 f (x )的图象如图． g (x )是二次函数，且f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，∴g (x )的值域是[0，＋∞)． 二、填空题(每小题4分，共12分) 4． (2012·江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． 答案 (0，6] 解析 要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则??? ? ? x >0，1－2log 6x ≥0. 解得0 5． 对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝? ?? ?? a a ≤ b b a >b ，则函数f (x )＝log 1 2 (3x － 2)*log 2x 的值域为________． 答案 (－∞，0] 解析 f (x )＝log 21 3x －2*log 2x ＝????? log 213x －2 x ≥1log 2 x 2 3 ∴当x ≥1时，13x －2≤1，f (x )≤0； 当23 3 6． (2011·江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝? ?? ?? 2x ＋a ，x <1， －x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )， 则a 的值 为______． 答案 －3 4 解析 当a <0时，1－a >1,1＋a <1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2. 因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2， 所以a ＝－3 4 . 当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ； f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1. 因为f (1－a )＝f (1＋a )， 所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－3 2(舍去)． 综上，满足条件的a 的值为－3 4. 三、解答题(13分) 7． 已知f (x )＝x 2 －1，g (x )＝? ?? ?? x －1，x >0 2－x ，x <0. (1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解 (1)∵g (2)＝1，∴f (g (2))＝f (1)＝0， ∵f (2)＝3，∴g (f (2))＝g (3)＝2. (2)f (g (x ))＝(g (x ))2 －1 ＝? ???? x －12 －1， x >0 2－x 2 －1， x <0 . ∴f (g (x ))＝????? x 2 －2x ，x >0x 2 －4x ＋3，x <0. g (f (x ))＝? ?? ?? f x －1，f x >0 2－f x ，f x <0 . ＝? ???? x 2 －1－1，x 2 －1>02－x 2－1，x 2 －1<0. ∴g (f (x ))＝? ???? x 2 －2，x >1或x <－13－x 2 ，－1< x <1. 选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a 5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法． 选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； 第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 §5.4复数 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积 第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|， 又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1 §3.1导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导 数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为 导数． 4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B 第2课时参数方程 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一 个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t )就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 概念方法微思考 1．在直线的参数方程? ???? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中， (1)t 的几何意义是什么？ (2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？ 提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量． (2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2. 2．圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？ 提示 θ的几何意义为该圆的圆心角． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)参数方程? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ ) (2)方程? ???? x ＝2cos θ， y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ ) (3)已知椭圆的参数方程? ???? x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π 3，点O 为原 点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) (4)参数方程??? ?? x ＝2cos θ，y ＝5sin θ ????θ为参数且θ∈????0，π2表示的曲线为椭圆．( × ) 题组二 教材改编 2．曲线? ???? x ＝－1＋cos θ， y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上 D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B 解析 由????? x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得????? cos θ＝x ＋1， sin θ＝y －2. 所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上． 3．直线????? x ＝t ＋1，y ＝t (t 为参数)与圆? ???? x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交且直线过圆心 D ．相交但直线不过圆心 答案 D 解析 消去参数，得直线方程为x －y －1＝0， 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径R ＝1， 圆心到直线的距离为d ＝|2－0－1|2 ＝2 2<1， 专题一 高考中的导数应用问题 1． 函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 答案 D 解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2. 2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D.??? ?0，1 2 答案 D 解析 f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝ 3x 2－6b ， 由题意，得函数f ′(x )的草图如图， ∴????? f ′(0)<0，f ′(1)>0， 即????? －6b <0， 3－6b >0， 解得0 §4.4三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，????π2，1，(π，0)，??? ?3π2，－1，(2π，0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，????π2，0，(π，－1)，??? ?3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 概念方法微思考 1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π 2＋k π(k ∈Z )． (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × ) (2)由sin ????π6＋2π3＝sin π6知，2π 3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝cos ????2x ＋π 4的最小正周期是________． 答案 π 3．y ＝3sin ????2x －π6在区间????0，π 2上的值域是________． 答案 ??? ?－3 2，3 解析 当x ∈????0，π2时，2x －π 6∈????－π6，5π6， sin ????2x －π6∈????－1 2，1， 故3sin ? ???2x －π6∈????－3 2，3， 即y ＝3sin ????2x －π6在????0，π2上的值域为??? ?－3 2，3. 4．函数y ＝－tan ????2x －3π 4的单调递减区间为________________． 答案 ???? π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ) 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 一、填空题 1．在极坐标系中，点P (ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________． 解析 设点P (ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)． 答案 (－ρ0，θ0) 2．过点(2，π4)平行于极轴的直线的极坐标方程是________． 解析 设直线上点坐标P (ρ，θ)， 则ρsin θ＝2cos (90°－45°)＝ 2. 答案 ρsin θ＝ 2 3．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ? ?? ??4，π6到圆心C 的距离是________． 解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心 坐标为(0,2)．又易知点A ? ?? ??4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为(0－23)2＋(2－2)2＝2 3. 答案 2 3 4．在极坐标系中，点M ? ????4，π3到曲线ρcos ? ????θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________． 解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为 |2＋23×3－4| 12＋(3) 2＝2. 答案 2 5．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________． 解析 设所求曲线上动点M 的极坐标为(r ，φ)， 由图可知???φ＝θ r ＝12ρ . 把θ＝φ和ρ＝2r 代入方程ρ＝2a cos θ， 得2r ＝2a cos φ，即r ＝a cos φ.(? ????－π2 ≤φ≤π2， 这就是所求的轨迹方程． 由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(a 2，0)为圆心，半径为a 2的圆． 答案 以(a 2，0)为圆心，以a 2为半径的圆 6．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、 B 两点，则线段AB ＝________. 解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由??? ρ＝2cos θ， θ＝π4得??? ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2. 第1课时集合 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4) 2. A B或 B A ?B且B≠?3． (1) U (2) ①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B. ②A∩A＝A，A∩?＝?. ③A∪A＝A，A∪?＝A. ④A∩?U A＝?，A∪?U A＝U，?U(?U A)＝A. 4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(×) (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A.(×) (3)若A B，则A?B且A≠B.(√) (4)N*N Z.(√) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) (6)对于任意两个集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)成立．(√) (7)?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)，?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)．(√) (8)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (9){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√) (10)若A∪B＝A∪C，则B＝C.(×) 考点一集合的概念 第一章 集合与常用逻辑用语大一轮复习 数学(理)[例1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 解析：∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素． 答案：C (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98 . 答案：D [方法引航] (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 1．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝??????1a ，a 2，0，则a ＝________. 解析：由题意1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，所以只有a 2＝1. 当a ＝1时，1a ＝1，不满足互异性，∴a ＝－1. 答案：－1 2．(2017·福建厦门模拟)已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________． 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5＜k ≤6. 答案：(5,6] 考点二 集合间的关系及应用 [例2] (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }A ．P ?Q B ．Q ?P C ．?R P ?Q D ．Q ??R P 解析：因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}，所以?R P ＝{y |y ＞1}，所以?R P ?Q ，选 C. 答案：C (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：∵B ?A ， ∴①若B ＝?，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠?，则????? 2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2， 2m －1≤5. 解得2≤m ≤3. 由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(－∞，3] [方法引航] 1.集合间基本关系的两种判定方法 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系 (2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系． 2．根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 1．在本例(1)中，集合P 变为P ＝{y |y ＝x 2 ＋1}，Q 不变，如何选答案． 解析：P ＝{y |y ≥1}，Q ＝{y |y ＞0}，∴P ?Q ，选A. §3.1导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数， 通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝lim Δx→0 f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1 x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B 解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修45 不等式选讲
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