测试技术习题例题-标准化文件发布号:(9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
习题1 求如图所示周期三角波的傅立叶级数表示,并画出频谱图。
解:x(t)的一个周期可表示为:
t T A
A 02+
02
0≤≤-t T =)(t x
t T A
A 02-
2
00T t ≤< 常值分量:A dt t T A
A T dt t x T a T
T T =-==
??
-)2(4)(2
200
22
00
0000
余弦分量的幅值: =-==
??
-tdt n t T A
A T tdt n t x T a T
T T n 0200
22
000
cos )2(4cos )(2
000ωω
2
24π
n A
n=1,3,5… =2
sin 4222ππn n A 0 n=2,4,6…
正弦分量的幅值:0sin )(2
22
00
00?
-==
T T n tdt n t x T b ω
这样,该周期三角波的傅立叶级数展开式为:
t n n
A A t t t A A t x n 0122020202cos 1
425cos 513cos 31cos 42)(ωπωωωπ∑∞=+=??? ??++++=
000
练习2 求指数衰减振荡信号t e t x at 0sin )(ω-=的频谱函数。
解一:
2
2000)()(00
0)(0
0)(1
21)(1
)(1221][2
21)()
(2
sin sin 21sin 21)(0000ωωπωωωωππωωωπωπωωωωωωωωω++=
??????-+-++=-=-===???∞-+-++--∞+-∞--j a j j a j j a j dt e e j X e e j
t tdt e dt te e X t
j j a t j j a t j t j t j a t j at
解二:[])()(22sin 000f f f f j
t f --+?
δδπ f
j a e at π21
+?
-
)()()(T t x T t t x ±=±*δ
)()()()(f Y f X t y t x *??
[]?
?
????-+-++=--+*+
?∴
-000002)2
(1
2)2(12)()(2212sin f j f j a f j f j a j f f f f j f j a t f e at ππππδδππ
4. 求指数衰减函数
的频谱函数
,
(
)。并定性画出信号及其频谱图形。
解:(1)求单边指数函数
的傅里叶变换及频谱
(2)求余弦振荡信号
的频谱。
利用 函数的卷积特性,可求出信号
的频谱为
其幅值频谱为
a a`
b b`
c c`
题图信号及其频谱图
注:本题可以用定义求,也可以用傅立叶变换的频移特性求解。
练习3 已知信号x(t)的傅立叶变换为X(f),求t f t x t f 02cos )()(π=的傅立叶变换。
解一:?
∞
∞
--=
dt e t x F t j ωπ
ω)(21)(
[])()(2
1
)()(41)(2
1)(21cos )(2100)()(000ωωωωππωπωωωωωωωω++-=
????
??+=+=
=????∞∞-+-∞
∞---∞∞---∞
∞
--X X dt e t x dt e t x dt e e e t x dt te t x t j t j t j t j t
j t j
解二:[]2/)()(2cos 000f f f f t f -++?δδπ
且 )()()(T t x T t t x ±=±*δ
[]2/)(2/)(2/)()()(2cos )(00000f f X f f X f f f f f X t f t x -++=-++*?δδπ
解三:根据信号的线性性好频移性,其频谱为:
[][]
[])()(21)(21)(212)(]2cos )([0000000ωωωωπωωωωω++-=+=?
?
????+?--X X e t x F e t x F e e t x F t t x F t
j t j t j t j
1求周期方波的傅立叶级数(复指数函数形式),画出|c n |-ω和?-ω
图。