6.1 6.2 6.3 6.4设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ? ??? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1 e x p {),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 ∑== 'n i i jat t j 1 μ ()()),,,(2 1 2 23222 2212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ
∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=- -=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ 6.5. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求η的特征函数。 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 6.6 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ )3,2,1(=i ，其协方差矩阵为 ???? ? ??=333231232221131211b b b b b b b b b B
本科实验报告 实验名称：窄带高斯随机过程的产生
一、实验目的 熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。 二、实验内容 本实验模拟产生一段时长为5ms 的窄带高频随机过程X(t)的样本函数。根据窄带随机过程的理论，X(t)可表示为 t f t A t f t A t X s c 002cos )(2cos )()(ππ-= 其中，A c (t)和A s (t)均为低频的高斯随机过程，因此，要模拟产生X(t)，首先要产生两个相互独立的高斯随机过程Ac(t)和As(t)，然后用两个正交载波cos2πf 0t 和sin2πf 0t 进行调制，如图所示。 假定Ac(t)和As(t)的功率谱密度均为4 ) /(11 )()(f f f G f G s c ?+= =，其中f ?为功率谱密度的3dB 带宽。在3.7节中介绍了有色高斯随机过程的产生，请按照频域法或时域滤波器法分别产生时长5ms 的低通过程Ac(t)和As(t)，然后按图所示合成X(t)，其中f 0=1000/π，要求分别画出模拟产生的Ac(t)、As(t)、X(t)的波形。 三、实验原理 （一）、有色高斯随机过程的模拟——频域法
首先将X(t)进行周期延拓，得到一个周期信号，再对周期信号进行傅里叶级数展开，即 ∑∞ -∞ == k k f j k e X t X 02~ )(π)1(0d T f = 由于傅里叶级数是X k 的线性组合，所以，如果X k 是零均值的高斯随机变量，那么)(~ t X 也是零均值高斯过程，如果{X k }是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱，即 ∑∞ -∞ =-= k k X kf f g f G )()(02~δ))|(|(22 k k X E g = 通过选择g k 就可以得到期望的功率谱。 假定Gx(f)是带限的，即 0)(=f G x (|f|>B) 那么，{g k 2}只有有限项，即{2 2120212,,...,,...,,M M M M g g g g g -+--}，其中M=[B/f 0]，[· ]表示取整，与此对应的傅里叶级数系数{Xk}也是2M+1项。因此，只需产生2M+1个相互正交的零均 值高斯随机变量{M M M M X X X X X ,,...,,...,,101-+--}，其方差22)|(|k k g X E =，并在1式中将时间限定为(0,Td)就可以得到模拟过程X(t)。2k g 应与)(0kf G x 成比例，即)(02kf G g x k β=， 系数β的选择满足下式： ∑? ∑∑-=-=-=== = M M k X B B M M k M M k k k X kf G g X E df f G )(]|[|)(0-2 2 β 即 ∑?-== M M k X B B X kf G df f G ) ()(0 -β 总结如下： 1.根据所需过程的时长Td 确定频率f 0，并确定傅里叶级数系数的长度M=[B/f 0]； 2.根据∑?-==M M k X B B X kf G df f G ) ()(0 -β确定β； 3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即 M M M M k kf G N X X k ,1,...,0,...,1,)),(,0(~0-+--=β
第五章 窄带随机过程 5.1 窄带随机过程的概念 1． 通信工程中的信号频率 在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。对 于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。 2． 窄带随机过程 （1） 带通随机过程的定义 若随机过程)(t X 的谱密度满足： ?? ??<-=其它0 )()(0ω ωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。 带通过程的谱密度的图解如下图。 （2） 窄通随机过程的定义 若)(t X 为带通过程，且0ωω<
4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法 定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式： ))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω 证明：由莱斯表示法有： )()()(2 2 t b t a t A += ， ) ()()(t a t b arctg t =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比) cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。 其中：称0ω这载波频率。 称)(t A 为)(t X 的包络。 称)(t Φ为)(t X 的相位（初相）。 这一表达式称为准正弦振荡表示法。 5.2 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 在工程应用中，假定系统的输出是一个窄带高斯随机过程，可使问题的解决得到简化。 实际上，有许多工程实际的系统输出是窄带高斯随机过程。 对于窄带随机过程，包络)(t A 与相位)(t Φ的检测是首要工作。 1． 包络与相位的一维概率密度 （1） 先求)(t a 与)(t b 的联合概率密度),(t t ab b a f 当t 确定后，)(t a 与)(t b 都是高斯随机变量，且相互正交，所以有 ? ?????+-= 2 222 2exp 21),(σπσ t t t t ab b a b a f （2） 求)(t A 与)(t Φ的联合概率密度 定理： ),(),(t t ab t t A b a f J A f =ΦΦ，J 为雅可比行列式。 由 )()()(2 2 t b t a t A += ， ) ()()(t a t b arctg t =Φ 可得 )(t A J =
本科实验报告实验名称：窄带高斯随机过程的产生
一、实验目的 熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。 二、实验原理 （一）窄带随机过程的产生原理 窄带随机过程可以表示为下面的准正弦振荡的形式： cos X t A t ωτ?τ0()=()[+()] 或者表示为同相分量与正交分量的合成： 00cos sin c s X t A t t A t t ωω()=()-() 其中c A t ()与s A t ()均为低频变化的随机过程，可以通过模拟其分布及功率谱特性来实现窄带随机过程的产生。 （二）用频域法模拟任意随机过程 模拟一个时长为d T 的高斯随机过程的一个样本函数()X t , 要求功率谱密度满足指定的形式，先将()X t 进行周期性延拓，并做DFS ()0201 ()j k k f k d X e f T X t π∞ ∞ =-== ∑ 若k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值的高斯随机过程。若{}k X 是两两正交的序列 ()2 2 2 0()(())k k k k X g f k G f E X f g δ=-∞ ∞ = -=∑ 即可以控制k g 得到期望的功率谱。 假定()(0 )X G f B f =>，即()X G f 带限，则{}2k g 为有限项，对应的DFS 系数{}k X 也为21M +项0()B M f ?? =???? ，因此只需产生21M +个相互正交的零均值 高斯随机变量{}101,,,,,,M M M M X X X X X --+- ，其方差为2 2()k k E X g =。2 k g 应 与()0X G kf 成比例，即()20X k G g kf β=，则有
第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概 率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 22 1 0000 202220 20 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+? ?++?????? P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则
（1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i =L 是否为Markov 链？ 解（1）由于 11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,) ()()()() ()() (,,,) n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------================= ========L L L L L 因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链. （2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依 次 类 推 ， 1121 n n X U U U --=+++L 为 1 n U -的函数，记为 1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互 独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而 12211122111 1112211 (,,,)(,,,) (,,,)()() n n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L 因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链. 3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果 max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻 n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率； （2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率. 证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足
中山大学移动学院本科生实验报告 （2015学年春季学期） 课程名称：通信原理 任课教师：刘洁 教学助理（TA ）：朱焱 1、 实验要求 1.产生窄带随机过程和其概率谱密度 2.产生多个窄带随机过程 3.求出窄带随机过程的均值和自相关函数 2、 设计思路 00)()sin(2) f t b t f t p p - 对于第一个实验： 首先便是要搞懂如何产生一个窄带随机过程，按照TA 的提示，循序而进，从定义出发，获得答案。按照上面的结构框图 ，由公式： t t b t t a t X 00sin )(cos )()(ωω-= 可以较为轻松的得到窄带随机过程（先产生高斯白噪声g = randn(1,1001)，产生低通[b,a] = butter(1,wn)的B/A 系数，由Y = filter （B ，A ,X ），得到a （t ）和 b （t ），之后zt = a(t)cos(wt) - b(t)sin(wt)，通过这个公式就容易了，再通过plot(zt);便可以得到窄带随机过程），后面的两个实验，是基于第一个实验来做的； 对第二个实验： 加入for 循环，生成五个窄带随机过程，并且利用subplot 画小图。 对第三个实验： 产生窄带随机过程，利用函数mean 和xcorr 两个函数分别产生均值和
自相关函数。 3、运行与测试 Lab1：产生窄带随机过程和其概率谱密度 在command命令框里写入：zhaidai，这是基于随机过程的莱斯表达式，产生一个1000个点的高斯窄带随机过程，和其概率谱密度（基本呈现正态分布）。 Lab2：产生多个窄带随机过程
实验四 窄带随机过程的产生及其性能测试 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。 二、实验原理 窄带随机过程的产生如下图所示： 00)()sin(2) f t b t f t p p - 三、实验内容 1、按照上面的结构框图，基于随机过程的莱斯表达式t t b t t a t X 00sin )(cos )()(ωω-=，用Matlab 产生一满足条件的窄带随机过程。 m.文件如下： %产生一个p 个点的高斯窄带随机过程 function f=suiji1(p) n=1:p; w=-pi:2*pi/1000:pi; R=100; C=0.001; wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn); g=randn(1,1001); y=filter(b,a,g); at=y.*cos(w.*n); bt=y.*sin(w.*n); ft=at-bt; subplot(211) plot(ft) subplot(212) ksdensity(ft) 在command 命令框里写入： suiji1(1000) 即产生一个1000个点的高斯窄带随机过程 窄带随机过程波形及其概率密度图分别如下所示：
020040060080010001200 -2 -101 2-2.5 -2-1.5-1-0.500.51 1.52 00.5 1 1.5 2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。 该随机过程的四次实现，代码如下： >> for i=1:1:4 syms R C; n=1:1001; w=-pi:2*pi/1000:pi; R=100; C=0.001; wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn); g=randn(1,1001); y=filter(b,a,g); at=y.*cos(w.*n); bt=y.*sin(w.*n); ft=at-bt; subplot(4,2,2*i-1) plot(ft) subplot(4,2,2*i) ksdensity(ft) end 形状如下：
中科院研究生院2012～2013第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第六章 高斯过程（维纳过程） 习题 1、 设有随机过程Y ，∞<= ∫t ds s Y t Z t 2、 设是初值为零的标准布朗运动，令0,)(≥t t B 10)],1/([)1()(<≤??=t t t B t t ξ，的常数，试求随机过程0,0),12>≥?a t at η()(=?e B e t at )(t ξ和)(t η的均值函数和相关函数，并说明)(t ξ和)(t η是否是正态过程。 3、 设是标准的布朗运动，试求与的相关系数，其中： 。 }0,)({≥t t B 1≤≤t )(t B ∫1 0)(du u B 04、 已知是初值为0的标准布朗运动， 求在0),(>t t B 0)1(=B 时的条件概率分布密度函数。 )10()(<
| . 设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ???? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1exp{),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 > ∑== 'n i i jat t j 1 μ ( )()),,,(21 2 232222212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ
=22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ ∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=--=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ . 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|, |,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求的特征函数。 [ 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ
1、修理一个机器所需要的时间T 是均值为1/2（小时）的指数随机变量 （a ）问修理时间超过1/2小时的概率是多少？ （b ）已知修理持续时间超过12小时，问修理时间至少需要12.5小时的概率是多少？ 2、考察一个由两个办事员经营的邮局。假设当甲进入邮局的时候，他发现乙正在接受一个办事员的服务，丙正在接受另一个办事员的服务。甲被告知，只要乙或丙中的一个离开，他的服务就可以立刻开始。如果一个办事员用在一个顾客上的时间是以均值为1/λ指数地分布的，那么在这3个顾客中，甲是最后一个离开邮局的概率是多少？ 3、若X1和X2是独立的非负连续随机变量，证明： )()()(}),min(|{2112121t r t r t r t X X X X P +==< 其中)(t r i 是Xi 的失效率函数。 4、某种理论假设细胞分裂的错误按速率每年2.5个的泊松过程发生，而人体在发生了196个这种错误后死亡。假设该理论成立，求 （1）人的平均寿命 （2）人在67.2岁前死亡的概率 （3）人活到90岁的概率 （4）人活到100岁的概率 5、令{N(t)，t ≥0}是速率为λ的泊松过程，以Sn 记第n 个事件发生的时间。求 （1）][4S E （2）]2)1(|[4=N S E （3）]3)1(|)2()4([=-N N N E
6、事件按速率为每小时λ=24的泊松过程发生。 （1）在下午8：00到9:00没有事件发生的概率是多少？ （2）从正午开始，到第四个事件发生的期望时间是多少？ （3）在下午6:00到8:00有两个或两个以上事件发生的概率是多少？ 7、顾客按速率为λ的泊松过程进入银行。假设两个顾客在第一小时内到达。下面的概率分别是多少？ （1）两个顾客都在前20分钟内到达 （2）至少一个顾客在前20分钟内到达 8、某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天内平均达到率为8的泊松过程，他们分别以概率1/2、1/3和1/6订阅1季、2季和3季的杂志，其选择是相互独立的。每次订阅1季时，该负责人可得1元钱手续费。令X（t）表示在[0,t)内此人的全部手续费，试求E[X(t)]。
1：正态过程或者高斯过程 设{(),}X t t T ∈是随机过程，若对任意正整数n 和1212,,,,((),(),,())n n t t t T X t X t X t ???∈???是n 维正态随机变量，则称{(),}X t t T ∈是正态过程或者高斯过程。 2：维纳过程的定义 3：广义平稳过程=宽平稳过程 若两个随机过程X(t)和Y(t)的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关，则称此两个过程为联合严平稳。 4：二维联合分布函数 5：半角公式和全角公式 . cos2α = 2(cos α)^2 ? 1 cos2α = 1 ? 2(sin α)^2 cos2α = (cos α)^2 ? (sin α)^2 6 ：
7：一维概率密度族 (,)X s t ρ= ,0s t > 第三章：泊松过程 1：称计数过程{(),0}X t t ≥为具有参数0λ>的泊松过程，若它满足下列条件： （1）(0)0X =; （2）()X t 是独立增量过程； （3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0λ>的泊松分布，即对任意 ,0s t ≥，有 ()(()()),0,1,...! n t t P X t s X s n e n n λλ-+-=== [()]E X t t λ= 2：定义3.3说明，在充分小的时间间隔内容，最多有一个时间发生，而不能同时有两个或者两个以上事件同时发生。 3：[()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- s 实验报告 实验题目：窄带随机过程的模拟 窄带随机过程的模拟 一、实验目的 （1）了解具有任意功率谱（低频）的正态随机过程的模拟； （2）了解窄带随机过程的模拟方法。 二、实验原理 （1）任意功率谱的正态随机过程的模拟 假定需要产生一个持续时间为d T 的高斯随机过程的一个样本()X t ，要求功率谱 满足()X G f 。为此，可以先将()X t 进行周期延拓，得到一个周期信号，然后对周期信号进行傅里叶级数展开。即 0201 ()()j f k k k d X t X e f T π∞ =-∞ == ∑ 由于傅里叶级数是k X 的线性组合，所以，如果k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值高斯过程，如果{} ()X t 是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱。即 2 220 ()()(())k k k X k G f g f kf g E X δ∞ =-∞ = - =∑ 通过选择k g 就可以得到期望的功率谱。 假定()X G f 是带限的，即 ()0()X G f f B = > 那么，{} 2 k g 只有有限项，共21M +项，与此对应的傅里叶级数也是21M +项。因此，只需产生21M +个互相正交的零均值高斯随机变量{}11,,,,M M M M X X X X --+- 。然后据此构造时域样本函数即可，有 02()[]()M j f k i t k k M X i X i t X e π?=-=?= ∑ 其中t ?为任意小的时间间隔。 （2）窄带随机过程的模拟 对于窄带系统，当系统输入白噪声或宽带噪声时，输出可以表示为 0()()cos[()]Y t A t t t ω=+Φ 其中0ω为中心频率，()A t 和()t Φ是满变化的随机过程，对上式展开得 00()()cos ()sin c s Y t A t t A t t ωω=- 其中，()()cos (),()()sin ()c s A t A t t A t A t t =Φ=Φ，是慢变化的随机过程，分别称为窄带随机过程的同向分量和正交分量。 三、实验内容 第三章习题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为 r ，其中 p, q, r 0, p q r 1 ，设每局比赛后，胜者得 1 分，负者得1分，平局不记分，当两个人中有一个人得到 2 分时比赛结束，以X n表示比赛至第n 局时甲获得的分数， 则{ X n , n 1} 是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率 . 解（ 1）{ X n, n0} 的状态空间为 S { 2, 1,0,1,2} （ 2）{ X n, n 0} 的一步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q r p 0 0 P 0 q r p 0 0 0 q r p 0 0 0 0 1 （ 3）因为两步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q rq r 2 pq 2 pr p2 0 P(2) P 2 q2 2rq r 2 2 pq 2 pr p2 0 q2 2qr pq r 2 p pr 0 0 0 0 1 所以在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率为 p12(2) p pr p(1 r ) 2．设{ Y i,i 1,2,L } 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{ Y i,i 1,2,L } 是否为Markov链？ n （2）令X n Y i，问 { X i , i 1,2,L } 是否为Markov链？ i 1 解（ 1）由于 P(Y n j Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 P(Y 1 i 1, Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 i ,Y n j ) i) P(Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L , Y n 1 i) P(Y 1 i 1 )P(Y 2 i 2 )L P(Y n 1 i )P(Y n j ) j ) P(Y n j Y n 1 i ) 1 i 2 , L ,Y n 1 i ) P(Y n P(Y i 1 ,Y 2 因此， { Y n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . （ 2）取 f 1 (U 1 ) X 1 U 1 ，当 U 1 i 1 时， X 2 U 1 U 2 是 U 2 的函数，记为 f 2 (U 2 ). 依 次类推， X n 1 U 1 U 2 L U n 1 为 U n 1 的函数，记为 f n 1 (U n 1 ), X n U 1 U 2 L U n 为 U n 的 函 数 ， 记 为 f n (U n ). 由 于 U 1,U 2 ,L ,U n ,L 相 互 独 立 ， 则 其 相 应 的 函 数 f 1 (U 1), f 2 (U 2 ),L , f n (U n ),L 也相互独立，从而 n P( X n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) P( Y i j X 1 i 1, X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) i 1 P( X n 1 Y n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i) P(Y n j i ) P( X n j X n 1 i ) 因此 { X n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . 3 设 X i , i 1,2,L 是相互独立的随机变量，且使得 P( X i j ) a j , j 0,1,L ，如 果 X n max{ X i ,i 1,2,L ,n 1} ，其中 X 0 ，就称在时刻 n 产生了一个记录 .若在时刻 n 产生了一个记录，就称 X n 为记录值，以 R n 表示第 n 个记录值 . （1）证明， { R n , n 1,2,L } 是 Markov 链，并求其转移概率； （2）以 T i 表示第 i 个与第 i 1 记录之间的时间， 问 { T n , n 1,2,L } 是否是 Markov 链，若是， 则计算其转移概率 . 明 ：（ a ） 根 据 意 有 ： R 1 X n 1 , R 2 X n 2 ,....R k X n k ， ? ? 足 X n 1 X n 2 .... X n k .... 且 1 n 1 n 2 .... n k .... 故 P{ R k 1 z | R k i k , R k 1 i k 1 ,...R 1 i 1} P{ R k 1 z | j i k i k 1 ... i 1} P{ R k 1 z | j i k } P{ R k 1 z | R k i k } 故 { R i , i 1} 是一个 可夫 且 计算机与信息工程学院综合性实验报告 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。 3、掌握窄带随机过程的分析方法。 二、实验仪器或设备 1、一台计算机 2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理 基于随机过程的莱斯表达式 00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1) 实验过程框图如下： 理想低通滤波器如图所示： 图1 理想低通滤波器 ()20 A H ?ω ?ω≤ ?ω=? ??其它 (3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（） ,则系统输出的物理谱为 2 2 0=()=20 Y X N A G H G ?ω ?0≤ω≤ ?ωωω???（）（） 其它 (3.3) 输出的自相关函数为: 01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞ = ? /22 1cos 2N A d ωωτωπ?=? (3.4) 2 0sin 242 N A ωτωωτπ ??=? ? 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、 ()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密 度图形。 四、MATLAB 实验程序 function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程 %--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p; w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器 Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器 ——————————————————窄带随机过程的产生 学院：计算机与信息工程学院 专业：通信工程 姓名： 学号：1108224070 计算机与信息工程学院验证性实验报告 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。 二、实验仪器 装MATLAB 软件微机一台 三、实验原理 窄带随机过程的产生原理： 00)()sin(2) f t b t f t p p - 四、实验内容 1、基于随机过程的莱斯表达式X （t)=a(t)coswt-b(t)sinwt,用matlab 产生一满足条件的窄带随机过程。 2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。 3、编写matlab 程序计算该随机过程的均值函数，自相关函数，功率谱，包络，包络平方及相位的一维概率密度画出相应的图形并给出解释。 五、实验步骤 根据实验内容，利用matlab 编写程序。 1、 n=1500; a=randn(1,n); %产生随机数 b=randn(1,n); wsize = 9; at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器 bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b); sf=1500; t=1/sf; f0=1000; y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t]; plot(tt,a); %绘制产生的白躁声 2、 n=1500; a=randn(1,n); %产生随机数 b=randn(1,n); wsize = 9; at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器 bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b); sf=1500; t=1/sf; f0=1000; y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t]; plot(tt,b); %绘制产生的白躁声 3、 n=1500; a=randn(1,n); %产生随机数 b=randn(1,n); wsize = 9; at=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,a);%经过滤波器 bt=filter(ones(1,wsize)/wsize,1,b); sf=1500; t=1/sf; f0=1000; y=at*cos(2*pi*f0*t)-bt*sin(2*pi*f0*t);%形成窄带波形tt=[0:t:(n-1)*t]; plot(tt,at); %绘制经过滤波器后的白躁声 4、 n=1500; 上海大学随机过程第六章习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 2 2 1 0000 20222020 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+??++??????P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i =L 是否为Markov 链？ 解（1）由于 第六章 平稳随机过程 6.1平稳过程的概念与例子 第二章2.4中介绍了严平稳过程与宽平稳过程.在自然科学,工程技术中人们常遇到这类过程,例如纺织过程员棉纱截面积的变化;导弹在飞行中受到湍流影响产生的随机波动;军舰在海浪中的颠波;通讯中的干扰噪声等等.它们都是可用平稳过程描述.这类过程一方面受到随机因素的影响产生随机波动,同时又有一定的惯性,使在不同时刻的波动特性基本保持不变.其统计特是,当过程随时间的变化而产生随机波动时,其前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改变 . 由于严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数来决定的,在应用中比较难以确定,而宽平稳过程的判别只涉及一二阶矩的确定,在实际中比较容易获得,因此我们主要研究宽平稳过程.这种仅研究与过程一二阶矩有关性质的理论,这就是所谓相关理论.对于正态过程,由于其宽平稳性与严平稳性是等价的,故用相关理论研究它显得特别方便.本书后面涉及的.主要是宽平稳过程,简称它为平稳过程. 例6.1 设,...}2,1,0,{,±±=n X n 是实的互不相关随机变量序列,且,0][=n X E 2 ][σ =n X D ,试讨论随机序列的平稳性. 解 因为,0][=n X E ???≠===--, 0,00,],[),(2ττσττ n n X X X E n n R 其中τ为整数,故随机序列的均值为常数,相关函数仅与τ有关,因此它是平稳序列. 在物理和工程技术中,称上述随机序列为白噪声.它普遍存在于各类波动现象中,如电子发射波的波动,通讯设备中电流或电压的波动等,这是一种较简单的随机干扰的数学模型. 例6.2设,...}2,1,0,{,±±=n Z n 为复随机序列,且,0][=n Z E mn n m n Z Z E δσ2][=, ,...) 2,1,0(,2±±=∞<∑∞ -∞ =n w n n n σ 为实数序列.对于每一个t,可以证明级数 t iw n n n e Z ∑∞ -∞ =在 均方意义下收敛.令 X(t)= t iw n n n e Z ∑ ∞ -∞ = 利用随机变量级数均方收敛性质,可以推得 E t X E =)]([[ t iw n n n e Z ∑∞ -∞ =]=0, [ )]()([E t X t X E =-τt iw n n n e Z ∑ ∞ -∞ =, ]) (∑ ∞ = ∞--n t iwm m e Z τ窄带随机过程的模拟与分析
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6.窄带随机过程的产生 - 随机信号分析实验报告
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第六章平稳随机过程
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