同角三角函数基本关系
1. 教学分析：
教材分析
同角三角函数基本关系式是学习三角函数定义后，安排的一节继续深入
学习的内容，三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用.同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用.
学情分析
学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了三角函数定义.从方法上
看，学生已经对数形结合，猜想证明有所了解.从能力上看，学生主动学习能力、探究能力有待于提高.
2.教学目标
1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的求值.
2.同角三角函数的基本关系式主要有两个方面的应用:(1)求值(知一求二); (2)证明三角恒等式.本节主要学习三角函数的求值,通过这节课学生应明了如何进行三角函数的求值.
3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法.
3.教学重点与难点
教学重点： 公式1cos sin 22=+αα及
ααα
tan cos sin =的推导及运用. 教学难点：公式1cos sin 22=+αα及αα
α
tan cos sin =的推导,运用同角三角函
数基本关系求三角函数值. 4.教学基本流程
(1)情境引入：大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔
扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就
是著名的“蝴蝶效应”， 两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么我们来看看前些天我们所学习的三角函数.在三个式子中有着“同一个角”其中的联系应该更为紧密！
（2）回顾复习：三角函数定义、三角函数线
设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .
y 叫做α的正弦，记做sin α，即 sin =y α
x 叫做α的余弦，记做cos α，即 cos x α=
叫做α的正切，记做tan α,即 tan y
x
α=
我们就分别称有向线段MP 、OM 、AT 为正弦线、余弦线、正切线. 初中时我们学过以下两个公式：
2
2
sin cos 1αα+=
sin tan cos α
αα
=
请同学们思考：这两个等式是否对任意角α都成立怎么证明，在三角函数中有什么作用
这就是本节课要学习的内容：同角三角函数基本关系. （3）新课：
如图：以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.
x
y
问1：MP ，OM 与OP 长度有什么关系
答：在OMP Rt ?中，由勾股定理得：1222==+OP OM MP
问2：有向线段MP ，OM 分别对应点P 的哪个坐标这个等式可转化成什么形式
122=+y x
问3：y 与x 分别是α的哪个三角函数值上述等式又可以转化成什么形式1cos sin 22=+αα
问4：α终边与坐标轴重合时，点P 坐标是这个公式是否成立 答：α终边与坐标轴重合时， ()0,1P 或()0,1-P 或()1,0P 或()1,0-P 122=+y x
1cos sin 22=+αα也成立
即同一个的正弦、余弦的平方和等于1 问5根据三角函数定义
=αsin ，=αcos ，=αtan
答：y =αsin ，x =αcos ，()0tan ≠=x x
y
α
所以αsin ，αcos ，αtan 之间的关系是αα
α
tan cos sin =，
这个等式成立需要α满足什么条件；
z k k ∈+
≠,2
π
πα 即同一个角的正弦、余弦的商等于该角的正切 同角三角函数基本关系式： ①平方关系：1cos sin 22=+αα 公式变形：αα22cos 1sin -= αα22sin 1cos -=
商数关系：αααtan cos sin =，()z k k ∈+≠2
π
πα
注意以下三点：
1 关系式是对于同角而言的，“同角”的概念与角的表达形式无关.
例如：14cos 4sin 22=+αα，()()1cos sin 22=+++βαβα
2 α2sin 是2)(sin α的缩写，读作“αsin 的平方”，不能将α2sin 写成2sin α.
3 注意公式成立的条件. （4）典例剖析
例1 已知sin α＝3
,5
α-为第三象限角，求cos α与tan α的值.
问题1. 条件“α为第三象限角”有什么作用 答：确定cos α、 tan α的符号. 问题2. 如何建立cos α与αsin 的联系
答：利用平方关系：由22sin cos 1αα+=得22cos 1sin αα=-. 问题3. 如何建立弦、切之间的联系
答：利用商数关系：αα
α
tan cos sin =求出tan α
请同学们自己做出解答. 解：由1cos sin 22=+αα得
2216
cos 1sin 25
αα=-=
cos 0,αα∴ 于是 164 cos 255 α=- =-. 把上题中 “α为第三象限角”去掉，改为 变式 已知sin α＝－5 3 ，求cos α与tan α. 问题1. 比较本题与例1条件不同之处. 答：不知α是第几象限角. 问题2. 这个条件会对cos α、tan α的值产生怎样的影响 答：符号无法确定. 问题3. 如何解决这个问题根据什么条件确定cos α、tan α的符号 答：由sin 0sin 1ααα<≠-且得为第三或第四象限角. 问题4. 求值过程中要先利用什么关系先求cos α还是tan α 答：先利用平方关系求cos α 3 : sin 0sin 15 αα=-<≠-Q 解且 所以α是第三或第四象限角，又因为22sin cos 1αα+= 如果α是第三象限角，那么cos 0α<,于是 164cos 255 α=-=- 从而 25 16 sin 1cos 22= -=∴αα sin 353 tan ()()cos 544 ααα= =-?-= 如果α是第四象限角，那么 54cos =α, tan α＝ ααcos sin ＝-4 3 总结：本题是已知角α的正弦值，求α的其他三角函数值.由22sin cos 1αα+=我 们可以先求出cos 2α，要确定cos α的符号，关键是确定角α所在象限，应根据所给三角函数值的符号确定α所在象限. 应根据sin α的符号确定，这是本题的关键，对于这种“知一求二”型问题，一定要“先定象限，再求值”. 巩固练习 已知5 cos ,sin tan 13 ααα=-求， 的值. 本题让学生独立完成. 上面两个题是已知αsin 或cos α的值，求α的其他三角函数值，若已知α的正切值如何求αsin 与cos α呢我们看个例子. 2例 tan 2,sin ,cos ααα=已知求的值. 问题1. 前面题目的思路是先用平方关系求弦，再用商数关系求切，反过来，已 知切，应该按照怎样的思路求弦呢 答：先利用商数关系化切为弦，把αsin 用cos α表示，然后再代入 22sin cos 1αα+=中，求出2cos α. 问题2. 本题中如何确定αsin 、cos α的符号 答：根据tan α的符号确定.α为第一或第三象限角 22222tan 20,sin tan 2sin 2cos cos sin cos 1sin cos 5cos 1ααα ααα α αααααα=>∴= =∴=+=∴+==Q Q Q 解：为第一或第三象限角如果是第一象限角 α如果是第四象限角， cos ,sin 55 αα=- =-则. 巩固练习 tan sin ,cos ααα=已知求的值. 本题让学生独立完成. （5）方法总结与课堂练习： 方法总结 cos sin 2cos ααα= ==则 sin cos tan tan sin cos sin cos . αααααααααα一.若已知或，先通过平方关系得出另外一个三角函数值，再用商数关系求得. 二.若已知，先通过商数关系确定与的联系，再代入平方关系求得与注意：若所在象限未定，应讨论所在象限. 课堂练习 4 cos =sin 5 ααα-1.已知，求，tan 的值. （6）小结与作业： 1．同角三角函数的基本关系的推导 2．同角三角函数的基本关系 （1） 22sin cos 1αα+= （2） sin tan cos α αα = 3．同角三角函数的基本关系的应用 先定象限,后求值 求值 弦切互化 方程组的思想 作业：课本21页10.（2）（3） 谢谢各位老师的指导！ ? ????sin 2cos ,.x x x =-2.已知求角的三个三角函数值
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