湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 22.简单的三角恒
等变换学案
【学习目标】
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
预 习 案
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝ ；(2)cos 2α＝ ＝ －1＝1－ ；
(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2
)． 2．半角公式：(1)sin α2＝ ； (2)cos α2
＝ ； (3)tan α2＝ ＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α
. 3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝ ；α2＝ ；3α＝ 都适用．
4．由cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式：cos 2α＝ ；sin 2α＝ ；升幂公式cos2α＝ ＝ .
【预习自测】
1．若sin76°＝m ，用含
m 的式子表示cos7°为
( ) A.
1＋m 2 B.1－m 2 C ．± 1＋m 2 D. 1＋m 2
2．设sin2α＝－sin α，α∈(π2
，π)，则tan2α的值是________．
3．函数f (x )＝sin 2(2x －π4
)的最小正周期是________．
4．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59
，那么sin2θ的值为________．
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝ ( )
A ．－45
B ．－35 C.35 D.45
探 究 案
题型一：求 值
例1.求值：
(1)sin18°cos36°； (2)2cos10°－sin20°cos20°
(3)sin10°2sin50°2sin70°. (4)
1＋cos20°2sin20°
－2sin10°2tan80°
例2.（1）已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsin π4
＋α ＝________.
(2)已知cos(π4－α)＝35，－3π2<α<－π2.则cos(2α－π4)=
(3)若cos(π4＋x )＝35，1712π＜x ＜74π，求sin2x ＋2sin 2
x 1－tan x
的值．
题型二 化 简
例3.（1）已知函数f (x )＝
1－x 1＋x .若α∈(π2，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为________．
(2)化简sin 2α2sin 2β＋cos 2α2cos 2β－12
cos2α2cos2β.
(3)已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x 且x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，且x ≠k π＋π，k ∈Z .
①化简f (x )；
②是否存在x ，使得tan x 22f (x )与1＋tan 2x 2sin x
相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．
题型三：证明
例4.已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α.
拓展：(1)求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2 3＋cos4x
1－cos4x
(2)若tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.
我的学习总结：
（1）我对知识的总结
. （2）我对数学思想及方法的总结