第八章 偏导数与全微分
一、选择题
1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x
u
x
y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2
1
-
B. 21
C. -1
D. 1
2.函数62622++-+=y x y x z [ D ]
A. 在点(-1, 3)处取极大值
B. 在点(-1, 3)处取极小值
C. 在点(3, -1)处取极大值
D. 在点(3, -1)处取极小值
3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]
A. 充分而非必要条件
B.必要而非充分条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2
x +22y +32
z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数
=??l
u
[ D ] A.
635 B.635- C.335 D. 3
3
5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]
A. 在点(0, 0)处取极大值
B. 在点(1, 1)处取极小值
C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx
dy
= [ B ] A. y cos 1ε+ B.
y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y
cos 11
ε+
8. 函数y
x xy z 2050++
= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值
C.在点(5, 2)处取极大值
D. 在点(5, 2)处取极小值
9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2
t -, z=3
t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =
-，则
(,)x y
f y x
= B A. 42
xy
y x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --
12．为使二元函数(,)x y
f x y x y
+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.
4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23
x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222z
y
?=?，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =B
A.2
(1)2y x y +++ B. 2
(1)2y x y +-+ C. 2
(1)2y x y +-- D. 2
(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = C
A.344xy x y ++
B. 2xy x y ++
C. 364xy x y ++
D. 346xy x y ++
15．为使二元函数2
22
(,)xy f x y x y =+在全平面内连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B
A.-1
B.0
C.1
D. 16．已知函数2
2
(,)f x y x y x y +-=-，则
(,)(,)
f x y f x y x y
??+=?? C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -
17．若()y
f x
=
(0)x >，则()f x =B
B. C.
x
D. 18．若x
z y =，则在点 D 处有
z z y x
??=?? A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e
19．设2
y z x =，则下列结论正确的是 A
A.
220z z x y y x ??-=???? B. 220z z
x y y x ??->???? C.
220z z
x y y x
??-
0(,)11
sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??
=?+≠??
，则极限00
lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).
(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.
二元函数z =
在原点(0,0)处（ A ）.
(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微
(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微
23．设()u f r =
，而r =，()f r 具有二阶连续导数，则222222u u u
x y z
???++=
???（ B ）.
(A) 1''()'()f r f r r +
(B) 2
''()'()f r f r r
+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212
''()'()f r f r r r
+
24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数2
2
1z x y =--的极大值点是 （ D ）.
(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)
26
．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）. (A)
14
(B) 14- (C) 12
(D) 12-
27．极限24200
lim x y x y x y →→+（ B ）.
(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1
2
28．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00
||P P z z
dz dx dy x y ??=
?+??? (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yx
y y d ln d 1
+- (B)．y x x yx y y d d 1+-
(C)．y x x x x y
y d ln d + (D)．y y x x yx
y y d ln d 1
+-
30. 已知
=??==
=y z
xy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）
（A ）y x xy y
x 32
32
ln 2+ （B ）y x
xy y x 32
3
2
ln 2- （C ）y x xy y x 3
2
32
ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+
31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}
（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}
（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}
32．设2
2),(y x xy
y x f +=
，则下列式中正确的是（ C ）；
)A ( ),(,
y x f x y x f =??
?
?
?； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；
)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-
33．设e cos x
z y =，则=???y
x z
2（ D ）； )A ( e sin x y ； )B ( e e sin x
x
y +；)C ( e cos x
y -； )D ( e sin x
y -
34．已知2
2),(y x y x y x f -=-+，则
x f ??=??+y
f （ C ）；
)A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．
35. 设y xy x z 2
2
32-+=，则=???y x z
（ B ）
（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.
36.设
()=
??=?
?
? ?
?x z
y x y x f z 00
, ,,则
（ B ）
（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000
,,lim
（B ）()()
x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim
（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000
,,lim
（D ）()
x y x x f x ??+→?000,lim
37. 设由方程0=-xyz e z
确定的隐函数
()=
??=x z y x f z 则
,,（ B ）
（A ）z z
+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -1
38. 二次函数 1
1)4ln(2
2
22-++
--=y x y x z 的定义域是（ D ）
A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；
B. –1 ≤ 2
2y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 2
2
y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 2
2
y x + ＜ 4。 39. ),(y x f 在点),(y x 处的偏导数),(y x f x 和),(y x f y 连续是),(y x f 可微分的（ B ） A.充分必要条件； B.充分非必要条件； C.必要非充分条件； D.非充分又非必要条件。 40. 抛物面 22
y x z +=上点P 处的切平面平行于平面 032=++-z y x ，则点P 的坐标是（ C ） A. )0,21,
1(； B. )0,21,1(-； C. )45,21,1(-； D. )4
5
,21,1( 41. 设 2yx e
z xy
+= ，则
y
z
??︱=)2,1(（ B ） A. 1+e ； B. 12
+e ； C. 12+e ； D. 12-e 。
42. 设二元函数 2
332
339z x y x x y =-++- 的极小值点是（ A ）
A.（1，0）；
B.（1，2）；
C.（-3，0）；
D.（-3，2）
43. 设
()
=??=x u
xy u 1,1 ,则
（ B ）
（A ）0 （B ）21
（C ）-1 （D ）1
44. 设()y x f z ,=是由方程)sin(xyz xyz =决定的隐函数，则=
??x z （ D ） （A ）z x （B ）yz yz sin （C ）yz yz cos （D ）x z
-
45. 设
()
=??+=y z
x y e z xy 2,12 ,则
( B )
（A ）1+e （B ）12
+e （C ）12+e （D ）12-e
二、填空题 1.
=++∞
→→y y x y x
)1(lim 2
2e
2. 函数u=ln (222z y x ++)在点M(1, 2, -2)的梯度gradu= 9
2
{1, 2, -2}
3. =→→y
xy y x )
sin(lim 0
2 2 4. 已知)(xy f z =是可微函数，则=dz dy xy xf dx xy yf )()('
'
+ 5.
2
4lim
)
0,0(),(-+→xy xy
y x = 4
6
．设r =，则2
gradr ＝ 222xi y j zk ++r r r
7
．曲线1
z x ?=??=??
处的切线与Y 轴的正向夹角是 3π
8．设2
2
2
ln()r x y z =++，则gradr = 2
22222222
222x y z
i j k x y z x y z x y z
++++++++r r r 9．函数33
x y
z x y
+=
+的间断点是 0x y += 10．函数u xyz =在点(1,1,1)沿方向(2,1,3)-的方向导数是 0
11. 函数()ln u xyz =的定义域是
{}(,,)0,0,00,0,00,0,00,0,0x y z x y z x y z x y z x y z >>>><<<><<<>或或或
12.
二元函数22
1arcsin z x y
=+的定义域是 22
14x y ≤+≤ 13．函数2
2
3246u x y y x z =-++在原点沿方向{2,3,1}=l 的方向导数为
14.函数ln(ln )z x y =?的定义域是{(,)|0,10,01}x y x y x y >><<<或 15.曲面3x
e xy z ++=在点(0,1,2)处的法线方程为
12
201
x y z --==
16．极限
00
x y →→= 1
4-
17．若(,)32f x y x y =+，则[,(,)]f xy f x y = 643x y xy ++ 18．设有函数(,,)y
u x y z x z =，则(1,2,2)|du = 4dx dz + 19.函数2
2
1z x y =--的极大值点是 (0,0)
20
．设函数23
,{u x l y z ==r 则方向导数()
1,1,1u l
?=?
21．设函数(
)
2
2,,z
z f xy y x y
?=-=?可微则
122y xf f - 22．曲面2
22z y x =+上一点（1，-1，3）处的切平面方程为 4230x y z ---= 23. 2
2
4y x z +=-在点P （0,1,3）处的切平面方程 2y+z=5 ，法线方程
13
021
x y z --==
-- 24、设xy
x e
z 22+=，则全微分dz= ()[]xdy dx y x e xy
x
++?+22
2
25、设z=y x z y x n ???+22
2),(121则= 2
22)
(2y x xy +- 26、已知=??+??+=-y
y x f x y x f y x y x xy f )
,(),(,
),(2
2
22x y +
27. xy xy y x 42lim
0+-→→= 1
4-
28. 已知
z x y z =ln
，则=??x z x z z x z +=
??
29. 已知xy z sin =,则=dz xydy x xydx y dz cos cos += 三、计算与证明
1. 设z=f (x+y, xy)的二阶偏导数连续, 求y
x z
???2
解：
x
z ??=y f f ?+'
2'1 y
x z ???2='2''22''12''11)(f xyf y x f f ++++
2.求平面
110
43=++z y x 和柱面122=+y x 的交线上与xoy 平面距离最短的点 解：设(x, y, z)是交线上任一点，由已知，距离函数f (x, y, z)=z
又设)1()110
43(
),,,,(22-++-+++=y x z
y x z z y x L μλμλ 令：???????
??????=-+==-++==+
==+=
=+=)
5(01)4(011043)3(0
10
2)
2(0
24
)1(02322y x L z
y x L z L
y L x L z y x μ
λλ
μλ
μλ
(1) 与(2)相比，得：x y 4
3
=， 代入(5), 得：54±
=x ；相应的有：5
3
±=y 从而得交线上的两点：)635,53,54(， )6
85
,53,54(--
其中：点)635,53,54(到xoy 平面的距离是635
点)685,53,54(--到xoy 平面的距离是685
比较得：所求点是)6
35
,53,54(
3.证明极限422
0lim y x xy y x +→→不存在
证明：当(x, y)沿着曲线2
y =x 趋于(0, 0)时，
42
2
0lim y x xy y x +→→＝21lim 4440=+→y y y y 当(x, y)沿着曲线22
y =x 趋于(0, 0)时，
42
2
0lim y x xy y x +→→＝5242lim 4440=+→y y y y 所以，极限422
0lim y x xy y x +→→不存在
4.设z=xf (xy, y
e ), 求y
x z
???2
解：
x
z ??=xy f f ?+'
1 y
x z ???2=''12''112'2'12f xye yf x f e xf y y +++
5. 求曲线x= t-sint, y=1-cost, z=42sin
t , 在点M(12
-π
, 1, 22)处的切线及法平面方程 解：因为't x =1-cost, 't y =sint, '
t z =2
cos 2t
而点M(12-π
, 1, 22)所对应的参数为t=2
π
点M 的切向量T ρ
={1, 1, 2}
故点M 处的切线方程为
2
2211121-=-=-
+z y x π
点M 处法平面方程为: x+y+2z=
42
+π
6. 求曲面3=+-xy z e z 在点(2, 1, 0)处的切平面方程及法线方程 解：令F(x, y, z)= 3-+-xy z e z
则1,,'
'
'
-===x
z y x e F x F y F
故0)0,1,2(,2)0,1,2(,1)0,1,2('
''===z y x F F F 因此:点(2, 1, 0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0
点(2, 1, 0)处的法线方程为??
???=-=
-02112z y x
7. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz 及梯度gradz 解：
)cos(y x y x
z
+=??， )cos()sin(y x y y x y z +++=?? 故：dz=[ycos(x+y)]dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dy
g radz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y))
8. 设直线???=--+=++0
30
:z ay x b y x l 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点
M(1, -2, 5), 求a,b 之值
解：点M 处曲面的法向量n={2x, 2y, -1}M ={2,-4,-1} 点M 处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0
即: 2x-4y-z-5=0, 此即平面π之方程 由直线l 可得y=-x-b, z=x-a(x+b)-3 代入π得: (5+a)x+4b+ab-2=0
解得: a=-5, b=-2
9.设函数z=f (u, v), 则u, v 具有二阶连续偏导数，其中u=3x+2y, v=y x ， 求y
x z
???2
解：
x
z ??='
2'113f y f +
y x z ???2='22
''122''223'
'111)32(6f y f y x y f y x f --+-
10.66
245
(,)(0,0)lim ()x y x y x y →+是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，说明理由。 解：不存在。
66
2
4500
lim 0()x y x y x y =→=+。 2669
2452500,lim lim ()
(2)x x y x x y x x y x →→==→+∞+。 11.求u 关于x,y,z 的一阶偏导数：z
y u x = 解：
1z z y u y x x -?=?。 1ln z z y u zy x x y -?=? ln ln z y z u x y x y z
?=?
12、说明函数在何时取得极值，并求出该极值：2
(1)z x y =-+ 解：函数定义域2R 。因为0z ≥，故10x y -+=时极小；无极大。
解方程组2(1)02(1)0z
x y x
z x y y
??=-+=??????=--+=???，可知函数驻点分布在直线10x y -+=上。
对于此直线上的点都有0z =。但是0z ≥恒成立。所以函数在直线10x y -+=上的各点取得极小值0z =。
13.
22
22(,)(0,0)
lim ()x
y
x y x y →+
解：
22
22(,)(0,0)
lim ()x
y
x y x y →+=
22
22ln()
(,)(0,0)
lim
x
y x y x y e +→
而()2
2
2
2
2
22221ln()ln()4
x y x y x y x y +≤
++ ()22222,(0,0)1lim
()ln()04x y x y x y →++=，
。故原式=0
1e = 14.求u 的一阶全微分：22
z
u x y
=
+ 解：2222()()z du xdx ydy x y =-
++22
dz
x y ++
15
、求函数u =
在点M （1，2，-2）沿曲线2
4
22x t
y t z t =??=??=-?
在此点的切线方向上的
方向导数。
解：2232222
()
u y z x
x y z ?+=
?++，
32222
()
u xy y
x y z ?=-?++，
32222
()
u xz z
x y z ?=-?++。
在点（1，2，-2）它们的值分别是822,,272727- 曲线在该点切线方向余弦为148
,,999
-。
方向导数为
81242816()()279279279243
M
u l
?=
+-+-=-?g g g
16.
(,)(0,)sin()
lim
x y a xy x →
解：
(,)(0,)sin()
lim
x y a xy x
→=(,)(0,)sin()lim
x y a xy y xy →g =a 17.求由下式决定的隐函数z 关于x 和y 的一阶偏导数：()
x y z x y z e -++++=。
解：等式两端对x 求偏导数，得()1(1)x y z z z
e x x
-++??+
=--?? 故
1z
x
?=-?。利用对称性可得1z y ?=-?
18.用拉格朗日法求条件极值：2
2
,1x y
z x y a b
=++=(0,0)a b ≠≠ 解：设2
2
(,)(1)x y
F x y x y a b
λ=+++
-，解方程组 1
201201F x x a F
y y
b x y a b
λλ??=+=???
??=+=?
???+=?? 可得2222222222
2,,a b ab a b
x y a b a b a b λ=-==+++。
由于当x →∞或y →∞时都有z →+∞。故函数只能在有限处取得极小值（最小）值：
当222222,ab a b x y a b a b ==++时，函数取得极小（最小）值22
22a b z a b =+
19.
求极限00).x y xy →→
解：原式00
x y →→=
0000
(2)
lim (1)
1(2).
2
x y x y →→→→==-
=-
分分分
20.设2
2
(,)z f x y xy =-，求2z
x y
???.
解：
1212'2'2'',(2)z
f x f y xf yf x
?=?+?=+?分 21112221222[''(2)'']'[''(2)'']z
x f y f x f y f y f x x y
?=?-+?++?-+??? 22
1112221224''2'''2''''
(3)xyf x f f y f xyf =-++-+分.
21. 求抛物面22
z x y =+到平面10x y z +++=的最近距离。
解：设(,,)M x y z 在2
2
z x y =+上，M 到10x y z +++=的距离为d ，则
(1),d =
分
2
2
(1).3
x y z d +++=
记222
(,,,)(1)()L x y z x y z x y z λλ=+++++-，
令222(1)202(1)20(2)2(1)00x y
z
L x y z x L x y z y L x y z L x y z λ
λλλ=++++=??=++++=??
=+++-=??=+-=?分 解得：11
22
,(2)x y z ==-=
分.
所以
111|1|(2).222d =
--++=分
22.求曲面2
2
z x y =+上与平面240x y z +-=平行的切平面方程。 解：曲面2
2
z x y =+的切平面的法向量为
{2,2,1}(2)x y =-1n 分， 平面240x y z +-=的法向量为 2{2,4,1}.=-n
要使2
2
z x y =+切平面与平面240x y z +-=平行，必有//12n n ，即
221(2).241
x y -==-分 解之得，1,2,x y == 从而5
(2)z =分.
因此为2(1)4(2)(5)0,x y z -+---= 23． 函数arctan
,y
z x
=求(1,1)|dz . 解：因为
2222(1,1)
(1,1)
2
(1,1)
11()(2),2
1z
y y
y x x x y x ?=-=-=-
?++分
222(1,1)
(1,1)
2
(1,1)
111
(2),2
1z
x
y y x x y x ?=?==
?++分
所以 (1,1)11
|(1).22
dz dx dy =-
+分 24．设函数(,)z z x y =由方程2
2
2
()y
x y z xf x ++=确定，求z x
??。 解：(方法一)
令2
2
2
(,,)().y F x y z x y z xf x
=++- 则2()'(),2'(),2(2)x y z y y y y
F x f f F y f F z x x x x
=-+=-=分， 因此
()'()2(3)2x z y y y
f f x F z x x x x F z
--?=-=?分 .
(方法二)
方程222
()y
x y z xf x
++=两边对x 求导，并注意z 是,x y 的函数，得 222()'()()()'(),z y y y y y y x z f xf f f x x x x x x x
?+=+-=-? 解得
()'()22y y y
f f x z x x x x z
--?=?. 25．如何将已知正数a 分成两个正数,x y 之和，使得p
q
x y 为最大，其中p 、q 是已知的正
数。
解：由拉格朗日乘数法，令
(,,)()(2).p q L x y x y x y a λλ=++-分
由11
00(2)0
p q x p q y L px y L qx y L x y a λλλ--?=+=?=+=??
=+-=?分 解得驻点(
,)(2)ap aq
p q p q
++分. 又由题意当点(,)x y 趋于边界0x =或0y =时，目标函数f 趋于零，所以连续函数f 在驻点取最大值。因此当,ap aq x y p q p q
=
=++时，p q
x y 的值最大 26．设3
(,)(,),,y
z f x y g u v u x v x =+==，其中,f g 具有一阶连续偏导数，求.z
x
?? 解：
'''(2)x u v z u v f g g x x x
???=+?+????分
'2'1'
3(3).y x u v
f x
g yx g -=++分
27．求曲线2
2,cos(),2ln x t y t z t π===在对应于2t =点处的切线及法平面方程。 解：当2t =时，对应点的坐标为(8,1,2ln 2)；又参数方程的切线方向向量为： 222
|{4,sin(),}|{8,0,1}(2)t t t t t
ππ===-=n 分，
故切线方程为812ln 2
(2)801
x y z ---==分，
或88(2ln 2)
10x z y -=-??
-=?
.
而法平面方程为8(8)(2ln 2)0(2)x z -+-=分.
28.求函数23
u xy z =在点0(1,1,1)M 处方向导数的最大值和最小值。 解：u 在点0(1,1,1)M 处沿方向l 的方向导数为：
23322(cos 2cos 3cos )|cos 2cos 3cos (2).
M M u y z xyz xy z l
αβγαβγ?=++?=++分
令0
{cos ,cos ,cos },{1,2,3},αβγ==l g
则
000||||cos ,M u l
???=?=???g l g l g l 为与的夹角。
要使
M u l
??取最大值，则cos 1?＝，即0?＝，也就是0
g l 与同向时，
M u
l
??取最大值，
即：当1,2,3}=
l 时，
M u l ??
取最大值||).=g 分
同理，要使
M u
l
??取最小值，则cos 1?＝-，即?π＝，也就是0
g l 与反向时，
M u l
??取最小
值，即：当1,2,3}=
l 时，
M u l ??
取最小值||(3).=g 分
29. 设函数)e ,(2
xy
y x f z =，求
x
z ??，y z ??． 解：设y x u 2
=，xy
v e =，那么
xy x u 2=??，2x y u =??，xy y x
v
e =??，xy x y v e =?? 故
x v v f x u u f x z ?????+?????=??=u f xy ???2+v
f
y xy ???e
y v v f y u u f y z ?????+?????=??=u f x ???2+v
f x xy ???e 30. 设()y x z z ,=是由
06333
=-+++xyz z y x 所确定的隐函数，求它在点（1，2，-1）处的偏导数y z
x
z ????及
的值。 00
00
2022
231
,=(1,2,1)35311
3(3)5
3)
(M M M M z yz
x M x xy z z xz
y y xy
z ?--==--?+?--==-?+分分
31. 斜边长为m 的所有直角三角形中，求有最大周长的直角三角形直角边的边长． 解：设两条直角边的边长为x ，y ，周长为S ，则
y x m S ++=（1分）
并满足 2
2
2
m y x =+．由
)(),,(222m y x y x m y x F -++++=λλ（2分）
令 ?????????=-+=??=+=??=+=??0021021222m y x F
y y F
x x F
λ
λλ（3分） 解得 m y x 2
2=
= 因为所有直角三角形的直角顶点位于直径为m 的半圆周上，最小周长不存在，从而实际问
题只有最大值，此时有最大周长的直角三角形的边长均是
2
m 。 32.．设
v e z u
sin =，而xy u =,y x v +=,求x z ??,y z
?? x v
v z x u u z x z ????+
????=??
=
1cos sin ?+?v e y v e u u =
()v v y e u
cos sin +（3分） y v v z y u u z y z ????+
????=??
=1cos sin ?+?v e x v e u
u =
()v v x e u
cos sin + 33.．设(
)
f y x f z 且 ,2
2+=可微，求z z
y
x x y
??-??。
2 (2) 2 (2) 0(2)z z z z
xf yf y x x y x y
????''==-=????分分分 34．求曲面3=+-xy z e z 在点()0,1,2处的切平面与法线的方程.
()3,,-+-=xy z e z y x f z 则
()10,1,2=??x f ,()
20,1,2=??y f ,
()00,1,2=??z f
（3分） 切平面方程为()()000122=-+-+-z y x 即042=-+y x （2分）
法线方程为???
??=-=-0
21
12z y x （2分）
35.将正数12分成三个正数z y x ,,之和，使得z y x u 2
3
=为最大.（8分）
解：令)12(),,(2
3-+++=z y x z y x z y x F λ，则 ???????=++=+='=+='=+='12
0020
32
33
22z y x y x F yz x F z y x F z y x λλλ（3分） 解得唯一驻点)2,4,6(（4分），故最大值为.69122462
3max =??=u
36、已知z=arctan x
y
，求
y x z x z ?????2,。
解：2
22
2
2222)
(,y x x y y x z y x y x z +-=???+-=?? 37.设(
)
2
2
,z f xy y x =+,求2,z z y x y
?????
122z y x f f y
?=?+??，()()2
111221222222z
x y y x y x f f f f f x y ?=++++?? 38. 已知z=arctan x
y
，求
y x z x z ?????2,。
解： 222
22222(3),(3)()
z y z y x x x y x y x y ?-?-==?+??+分分 39、设z=x 2lny ，而x=
v u ，y=3u-2v ，求v
z
u z ????,。 解：
2
2223ln(32),(3)(32)
z u u u v u v v u v ?=-+?-分
232ln(32)12[](3)(32)
z u v u v v v u v ?-=-+?-分 40．将正数a 分成三个正数之和，使它们之乘积为最大。求这三个数。
解: 设三个数分别为x,y,z.
作(,,,)()(2)0
,(4)(4)
300
x
y z F x y z xyz x y z a F yz F xz a x y z F xy F x y z a λλλλλλ=+++-'?=+=?
'?=+=?===?'=+=??'=++-=??分令分分 41．设)arctan(xy x z =，求)1,1()1,1(1,1(|||gradz z z y x ；；）
解：()()()(1,12
1,11|arctan 421x xy z xy xy π??=+=+??+????）（2分） ()()2(1,1)2
1,11
|2
1y x z xy ??==??+????（2分） (1,1)11|422
gradz i j π??=++ ???r r
（2分）
42．求曲面3=+-xy z e z
在点)0,1,2(M 处的切平面方程和法线方程。
解：()[]()()[]()()()
2,1,02,1,02,1,02,1,01,2,1,02,2,1,010z
x y z y x e F F F =====-=????
（3分）
切平面方程为240x y +-=
法线方程为21120
x y z
--== 43、设22ln y x z +=，求()1,1dz
解:
()()221,11,112z x x y x ?==?+ (2分) ()()221,11,11
2
z y y y x ?==?+(2分) ()1
2
dz dx dy =
+(2分) 44、设()xy xF
z x
y
+= ，其中()u F 可微，证明；z xy y
z
y x z x +=??+??
证:
z y y y F F y x x x x ?????'=-+ ? ?????? (2分) z y F x x x ???'=+ ????
(2分) z z y y y y x
y x F F y y F x xy z x y x x x x ??????
??????''+=-+++=+ ? ? ? ? ?????????????
(2分) 45.求曲面2
2
2y x z +=上点M(-1,1,3)处的切平面及法线方程。
解：
()
()1,1,31,1,322z
x x --?==-?
()()1,1,31,1,344z y y --?==?(2分) 切平面方程为()()()214130x y z -++---=即2430x y z -++=(2分)
法线方程为
113
241
x y z +--==
-- 46、求xy y x y x f 3),(3
3
-+=的极值。
解：22330330f
y x x
f x y y
??=-=??????=-=??? 解得驻点为()()0,0,1,1(2分)
A=22
6,f x x ?=? B=2
3,f
x y ?=-?? C=226f y y
?=?(3分) 在点()20,0, 90AC B -=>无极值
在点()21,1, 93627060AC A B -=-=-<=>又 所以在点（1，1）函数有极小值(1,1)1f =-(2分)
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共 16分) 4. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. ) ( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1) -二阶可导且'>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 8. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 ()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在 =0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1(1)9y 的 解. 四、 解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01， 且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵 坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线 x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所 得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的 [,]∈01q ，1 ()()≥??q f x d x q f x dx . 17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且 )(0 =?π x d x f ， cos )(0 =? π dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个 不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设 ?= x dx x f x F 0 )()(）
大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限
大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在
二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?
5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++Q 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分
第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020 （一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、 5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- （一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 0 00x x x <=> ，若0 lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21 ()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ?? =????? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21lim 1x x e →∞= D 、1 lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、() cos x x x →∞ 3、0 lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B C 、3- D 、3 5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内（ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x关于大学高等数学期末考试试题与答案
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