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不等式解法大全(绝对值不等式,分式不等式,一元二次不等式,含参不等式,高次不等式)

不等式解法大全(绝对值不等式,分式不等式,一元二次不等式,含参不等式,高次不等式)
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不等式的解法方法归类

一.一元二次不等式的解法

例1、不等式2654x x +<的解集为_________________________________. 例2等式2

230x x -->的解集是___________________________.

例3.式2560x x -++≥的解集是______________________________. 例4.一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ??-<

?,则ab 的值是__ 例5. 式的解集:

⑴ ()()410x x +--<; ⑵ 232x x -+>; ⑶ 2

4410x x -+>.

例6 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x .求不等式02>++a bx cx 的解集.

二.分式不等式的解法

解分式不等式的基本思路:等价转化为整式不等式(组):

(1)()()()()00f x f x g x g x >??> (2)()()()()()

000f x g x f x g x g x ?≥??≥??≠??

例1. 解下列不等式

1、

302x x -≥- 2、2113x x ->+ 变式3:解不等式

4 不等式

3113x x +>--的解集是 8. 不等式2112

x x ->-+的解集是 三.对值不等式的解法

c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

(1时,不等式c b ax >+的解集是{}

c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{

}

c b ax c x <+<-; (2).式c b ax >+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1解不等式32<-x 解不等式2|55|1x x -+<.

变式训练

例1.式22x x x x >++。 2.不等式12

1≥++x x

变式训练例3、解不等式123x x ->-。 例3 解不等式242+<-x x

四.绝对值衍生题型:

例1. 解不等式125x x -++<。 例2.解不等式2112≤++-x x

例3. 对任何实数x ,若不等式12x x k +-->恒成立,则实数k 的取值范围为

(A)k<3

(B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-3

例4. 对任何实数x ,若不等式K x x ≤++-13恒成立,则k 的取值范围为

例5.对任何实数x ,若不等式K x x ≤++-112恒成立,则k 的取值范围为 (

例6、解关于x 的不等式

1212-<-m x )(R m ∈

例7、不等式x 0)21(>-x 的解集是( )

.A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),21(+∞ .D )21,0(

五.一元二次不等式的恒成立问题

例1、若不等式210x mx ++>的解集为R ,则m 的取值范围是( )

A .R

B .()2,2- C. ()(),22,-∞-+∞ D .[]2,2-

例2:若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的范围。

六.一元二次方程根的分布

例1.二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根,求m 的取值范围。

例2元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数,求k 的取值范围。

例3.范围内取值,一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根?

例4.于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.

(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的范围.

(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的范围.

七.高次不等式的解法

例1 解不等式:(1)01522

3>--x x x ; (2)0)2()5)(4(32<-++x x x

例3. 解不等式2212(1)(1)

x x x -<+- 例4. 不等式2206x x x x +<+-的解集是

例5 解下列分式不等式:(1)22123+-≤-x x ; (2)12

731422<+-+-x x x x

八.含参不等式的解法

1. 解x 的不等式:(1)042

>++ax x 。 (2) )(0122R a a ax ∈>++。

2.解关于x 的不等式:(1).01)1(2<++-x a ax (2))(0)1(2R k x k kx ∈>-+

3.解x 的不等式:

(1))(04)1(22R a a x a x ∈>++-(2))(01)1(2)1(22R a x a x a a ∈<+---.

4. 解关于x 的不等式:(1)

2)1(--x x a >1(a ≠1); (2)11x a x <--。

6. 解不等式)0( 01)1(2≠<++

-a x a

a x . 7. 解关于x 的不等式 )(R a x ax ∈≥++222

8关于x 的不等式2

)1(|2)1(|2

2-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B , 若B A ?,求实数a 的取值范围. (31,1≤≤-=a a 或)

9.已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ,

①若A B ,求实数a 的取值范围.;(2>a )②若A B ?,求实数a 的取值范围.; ③若B A 为仅含有一个元素的集合,求a 的值.(1≤a )

例10.解不等式x x x ->--81032.

************错题集(每一道错题都是明天的考试题)************ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

高考数学 高次分式不等式解法

课 题:分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一:利用前节的方法求解; 分析二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,∴原不等 式的解集是下面两个不等式组:???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集,即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4-0401x x 或? ??>+<-040 1x x ?x ∈φ或-40; 解:①检查各因式中x 的符号均正;②求得相应方程的根为:-2,1,3; ③列表如下: ④由上表可知,原不等式的解集为:{x|-23}. 小结:此法叫列表法,解题步骤是:

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式(各项x的符号化“+”),令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分……; ②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列); ③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号; ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习:解不等式:x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-13}. {x|-10(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;(为了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?); ④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”, 则找“线”在x轴下方的区间. 注意:奇过偶不过 例3解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解:①检查各因式中x的符号均正; ②求得相应方程的根为:-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根); ③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始奇过偶不过),如下图: ④∴原不等式的解集为:{x|-1

含参不等式的专题练习教学设计 .doc

例2 解不等式135 x <-< 课后练习: 一.选择题(共2小题) 1.(2015春?石城县月考)已知m为整数,则解集可以为﹣1<x<1的不等式组是() A .B . C . D . 2.(2002?徐州)已知实数x、y同时满足三个条件:①3x﹣2y=4﹣p,②4x﹣3y=2+p,③x>y,那么实数p 的取值范围是() A .p>﹣1 B . p<1 C . p<﹣1 D . p>1 二.填空题(共7小题) 3.(2012?谷城县校级模拟)若不等式组恰有两个整数解.则实数a的取值范围 是. 4.(2010?江津区)我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2,若x,y均为整数,且满足1 <<3,则x+y的值是. 5.若不等式组的解集是﹣1<x<1,则(a+b)2009=. 6.关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7,则m的取值范围是. 7.不等式组的解是0<x<2,那么a+b的值等于. 8.已知不等式组的解集1≤x<2,则a=. 9.若关于x的不等式的解集为x<2,则k的取值范围是. 三.解答题(共4小题)

10.(1)解方程组: (2)求不等式组的整数解. 11.(2013?乐山)已知关于x,y的方程组的解满足不等式组,求满足条件的m的整数值. 12.(2011?铜仁地区)为鼓励学生参加体育锻炼,学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球,已知篮球和排球的单价比为3:2,单价和为160元. (1)篮球和排球的单价分别是多少元? (2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个,且购买的排球数少于11个,有哪几种购买方案? 13.(2011?邵阳)为庆祝建党90周年,某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛.规则一:合唱队的总人数不得少于50人,且不得超过55人. 规则二:合唱队的队员中,九年级学生占合唱团总人数的,八年级学生占合唱团总人数的,余下的为七年 级学生. 请求出该合唱团中七年级学生的人数.

分式不等式的解法

一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法(关键是去掉绝对值) 利用绝对值的定义:(零点分段法) 利用绝对值的几何意义:||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 分解因式; 3) 标根(令每个因式为0,求出相应的根,并将此根标在数轴上。注意:能取 的根打实心点,不能去的打空心); 4) 穿线写解集(从右到左,从上到下依次穿线。注意:偶次重根不能穿过); 一元二次不等式解法步骤: 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 首先考虑分解因式;不易分解则判断?,当0?≥时解方程(利用求根公式) 3) 画图写解集(能取的根打实心点,不能去的打空心) 3 分式不等式的解法 1)标准化:移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <);()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式, 2)转化为整式不等式(组)()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?; 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -<

分式不等式的解法基础测试题回顾.doc

分式不等式的解法 一.学习目标: 1.会解简单的分式不等式。 二.学习过程 (一)基础自测 1.解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)-x 2+7x >6 (3)()()015<+-x x . (二)尝试学习 2.解下列不等式 (1)121 >+-x x (2)2x +11-x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x +5(x -1)2≥2

(三)巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是( ) .A }2131|{>-x x .D }31|{->x x (四)归纳总结 1.解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的整式不等式或不等式组. 2.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解;若不等式含有等号时,分母不为零.即: (1)f (x )g (x )>0?()()0>?x g x f (f (x )g (x ) <0?()()0

1.不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4.不等式1x x -≥2的解集为( ) .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5.解下列不等式 (1)2x +11-x <0 (2)x +12x -3≤1 四.作业 解不等式:(1) 0324≤+-x x (2)321≥-+x x

含绝对值的不等式解法练习题及答案

含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号:[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ]答选C. 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A.3 B.2 C.-2 D.-5 分析列出不等式. 解根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x<-2或2<x≤5,其中最小整数为-5, 答选D. 例3不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析利用所学知识对不等式实施同解变形. 解原不等式可化为4<|3x-1|≤7,即4<3x-1≤7或-7例4已知集合A={x|2<|6-2x|<5,x∈N},求A. 分析转化为解绝对值不等式. 解∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x-6|<5 因为x∈N,所以A={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件.

例5 实数a,b满足ab<0,那么 [ ] A.|a-b|<|a|+|b| B.|a+b|>|a-b| C.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<||a|+|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义. 解∵a、b异号, ∴ |a+b|<|a-b|. 答选C. 例6 设不等式|x-a|<b的解集为{x|-1<x<2},则a,b 的值为 [ ] A.a=1,b=3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 分析解不等式后比较区间的端点. 解由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b<x<a+b},由于解集又为{x|-1<x<2}所以比较可得. 答选D. 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组.例7 解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R)

高考含绝对值不等式的解法

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一:形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号,准确的去掉绝对值符号,再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时, a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(,无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 (2008年四川高考文科卷)不等式22<-x x 的解集为( ) A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解: 因为 22<-x x ,

所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x , 解得: ? ??<<-∈21x R x , 所以 )2,1(-∈x ,故选A. 类型二:形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是,该类型的不等式容易错解为: b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 (2004年高考全国卷)不等式311<+

绝对值不等式中的含参问题(原创)

绝对值不等式中的含参问题 在高中数学中,绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点,面对诸多的含参问题,我们来对这些类型的题目作以梳理。绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号,将它转化为一般不等式加以解决。 一、绝对值的最值问题 1、当绝对值中x的系数相同时。 运用三角不等式:a?b≤a±b≤a+b 例1:求函数f x=x?3+x?4的最值 解:x?3+x?4≥x?3?x?4=1,函数f x的最小值为1。 例2:求函数f x=2x?1?2x?3的最值 解:2x?1?2x?3≤2x?1?2x?3=2,即得到?2≤2x?1?2x?3≤2,函数f x的最小值为?2,最大值为2。 2、当绝对值中x的系数不相同时。 ①零点分段,②写出分段函数,③画草图(或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处),在分界点处求最值。 例:求函数f x=2x?2+x+2的最值 解:当 x≤?2 ?x+2?(2x?2)即 x≤?2 ?3x, 当 ?2

则有f x= ?3x, x≤?2 ?x+4, ?2f x恒成立,则a>f max(x) 例1:x?3+x?4>a对一切x∈R恒成立,求a的取值范围。 析:先求函数f x=x?3+x?4的最小值,再a f max(x)二次不等式。 解:由于x∈0,1,则f x=2x?1?x?2, 当 0≤x≤1 2 ?2x?1?x?2 即 0≤x≤1 2 ?3x?1 当 1 2

高中数学不等式的分类、解法(教资材料)

高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式,分式不等式,高次不等式,指数、对数不等式,三角不等式,含参不等式,函数不等式,绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; )()(0)(log )(log x g x f x g x f a a < 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式(有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)2 3440x x -++>解集为 (2 23x - << ) (一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式 0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式0)2(<-x f 的 解集为 ),2 1()23,(+∞--∞ 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得 32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解 解法二:由二次不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-得 0)(+n mx 的解集为 (m, n )=(-4,-5),解集为)4 5 ,(--∞ 例2:不等式 22 32 x x x -++≥0的解集是_____. 答案:(-2,-1)∪[2,+∞) 法一:化为不等式组 法二:数轴标根法 法三:化为整式不等式(注意等价性) 变式2:不等式0332 3<+--x x x 的解集为 . 答案:)1,()3,1(--∞ 例3:解关于x 的不等式ax x ax -≥-222 分析:化为02)2(2 ≥--+x a ax ,考虑分类标准:①a 与0的关系② a 2 与-1的关系 变式3:①解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0 解:原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0 当a<0时,原不等式解集为),1()1 ,(+∞-∞ a 当a=0时,x-1>0, 原不等式解集为(1,+ ∞) 当0

含参数不等式及绝对值不等式的解法

含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式:2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立,求a 的取值范围。

例3:若不等式210x ax ≥++对于一切1(0,)2 x ∈成立,则a 的取值范围. 例4:若对于任意a (]1,1-∈,函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0,求x 的 取值范围。 例5:已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立,求x 的范围。 例 6: 对于∈x (0,3)上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立,求实数m 的 取值范围。 例7:2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x >---34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ,求a 的取值范围

专题二、分式不等式的解法

(一)分式不等式: 型如: 0)()(>x x f ?或0) () (??>x x f x x f ?? (3)0)()(0) ()(-+x x 方法一:等价转化为: 方法二:等价转化为: ???>->+02301x x 或? ??<-<+02301x x 0)23)(1(>-+x x 变式一: 02 31 ≥-+x x 等价转化为:? ? ?≠-≥-+0230 )23)(1(x x x 比较不等式0231<-+x x 及02 31≤-+x x 的解集。(不等式的变形,强调等价转化,分母不为零)

练一练:解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532 )2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式: 23 2 ≥+-x x 解: 023 2 ≥-+-x x 03) 3(22≥++--x x x 即, 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x (保证因式分解后,保证一次项前的系数都为正) 等价变形为:? ? ?≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2<+++x x x 方法一:322 ++x x 恒大于0,利用不等式的基本性质 方法二:移项、通分,利用两式同号、异号的充要条件,划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式:1≥x a 解:移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即,0≤-x a x 等价转化为,?? ?≠≤-0 )(x a x x 当a>0时,原不等式的解集为],0(a 当a<0时,原不等式的解集为)0,[a 当a=0时,原不等式的解集为φ

含绝对值的不等式解法·典型例题

含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }...≠.? 83 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 83 答 选C . 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A .3 B .2 C .-2 D .-5 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D . 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7 ≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为-≤<-或<≤.3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A . 分析 转化为解绝对值不等式. 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x -6|<5 即-<-<,->或-<-, 52x 652x 622x 62??? 即<<,>或<,12x 112x 82x 4???

解之得<<或<<.4x x 211212 因为x ∈N ,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件. 例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ] A .|a -b|<|a|+|b| B .|a +b|>|a -b| C .|a +b|<|a -b| D .|a -b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号, ∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C . 例6 设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 [ ] A .a =1,b =3 B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 D a b .=,=1232 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x|a -b <x <a +b},由于解集又为{x|-1<x <2}所以比较可得. a b 1a b 2 a b -=-+=,解之得=,=.???1232 答 选D . 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R) 分析 分类讨论. 解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为;? 若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x <m .

含绝对值的不等式解法(北师版)

1.4 含绝对值的不等式解法 1.不等式|x-2|>1的解集是(D ) A .}31|{<--x ,∴1x . 2.不等式1|31|<-x 的解集为(C ) A .,0|{x B .,3 2 |{-x C .}3 20|{<3 |1|11 ||x x B .? ??-<>-3212x x C .?? ?≤->3 1 x x D .? ? ?≤->3|1|1 ||x x 提示:逐一求解不等式组,或直接判断可知A 中不等式组是恒成立的不等式组. 4.已知集合M={x||x-1|<2}与集合P={x||x-1|>1},则M ∩P=(C ) A .{x|-13} 提示:M=}31|{<<-x x ,P=0|{x . 5.已知不等式|x-a|

C .3、9 D .-3、6 提示:必有0>b ,∴b a x b <-<-,即不等式的解为b a x b a +<<-,令3-=-b a ,9=+b a 解得. 6.已知不等式|x+3|≥|x-5|成立,则实数x 的取值范围是(B ) A .{x|x>1} B .{x|x ≥1} C .{x|x<1} D .{x|x ≤1} 提示:即0)5()3(22≥--+x x ,∴0)53)(53(≥+-+-++x x x x . 7.已知a 2=9,则不等式x 2-|a|≥0的解集是(B ) A .{x|x ≤3-,或x ≥3} B .{x|x ≤3-,或x ≥3} C .{x|3-≤x ≤3} D .{x|3-≤x ≤3} 提示:即32 ≥x . 8.不等式|21||3|x x ->+的解集是(A ) A .2 {|3 x x <- ,或4}x > B .{|3x x <-,或4}x > C .{|34}x x -<< D .2 {|4}3 x x - << 提示:原不等式即22(21)(3)x x ->+,∴(213)(213)0x x x x -++--->,即(32)(4)0x x +->,∴2 3 x <-,或4x >,故选A . 9.设集合M={2|||<-a x x },P={x | 12 1 2<+-x x },若M ?P ,则实数a 的取值范围是(A ) A .{a |0≤≤a 1} B .{a |0<>的解集是)2()2(∞+--∞,, ,则不等式3|3 |-≤-a a x 的解集是(C ) A .)1[]1(∞+--∞,, B .R C .Ф D .]11[, - 提示:由已知得a=2,则不等式3|3 | -≤-a a x 即为1||-

分式不等式教案

2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现,所以需牢固掌握. 二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上,甲乙两人为了赶乘地铁,分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼(楼梯和自动扶梯长度相同),如果甲的上楼速度是乙的2倍,他俩同时上楼,且甲比乙早到楼上,问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为s ,甲的速度为v ,自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为 s v ,乙上楼所需时间为02 s v v + . 由题意,得 2 s s v v v < +. 整理的 0122v v v <+. 由于此处速度为正值,因此上式可化为022v v v +<,即02v v >.所以,甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式: 1 232 x x +>-.

解:(化分式不等式为一元一次不等式组) 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?10320x x -?或10320x x ->??-??或12 3x x >?? ??或 10 320 x x ->?? -?>,00a ab b -?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?()()3210x x --(0<)?()()0f x g x >(0<) ; (2) ()()0f x g x ≥(0≤)?()()()()000 f x g x g x ≥≤??? ≠??.

含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{} 51<<-x x 。(解略) (二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >??==??-++。 分析:由绝对值的意义知,a a =?a ≥0,a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于 2 x x +<0?x(x+2)<0?-2<x <0。

含参不等式的解法(教师版)

不等式(3)----含参不等式的解法 当在一个不等式中含有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解,首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响,其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题,同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解,而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。 (一)几类常见的含参数不等式 一、含参数的一元二次不等式的解法: 例1:解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈ 分析:当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式;当m+1≠1时,还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当m<-1时,⊿=4(3-m )>0,图象开口向下,与x 轴有两个不同交点,不等式的解集取两边。⑵当-10, 图象开口向上,与x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中间。⑶当m=3时,⊿=4(3-m )=0,图象开口向上,与x 轴只有一个公共点,不等式的解为方程24410x x -+=的根。⑷当m>3时,⊿=4(3-m )<0,图象开口向上全部在x 轴的上方,不等式的解集为?。 解:11,|;4m x x ? ?=-≥???? 当时原不等式的解集为 ???? ??+-+≤≤+--<<-? ?????+-+≤+--≥-3时, 原不等式的解集为?。 小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确:①图象开口方向,②判别式确定解的存在范围,③两根大小。⑶二次项的取值(如取0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。 牛刀小试:解关于x 的不等式)0(,04)1(22>>++-a x a ax 思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。 二、含参数的分式不等式的解法: 例2:解关于x 的不等式02 12>---x x ax 分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式,再对ax -1中的a 进行分类讨论求解,还需用到序轴标根法。 解:原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax 当a =0时,原不等式等价于0)1)(2(<+-x x 解得21<<-x ,此时原不等式得解集为{x|21<<-x };

含绝对值不等式的解法含答案

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)公式法:即利用 a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{}a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式 c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; [例1] 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“2-x ” 看着一个整体。答案为 {}51<<-x x 。 [例2] 不等式|x 2-3x|>4的解集是________. 分析 可转化为(1)x 2-3x >4或(2)x 2-3x <-4两个一元二次不等式. 由可解得<-或>,.(1)x 1x 4(2)? 答 填{x|x <-1或x >4}. [例3]解不等式2<|2x -5|≤7. 解法1:原不等式等价于? ??≤->-7|52|2|52|x x ∴???≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即?????≤≤-<>6 12327x x x 或

含绝对值的不等式解法练习题及答案

例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ...≠.?8 3 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 8 3 答 选C . 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A .3 B .2 C .-2 D .-5 \ 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D . 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7 ≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为 -≤<-或<≤. 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A . 分析 转化为解绝对值不等式. ' 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x -6|<5 即-<-<,->或-<-,52x 652x 622x 62??? 即<<,>或<,12x 112x 82x 4??? 解之得<< 或<<.4x x 21121 2 因为x ∈N ,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件.

例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ] A .|a -b|<|a|+|b| · B .|a +b|>|a -b| C .|a +b|<|a -b| D .|a -b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号, ∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C . 例6 设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 [ ] A .a =1,b =3 : B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 D a b .=,=123 2 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x|a -b <x <a +b},由于解集又为{x|-1<x <2}所以比较可得. a b 1a b 2a b -=-+=,解之得=,=.?? ? 123 2 答 选D . 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R) 分析 分类讨论. 、 解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为;? 若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x <m . 综上所述得:当≤时原不等式解集为; 当>时,原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1-m <x <m}. 说明:分类讨论时要预先确定分类的标准.

破译绝对值不等式中地含参问题

一、填空题 1.不等式1 |||5|1x a x + >-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 . 【答案】46a << 【解析】 试题分析:x Q 与 1x 同号,11x x x x ∴+=+1 22x x ≥=(当且仅当1x =±时取“=” )251,51a a ∴>-+∴-<,解得46a <<,故答案为46a <<. 考点:1、绝对值不等式的解法;2、基本不等式求最值及不等式恒成立问题. 2.已知()48,f x ax ax a R =--+∈,若()f x k ≤恒成,求k 的取值范围__________. 【答案】[ )12,+∞ 3.若不等式12ax +>在()1,+∞上恒成立,则实数a 的取值范围为_________. 【答案】(,3]-∞- 【解析】 试题分析:121212ax ax ax +>?+>+<-或13a a x x ?> <-或在()1,+∞上恒成立,1 a x > 在()1,+∞上不成立,由3 a x <- 在()1,+∞上恒成立得3x ≤-. 考点:含绝对值不等式的恒成立问题. 4.若存在实数x 使13x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是________. 【答案】 【解析】试题分析:本题的几何意义是:存在在数轴上到的距离与到1的距离之和小于3的点.有13a -≤,

24a ∴-<<. 考点:含绝对值的不等式的解法. 【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于形如 或 ,利用实数绝对值的几何意义求解较简便.选择 或填空题可采用绝对值几何意义的方法,解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大,属于中档题. 5.已知关于x 的不等式11x x c -+-<无解,实数c 的取值范围__________. 【答案】][() ,02,-∞?+∞ 6.已知函数.若的解集包含,则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】f (x )≤|x -4|?|x -4|-|x -2|≥|x +a |.当x ∈[1,2]时,|x -4|-|x -2|≥|x +a | ?4-x -(2-x )≥|x +a |?-2-a ≤x ≤2-a .由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2, 即-3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为 . 7.若适合不等式2435x x k x -++-≤的x 的最大值为3,则实数k 的值为_______. 【答案】8 【解析】因为x 的最大值为3,故x ﹣3<0, 原不等式等价于|x 2 ﹣4x+k|﹣x+3≤5, 即﹣x ﹣2≤x 2 ﹣4x+k ≤x+2, 则 x 2 ﹣5x+k ﹣2≤0且x 2 ﹣3x+k+2≥0解的最大值为3, 设 x 2﹣5x+k ﹣2=0 的根分别为x 1和x 2,x 1<x 2, x 2 ﹣3x+k+2=0的根分别为x 3和 x 4,x 3<x 4. 则x 2=3,或 x 4=3. 若x 2=3,则9﹣15+k ﹣2=0,k=8, 若x 4=3,则9﹣9+k+2=0,k=﹣2. 当k=﹣2时,原不等式无解,

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