模糊聚类分析

目录

1引言: (3)

2 理论准备： (3)

2.1 模糊集合理论 (3)

2.2模糊C均值聚类(FCM) (4)

2.3 加权模糊C均值聚类(WFCM) (4)

3 聚类分析实例 (5)

3.1数据准备 (5)

3.1.1数据表示 (5)

3.1.2数据预处理 (5)

3.1.3 确定聚类个数 (6)

3.2 借助clementine软件进行K-means聚类 (7)

3.2.1 样本在各类中集中程度 (8)

3.2.2 原始数据的分类结果 (8)

3.2.3结果分析 (9)

3.3模糊C均值聚类 (10)

3.3.1 数据集的模糊C划分 (10)

3.3.2 模糊C均值聚类的目标函数求解方法 (10)

3.3.3 MATLAB软件辅助求解参数设置 (11)

3.3.4符号表示 (11)

3.3.5代码实现过程 (11)

3.3.6 FCM聚类分析 (11)

3．4 WFCM算法 (14)

3.4.1 WFCM聚类结果展示 (14)

3.4.2样本归类 (16)

3.4.3归类代码实现 (16)

4．结论 (17)

5 参考文献 (18)

6 附录 (18)

模糊聚类与非模糊聚类比较分析

摘要：

聚类分析是根据样本间的相似度实现对样本的划分，属于无监督分类。传统的聚类分析是研究“非此即彼”的分类问题，分类结果样本属于哪一类很明确，而很多实际的分类问题常伴有模糊性，即它不仅仅是属于一个特定的类，而是“既此又彼”。因此为了探究模糊聚类与非模糊聚类之间聚类结果的差别，本文首先采用系统聚类方法对上市公司132支股票数据进行聚类，确定比较合理的聚类数目为11类，然后分别采用K-means聚类与模糊聚类方法对股票数据进行聚类分析，最终得出模糊聚类在本案例中比K-means聚类更符合实际。

关键字：模糊集合，K-means聚类，FCM聚类，WFCM聚类

1引言:

聚类分析是多元统计分析的方法之一，属于无监督分类，是根据样本集的内在结构，按照样本之间相似度进行划分，使得同类样本之间相似性尽可能大，不同类样本之间差异性尽可能大。传统的聚类分析属于硬化分，研究对象的性质是非此即彼的，然而，现实生活中大多数事物具有亦此亦彼的性质。因此传统的聚类分析方法往往不能很好的解决具有模糊性的聚类问题。为此，模糊集合理论开始被应用到分类领域，并取得不错成果。

本文的研究目的是通过对比传统聚类和模糊聚类的聚类结果，找出二者之间的不同之处，并说明两种聚类分析方法在实例中应用的优缺点。

2理论准备：

2.1 模糊集合理论

模糊集合定义：设Ｕ为论域，则称由如下实值函数μA：Ｕ→ [ 0，1 ]，u →μ

( u )所确定的集合A 为Ｕ上的模糊集合，而称μA为模糊集合A 的隶A

属函数，μ A ( u)称为元素u 对于A 的隶属度。若μA(u) =１，则认为u完全属于A；若μA(u) =０，则认为u完全不属于A，模糊集合是经典集合的推广。

2.2模糊C 均值聚类(FCM)

预先给定类别数c ，把含有n 个样本的数据集分成c 个模糊类，用每个类的类别中心 V j 代表该类，通过反复迭代运算，逐步降低目标函数的误差值，当目标函数收敛时，聚类完成。

目标函数:

()211min ,c n m FCM i j J U P ij ij d μ===∑∑(1)

约束条件：

i 11c ij μ==∑

(2) μij ∈ 0,1 ，?i,j 2.3 加权模糊C 均值聚类(WFCM)

算法过程与FCM 类似，只是目标函数不同，WFCM 算法考虑了各样本点对分类的重要性，在FCM 算法中加入了权值p i ，p i 称为样本点的密度，本文中p i 采用径向基函数方法来确定，当样本点x 远离类中心x c 时函数取值很小，此时该样本点对分类的重要性比较小。最常用的径向基函数是高斯核函数 ,形式为

()(){}exp ^2/2*^2c c k x x x x σ-=-- (3)

目标函数：

()211

min ,c n m FCM i j J U P ij i ij p d μ===∑∑ (4) 约束条件： μij ∈ 0,1 ,? i ,j ,11c ij i μ==∑ (5)

3 聚类分析实例

3.1数据准备

3.1.1数据表示

本文采用数据是上市公司2000-2003年共4年132支股票31个变量的数据进行聚类分析，表1是各变量所代表的含义。

表1 数据表示

3.1.2数据预处理

为了排除各因素变量的单位不同以及数量级间的悬殊差别带来的影响，尽可能的反映实际情况，需要对数据进行无量纲化处理。常用的处理方法有：标准化处理方法和极值处理方法。以下均采用“标准化”处理法。即取

ij j

ij j x x x s *

-= (6)

（i =1,2，...，528；j =1,2， (31)

其中x ij?为标准观测值，其平均值和均方差分别为0和1。式中x j（j=1,2···31）为第j项指标原始观测值的平均值，s j（j=1,2，···，31）为第j项指标原始观测值的均方差。

3.1.3 确定聚类个数

如前文所述，聚类分析是无监督分类，分类之前并不知道聚多少类是合适的，所以为了保证分类的合理性，首先借助SPSS软件对数据进行系统聚类以确定合理的分类数。谱系聚类图结果显示如下，我们初步选择在距离为5处截取，确定合理聚类数为11类。

图1 系统聚类谱系图

3.2 借助clementine软件进行K-means聚类

为了实现传统聚类与模糊聚类结果的对比，这里首先对数据做了传统的K 均值聚类，具体的操作流程如下图2所示

图2 clementine实现K-means过程

3.2.1 样本在各类中集中程度

对模型结果进行查看，得到各类中所包含的样本个数如下图3所示，发现样本主要集中在第5,7,8,9,10类。

图3 样本在各类中集中程度

3.2.2 原始数据的分类结果

图4的最后两列分别是样本所属类别和样本与该类别的类中心之间的距离，如对于第1个样本，属于第1类，与类中心的距离是0.394 。

图4 K-means聚类结果

3.2.3结果分析

分析总结上述K-means聚类结果：对这528个记录的聚类结果中，在第1,,3,5,11类中，样本的个数都比较少，其中第11类仅有一个样本，而第7,8，9类中样本数分别高达93,181，97个，这些类中样本过于集中，说明得到的结果不是很理想，因此尝试模糊状态下对数据进行聚类分析。

3.3模糊C 均值聚类

3.3.1 数据集的模糊C 划分

设待分数据集X={x 1,x 2,?x 528}表示对上市公司股票的528次观测数据，x k = x k 1,x k 2,?x k 31 是第k 个样本的31个指标向量的取值集合。对数据集进行模糊聚类首先要产生X 的模糊c 划分，由于聚类属于无监督分析，需要事先设定好聚类个数，这里为了和传统聚类分析结果做出比较，把数据模糊化为11个模

糊子集X

1，X 2，?X 11，且满足： X

1∪X 2∪?∪X 11=X ; X

i ∩X j =?,1≤i ≠j ≤11; X

i ≠?,X i ≠X ,1≤i ≤11。 μik =μX i

x k 表示样本x k 属于模糊子集X i 的程度，其中μik ∈[0,1],因此模糊划分可以用隶属度矩阵U= μik 表示。

3.3.2模糊C 均值聚类的目标函数求解方法

针对上述2.2部分中模糊C 均值聚类算法的目标函数和约束条件，本文采用拉格朗日乘数法求解该数学规划问题，分别求得隶属度ij u 和类中心i v 表达式如下： 2111ij m c ij k kj u d d -==

?? ? ???∑ (7)

11n m ij j j n i m ij

j u x v u ===∑∑ (8)

3.3.3 MATLAB软件辅助求解参数设置

调用MATLAB软件中自带的fcm函数对上述数学规划问题进行求解，其中fcm 函数中一些参数设置如表2所示。

表2 参数设置

3.3.4符号表示

表3 符号表示

3.3.5代码实现过程

导入数据：Data1=xlsread(‘data’)

调用函数： [center,U,obj_fcn] = fcm(data1,11)

3.3.6 FCM聚类分析

Matlab结果输出如图8,9,10，11所示，分别得到各样本的初始化隶属度矩

阵，样本各类的类中心，最终的样本隶属度，目标函数的更新过程。样本模糊化

图8 初始化隶属度矩阵截图

类中心（center）

图9类中心

隶属度矩阵（U）

图10 隶属度矩阵

目标函数（obj_fcn）

图11目标函数值

图8,9,10分别是模糊C均值聚类最终形成的类中心，隶属度矩阵，目标函数。由图8可以看出各类的类中心相差不大，同时由图9可以看出隶属度矩阵几乎没有差别，从图9中可以看出对目标函数，在3次迭代之后基本趋于平稳状态，目标函数值为1487.6，综合上述分析认为该聚类方法效果不好。在尝试解决这个问题的过程中，尝试修改fcm函数的模糊度参数，迭代次数，误差项仍没有取得较好结果，随后为了避免单只股票4年的数据相似度太大而导致聚类效果差，

分别抽取2000年到2003年各年的132只股票逐年进行分析，仍旧没有得出好的聚类结果，所以文中没有进行展示。考虑到各样本点对聚类的结果产生的影响不同，下文尝试改进的加权模糊C均值聚类方法。

3．4WFCM算法

由于MATLAB中没有自带WFCM函数，需要自己进行编程，数据的模糊化过程与模糊C均值聚类中相同，这里不再赘述。下面是WFCM运行的结果，具体代码实现过程见附录A。

3.4.1 WFCM聚类结果展示

样本模糊化

图12样本初始化隶属度矩阵

对比FCM 聚类最终结果，可以得出在对目标函数进行加权之后，隶属度矩阵和类中心都发生了明显的改善，说明考虑了不同样本对聚类结果的影响之后聚类结果更好。

隶属度矩阵

图13WFCM隶属度矩阵类中心

图14WFCM类中心

3.4.2样本归类

计算出U , V ，obj_fcn之后,对样本进行明确的归类,这一过程可以通过下面两个判定准则来确定：

判定准则 1 如果d ik=min j d jk (1 ≤ j ≤ c), 则将样本X k归属于第i 类。这个判定准则的意义是样本与哪一个聚类中心最接近,就将它归到哪一类。

判定准则 2 如果u ik=max j u jk (1 ≤ j ≤ c), 这个判定准则的意义是样本对哪一个类的隶属度最大,就将它归到哪一类。

3.4.3归类代码实现

下面我们以判定准则2来划分样本的类别，代码过程如下：

图15 分类代码

3.4.4样本归类结果及分析

运行图11中代码，得到结果如图16所示：

图16样本归类结果

由图16可以看出，最终样本归为10类，除了第2和9类中样本比较多，其他各类中样本分布比较均匀，聚类结果可以接受。

4．结论

非模糊聚类直接根据样本之间相似性进行归类，而模糊聚类是根据样本的隶属度矩阵和相似性矩阵进行归类，其中样本X k隶属于i类的程度即隶属度，可在0 到 1 之间取值,而不是如传统聚类算法中，样本X k隶属于类的隶属度只有两种取值1 或 0, 即属于与不属于。这样,样本X k不再明确地属于某一类,而是对于每一个类别都有一个隶属度,隶属度的数值越大说明样本隶属于该类的程度越大,反之则越小。模糊聚类的这种模糊划分描述了样本聚类过程中的模糊现象,从而可以获得更为合理的聚类结果。

对比K-means聚类结果图3和WFCM聚类结果图13，图16，发现非模糊聚类结果中样本集中在第6，7,8,9类中，而在加入了模糊隶属度之后，模糊聚类结果有了各个样本属于11个类的程度，按隶属度最大原则对样本进行归类之后发现除了第5类之外，样本在各类中的分布相对更加均匀，说明聚类目的基本达到.具体到本文所采用的股票数据的聚类结果，可以看出模糊聚类比传统的聚类结果更为合理，因此模糊聚类的优势得到充分体现。

5 参考文献

[1] Zadeh L https://www.doczj.com/doc/0312991299.html,rmation and Control.1965,8:338-353.

[2] Chan K P , Cheung Y S. Clustering of clusters[J] . Pattern Recognition ,1992 ,25(2) :211 – 217

[3] 杨纶标，高英仪学原理及应用华南理工大学出版社 2005.6 52-77

[4] 姚晓红.模糊聚类分析方法在甘肃农业经济类型划分中的应用[D].兰州交通大学，2013.

[5]廖芹，郝志峰数据挖掘与数学建模国防工业出版社 2009

[6]高新波模糊聚类分析及其应用西安电子科技大学也出版社 2004

[7]叶海军.模糊聚类分析技术及其应用研究[D].合肥工业大学，2006

[8]张秀梅，王涛模糊聚类分析方法在学生成绩评价中的应用[J]渤海大学学报：自然科学版，2007,28（2） 169-172.

[9]汤效琴，戴汝源数据挖掘中聚类分析的技术方法宁夏大学学报 2006.7

6 附录

附录A WFCM代码

function [center, U, obj_fcn] = KFCMClust(data, cluster_n, kernel_b,options)

error(nargchk(2,4,nargin)); %检查输入参数个数

data_n = size(data, 1); % 求出data的第一维(rows)数,即样本个数

in_n = size(data, 2); % 求出data的第二维(columns)数，即特征值长度,目前没有用

% 默认操作参数

default_b = 150; % 高斯核函数参数

default_options = [2; % 隶属度矩阵U的指数

100; % 最大迭代次数

1e-5; % 隶属度最小变化量,迭代终止条件

1]; % 每次迭代是否输出信息标志

if nargin == 2,

kernel_b = default_b;

options = default_options;

elseifnargin == 3,

options = default_options;

else

if length(options) < 4,

tmp = default_options;

tmp(1:length(options)) = options;

options = tmp;

end

nan_index = find(isnan(options)==1);

%将denfault_options中对应位置的参数赋值给options中不是数的位置. options(nan_index) = default_options(nan_index);

if options(1) <= 1,

%如果options中的指数m不超过1报错

error('The exponent should be greater than 1!');

end

end

%将options 中的分量分别赋值给四个变量;

expo = options(1); % 隶属度矩阵U的指数

max_iter = options(2); % 最大迭代次数

min_impro = options(3); % 隶属度最小变化量,迭代终止条件

display = options(4); % 每次迭代是否输出信息标志

obj_fcn = zeros(max_iter, 1); % 初始化输出参数obj_fcn

U = initkfcm(cluster_n, data_n) % 初始化模糊分配矩阵

% 初始化聚类中心：从样本数据点中任意选取cluster_n个样本作为聚类中心。index = randperm(data_n); % 对样本序数随机排列

center_old = data(index(1:cluster_n),:); % 选取随机排列的序数的前cluster_n个

for i = 1:max_iter,

%在第k步循环中改变聚类中心ceneter,和分配函数U的隶属度值;

[U, center, obj_fcn(i)] = stepkfcm(data,U,center_old, expo, kernel_b); if display,

fprintf('KFCM:Iteration count = %d, obj. fcn = %f\n', i, obj_fcn(i)); end

center_old = center; % 用新的聚类中心代替老的聚类中心

% 终止条件判别

if i> 1,

if abs(obj_fcn(i) - obj_fcn(i-1))

end

end

iter_n = i; % 实际迭代次数

obj_fcn(iter_n+1:max_iter) = [];

% 子函数

function U = initkfcm(cluster_n, data_n)

% 初始化fcm的隶属度函数矩阵

U = rand(cluster_n, data_n);

col_sum = sum(U);

U = U./col_sum(ones(cluster_n, 1), :);

% 子函数

function [U_new,center_new,obj_fcn] = stepkfcm(data,U,center,expo,kernel_b)

% 模糊C均值聚类时迭代的一步

% 输入：

feature_n = size(data,2); % 特征维数

模糊聚类分析

目录 1引言: (3) 2 理论准备： (3) 2.1 模糊集合理论 (3) 2.2模糊C均值聚类(FCM) (4) 2.3 加权模糊C均值聚类(WFCM) (4) 3 聚类分析实例 (5) 3.1数据准备 (5) 3.1.1数据表示 (5) 3.1.2数据预处理 (5) 3.1.3 确定聚类个数 (6) 3.2 借助clementine软件进行K-means聚类 (7) 3.2.1 样本在各类中集中程度 (8) 3.2.2 原始数据的分类结果 (8) 3.2.3结果分析 (9) 3.3模糊C均值聚类 (10) 3.3.1 数据集的模糊C划分 (10) 3.3.2 模糊C均值聚类的目标函数求解方法 (10) 3.3.3 MATLAB软件辅助求解参数设置 (11) 3.3.4符号表示 (11)

3.3.5代码实现过程 (11) 3.3.6 FCM聚类分析 (11) 3．4 WFCM算法 (14) 3.4.1 WFCM聚类结果展示 (14) 3.4.2样本归类 (16) 3.4.3归类代码实现 (16) 4．结论 (17) 5 参考文献 (18) 6 附录 (18)

模糊聚类与非模糊聚类比较分析 摘要： 聚类分析是根据样本间的相似度实现对样本的划分，属于无监督分类。传统的聚类分析是研究“非此即彼”的分类问题，分类结果样本属于哪一类很明确，而很多实际的分类问题常伴有模糊性，即它不仅仅是属于一个特定的类，而是“既此又彼”。因此为了探究模糊聚类与非模糊聚类之间聚类结果的差别，本文首先采用系统聚类方法对上市公司132支股票数据进行聚类，确定比较合理的聚类数目为11类，然后分别采用K-means聚类与模糊聚类方法对股票数据进行聚类分析，最终得出模糊聚类在本案例中比K-means聚类更符合实际。 关键字：模糊集合，K-means聚类，FCM聚类，WFCM聚类 1引言: 聚类分析是多元统计分析的方法之一，属于无监督分类，是根据样本集的内在结构，按照样本之间相似度进行划分，使得同类样本之间相似性尽可能大，不同类样本之间差异性尽可能大。传统的聚类分析属于硬化分，研究对象的性质是非此即彼的，然而，现实生活中大多数事物具有亦此亦彼的性质。因此传统的聚类分析方法往往不能很好的解决具有模糊性的聚类问题。为此，模糊集合理论开始被应用到分类领域，并取得不错成果。 本文的研究目的是通过对比传统聚类和模糊聚类的聚类结果，找出二者之间的不同之处，并说明两种聚类分析方法在实例中应用的优缺点。 2理论准备： 2.1 模糊集合理论 模糊集合定义：设Ｕ为论域，则称由如下实值函数μA：Ｕ→ [ 0，1 ]，u →μ ( u )所确定的集合A 为Ｕ上的模糊集合，而称μA为模糊集合A 的隶A 属函数，μ A ( u)称为元素u 对于A 的隶属度。若μA(u) =１，则认为u完全属于A；若μA(u) =０，则认为u完全不属于A，模糊集合是经典集合的推广。

模糊聚类分析报告例子

1. 模糊聚类分析模型 环境区域的污染情况由污染物在4个要素中的含量超标程度来衡量。设这5个环境区域的污染数据为1x =(80, 10, 6, 2), 2x =(50, 1, 6, 4), 3x =(90, 6, 4, 6), 4x =(40, 5, 7, 3), 5x =(10, 1, 2, 4). 试用模糊传递闭包法对X 进行分类。 解 ： 由题设知特性指标矩阵为: * 80106250164906464057310124X ????????=???????? 数据规格化：最大规格化' ij ij j x x M = 其中： 12max(,,...,)j j j nj M x x x = 00.8910.860.330.560.1 0.860.671 0.60.5710.440.510.50.11 0.1 0.290.67X ????????=?? ?????? 构造模糊相似矩阵: 采用最大最小法来构造模糊相似矩阵55()ij R r ?=, 1 0.540.620.630.240.5410.550.700.530.62 0.5510.560.370.630.700.5610.380.240.530.370.381R ?? ??? ???=?? ?????? 利用平方自合成方法求传递闭包t (R ) 依次计算248,,R R R , 由于84R R =，所以4()t R R =

2 10.630.620.630.530.6310.560.700.530.62 0.5610.620.530.630.700.6210.530.530.530.530.531R ?? ??????=?? ??????， 4 10.630.620.630.530.6310.620.700.530.62 0.6210.620.530.630.700.6210.530.53 0.530.530.531R ????????=?? ?????? =8R 选取适当的置信水平值[0,1]λ∈, 按λ截矩阵进行动态聚类。把()t R 中的元素从大到小的顺序编排如下: 1>0.70>0.63>062>053. 依次取λ=1, 0.70, 0.63, 062, 053，得 11 000001000()0 010******* 0001t R ????? ? ??=?? ??????，此时X 被分为5类：{1x }，{2x }，{3x }，{4x }，{5x } 0.7 1000001010()001000101000001t R ?????? ??=?? ??????，此时X 被分为4类：{1x }，{2x ，4x }，{3x }，{5x } 0.63 1101011010()001001101000001t R ?????? ??=?? ??????，此时X 被分为3类：{1x ，2x ，4x }，{3x }，{5x } 0.62 1111011110()11110111100 0001t R ?????? ??=?? ?????? ，此时X 被分为2类：{1x ，2x ，4x ，3x }，{5x }

模糊聚类分析方法

模糊聚类分析方法 对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。载科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。 一、模糊聚类分析的一般步骤 1、第一步：数据标准化[9] （1） 数据矩阵 设论域12{,,,}n U x x x =为被分类对象， 每个对象又有m 个指标表示其性状，即 12{,, ,}i i i im x x x x = (1,2,,) i n =， 于是，得到原始数据矩阵为 1112 1 21222 12 m m n n nm x x x x x x x x x ?? ? ? ? ??? 。 其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。 （2） 数据标准化 在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换

i k k ik k x x x s -'= (1,2,,;1,2,i n k m == 其中 11n k i k i x x n ==∑， k s =。 经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。但 是，再用得到的ik x '还不一定在区间[0,1]上。 ② 平移·极差变换 111m i n { }m a x {}m i n {}i k i k i n ik ik ik i n i n x x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''- ，(1,2, ,)k m = 显然有01ik x ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。 ③ 对数变换 lg ik ik x x '= (1,2,,;1,2,i n k m == 取对数以缩小变量间的数量级。 2、第二步：标定（建立模糊相似矩阵） 设论域12{,, ,}n U x x x =，12{,,,}i i i im x x x x =，依照传统聚类方法确定相似 系数，建立模糊相似矩阵，i x 与j x 的相似程度(,)ij i j r R x x =。确定(,)ij i j r R x x =的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。 （1） 相似系数法 ① 夹角余弦法 2 2m ik jk ij m ik jk x x r x = ∑∑ ② 最大最小法 11() () m ik jk k ij m ik jk k x x r x x ==∧= ∨∑∑。 ③ 算术平均最小法

模糊聚类案例分析

模糊数学方法及其应用论文题目：模糊聚类方法案例分析 小组成员： 王季光宋申辉兰洁 陈倩芸肖仑杨洋 吴云峰 2013年10 月27 日

模糊聚类分析方法 1.1距离和相似系数 为了将样品（或指标）进行分类，就需要研究样品之间关系。目前用得最多的方法有两个：一种方法是用相似系数，性质越接近的样品，它们的相似系数的绝对值越接近1，而彼此无关的样品，它们的相似系数的绝对值越接近于零。比较相似的样品归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。另一种方法是将一个样品看作P 维空间的一个点，并在空间定义距离，距离越近的点归为一类，距离较远的点归为不同的类。但相似系数和距离有各种各样的定义，而这些定义与变量的类型关系极大，因此先介绍变量的类型。 由于实际问题中，遇到的指标有的是定量的（如长度、重量等），有的是定性的（如性别、职业等），因此将变量（指标）的类型按以下三种尺度划分： 间隔尺度：变量是用连续的量来表示的，如长度、重量、压力、速度等等。在间隔尺度中，如果存在绝对零点，又称比例尺度，本书并不严格区分比例尺度和间隔尺度。 有序尺度：变量度量时没有明确的数量表示，而是划分一些等级，等级之间有次序关系，如某产品分上、中、下三等，此三等有次序关系，但没有数量表示。 名义尺度：变量度量时、既没有数量表示，也没有次序关系，如某物体有红、黄、白三种颜色，又如医学化验中的阴性与阳性，市场供求中的“产”和“销”等。 不同类型的变量，在定义距离和相似系数时，其方法有很大差异，使用时必须注意。研究比较多的是间隔尺度，因此本章主要给出间隔尺度的距离和相似系数的定义。 设有n 个样品，每个样品测得p 项指标（变量），原始资料阵为 p x x x np n n p p n x x x x x x x x x X X X X 2 122221112 112 1 21 ? ? ??????????? ?= 其中(1,,;1,,) ij x i n j p == 为第i 个样品的第j 个指标的观测数据。第i 个样 品 i X 为矩阵X 的第i 行所描述，所以任何两个样品XK 与XL 之间的相似性，可 以通过矩阵X 中的第K 行与第L 行的相似程度来刻划；任何两个变量K x 与 L x 之 间的相似性，可以通过第K 列与第L 列的相似程度来刻划。 1.2 F 相似关系 1. 2.1定义 设)(U U F R ?∈，如果具有自反和对称关系，则称R 为U 上的一个F 相似关

模糊聚类分析方法汇总

模糊聚类分析方法 对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。载科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。 一、模糊聚类分析的一般步骤 1、第一步：数据标准化[9] （1） 数据矩阵 设论域12{,,,}n U x x x =为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状， 即 12{,, ,}i i i im x x x x = (1,2, ,)i n =， 于是，得到原始数据矩阵为 11 121212221 2 m m n n nm x x x x x x x x x ?? ? ? ? ??? 。 其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。 （2） 数据标准化 在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换

ik k ik k x x x s -'= (1,2,,;1,2,,)i n k m == 其中 11n k ik i x x n ==∑， k s = 经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。但 是，再用得到的ik x '还不一定在区间[0,1]上。 ② 平移·极差变换 111min{}max{}min{}ik ik i n ik ik ik i n i n x x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m = 显然有01ik x ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。 ③ 对数变换 lg ik ik x x '= (1,2,,;1,2,,)i n k m == 取对数以缩小变量间的数量级。 2、第二步：标定（建立模糊相似矩阵） 设论域12{,, ,}n U x x x =，12{,, ,}i i i im x x x x =，依照传统聚类方法确定相似 系数，建立模糊相似矩阵，i x 与j x 的相似程度(,)ij i j r R x x =。确定(,)ij i j r R x x =的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。 （1） 相似系数法 ① 夹角余弦法 21 m ik jk ij m ik jk k x x r x == ∑∑。 ② 最大最小法 11() () m ik jk k ij m ik jk k x x r x x ==∧= ∨∑∑。 ③ 算术平均最小法

模糊聚类分析应用

本科生毕业论文（设计） （ 2011 届） 论文（设计）题目模糊聚类分析应用 作者舒海波 系、专业理学分院数学与应用数学 班级应数072 指导教师（职称）何颖俞（讲师） 字数 9403 字 成果完成时间2011年4月10日 杭州师范大学钱江学院教学部制

模糊聚类分析应用 数学与应用数学专业0702班指导教师何颖俞 摘要：模糊聚类简单而言就是把数据中的指标分类。本文利用的是最大树法对等价矩阵进行聚类，然后利用fcm法对相似矩阵的求法进行比较。 关键字：模糊聚类，等价矩阵，最大树，相似矩阵 The application of fuzzy clustering Shuhaibo Instructor: HeYingYu Abstract: Fuzzy clustering is a method to classify the given data based on some indexes. In this paper I use the method of the maximal tree to classify the equivalent matrix, and then use clustering analysis method of FCM to comparison the solutions of the similar matrices. Key word: fuzzy clustering, equivalence matrix, the maximal tree, similar matrix

目录 1 绪论 (1) 2模糊聚类分析方法 (1) 2.1距离和相似系数 (1) 2.2 F相似关系 (2) 2.2.1定义 (2) 2.2.2 定理 (2) 2.3 聚类分析 (3) 2.3.1最大树法 (4) 3算法分类 (4) 3.1聚类方法的分类 (5) 3.1.1划分方法（partitioning method） (5) 3.1.2层次方法(hierarchical method) (5) 3.1.3基于密度的方法(density-based method) (5) 3.1.4基于网格的方法(grid-based method) (5) 3.1.5基于模型的方法(model-based method) (5) 3.2．数据挖掘领域中常用的聚类算法 (5) 3.2.1 CLARANS算法（随机搜索聚类算法） (5) 3.2.2 CURE算法（利用代表点聚类） (6) 3.2.3 BIRCH算法（利用层次方法的平衡迭代归约和聚类） (6) 3.2.4 DBSCAN算法（基于高密度连接区域的密度聚类方法） (6) 3.2.5 STING算法（统计信息风格） (7) 3.2.6 COBWEB算法（流行的简单增量概念聚类算法） (7) 3.2.6 模糊聚类算法FCM (8) 3.3 聚类算法的性能比较 (8) 4实际应用 (9) 5总结 (13) 参考文献： (13)

Matlab学习系列23. 模糊聚类分析原理及实现

23. 模糊聚类分析原理及实现 聚类分析，就是用数学方法研究和处理所给定对象，按照事物间的相似性进行区分和分类的过程。 传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待识别的对象严格地划分到某个类中，具有非此即彼的性质，这种分类的类别界限是分明的。 随着模糊理论的建立，人们开始用模糊的方法来处理聚类问题，称为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本数与各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的中介性，即建立起了样本对于类别的不确定性的描述，能更客观地反映现实世界。 本篇先介绍传统的两种（适合数据量较小情形，及理解模糊聚类原理）：基于择近原则、模糊等价关系的模糊聚类方法。 （一）预备知识 一、模糊等价矩阵 定义1 设R=(r ij )n ×n 为模糊矩阵，I 为n 阶单位矩阵，若R 满足 i) 自反性：I ≤R （等价于r ii =1）； ii) 对称性：R T =R; 则称R 为模糊相似矩阵，若再满足 iii) 传递性：R 2 ≤R （等价于1 ()n ik kj ij k r r r =∨∧≤） 则称R 为模糊等价矩阵。 定理1 设R 为n 阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数k

（k

模糊聚类分析实验报告

专业：信息与计算科学 姓名： 学号： 实验一 模糊聚类分析 实验目的： 掌握数据文件的标准化，模糊相似矩阵的建立方法，会求传递闭包矩阵；会使用数学软件MATLAB 进行模糊矩阵的有关运算 实验学时：4学时 实验内容： ⑴ 根据已知数据进行数据标准化. ⑵ 根据已知数据建立模糊相似矩阵，并求出其传递闭包矩阵. ⑶ (可选做)根据模糊等价矩阵绘制动态聚类图. ⑷ (可选做)根据原始数据或标准化后的数据和⑶的结果确定最佳分类. 实验日期：20017年12月02日 实验步骤： 1 问题描述： 设有8种产品，它们的指标如下： x 1 = (37,38,12,16,13,12) x 2 = (69,73,74,22,64,17) x 3 = (73,86,49,27,68,39) x 4 = (57,58,64,84,63,28) x 5 = (38,56,65,85,62,27) x 6 = (65,55,64,15,26,48) x 7 = (65,56,15,42,65,35) x 8 = (66,45,65,55,34,32) 建立相似矩阵，并用传递闭包法进行模糊聚类。 2 解决步骤： 2.1 建立原始数据矩阵 设论域},,{21n x x x X 为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状， im i i i x x x x ,,,21 ，n i ,,2,1 由此可得原始数据矩阵。

于是，得到原始数据矩阵为 323455654566356542155665482615645565276285655638 286384645857396827498673176422747369121316123837X 其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据，其中m = 6，n = 8。 2.2 样本数据标准化 2.2.1 对上述矩阵进行如下变化，将数据压缩到[0,1]，使用方法为平移极差变换和最大值规格化方法。 （1）平移极差变换： 111min{}max{}min{}ik ik i n ik ik ik i n i n x x x x x ，(1,2,,)k m L 显然有01ik x ，而且也消除了量纲的影响。 （2）最大值规格化： j ij ij M x x '，),,max (21nj j j j x x x M 2.2.2 使用Matlab 实现代码：

模糊聚类法

模糊聚类分析法及其应用 （汽车学院钟锐 2011122071） 摘要模糊聚类分析方法是一种多元统计分析方法, 它通过多个指标将样本划分为若干类, 这种分类方法能很好地应用于交通规划、交通流分析、安全评价等多个方面。文章以交通调查的选择为例说明了模糊聚类分析在规划过程中的具体应用, 并分析了模糊聚类分析在交通规划其他方面的应用。在交通调查中, 可利用模糊聚类分析将交通分区按工业、居住、公建、道路绿化广场等各项用途来进行分类。可相应减少同类交通分区的相似调查工作量。 关键词模糊聚类分析; 交通规划; 交通调查 1 问题的提出 交通规划旨在确定公路和城市道路交通建设的发展目标, 设计达到这些目 标的策略、过程与方案。交通规划包括目标确定、组织工作、数据调查、相关基本模型分析、分析预测、方案设计、方案评价、方案实施过程中的信息反馈和修改等工作阶段。在交通规划的很多阶段, 需要进行分类。例如可将众多的交通小区划分成几大类, 将具有相似特性的交通小区归于一类, 可以减少调查的工作量; 对线路网络进行分析评价时, 也需要进行分类。单一的指标往往不能全面反映交通分区之间的关系, 需要用多个指标来进行。在分类方法中,聚类分析是一种应用很广泛的方法, 它在交通规划领域应用较多。 2 聚类分析方法 聚类分析取意于“人以群分, 物以类聚”的俗语, 即将一组事物根据其性质上亲疏远近的程度进行分类, 把性质相近的个体归为一类, 使得同一类中的个体具有高度的同质性, 不同类之间的个体具有高度的异质性。为使分类合理, 必须描述个体之间的亲疏程度。对此, 通常有距离法、相关系数法等方法。距离法是将每个样本看成m( m 为统计指标的个数) 维空间的一个点, 在m 维空间中定义点与点之间的某种距离; 相关系数法是用某种相似系数来描述样本之间的关系, 如相关系数。聚类的方法有很多, 如系统聚类法、模糊聚类法、分裂法、

模糊聚类分析方法

第二节 模糊聚类分析方法 在科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。 一、模糊聚类分析的一般步骤 1、第一步：数据标准化[9] （1） 数据矩阵 设论域12{,,,}n U x x x = 为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即 12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,i n = ， 于是，得到原始数据矩阵为 11 121 2122 2 1 2 m m n n nm x x x x x x x x x ?? ? ? ? ??? 。 其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。 （2） 数据标准化 在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换

i k k ik k x x x s -'= (1,2,,; 1,2,i n k m == 其中 1 1n k i k i x x n == ∑ ， k s = 经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。但 是，再用得到的ik x '还不一定在区间[0,1]上。 ② 平移·极差变换 111m i n { } m a x {}m i n {} i k i k i n ik ik ik i n i n x x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m = 显然有01ik x ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。 ③ 对数变换 lg ik ik x x '= (1,2,,; 1,2,i n k m == 取对数以缩小变量间的数量级。 2、第二步：标定（建立模糊相似矩阵） 设论域12{,,,}n U x x x = ，12{,,,}i i i im x x x x = ，依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，i x 与j x 的相似程度(,)ij i j r R x x =。确定(,)ij i j r R x x =的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。 （1） 相似系数法 ① 夹角余弦法 m ik jk ij x x r = ∑ ② 最大最小法 11 () () m ik jk k ij m ik jk k x x r x x ==∧= ∨∑∑。 ③ 算术平均最小法

模糊聚类分析之欧阳家百创编

模糊数学实验报告 欧阳家百（2021.03.07） 题目：模糊聚类分析在交通事故分析中的应用 姓名 xxxxxxxxx 学号 xxxxxxxxxxxx 年级专业 xxxxxxxxxxxxx 指导教师 xxxxxxxx 20xx年x月xx日 模糊聚类分析在交通事故分析中的应用 姓名：xx 班级：xxxxxxxxx 学号：xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 摘要：在模糊集理论及模糊聚类分析方法的四个步骤基础上，深入研究了模糊聚类分析法步骤在交通事故分析中的应用。通过对1999 年我国交通事故相关数据进行统计，运用模糊聚类分析方法中两种不同的方法得出相似关系矩阵，应用平方法计算传递闭包，最终作出模糊聚类分析，并对两种方法进行比较。通过对交通事故进行分类，对掌握交通安全情况有很大的帮助。 关键词：模糊相似矩阵；传递闭包；模糊聚类分析；交通事故 随着经济的迅速发展，人民的生活得到了极大的改善，单位用车和私家车就越来越多，随之而来的是交通事故发生也越来越多，已引起人们和有关部门的关注和重视。

本文在模糊理论基础上，选取1999 年我国交通事故相关数据，进行分析统计，运用模糊聚类分析方法做出模糊聚类分析。希望通过对交通事故进行分类，对掌握交通安全情况有很大的帮助，特别在发现交通存在的问题后，分析结果可提供给相关部门参考，针对问题采取措施改善我国交通事故较多的现状。 1 选择统计指标 数据采自2002 年中国统计年鉴，分析我国交通现状，选取交通事故中具有代表性的几种情况——汽车、摩托车、拖拉机、自行车、行人乘车作为五个类及即五个单元，对 5 种行驶方式安全程度分类。 设 5 种行驶方式组成一个分类集合： 分别代表汽车、摩托车、拖拉机、自行车、行人乘车。每种行驶方式均采用代表性的方面（发生起数、死亡人数、受伤人数、损失折款）作为四项统计指标，即有： 这里表示为第i 种行驶方式的第 j 项指标。这四项成绩指标为：发生起数，死亡人数，受伤人数，损失折款。原始数据如表1 所示。 2 数据标准化 数据标准化常采用公式，对数据进行处理。

模糊C均值聚类算法的C 实现代码讲解

模糊C均值聚类算法的实现 研究背景 模糊聚类分析算法大致可分为三类 1）分类数不定，根据不同要求对事物进行动态聚类，此类方法是基于模糊等价矩阵聚类的，称为模糊等价矩阵动态聚类分析法。 2）分类数给定，寻找出对事物的最佳分析方案，此类方法是基于目标函数聚类的，称为模糊C均值聚类。 3）在摄动有意义的情况下，根据模糊相似矩阵聚类，此类方法称为基于摄动的模糊聚类分析法 聚类分析是多元统计分析的一种，也是无监督模式识别的一个重要分支，在模式分类图像处理和模糊规则处理等众多领域中获得最广泛的应用。它把一个没有类别标记的样本按照某种准则划分为若干子集，使相似的样本尽可能归于一类，而把不相似的样本划分到不同的类中。硬聚类把每个待识别的对象严格的划分某类中，具有非此即彼的性质，而模糊聚类建立了样本对类别的不确定描述，更能客观的反应客观世界，从而成为聚类分析的主流。 模糊聚类算法是一种基于函数最优方法的聚类算法，使用微积分计算技术求最优代价函数，在基于概率算法的聚类方法中将使用概率密度函数，为此要假定合适的模型，模糊聚类算法的向量可以同时属于多个聚类，从而摆脱上述问题。 我所学习的是模糊C均值聚类算法，要学习模糊C均值聚类算法要先了解虑属度的含义，隶属度函数是表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数，通常记做μ A (x)，其自变量范围是所有可能属于集合A的对象（即集合A所在空间中的 所有点），取值范围是[0,1]，即0<=μ A (x)<=1。μ A (x)=1表示x完全隶属于集合 A，相当于传统集合概念上的x∈A。一个定义在空间X={x}上的隶属度函数就定义了一个模糊集合A，或者叫定义在论域X={x}上的模糊子集 ~ A。对于有限个对 象x 1，x 2 ，……，x n 模糊集合 ~ A可以表示为： } |) ), ( {( ~ X x x x A i i i A ∈ =μ (6.1) 有了模糊集合的概念，一个元素隶属于模糊集合就不是硬性的了，在聚类的问题中，可以把聚类生成的簇看成模糊集合，因此，每个样本点隶属于簇的隶属度就是[0，1]区间里面的值。 FCM算法需要两个参数一个是聚类数目C，另一个是参数m。一般来讲C要远远小于聚类样本的总个数，同时要保证C>1。对于m，它是一个控制算法的柔性的参数，如果m过大，则聚类效果会很次，而如果m过小则算法会接近HCM 聚类算法。 算法的输出是C个聚类中心点向量和C*N的一个模糊划分矩阵，这个矩阵表示的是每个样本点属于每个类的隶属度。根据这个划分矩阵按照模糊集合中的最大隶属原则就能够确定每个样本点归为哪个类。聚类中心表示的是每个类的平均

模糊聚类分析

四 模糊聚类分析方法 模糊聚类分析，是从模糊集的观点来探讨事物的数量分类的一类方法。这里将主要介绍基于模糊等价关系与基于最大模糊支撑树的模糊聚类分析方法。 一、基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法 基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法的基本思想是：由于模糊等价关系~R 是论域集U 与自己的直积U U ?上的一个模糊子集，因此可以对~ R 进行分解，当用λ-水平对~R 作截集时，截得的U U ?的普通子集~ R λ就是U 上的一个普通等价关系，也就得到了关于U 中被分类对象元素的一种分类。当λ由1下降到0时，所得的分类由细变粗，逐渐归并，从而形成一个动态聚类谱系图。由此可见，分类对象集U 上的模糊等价关系~ R 的建立是这种聚类分析方法中的一个关键性的环节。(一)建立模糊等价关系 为了建立分类对象集合U 上的模糊等价关系R *，通常需要首先计算各个 分类对象之间的相似性统计量，建立分类对象集合U 上的模糊相似关系~R 。1.模糊相似关系的建立关于各分类对象之间相似性统计量r ij 的计算，除了 采用夹角余弦公式和相似系数计算公式以外，还可以采用如下几个计算公式。(1)数量积法： 在(1)式中，M 是一个适当选择之正数，一般而言，它应满足： (2)绝对值差数法： 在(2)式中，c 为适当选择之正数，使0≤r ij ＜1(i≠j)。 (3)最大最小值法： (4)算术平均最小法： (5)绝对值指数法：

(6)指数相似系数法： 在(6)式中，s k 是第k 个指标的方差，即 2 将模糊相似关系~R 改造为迷糊等价关系~R *。由于模糊相似关系~ R 满足自反性和对称性，但一般而言，它并不满足传递性，也就是说它并不是模糊等价关系。因此，为了聚类，我们必须采用传递闭合的性质将这种模糊相似关系~ R 改造为模糊等价关系~R *。改造的办法是将~ R 自乘，即这样下去，就必然会存在一个自然数K ，使得： 这时，~~ k R R *=便是一个模糊等价关系了。 (二)在不同的截集水平下进行聚类 用上述模糊等价关系~ R *，在不同的截集水平下聚类，可以得到不同的聚类结果： 二、基于最大模糊支撑树的模糊聚类分析方法 除了依据模糊等价关系进行聚类分析外，还可以应用最大模糊支撑树进行聚类分析。基于最大模糊支撑树的聚类分析过程，可按如下步骤进行。第一步：建立分类对象集上的模糊相似关系，构造模糊图。这一步骤的工作可按如下作法进行： 计算各个分类对象之间的相似性统计量r ij (i ，j=1，2，…，m)，建 立分类对象集U 上的模糊相似关系~ ()ij m n R r ?=。将~ R 表示成一个由m 个结点所构成的模糊图G=(V,E),使G 中的任意两个结点V i 与V j 之间都有一条边相连结，且赋该边的权值为r ij 。假若，对于某五个地理区域所构成的分类对象集合V=｛v 1，v 2，v 3，v 4，v 5｝， 经过选择聚类要素并对其原始数据进行标准化处理后，计算各分类对象之间的相似性统计量，得到如下的模糊相似关系

Matlab笔记-模糊聚类分析原理及实现

23. 模糊聚类分析原理及实现 聚类分析，就是用数学方法研究和处理所给定对象，按照事物间的相似性进行区分和分类的过程。 传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待识别的对象严格地划分到某个类中，具有非此即彼的性质，这种分类的类别界限是分明的。 随着模糊理论的建立，人们开始用模糊的方法来处理聚类问题，称为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本数与各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的中介性，即建立起了样本对于类别的不确定性的描述，能更客观地反映现实世界。 本篇先介绍传统的两种（适合数据量较小情形，及理解模糊聚类原理）：基于择近原则、模糊等价关系的模糊聚类方法。 （一）预备知识 一、模糊等价矩阵 定义1设R=(r ij )n ×n 为模糊矩阵，I 为n 阶单位矩阵，若R 满足 i) 自反性：I ≤R （等价于r ii =1）； ii) 对称性：R T =R; 则称R 为模糊相似矩阵，若再满足 iii) 传递性：R 2≤R （等价于1()n ik kj ij k r r r =∨∧≤） 则称R 为模糊等价矩阵。 定理1设R 为n 阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数k

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模糊聚类分析报告实验报告材料

专业：信息与计算科学 姓名： 学号： 实验一 模糊聚类分析 实验目的： 掌握数据文件的标准化，模糊相似矩阵的建立方法，会求传递闭包矩阵；会使用数学软件MATLAB 进行模糊矩阵的有关运算 实验学时：4学时 实验内容： ⑴ 根据已知数据进行数据标准化. ⑵ 根据已知数据建立模糊相似矩阵，并求出其传递闭包矩阵. ⑶ (可选做)根据模糊等价矩阵绘制动态聚类图. ⑷ (可选做)根据原始数据或标准化后的数据和⑶的结果确定最佳分类. 实验日期：20017年12月02日 实验步骤： 1 问题描述： 设有8种产品，它们的指标如下： x 1 = (37,38,12,16,13,12) x 2 = (69,73,74,22,64,17) x 3 = (73,86,49,27,68,39) x 4 = (57,58,64,84,63,28) x 5 = (38,56,65,85,62,27) x 6 = (65,55,64,15,26,48) x 7 = (65,56,15,42,65,35) x 8 = (66,45,65,55,34,32) 建立相似矩阵，并用传递闭包法进行模糊聚类。 2 解决步骤： 2.1 建立原始数据矩阵 设论域},,{21n x x x X =为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，{}im i i i x x x x ,,,21 =，n i ,,2,1 = 由此可得原始数据矩阵。

于是，得到原始数据矩阵为 ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??=323455654566356542155665482615645565276285655638286384645857396827498673176422747369121316123837X 其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据，其中m = 6，n = 8。 2.2 样本数据标准化 2.2.1 对上述矩阵进行如下变化，将数据压缩到[0,1]，使用方法为平移极差变换和最大值规格化方法。 （1）平移极差变换： 111min{}max{}min{}ik ik i n ik ik ik i n i n x x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m = 显然有01ik x ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。 （2）最大值规格化： j ij ij M x x = '，),,max (21nj j j j x x x M = 2.2.2 使用Matlab 实现代码：

第二节 模糊聚类分析方法 数学建模

第二节模糊聚类分析方法 模糊聚类分析，是从模糊集的观点来探讨事物的数量分类的一类方法。近年来，模糊聚类分析方法在地理分区与地理事物分类研究中得到了广泛地应用。本节，我们将主要介绍基于模糊等价关系与基于最大模糊支撑树的模糊聚类分析方法在地理分区和地理事物分类中的应用。 一、基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法 基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法的基本思想是：由于模糊等价关 上的一个普通等价关系，也就得到了关于U中被分类对象元素的一种分类。当λ由1下降到0时，所得的分类由细变粗，逐渐归并，从而形成一个动态 聚类分析方法中的一个关键性的环节。 (一)建立模糊等价关系 各个分类对象之间的相似性统计量，建立分类对象集合U上的模糊相似关系 1.模糊相似关系的建立关于各分类对象之间相似性统计量r ij的计算，除了采用夹角余弦公式和相似系数计算公式(分别见第二章第三节中(10)和(11)式)以外，还可以采用如下几个计算公式。 (1)数量积法：

在(1)式中，M是一个适当选择之正数，一般而言，它应满足： (2)绝对值差数法： 在(2)式中，c为适当选择之正数，使0≤r ij＜1(i≠j)。 (3)最大最小值法： (4)算术平均最小法： (5)绝对值指数法： (6)指数相似系数法： 在(6)式中，s k是第k个指标的方差，即

传递性，也就是说它并不是模糊等价关系。因此，为了聚类，我们必须采用 这样下去，就必然会存在一个自然数K，使得： 显然，对于第二章中表2-12所描述的九个农业区域，用夹角余弦公式计算所得的相似系数矩阵

就是这九个农业区域所构成的分类对象集合上的一个模糊相似关系，经过自乘计算后可以验证： ■R=R4R4=R4 (二)在不同的截集水平下进行聚类 结果： (1)取λ=1，得： 各自成为一类。

关于重金属传播采用模糊聚类分析方法

关于重金属传播采用模糊聚类分析方法 聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。 一、模糊聚类分析的一般步骤 1、第一步：数据标准化[9] （1） 数据矩阵 设论域12{,,,}n U x x x = 为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即 12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,i n = ， 于是，得到原始数据矩阵为 11 121 2122 2 1 2 m m n n nm x x x x x x x x x ?? ? ? ? ??? 。 其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。 （2） 数据标准化 在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换 i k k ik k x x x s -'= (1,2,,; 1,2,i n k m == 其中 1 1 n k i k i x x n == ∑， 2 1 1 ()n k ik k i s x x n == -∑。

经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。但 是，再用得到的ik x '还不一定在区间[0,1]上。 ② 平移·极差变换 111m i n { } m a x {}m i n {} i k i k i n ik ik ik i n i n x x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m = 显然有01ik x ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。 ③ 对数变换 lg ik ik x x '= (1,2,,; 1,2,i n k m == 取对数以缩小变量间的数量级。 2、第二步：标定（建立模糊相似矩阵） 设论域12{,,,}n U x x x = ，12{,,,}i i i im x x x x = ，依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，i x 与j x 的相似程度(,)ij i j r R x x =。确定(,)ij i j r R x x =的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。 （1） 相似系数法 ① 夹角余弦法 122 1 1 m ik jk k ij m m ik jk k k x x r x x ==== ∑∑∑ 。 ② 最大最小法 11 () () m ik jk k ij m ik jk k x x r x x ==∧= ∨∑∑。 ③ 算术平均最小法