16．2 分式的运算
1 分式的乘除(第1课时)
教学目标 一、基本目标
1．理解并掌握分式乘除法的运算法则，并能正确进行计算． 2．通过计算归纳出分式的乘法法则，初步培养归纳的意识． 二、重难点目标 【教学重点】
分式的乘法法则，分式的除法法则． 【教学难点】
运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题． 教学过程
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】
阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】
1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为a b ·c d ＝
a ·c
b ·d
.
2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为a b ÷c d ＝a b ·d c ＝
a ·d
b ·c
.
3．分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式．
4．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用字母表示：? ????a b n ＝a
n
b
n .
环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：
(1)c 2ab ·a 2b 2c ； (2)y 7x ÷? ??
??－2x ； (3)? ??
??－2b 2
a 33. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则和分式的乘方法则进行计算．
【解答】(1)原式＝a 2b 2c 2
abc
＝abc .
(2)原式＝y
7x ·? ????
－x 2＝－xy 14x ＝－y
14.
(3)原式＝
－2b
23
a 3
3＝－8b
6
a
9.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式乘除法法则进行计算，运算结果应化为最简分式；分式乘方时，分子、分母应分别乘方．
【例2】计算：
(1)2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·x ＋3x －23－x
； (2)? ????c 3a 2b 2÷? ????c 4
a 3
b 2·? ??
??c a 4. 【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算，怎样进行分式的乘除混合运算？当式子中同时有乘除法和乘方时，运算顺序是怎样的？
【解答】(1)原式＝2x －64－4x ＋x 2·
1x ＋3·x ＋3
x －2
3－x
＝2x －32－x 2·
1x ＋3·x ＋3x －2
3－x ＝2
x －3x －22·
1x ＋3·x ＋3x －2
－x －3
＝－
2
x －2
. (2)原式＝c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4
a 4
＝c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 ＝c 2a
2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)计算分式的乘除混合运算时，先统一为乘法运算，再依次进行计算．当式子中有乘除法和乘方时，先算乘方，再算乘除法．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．计算a 2－1a ＋12÷
a －1
a
，结果正确的是 ( D ) A.1
2 B.
a ＋1
a ＋2 C.
a ＋1
a
D ．
a a ＋1
2．计算? ??
?
?－5x 2
y 3x 2的结果是 ( C )
10x4y 6x B.
25x4y
9x
A.
C.25x 4y 2
9x 2
D ．－5x 4y 2
3x
2
3．计算：
(1)x 2y x 3·? ????－1y ； (2)a 2－4b 23ab 2
·ab a －2b ； (3)x 2－x x －1
÷(4－x )；
(4)
42x 2－y 2x ·
－x
2
35y －x
3
.
解：(1)原式＝－x 2y x 3y ＝－1
x
.
(2)原式＝a ＋2b
a －2b
3ab
2
·
ab
a －2
b ＝
a ＋2b
3b
.
(3)原式＝
x x －1x －1·14－x ＝x
4－x
.
(4)原式＝
42
x ＋y
x －y
x
·
x 2
35x －y
3
＝6x x ＋y 5x －y
2. 活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知(a ＋b －2)2
＋|1－a |＝0，求4a 2
－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2
a
的值．
【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法，化简所求式子→代入a 、
b 的值进行计算．
【解答】∵(a ＋b －2)2
＋|1－a |＝0，
∴?
??
??
a ＋
b －2＝0，1－a ＝0，解得?
??
??
a ＝1，
b ＝1.
4a 2
－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a ＝a 4a －b 4a －b 2·2a ＝
2
4a －b . 将a ＝1，b ＝1代入上式，得原式＝24－1＝23
.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后，要代入化简后的式子进行计算．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
2 分式的加减(第2课时)
教学目标 一、基本目标
1．理解分式的加减法法则，并能正确计算分式加减法． 2．掌握异分母分式加减法的计算步骤，并能正确计算． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的加减法法则． 【教学难点】
异分母分式的加减法的计算步骤． 教学过程
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】
阅读教材P8～P9的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】
1．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 用字母表示为：a c ±b c ＝
a ±b
c
.
2．异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用字母表示为：a b ±c d ＝
ad bd ±bc bd ＝ad ±bc
bd
.
3．分式的加减法运算，运算结果应化为最简分式． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x ＋3y x 2－y 2－x ＋2y x 2－y 2
； (2)1a ＋3＋6
a 2－9
； (3)m ＋2n n －m －n m －n ＋2m
n －m
； (4)
1x －3＋1－x 6＋2x －6x 2－9
. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的加减法法则进行计算．
x＋3y－x＋2y 【解答】(1)原式＝
x2－y2
＝
y
x 2－y 2
.
(2)原式＝a －3a ＋3
a －3
＋
6
a ＋3a －3
＝a ＋3
a ＋3a －3
＝
1a －3
. (3)原式＝m ＋2n n －m ＋n n －m ＋2m
n －m
＝
3m ＋3n
n －m
. (4)原式＝2x ＋32x ＋3x －3＋
1－x
x －32x ＋3x －3－12
2x ＋3x －3
＝－
x 2－6x ＋9
2x ＋3x －3
＝－x －32x ＋6
.
【互动总结】(学生总结，老师点评)异分母分式相加减时，先要通分，变为同分母分式，再加减．
【例2】计算：
(1)x
x －y ·y 2
x ＋y －x 4y x 4－y 4÷x 2
x 2＋y 2
； (2)? ????2a b 2
·1a －b －a b ÷b 4； (3)?
??
??x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷4－x x . 【互动探索】(引发学生思考)类比整式的混合运算，分式的混合运算顺序是怎样的？ 【解答】(1)原式＝x
x －y ·
y 2
x ＋y －
x 4y x 2＋y 2
x 2－y 2·x 2＋y 2x
2
＝xy 2
x －y
x ＋y －x 2y x 2－y 2
＝
xy y －x
x －y x ＋y
＝－
xy
x ＋y
. (2)原式＝4a 2
b 2·1a －b －a b ÷b
4
b2a－b b2
b 2a －b
＝4ab
b
2
a －
b ＝
4a
b
a －b
. (3)原式＝??????x ＋2x x －2－x －1x －22·x 4－x
＝??
????x ＋2x －2x x －2
2－x x －1x x －22·x 4－x ＝x 2－4－x 2＋x x x －22·x
4－x
＝－
1
x 2
－4x ＋4
.
【互动总结】(学生总结，老师点评)分式混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，注意结果化成最简分式或整式．
活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列运算中正确的是 ( C ) A.a a －b －
b b －a ＝1 B.m a －n b ＝m －n
a －b
C.
a 2
a －
b －
b 2
a －b
＝a ＋b
D ．b a －
b ＋1a ＝1
a
2．计算：
(1)3a ＋2b 5a 2b ＋a ＋b 5a 2
b ； (2)b 2
a －
b ＋a
2
b －a ； (3)3b －a a 2－b 2－a ＋2b a 2－b 2－3a －4b
b 2－a 2
； (4)
x
x －y ＋
x
x ＋y －
x 2
x 2－y 2
.
解：(1)4a ＋3b 5a 2
b . (2)－a －b . (3)a －3b
a 2－
b 2. (4)
x 2
x 2－y 2
.
活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知
3x ＋4x 2
－x －2＝A x －2－B
x ＋1
，其中A 、B 为常数，求4A －B 的值．
【互动探索】要求4A －B 的值，需要先求出A 与B 的值．通过化简等式右边，再对比可求出A 、B 的值．
【解答】A x －2－B
x ＋1＝
A x ＋1x ＋1x －2－
B x －2x ＋1x －2＝A －B x ＋A ＋2B
x ＋1x －2
. 因为
3x ＋4x 2
－x －2＝A x －2－B
x ＋1
＝
A －
B x ＋A ＋2B
x ＋1x －2
，
所以???
??
A －
B ＝3，A ＋2B ＝4，
解得????
?
A ＝103
，
B ＝1
3.
故4A －B ＝4×103－1
3
＝13.
【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对比等式中等号两边的分式，得出关于A 、B 的二元一次方程组，求出A 、B 的值，从而求解．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
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