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三备两磨校本研修与岗位实践作业-汪--芳-一元二次方程根与系数的关系

三备两磨校本研修与岗位实践作业-汪--芳-一元二次方程根与系数的关系
三备两磨校本研修与岗位实践作业-汪--芳-一元二次方程根与系数的关系

教学设计方案终稿

课题一元 次方程根 系数的关系

姓名汪芳学科初中数学学校芦林铺中学 级九 级

教学目标要求学生在理解的 础 掌握一元 次方程根 系数的关系式,能运用根 系数的关系由 知一元 次方程的一个根求出另一个根 未知数,会求一元 次方程两个根的倒数和 方数,两根之差

学生情况分析本课的教学对象是初中 级学生,学生对 物的认识多是直观 形象的,他们所注意的多是 物外部的 直接的 具体形象的特征,

教学重难点1 重点 一元 次方程根 系数的关系

2 难点 学生从具体方程的根发 一元 次方程根 系数之间的关系,并用语言表述,以及由一个 知方程求作新方程,使新方程的根 知的方程的根有某种关系,比较抽象,学生真 掌握有一定的难度,是教学的难点

教学过程教学 节教师活动预设学生行 设计意

问题

引探

解 列方程

2x2为5x为3=0 3x2-2

x-8=0

并根据问题2和以 的求

解填写 表

请观察 表,你能发 两

根之和 两根之 方程

的系数之间有什么关系

吗?

问题4.请根据以 的观察

发 进一 猜想 方程

ax2为bx为c=0 a≠0 的根

x1,x2 a b c之间的

关系 ____________

问题5.你能证明 面的猜

想吗?请证明,并用文字

语言叙述说明

分小 论以 的问题,

并作出推理证明

若方程ax2为bx为c=0

a≠0 的两根

x1= ,x2=

则 x1为x2= 为 =

x1 x2= ·

得出一元 次方

程的根 系数的关

系 可以 学生

用自 的语言表述

种关系,来加深

理解和记

个关系是一个法

数学家韦达发

的,所以 之

韦达定理

探索

问题6.在方程ax2为bx为c=0

a≠0 中,a b c的作

用吗? 引导学生反思性

学生交流探

本设计采用 实践

——观察——发

——猜想——证

小结

次项系数a是否 零,决定着方程是否 次方程

当a≠0时,b=0,a c 异号,方程两根互 相反数

当a≠0时,△=b2-4ac 可判定根的情况

当a≠0,b2-4ac≥0时,x1为x2=,x1x2=

当a≠0,c=0时,方程 有一根 0 明 的过程,使学生既动手又动脑,且又动口,教师引导启发,避免注入式地讲授一元 次方程根 系数的关系,体 学生的 体学 特性, 养了学生的创新意识和创新精神

尝试 发展根据根 系数的关系写出

列方程的两根之和 两

根之 方程两根 x1,

x2 k是常数

1 2x2-3x+1=0

x1+x2= ________

x1x2= _________

2 3x2+5x=0

x1+x2= ________

x1x2= __________

3 5x2+x-2=0

x1+x2= _________

x1x2= __________

4 5x2+kx-6=0

x1+x2= _________

x1x2= __________

试一试 巩固知

拓展创新利用根 系数的关系,求

一元 次方程2x2-3x-1=0

的两个根的 1 方和,

2 倒数和

论 解 面问题的思路

是什么?

x12+ x22=( x1+x2)2-2

x1x2;

将 方和 倒数和

转化 两根和

的代数式

教学设计

初稿的

修改点

磨课活动小结磨课活动

过程分析

学生 极性 高,多

活动反思

活动反思本课 要研究了什么? 1 方程的根是由系数

决定的 2 a≠0时,

方程ax2+bx+c=0是一

元 次方程 3 当

a≠0,b2-4ac≥0时,

x1+x2=,x1x2= 4

b2-4ac的值可判定根

的情况 5 方程根

系数关系的有关应用

回顾总结

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2,求另一个根及 的值. 思路点拨:从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解的值,再代回原方程,解方程求出另一个根即可. 解:将代入原方程,得 即 解方程,得 当时,原方程都可化为 解方程,得. 所以方程的另一个根为4,或-1. 总结升华:以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口. 举一反三: 【变式1】已知一元二次方程的一个根是,求代数式 的值. 思路点拨:抓住为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题. 解:因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华:“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程: (1)3-27x2=0; (2)4(1-x)2-9=0. 解:(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程: (1);(2). 解:(1)由, 得, ,

, 所以, 故. (2)由, 得, , , 所以 故 4.用公式法解下列方程: (1);(2);(3). 解:(1)这里 并且 所以, 所以,. (2)将原方程变形为, 则 , 所以,

所以. (3)将原方程展开并整理得, 这里, 并且, 所以. 所以. 总结升华:公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程: (1);(2); (3). 解:(1)将原方程变形为, 提取公因式,得, 因为,所以 所以或, 故 (2)直接提取公因式,得 所以或,(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

解实系数一元二次方程

课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1.掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法;使学生掌握含有未知数 的解法. 2.教学过程中,渗透数学转化思想及方程的思想,提高学生灵活运用数学知识解题的能力;培养学生严谨的逻辑思维. 3.通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较,认识到任何事物都是相对的,而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点. 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用. 教学过程: 一、引入新课 问题一:方程x2+1=0在复数范围内有没有解,解集是什么? 因为-1=i2,则原方程化为x2-i2=0,即(x+i)(x-i)=0.所以原方程解集为{i,-i}.问题二:方程ax2+bx+c=0(a,b,c是实数)在复数范围内解集是什么? 当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实根,解集为 二、讲授新课 引导思考:方程x2+1=0中,Δ=-4<0,上述结论对吗? 解为: 无意义.此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数范围内解的情况为: 当Δ≥0时有实根; 当Δ<0时,有一对共轭的虚根. 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0

i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解: 例2 已知实系数一元二次方程2x 2+ax +b=0的一个根为2i-3,求a ,b 的值. 解:2x 2+ax +b=0一根为2i-3,另一根为-3-2i .由韦达定理知: b=(2i-3)(-2i-3)=9+16=25, a=2i-3+(-2i-3)=-6. 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题.对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解? 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解. 解:将方程左端配方,得(x-i )2-4=0,即(x-i )2=4.解得x-i=±2,即x 1=2+i ,x 2=-2+i . 练习P22 1、2、3 2、二项方程:形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程,任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式,都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即:所以解:原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点,这些点均匀分布在以原点为圆心,以2为半径的圆上.

一元二次方程公共根

一元二次方程公共根问题 若已知若干个一元二次方程有公共根,求方程系数的问题,叫一元二次方程的公共根问题, 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤: 1.设公共根为α,则α同时满足这两个一元二次方程; 2.用加减法消去α2的项,求出公共根或公共根的有关表达式; 3.把共公根代入原方程中的任何一个方程,就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式. 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法:设公共根,代入原方程(两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的值和公共根. 二、整数根问题 对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况,可以用判别式24b ac ?=-来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质. 方程有整数根的条件: 如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根,那么必然同时满足以下条件: ⑴ 2?= ⑵ 2b ak -=或2b ak --,其中k 为整数. 以上两个条件必须同时满足,缺一不可. 另外,如果只满足判别式为完全平方数,则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 三、方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根,然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围 1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根, (1)求k 的取值范围. (2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根,求此时m 的值. 2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根,求a 的值 3 已知a >2,b >2,试判断关于x 的方程x 2-(a +b )x +ab =0与x 2-abx +(a +b )=0有没有公共根,请说明理由. 4求k 的值,使得一元二次方程210x kx +-=,2(2)0x x k ++-=有相同的根,并求两个方程的根. 5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ,b 为正整数)有一个公共根,求a b b a b a a a --++的值

初中数学八年级下册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法第1课时作业设计

2.2 一元二次方程的解法(第1课时) A组基础训练 1. 已知AB=0,那么下列结论正确的是() A. A=0 B. A=B=0 C. B=0 D. A=0或B=0 2. (山西中考)一元二次方程x2+3x=0的解是() A. x1=-3 B. x1=0,x2=3 C. x1=0,x2=-3 D. x1=3 3. 用因式分解法解下列方程,正确的是() A. (2x-2)(3x-4)=0,则2x-2=0,或3x-4=0 B. (x+3)(x-1)=1,则x+3=0,或x-1=1 C. (x-2)(x-3)=2×3,则x-2=2,或x-3=3 D. x(x+2)=0,则x+2=0 4. 方程x-2=x(x-2)的解是() A. x=0 B. x1=0,x2=2 C. x=2 D. x1=1,x2=2 5. 方程(x-2)(x+3)=-6的两根分别为() A. x=2 B. x=-3 C. x1=2,x2=-3 D. x1=0,x2=-1 6. 若关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是0,则另一个根是 . 7. 请写出一个两根分别是1,-2的一元二次方程 . 8. (德州中考)方程3x(x-1)=2(x-1)的根是 . 9. 用因式分解法解方程: (1)x2-6x=0; (2)4y2-16=0; (3)x(x-2)=x-2; (4)9(x+1)2-16(x-2)2=0; (5)2x2-42x+4=0.

10. 在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=(a-1)2-b2. 根据这个规则,求方程(x+3)※5=0的解. 11. 文文给明明出了一道解一元二次方程的题目如下: 解方程(x-1)2=2(x-1). 明明的求解过程为: 解:方程两边同除以x-1,得x-1=2,第1步 移项,得x=3,第2步 ∴方程的解是x1=x2=3.第3步 文文说:你的求解过程的第1步就错了… (1)文文的说法对吗?请说明理由; (2)你会如何解这个方程?给出过程. 12. 如果方程ax2-bx=0与方程ax2+b-12=0有一个公共根是3,求a,b的值,并分别求出两个方程的另一根. B组自主提高 13. 已知方程x2+px+q=0的两根分别为3或-4,则x2+px+q可分解为 . 14. 已知△ABC的两边长分别为2和3,第三边的长是方程x2-7x+10=0的根,求△ABC的周长.

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论(不讨论 a ) ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ,一个大于k 即 21x k x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论(不讨论 a ) ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

2019年春八年级数学下册第17章一元一次方程17.2一元二次方程的解法第3课时因式分解法课时作业新

第3课时因式分解法 知识要点基础练 知识点1因式分解法的原理和一般步骤 1.(滨州中考)下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是(C) A.a(m+n)=am+an B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16x+6x=(x+4)(x-4)+6x 2.用因式分解法解方程x2+5x+4=0时,可转化为两个一次方程,请写出其中一个一元一次方程是x+1=0(或x+4=0). 知识点2用因式分解法解一元二次方程 3.方程(x-1)(x+2)=0的解为(A) A.x1=1,x2=-2 B.x1=1,x2=2 C.x1=-1,x2=-2 D.x1=-1,x2=2 4.方程m(m-5)=6(m-5)的解是m=6或m= 5. 5.用因式分解法解方程: (1)x2-2x=0; 解:x(x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x1=0,x2=2. (2)x2-3x-4=0. 解:(x-4)(x+1)=0, ∴x-4=0或x+1=0, ∴x1=4,x2=-1. 知识点3一元二次方程解法的选择 6.解方程x2-2x=4,最好的方法是(C) A.直接开平方法 B.公式法

C.配方法 D.因式分解法 7.解一元二次方程(y+2)2-2(y+2)-3=0时,最简单的方法是因式分解法. 综合能力提升练 8.方程x(x-2)+x-2=0的解是(D) A.x=2 B.x=-2或x=1 C.x=-1 D.x=2或x=-1 9.若x2+4x+4=0,则代数式的值为(A) A.-3 B.3 C.- D. 10.已知三角形两边长分别是3和6,第三边长是方程x2-6x+8=0的根,则这个三角形的周长等于(A) A.13 B.11 C.11或13 D.12或15 11.方程(x+4)(x-1)=6可化为的两个一元一次方程为(D) A.x+4=6或x-1=1 B.x+4=3或x-1=2 C.x+4=-1或x-1=-6 D.x+5=0或x-2=0 12.已知方程(x+y)(x+y-1)-12=0,则x+y的值为(D) A.13 B.4 C.-3 D.4或-3 13.若x2+3x+5的值为9,则x的值为1或-4. 14.当x=-1或-2时,分式的值为0. 15.方程2(x-3)2=x2-9的解是x1=3,x2=9. 16.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+3mx+(m2+3m-4)=0有一个根是0,那么m=-4. 17.按要求解下列方程: (1)2x2+6=7x(公式法);

复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案

复数范围内实系数一元二次方程(19题)(答案) 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+,则这个方程可以是 228039 x x -+= . 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根,则下列等式成立的是( C ) (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假,并说明理由; (1)在复数范围内,方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ,且0)a ≠总 有两个根.( √ ) ) (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根,则这个方程的另 一个根是12i -.( ? ) (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根,则p 、q 均为实数.( √) 5、已知复数z ,解方程3i 13i z z -?=+. 解:设i()z x y x y =+∈R ,,则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+. 由复数相等,有3133x y y x -=??-=?,,解得543.4 x y ?=-????=-??,. ∴53i 44z =--. 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ; | 若z R ∈,则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数, 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ,则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以,方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= (1)x R ∈ (2)x C ∈ 解:(1)1x = (2)11x orx i ==-

5[1].4.4一元二次方程的公共根与整数根.题库学生版

内容 基本要求 略高要求 较高要求 一元二次方程 了解一元二次方程的概念,会将一元二次方程化为一般形式,并指出各项系数;了解一元二次方程的根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围;会由方程的根求方程中待定系数的值 一元二次方程的解法 理解配方法,会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程,理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程;会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围;会用配方法对代数式做简单的变形;会应用一元二次方程解决简单的实际问题 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法:设公共根,代入原方程(两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的 值和公共根. 二、整数根问题 对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况,可以用判别式24b ac ?=-来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质. 方程有整数根的条件: 如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根,那么必然同时满足以下条件: ⑴ 24b ac ?=-为完全平方数; ⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=,其中k 为整数. 以上两个条件必须同时满足,缺一不可. 另外,如果只满足判别式为完全平方数,则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 三、方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根,然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围. 知识点睛 中考要求 一元二次方程的公共根与整数根

2020年九年级数学上册课时作业 一元二次方程 根的判别式(含答案)

2020年九年级数学上册课时作业 一元二次方程根的判别式 一、选择题 1.若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A.k<﹣1 B.k>﹣1 C.k<1 D.k>1 2.已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是( ) A.m<2 B.m≤2 C.m<2且m≠1 D.m≤2且m≠1 3.若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断 4.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为() A.﹣1 B.0 C.1 D.3 5.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足( ) A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5 6.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A.k<1 B.k≤1 C.k>-1 D.k>1 7.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是() A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数 根 8.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足() A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5 9.关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是() A.k>-1 B.k≥-1 C.k≠0 D.k>-1且k≠0 10.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根,则k的值为() A.k=﹣4 B.k=4 C.k≥﹣4 D.k≥4 11.若关于x的方程x2-x+a=0有实根,则a的值可以是( ) A.2 B.1 C.0.5 D.0.2

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2); (3). 分析:用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值,再代入公式计算,

一元二次方程根的差别式

典型例题一 例 求证:如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根,那么,关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析:由已知,可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?,方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?,则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根, 01+∴m ,即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明:上述证明中,判定02>?用到了01

分析:运用根的判别式判定根的情况时,要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式,然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号,尤其是当方程系数中含有字母时,一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数,再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号,从而判定方程的根的情况,有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解:(1)),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. (2)0≠a , ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项,将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数,2b 均为非负数, 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. (3)0≠a , ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程,它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?, ∴需要讨论a 、c 的符号,才能确定?的符号. 当0=c 时,0=?,方程有两个相等的实数根; 当a 、c 异号时,0>?,方程有两个不相等的实数根; 当a 、c 同号时,0

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) a

根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间()n m ,外,即在区间两侧 12,x m x n <>,(图形分别如下)需满足的条件是 (1)0a >时,()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况: 若()0f m =或()0f n =,则此时()()0f m f n

一元二次方程公共根问题

一元二次方程公共根问题 1、若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根,求a的值 解:设两个方程的公共根为α,则有α2+α+a=0 ① α2+aα-1=0 ② ①-②得(1-a)α+a-1=0,即(1-a)(α-1)=0因为只有一个公共根,所以a≠1,所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0,a=-2 解:两个方程相减,得:x+a-ax-1=0,整理得:x(1-a)-(1-a)=0,即(x-1)(1-a)=0,若a-1=0,即a=1时,方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0,即方程无解;故a≠1,∴公共根是:x=1.把x=1代入方程有:1+1+a=0∴a=-2. 2、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根,则() A.a=b B.a+b=0 C.a+b=1 D.a+b=-1 3、关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根,求b的值. 解:设方程的公共根为x=t, 则 t2+bt+10 (1) t2?t?b=0 (2) , 由(2)得b=t2-t (3)将(3)代入(1)得:t3+1=0,解得,t=-1,当t=-1时,b=2. 4、已知关于x的方程x2+x-3m=0与x2-mx+3=0只有一个相同的实数根,求m的值.解:将方程x2+x-3m=0和x2-mx+3=0组成方程组得, x2+x?3m=0 x2?mx+3=0 , 解得x=3,m=4. 4、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根,则m的值为()A.2 B.0 C.-1 D.无法确定

201X年春八年级数学下册第17章一元一次方程17.2一元二次方程的解法第2课时公式法课时作业新版沪

第2课时公式法 知识要点基础练 知识点1一元二次方程的求根公式 1.用公式法解方程3x(x-2)=5时,对应a,b,c的值分别是(C) A.3,-2,5 B.3,-6,5 C.3,-6,-5 D.3,6,-5 2.一元二次方程x2-2x-c=0能用公式法求解的前提是(C) A.c=1 B.c≥1 C.c≥-1 D.c≤-1 3.方程(2x+1)(x+2)=1化成一般形式是2x2+5x+1=0,b2-4ac=17. 知识点2运用公式法解一元二次方程 4.一元二次方程x2-2x-1=0的解是(B) A.x1=x2=1 B.x1=1+,x2=1- C.x1=1+,x2=-1- D.x1=-1+,x2=-1- 5.一元二次方程x2-5x+5=0(精确到0.1)的近似解是(参考数据≈1.73,≈2.24) (C) A.x1≈1.6,x2≈3.4 B.x1≈-1.6,x2≈-3.4 C.x1≈3.6,x2≈1.4 D.x1≈-3.6,x2≈-1.4 6.用公式法解方程: (1)2x2-4x-1=0; 解:∵a=2,b=-4,c=-1,b2-4ac=16+8=24, ∴x=, ∴x1=,x2=. (2)x2+x=1. 解:原方程化为一般形式是x2+x-1=0,

∵a=1,b=1,c=-1,b2-4ac=1+4=5,

∴x=, ∴x1=,x2=. 综合能力提升练 7.若实数范围内定义一种运算“*”,使a*b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)*5=0的根为(D) A.-2 B.-2,3 C. D. 8.设x1是一元二次方程2x2-4x=较小的根,则(B) A.0

一元二次方程根的两个特性及简单运用

一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数(包括常数项)决定的。因此,一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读,再填空解题: (1)方程:x2-4x-12=0 的根是:x 1=6, x 2 =-2,则x 1 +x 2 =4,x 1 ·x 2 =-12; (2)方程2x2-7x+3=0的根是:x 1= 1 2 , x 2 =3,则x 1 +x 2 = 7 2 ,x 1 ·x 2 = 3 2 ; (3)方程3x2+6x-2=0的根是:x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = , x 1·x 2 = ; 根据以上(1)(2)(3)你能否猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0且a、b、c为常数)的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系?请写出来你的猜想并说明理由。 解析:方程3x2+5x-2=0的根是:x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -,x1·x2= 2 3 -。 能猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c为常数) 的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下: 根据求根公式可知,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c 为常数)的两根为: a ac b b x 2 4 2 1 - + - =, a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,这个方程的两个根与系数的关系是:两根之和,等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积,等于常数项除以二次项系数所得的商.

数学:13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版高二下)

13.6(1)实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后,对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要,数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数,解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=,当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此,本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况;会在复数集中解实系数一元二次方程;会在复数范围内对二次三项式进行因式分解;理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系,并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程;在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计

六、教学过程设计 (一)复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式,我 们回顾一下: 当240b ac ?=-≥ 时,方程有两个实数根:2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”,大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①:一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解? 设问②:在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=? [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知,x 即为-1的平方根:i ±;设问②是为了引出本节课的课题:实系数一元二次方程. (二)讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况: 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠,所以原方程可变形为2b c x x a a +=-, 配方得

奥数新讲义-一元二次方程-整数根公共根4学

第三讲 一元二次方程4:整数根、公共根 一、 基础知识 1.一元二次方程的根为有理数 对于有理系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,在240b ac ?=-≥时,方程有实根,且: 方程有有理根??→←?? 24b ac ?=-为完全平方数(有理数平方) 2.一元二次方程的根为整数 (1)对于整系数的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠,如果有整数根,则必须满足以下两个条件:24b ac ?=-为完全平方数(自然数平方);24b b ac -±-是2a 的整数倍; (2)在首项系数为1的整系数方程20x px q ++=(p 、q 为整数)的判别式24b ac ?=-为一个完 全平方数,则方程的根为整数,反之,亦成立; (3)对于整系数的一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠,若a 、b 是偶数,c 是奇数,则该方程无整数根; (4)整系数的一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠,若a 、b 、c 都是奇数,且240b ac ?=->,则方程20(0)ax bx c a ++=≠无整数根. 3. 一元二次方程公共根: 二次方程的公共根问题的一般解法:设公共根,代入原方程(两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的值和公共根. 二、 整数根问题 例1已知方程22 4(1)3240x m x m m k --+-+=对任意有理数m 都有有理根,求k 的值. 1.整数根讨论:利用判别式 例2不解方程,判定下列各方程的实数根是否是整数根: ○123180x x +-=;○228590x x +-=;○322450x x +-=;○42323870x x +-=

一元二次方程第1课时作业

第二章 一元二次方程 课后练习 班级 学号 姓名 得分 (二)一元二次方程的解法 1.开平方法解下列方程: (1)012552=-x (2)289)3(1692=-x (3)03612=+y (4)0)31(2=-m 2.配方法解方程: (1)0522=-+x x (2)0152=++y y 3.求根公式法解下列方程: (1)2632-=x x (2)p p 3232=+ 4.因式分解法解下列方程: (1)0941 2=-x (2)04542=-+y y 一元二次方程的根的判别式 5.不解方程判别方程根的情况: (1)4x x x 732=+-(有两个不等的实数根) (2)x x 4)2(32=+ (无实数根)

一元二次方程的应用 (一)传播问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有多少个队参加比赛? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 3.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450公斤,求水稻每公顷产量的年平均增长率。 4.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均每次降价率是多少? (三)商品销售问题 售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额 5.某商店购进一种商品,进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系:P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件? 6.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且RP与x的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元? (2)若可获得的最大利润为1950元,问日产量应为多少?

一元二次方程的根

初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根,是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是:x=a ac b b 242-±-. (b 2-4ac ≥0) 2. 根的判别式 ① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是: b 2-4a c ≥0. ② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是: b 2-4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2-4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根,那么 ① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0,b 2-4ac ≥0), ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0, b 2-4ac ≥0); ② x 1=a ac b b 242-+-, x 2=a ac b b 242--- (a ≠0, b 2-4ac ≥0); ③ 韦达定理:x 1+x 2= a b -, x 1x 2=a c (a ≠0, b 2-4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是:x 1是c 的因数. 特殊的例子有: C=0?x 1=0 , a+b+c=0?x 1=1 , a -b+c=0?x 1=-1. 二、例题 例1. 已知:a, b, c 是实数,且a=b+c+1. 求证:两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根. (1990年泉州市初二数学双基赛题) 证明 (用反证法) 设 两个方程都没有两个不相等的实数根, 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ???++=≤-≤ ③ ② ①-1040412c b a c a b 由①得b ≥ 41,b+1 ≥4 5代入③,得 a -c=b+1≥45, 4c ≤4a -5 ④ ②+④:a 2-4a+5≤0, 即(a -2)2+1≤0,这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的,那么必有一个是大于0.

一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合

一元二次方程的有理根总结 求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系,也就是说,常常利用根的判别式为完全平方数来讨论。 1、 如果()112 ++-x m x 是完全平方式,求m 的值 2、 若20052 +a 是整数,求所有满足条件的正整数a 的值 3、关于x ,y 的方程 2922 2=++y xy x 有整数解,求满足条件的()y x ,的值 4、设k 为整数,且0≠k ,方程 ()0112 =+--x k kx 有有理根,求k 的值。 5、当q 是什么实数时,对于任意有理数p ,方程 ()() 043122 2=+--++q p p x p x 有有理根? 6、已知关于x 的方程 ()01212 =--+-a x x a 的根都是整数,那么符合条件的整数a 有_________个。 7、已知a 是正整数,且使得关于x 方程 ()()0341222 =-+-+a x a ax 至少有一个整数根。求a 的值。 8、试确定一切有理数r ,使得关于x 的方程 ()02322 =-+++r x r rx 有根且只有整数根。 9、试确定一切有理数r ,使得关于x 的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有根且只有整数根. 10、已知p 为质数,使一元二次方程 01522 2=--+-p p px x 的两根都是整数,求出p 的所有可能值。 11、已知198=+q p ,求方程 02=++q px x 的整数根。 12、设关于x 的二次方程 ()()4462862 222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数。求满足条件的所有实数k 的值。 13、已知关于x 的方程 ()01122=-+--m x m x 的两个根都是正整数,求m 的值。 一元二次方程的公共根与整数根 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法:设公共根,代入原方程(两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的值和公共根. 二、整数根问题 对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况,可以用判别式24b ac ?=-来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.求有整数根的二次方程中,参数问题,要根据方程的结构特点,设法将二次方程转化为两个一次式,再根据整数根确定其解。其转化途径:或直接分解因式;或利用根

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