习题一
1.下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?
(1)中国有四大发明.
答:此命题是简单命题,其真值为1.
(2)5是无理数.
答:此命题是简单命题,其真值为1.
(3)3是素数或4是素数.
答:是命题,但不是简单命题,其真值为1.
x+<
(4)235
答:不是命题.
(5)你去图书馆吗?
答:不是命题.
(6)2与3是偶数.
答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.
(7)刘红与魏新是同学.
答:此命题是简单命题,其真值还不知道.
(8)这朵玫瑰花多美丽呀!
答:不是命题.
(9)吸烟请到吸烟室去!
答:不是命题.
(10)圆的面积等于半径的平方乘以π.
答:此命题是简单命题,其真值为1.
(11)只有6是偶数,3才能是2的倍数.
答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.
答:是命题,但不是简单命题,其真值为0.
(13)2008年元旦下大雪.
答:此命题是简单命题,其真值还不知道.
2.将上题中是简单命题的命题符号化.
解:(1)p:中国有四大发明.
(2)p:错误!未找到引用源。是无理数.
(7)p:刘红与魏新是同学.
(10)p:圆的面积等于半径的平方乘以π.
(13)p:2008年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
(1)5是有理数.
答:否定式:5是无理数.p:5是有理数.q:5是无理数.其否定式q的真值为1.
(2)25不是无理数.
答:否定式:25是有理数. p :25不是无理数. q :25是有理数. 其否定式q 的真值为1.
(3)2.5是自然数.
答:否定式:2.5不是自然数. p :2.5是自然数. q :2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1.
(4)ln1是整数.
答:否定式:ln1不是整数. p :ln1是整数. q :ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1.
4.将下列命题符号化,并指出真值. (1)2与5都是素数
答:p :2是素数,q :5是素数,符号化为p q ∧,其真值为1.
(2)不但π是无理数,而且自然对数的底e 也是无理数.
答:p :π是无理数,q :自然对数的底e 是无理数,符号化为p q ∧,其真值为1. (3)虽然2是最小的素数,但2不是最小的自然数.
答:p :2是最小的素数,q :2是最小的自然数,符号化为p q ∧?,其真值为1. (4)3是偶素数.
答:p :3是素数,q :3是偶数,符号化为p q ∧,其真值为0. (5)4既不是素数,也不是偶数.
答:p :4是素数,q :4是偶数,符号化为p q ?∧?,其真值为0. 5.将下列命题符号化,并指出真值. (1)2或3是偶数. (2)2或4是偶数. (3)3或5是偶数.
(4)3不是偶数或4不是偶数. (5)3不是素数或4不是偶数.
答: p :2是偶数,q :3是偶数,r :3是素数,s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨,其真值为1. (2) 符号化:p r ∨,其真值为1. (3) 符号化:r t ∨,其真值为0. (4) 符号化:q s ?∨?,其真值为1.
(5) 符号化:r s ?∨?,其真值为0. 6.将下列命题符号化.
(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.
答:p :小丽从筐里拿一个苹果,q :小丽从筐里拿一个梨,符号化为: p q ∨. (2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.
答:p :刘晓月选学英语,q :刘晓月选学日语,符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p :王冬生于1971年,q :王冬生于1972年,说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化
答:列出两种符号化的真值表:
p q
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.
8.将下列命题符号化,并指出真值.
(1)只要错误!未找到引用源。,就有错误!未找到引用源。;
(2)如果错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。;
(3)只有错误!未找到引用源。,才有错误!未找到引用源。;
(4)除非错误!未找到引用源。,才有错误!未找到引用源。;
(5)除非错误!未找到引用源。,否则错误!未找到引用源。;
(6)错误!未找到引用源。仅当错误!未找到引用源。.
答:设p:错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。:错误!未找到引用源。;设q:错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。:错误!未找到引用源。.
符号化真值(1) 1
(2) 1
(3)0
(4)0
(5)0
(6) 1
9.设p:俄罗斯位于南半球,q:亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值:(1)错误!未找到引用源。;
(2)错误!未找到引用源。;;
(3)错误!未找到引用源。;
(4)错误!未找到引用源。;
(5)错误!未找到引用源。;
(6)错误!未找到引用源。;
(7)错误!未找到引用源。.
答:根据题意,p为假命题,q为真命题.
自然语言真值(1)只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多 1
(2)只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0
(3)只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多 1
(4)只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就不是最多 1
(5)只要亚洲人口不是最多,俄罗斯就位于南半球 1
(6)只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就不是最多0
(7)只要亚洲人口不是最多,俄罗斯就不位于南半球 1
10.设p:9是3的倍数,q:英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值:(1)错误!未找到引用源。;
(2)错误!未找到引用源。;
(3)错误!未找到引用源。;
(4)错误!未找到引用源。.
答:根据题意,p为真命题,q为假命题.
自然语言真值(1)9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0
(2)9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻 1
(3)9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻 1
(4)9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻0
11.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:
(1)若2+2=4,则地球是静止不动的;
(2)若2+2=4,则地球是运动不止的;
(3)若地球上没有树木,则人类不能生存;
(4)若地球上没有水,则错误!未找到引用源。是无理数.
答:
命题1 命题2 符号化真值(1)p:2+2=4 q:地球是静止不动的0
(2)p:2+2=4 q:地球是静止不动的 1 (3)p:地球上有树木q:人类能生存 1 (4)p:地球上有树木q:人类能生存 1
12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:
(1)2+2=4当且仅当3+3=6;
(2)2+2=4的充要条件是3+3错误!未找到引用源。6;
(3)2+2错误!未找到引用源。4与3+3=6互为充要条件;
(4)若2+2错误!未找到引用源。4,则3+3错误!未找到引用源。6,反之亦然.
答:设p:2+2=4,q:3+3=6.
符号化真值
(1) 1
(2) 0
(3) 0
(4) 1
13.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值:
(1)若今天是星期一,则明天是星期二;
(2)只有今天是星期一,明天才是星期二;
(3)今天是星期一当且仅当明天是星期二;
(4)若今天是星期一,则明天是星期三.
答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.
符号化真值讨论
(1) 不会出现前句为真,后句为假的情况
(2) 不会出现前句为真,后句为假的情况
(3) 必然为1
(4) 若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为1
14.将下列命题符号化:
(1)刘晓月跑得快,跳得高;
(2)老王是山东人或者河北人;
(3)因为天气冷,所以我穿了羽绒服;
(4)王欢与李乐组成一个小组;
(5)李欣与李末是兄弟;
(6)王强与刘威都学过法语;
(7)他一面吃饭,一面听音乐;
(8)如果天下大雨,他就乘班车上班;
(9)只有天下大雨,他才乘班车上班;
(10)除非天下大雨,否则他不乘班车上班;
(11)下雪路滑,他迟到了;
(12)2与4都是素数,这是不对的;
(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的.
答:
命题1 命题2 命题3 符号化
(1) p:刘晓月跑得快q:刘晓月跳得高-
(2) p:老王是山东人q:老王是河北人-
(3) p:天气冷q:我穿羽绒服-
(4) p:王欢与李乐组成- - p:王欢与李乐组成一个
一个小组小组
(5) p:李辛与李末是兄
弟
- - p:李辛与李末是兄弟
(6) p:王强学过法语q:刘威学过法语-
(7) p:他吃饭q:他听音乐-
(8) p:天下大雨q:他乘车上班-
(9) p:天下大雨q:他乘车上班-
(10) p:天下大雨q:他乘车上班-
(11) p:下雪q:路滑r:他迟到了
(12) p:2是素数q:4是素数-
(13) p:2是素数q:4是素数-
15.设p:2+3=5.
q:大熊猫产在中国.
r:太阳从西方升起.
求下列符合命题的真值:
(1)错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。
(4)错误!未找到引用源。
解:p真值为1,q真值为1,r真值为0.
(1)0,(2)0,(3)0,(4)1
16.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值:
(1)错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。
(4)错误!未找到引用源。
解:(1)0,(2)0,(3)0,(4)1
17.判断下面一段论述是否为真:“错误!未找到引用源。是无理数.并且,如果3是无理数,则错误!未找到引用源。也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”
解:p:错误!未找到引用源。是无理数q: 3是无理数r:错误!未找到引用源。是无理数s: 6能被2整除t:6能被4整除
符号化为:错误!未找到引用源。,该式为重言式,所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.”
解:p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
错误!未找到引用源。真值为1.错误!未找到引用源。真值为0.可得,p真值为1,q真值为0.
所以,小王会唱歌,小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
(1)错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用源。p错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。
(4)错误!未找到引用源。
(5)错误!未找到引用源。
(6)错误!未找到引用源。
(7)错误!未找到引用源。.
解:
(1)
p q r
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
此式为重言式
(2)
p q (p错误!未找到引用源。
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
此式为可满足式
(3)
q r
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 0
此式为矛盾式
(4)
p q
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 1
此式为重言式
(5)
p q r
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 此式为可满足式
(6)
p q r
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
此式为重言式
(7)
p q r s
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
此式为可满足式
20.求下列公式的成真赋值:
(1)错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。
(4)错误!未找到引用源。
解:
p q
0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1
由真值表得:(1)的成真赋值是01,10,11(2)的成真赋值是00,10,11 (3)的成真赋值是00,01,10 (4)的成真赋值是01,10,11
21.求下列各公式的成假赋值:
(1)错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用源。
(3)错误!未找到引用源。
解:
p q r
0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
由真值表得:(1)的成假赋值是011 (2)的成假赋值是010,110
(3)的成假赋值是100,101
22.已知公式错误!未找到引用源。是矛盾式,求公式错误!未找到引用源。成真和成假赋值.
解:∵错误!未找到引用源。是矛盾式∴错误!未找到引用源。也是矛盾式。
由此可得:该式无成真赋值。而成假赋值为:000,001,010,011,100,101,110,111
23.已知公式错误!未找到引用源。是重言式,求公式错误!未找到引用源。的成真和成假赋值.
解:∵错误!未找到引用源。是重言式,∴错误!未找到引用源。也是重言式。
由此可得:该式无成假赋值。而成真赋值为:000,001,010,011,100,101,110,111
24.已知错误!未找到引用源。是重言式,试判断公式错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。的类型.
解:∵错误!未找到引用源。是重言式,而要使该式为重言式,其成真赋值只有11,∴错误!未找到引用源。都是重言式。
25.已知错误!未找到引用源。是矛盾式,试判断公式错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。的类型.
解:∵错误!未找到引用源。是矛盾式,而要使该式为矛盾式,其成假赋值只有00,∴错误!未找到引用源。都是重言式。
26.已知错误!未找到引用源。是重言式,错误!未找到引用源。是矛盾式,试判断错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。的类型.
解:错误!未找到引用源。是矛盾式。
错误!未找到引用源。是重言式。
27.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,p n的公式,证明:错误!未找到引用源。是重言式当且仅当A和B都是重言式.
解:
A B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
由真值表可得,当且仅当A和B都是重言式时,错误!未找到引用源。是重言式。
28. 设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,p n的公式,已知错误!未找到引用源。是矛盾式,能得出A和B都是矛盾式的结论吗?为什么?
解:
A B
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1
1
1
同样由真值表可得,错误!未找到引用源。的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A 和B 都是矛盾式。
29. 设A 、B 都是含命题变量项p 1,p 2,…,p n 的公式,证明:错误!未找到引用源。是矛盾式当且仅当A 和B 都是矛盾式. 解: A B
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1
1
1
由真值表可得,当且仅当A 和B 都是矛盾式时,错误!未找到引用源。是矛盾式。
30. 设A 、B 都是含命题变量项p 1,p 2,…,p n 的公式,已知错误!未找到引用源。是重言式,能得出A 和B 都是重言式的结论吗? 解: A B
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1
1
1
由真值表可得错误!未找到引用源。的成真赋值有01,10,11.所以无法得到A 和B 都是重言式。
习 题 二
1.设公式A p q =→,B p q =∧?,用真值表验证公式A 和B 适合德摩根律: ()A B A B ?∨??∧?
p q
A
B
()A B ?∨
A B ?∧?
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 1
1
2.公式A 和B 同题(1),用真值表验证公式A 和B 适合蕴涵等值式.
A B A B →??∨
p q A
B A B →
A B ?∨
0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1
1
3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出
成真赋值.
(1)()p q q ?∧→ 答:原式=(())p q q ??∧∨ =()p q q ??∨?∨ = 0 是矛盾式.
4.用等值演算法证明下面等值式.
(1)p p q p q ?∧∨∧?()() 答:右式=p q q ∧∨?()=1p ∧=p
(2)(()())(())p q p r p q r →∧→?→∧
答:右式=()p q r ?∨∧=()()p q p r ?∨∧?∨=()())p q p r →∧→=左式 (3)()()()p q p q p q ???∨∧?∧ 答:左式=()()p q p q ??∨∨?∨?
=(())(())p p q q p q ∨?∧∧?∨?∧ =()()p q p q ∨∧?∧
(4)()()()()p q p q p q p q ∧?∨?∧?∨∧?∧
答:左式=(())(())p p q q p q ∨?∧∧?∨?∧ =()()p q p q ∨∧?∧
5.求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (1))()(p q q p ∨?→→? 答:
023
()()()()()()()(())(()()()()p q q p p q q p p q q p p q q p p p q q p q p p p q m m m ?→→?∨=∨→?∨=?∨∨?∨=?∧?∨?∧∨?∨∧∨?=∧∨∨?∨?∧?=∨∨ 成真赋值为00,10,11. (2)r q q p ∧∧→?)(
答:()()0p q q r p q q r p q q ?→∧∧=??∨∧∧=∧?∧∧= 所以为矛盾式。
(3)(())()p q r p q r ∨∧→∨∨ 答
(())()(())()(())()(())()()()()(()(())(()())(()())(()())
()(p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q p r p q r p q r r p q q r p q q r r p p q r r p p q q r p q r p ∨∧→∨∨=?∨∧∨∨∨=?∧?∧∨∨∨=?∧?∨?∨∨∨=?∧?∨?∧?∨∨∨=?∧?∧∨?∨?∧∨?∧?∨∧∨?∧∨?∨∨?∧∧∨?∨∨?∧∨?∧=?∧?∧∨?∧?01234567
)()()()()()()q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m m m m ∧?∨?∧∧?∨∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧?∧?∨?∧∧=∨∨∨∨∨∨∨所以是重言式,真值为000,001,010,011,100,101,110,111.
6.求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (1)p p q ?∧?→?)(
答:()()0q p p q p p q p p ?→?∧?=??∨?∧?=∧∧?=,是矛盾式,所有赋值均为成真赋值。
(2))()(r p q p ∨?∨∧
答:4()()()()()p q p r p p r q p r p q r M ∧∨?∨=∨?∨∧∨?∨=?∨∨=,成假赋值为100.
(3)r q p p ∨∨→))((
答:(())(())(1p p q r p p q r p p q r →∨∨=?∨∨∨=?∨∨∨=,所以为重言式。所有赋值均为成真赋值。
7.求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1)r q p ∨∧)(
答:()(())(()())p q r p q r r p p q q r ∧∨=∧∧∨?∨∨?∧∨?∧
13567024
(())(()())
()()()()()p q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m M M M =∧∧∨?∨∨?∧∨?∧=∧∧∨∧∧?∨∧?∧∨?∧∧∨?∧?∧=∨∨∨∨=∧∧ (2))()(r q q p →∧→ 答:
01372456
()()()()()()()()(())(())(())()()()()p q q r p q q r p q p r q q q r p q r r p q q r p p q r p q r p q r p q r p q r m m m m M M M M →∧→=?∨∧?∨=?∧?∨?∧∨∧?∨∧=?∧?∧∨?∨?∧∨?∧∨∨?∧∧=?∧?∧∨?∧?∧?∨?∧∧∨∧∧=∨∨∨=∨∨∨
8.求下列公式的主合取范式,再用主合取范式求主析取范式: (1)q q p →∧)(
答:0123()()1p q q p q q p q q m m m m ∧→=?∧∨=?∨?∨==∨∨∨ 为重言式。
(2)()p q r ?→
答:()(()())(()())p q r p q p q r p q p q r ?→=?∧∨?∧?∨=?∧∧??∧?∨
06123457
(()())()()p q p q r p q r p q r M M m m m m m m =?∨?∧∨∨=?∨?∨∧∨∨=∧=∨∨∨∨∨ (3)()r p p q ?→∧∧
答:()r p p q r p p q ?→∧∧=∧?∧∧
01234567M M M M M M M M =∧∧∧∧∧∧∧ 0=
因此为矛盾式.
9.用真值表求下面的公式的主析取范式. (1)()()p q p r ∨∨?∧ 答:公式的真值表如下:
p
q r
p ? p q ∨ p r ?∧
()()
p q p r ∨∨?∧ 0 0 0 1 0 0 0 0
1
1
1
1
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1
1
1
1
其成真赋值为001,010,011,100,101,110,111,所以其主析取范式为
1234567m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨
(2)()()p q p q →→?? 答:公式的真值表如下:
p q q ? p q →
p q ??
()()p q p q →→??
0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
1
1
()()()(()())p q p q p q p q p q →→??=∧?∨?∨?∧∨
()()p q p q =?∧∨∧? 故其成真赋值为001,010. 所以其主析取范式为12m m ∨. 10.用真值表求下面公式的主合取范式. (1)()p q r ∧∨
答:()()()p q r p r q r ∧∨=∨∧∨ 024M M M =∧∧ (2)()()p q q r →∧→
答:()()()()p q q r p q q r →∧→=?∨∧?∨ 2456
M M M M =∧∧∧ 11.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式. (1)()p q r ∨∧ (2)()p p q r →∨∨ (3)()q p p ?→?∧?
p q r
()p q r ∨∧
()p p q r →∨∨ ()q p p ?→?∧?
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1
1
1
答:(1)由真值表可得成真赋值为011,101,111,故主析取范式为357m m m ∨∨,主合取范式为01246M M M M M ∧∧∧∧
(2)由真值表可得无成假赋值,故主析取范式为
01234567m m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨∨,主合取范式为1.
(3)由真值表可得无成真赋值,故主析取范式为0,主合取范式为
0123M M M M ∧∧∧.
12.已知公式A 含3个命题变项,,p q r ,并且它的成真赋值为000,011,110,求A 的主合取范式和主析取范式.
答:由题意得,A 的主主合取范式为12457M M M M M ∧∧∧∧,主析取范式
036m m m ∨∨.
13. 已知公式A 含3个命题变项,,p q r ,并且它的成真赋值为000,011,110,求A 的主合取范式和主析取范式.
答:由题意得,A 的主主合取范式为2367M M M M ∧∧∧,主析取范式
0157m m m m ∨∨∨.
14.已知公式A 含n 个命题变相12,,......,n p p p ,并且无成假赋值,求A 的主合取范式. 答:A 的主合取范式为1..
15.用主析取范式判断下列公式是否等值: (1)()p q r →→与()q p r →→ 答:()()p q r p q r →→=∧?∨
13457m m m m m =∨∨∨∨
()q p r p q r →→=?∨?∨
012345m m m m m m m =∨∨∨∨∨∨ 所以上述公式不等值. (2)()p q ?∧与()p q ?∨ 答:()p q p q ?∧=?∨? 012m m m =∨∨ ()p q p q ?∨=?∧? 0m =
16.用主合取范式判断下列公式是否等值. (1)()p q r →→与()p q r ?∧∨ 答:6()p q r M →→= 6()=p q r M ?∧∨
(2)()p q r →→与()p q r →→ 答:6()p q r M →→=
026
()=p q r M M M →→∧∧ 17.将下列公式化成与之等值且仅含{},,?∧∨中联结词的公式: (1)((()))p q q r ?→?∧
答:((()))((()))p q q r p q q r ?→?∧=??∨?∧ (())p q r =∧??∧
((())(()))p q q r q q r =∧??∨∧∧∨?∧ (2)()p q r ∧∨?
答:()p q r ∧∨?,原式已满足题目要求. (3)()p q r ??
答:()(())(())p q r p q r r p ??=→?∧?→
((()()))((()()))p q r q r q r q r p =?∨?∨∧∨?∧??∨∧∨?∨ 18.将下列公式化成与之等值且仅含{,}?∧中联结词的公式: (1)p q r ∧?∧?
答:此公式已经符合题目要求. (2)()p r q ?∧
答:()(()())p r q p r r p q ?∧=→∧→∧ (()())p r r p q =?∨∧?∨∧ (()())p r r p q =?∧?∧?∧?∧ (3)(())p q r q →∧∨
答:(())(())p q r q p q r p →∧∨=?∨∧∨ (())p q r p =?∧?∧∨ ((()))p q r p =?∧?∧∧?
19.将下列公式化成与之等值且仅含{},?∨中联结词的公式. (1)()p q r ?∨?∧
答:()(())p q r p q r ?∨?∧=???∨?∨? (2)(())p q p q r →∧?∧∧
答:(())((()))p q p q r p q p q r →∧?∧∧=???∨??∨∨?∨?
(3)p q r ∧∧?
答:()p q r p q r ∧∧?=??∨?∨
20.将下列公式化成与之等值且仅含{→?,}中联结词的公式: (1)r q p ∨∧)((2)r q p ∧?→)((3)r q p ?∧)(
答:()()()()p q r p q r p q r p q r ∧∨???∨?∨??→?∨?→?→ (2)()p q r →?∧
答:()(())(())p q r p q r p q r →?∧???→?∨???→?→? (3)()p q r ∧?
答:()(())(())p q r p q r r p q ∧????∨?→∧→??∨?
((())(()))p q r r p q ?????∨?→∨?→??∨? ((())(()))p q r r p q ???→?→→?→?→?
21.证明:
(1)).()()()(p q q p p q q p ↓?↓↑?↑,
(2)).)(())(())(())((r q p r q p r q p r q p ↓↓?↓↓↑↑?↑↑, 证明:(1)()()p q p q q p q p ↑??∧??∧?↑;
()()p q p q q p q p ↓??∨??∨?↓
(2)令0,0,1p q r ===则
()1,()0()1,()0.p q r p q r p q r p q r ↑↑=↑↑=↓↓=↓↓=,,可知(())(())(())(()).p q r p q r p q r p q r ↑↑?↑↑↓↓?↓↓,
22.从表2.6中,找出与下列公式等值的真值函数: (1)q p ↑
(2)q p ↓
(3))()(q p q p ∧?∨?∧ (4))(q p →?
答:(2)(2)(2)(2)14862(1);(2);(3);(4)F F F F
23.设A 、B 、C 为任意的命题公式,证明: (1)等值关系有自反性:A A ?
(2)等值关系有对称性:A B B A ??则若,
(3)等值关系有传递性:C A C B B A ???,则且若
答:(1)()()1A A A A A A A A A A ??→∧→?→??∨?
(2)()()()()B A B A A B A B B A A B ???∨∧?∨??∨∧?∨?? (3)
()()()()()()()()()()
A B B C A B B A B C C B A B B C C B B A A C C A A C A C
???→∧→∧→∧→?→∧→∧→∧→?→∧→???若且即
24.设A 、B 为任意的命题公式,证明:A B A B ????当且仅当 答:()()()().A B A B B A A B B A A B ????∨?∧∨??→∧→?? 因此A B A B ????当且仅当。
25.设A 、B 、C 为任意的命题公式,(1)若C B C A ∨?∨,举例说明B A ?不一定成立。(2)若C B C A ∧?∧,举例说明B A ?不一定成立。由(1)、(2)可知,联结词
∧∨与不满足消去率。
答:(1)设1,0,1A p B q C r =∨=∧=∨,则11A C B C ∨=?∨=
,但
1,0A B ==,二者不等价。
(2)设1,0,0A p B q C r =∨=∧=∨,则00A C B C ∧=?∧=,但
1,0A B ==,二者不等价。
26.在上题(25)中,若已知C B C A ∨?∨,在什么条件下,B A ?一定成立?又若已知C B C A ∧?∧,在什么条件下,B A ?一定成立? 解:若0;C =则A C B C ∨?∨,A B ?一定成立。 若1C =;则A C B C ∧?∧,A B ?一定成立。
27.某电路中有一个灯泡和三个开关A 、B 、C 。已知在且仅在下述四种情况下灯亮: (1)C 的扳键向上,A 、B 的扳键向下。(2)A 的扳键向上,B 、C 的扳键向下。(3)B 、C 的扳键向上,A 的扳键向下。(4)A 、B 的扳键向上,C 的扳键向下。 设F 为1表示灯亮,p 、q 、r 分别表示A 、B 、C 的扳键向上。 (a )求F 的主析取范式。
(b )在联结词完备集{∧?,}上构造F 。 (c )在联结词完备集{?→?,,}上构造F 。 答:(a )由题意知,灯亮的情况如下:
()()()()F p q r p q r p q r p q r ?∧?∧?∨?∧?∧∨?∧∧∨∧∧? ?1346m m m m ∨∨∨
(b )()()()()F p q r p q r p q r p q r ?∧?∧?∨?∧?∧∨?∧∧∨∧∧?
1. 写出命题公式 ﹁(P →(P ∨ Q ))的真值表。 答案: 2.证明 答案: 3. 证明以下蕴涵关系成立: 答案: 4. 写出下列式子的主析取范式: 答案: 5. 构造下列推理的论证:p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案: ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨) ()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q) P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)() ()(R P Q P ∨∧∧?
①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明:p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化: 所有鱼都生活在水中。 答案: 令 F( x ):x 是鱼 W( x ):x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化: 存在着不是有理数的实数。 答案: 令 Q ( x ):x 是有理数 R ( x ):x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化: 尽管有人聪明,但并非一切人都聪明。 答案: 令M(x):x 是人 C(x):x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化: 对于所有的正实数x,y ,都有x+y ≥x 。 答案: 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化: 每个人都要参加一些课外活动。 答案: ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??
第3/次习题课 习题课 单老师 例1 图11.3.8给定加权连通图
集合论部分 第四章、二元关系和函数 集合的笛卡儿积与二元关系有序对 定义由两个客体x 和y,按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对,记作
不适合交换律A B B A (A B, A, B) 不适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)对于并或交运算满足分配律 A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) 若A或B中有一个为空集,则A B就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn 证明A(B C)=(A B)(A C) 证任取
一、选择题:(每题2’) 1、下列语句中不是命题的有( )。 A .离散数学是计算机专业的一门必修课。 B .鸡有三只脚。 C .太阳系以外的星球上有生物 。 D .你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A 与B 是等价的,是指( )。 A . A 与B 有相同的原子变元 B . A 与B 都是可满足的 C . 当A 的真值为真时,B 的真值也为真 D . A 与B 有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为( )。 A . 010,100,101,110,111 B . 010,100,101,111 C . 全体赋值 D . 不存在 4、合式公式 (P∧Q)R 的主析取范式中含极小项的个数为( )。 A .2 B .3 C .5 D .0 5、一个公式在等价意义下,下面哪个写法是唯一的( )。 A .析取范式 B .合取范式 C .主析取范式 D .以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有( )。 A .(P ∧Q) (P ∨Q) B .(P Q) (( P Q)∧(Q P)) C .(P Q)∧Q D .P (P ∧Q) 7、命题公式 (P Q) ( Q ∨P) 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为( )。 A .0 B .1 C .2 D .3 8、若公式 (P∧Q)∨(P∧R) 的主析取范式为 m 001∨m 011∨m 110∨m 111 则它的主合取范式为( )。 A .m 001∧m 011∧m 110∧m 111 B .M 000∧M 010∧M 100∧M 101 C .M 001∧M 011∧M 110∧M 111 D .m 000∧m 010∧m 100∧m 101 9、下列公式中正确的等价式是( )。 A .(x)A(x) ( x)A(x) B .(x) (y)A(x, y) (y) (x) A(x, y) C .(x)A(x) (x)A(x) D .(x) (A(x) ∧B(x)) ( x) A(x) ∨(x) B(x) 10、下列等价关系正确的是( )。 A .x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) B .x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) C .x ( P(x) Q ) x P(x) Q D . x ( P(x) Q ) x P(x) Q 11、设个体域为整数集,下列真值为真的公式是( )。 A .x y (x·y=1) B .x y (x·y=0) C . x y (x·y=y) D .x y (x+y=2y ) 12、设S={,{1},{1,2}},则有( )S 。 A .{{1,2}} B .{1,2 } C .{1} D .{2} 13、下列是真命题的有( )。 A .{a}{{a}} B .{{}}{,{}} C .{,{}} D .{}{,{}}
离散数学习题三 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提:p s r r q q ,,,p →∨?∨? 结论:s 证明:① p 前提引入 ②q ∨?p 前提引入 ③ q (①②析取三段论) ④r q ∨? 前提引入 ⑤ r (③④析取三段论) ⑥s r → 前提引入 ⑦ s (⑤⑥假言推理) 12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提:s)(r q r),(q p →→→→ 结论:s q)(p →∧ 证明:①q)(p ∧ (附加前提) ② p (①化简规则) ③ q (①化简规则) ④r)(q p →→ 前提引入 ⑤r q → (②④假言推理) ⑥ r (③⑤假言推理) ⑦s)(r q →→ 前提引入 ⑧s)(r → (③⑦假言推理) ⑨ s (⑥⑧假言推理) 13、前提:s r ,q p q,q)p (→∨∧→? 结论1:r 结论2:s 结论3:s ∨r (1)证明从此前提出发,推出结论1,结论2,结论3的推理都是正确的。 (2)证明从此前提出发,推任何结论的推理都是正确的。 证明:(1)①r s))r (q)(p q)q)p (((→→∨∨∨∧→? 1r s))r (q)p (q)q)p ((?∨?∧∨?∧?∨?∨∨??
②s ∨ → ∨ → ? ((→ ∨ ∧ s)) p( q) r( q) q) (p ∧ ? ? ∨ ∨ ∧ ? ? ? ∨ ∨ ? q) r( q) ∨ s 1 p s)) p ( q) ((? ③s) ∨ ∨ → ∨ ?r → → ∧ (p q) s)) ((∨ ( r( q) q) p( ? ∧ ∨ ∧ ? ? ? ?r ∨ ∨ ? ∨ ∨ r( q) ∨ s 1 p s)) ((? p q) ( q) 即结论1,结论2,结论3的推理都是正确的。 (2)s) ∨ ∧ ∧ ∧ → (→ ? r( p( (p q) q) q) ∧ ? ∨ ? ∧ ? ∨ ∧ ∧ ∧ ? ? ? ∨ ? ∨ ∧ ∧ (∨ (p q) p( q) ( s) r s) q r p ( q) q) ( q) (p ∨ ? ∧ 0? ? ∨ ∧ s) (p r ( q) 即推任何结论的推理都是正确的。 14、在自然推理系统P中构造下面推理的证明: (1)前提:q → p, → (q r) p, r→ 结论:s 证明:①r) →前提引入 p→ (q ②p 前提引入 ③r) (q→①②假言推理 ④q 前提引入 ⑤r③④假言推理 r→⑤附加律 ⑥s 15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面的推理: 前提:q → , →s p→ (q p, r) s→ 结论:r 证明: ①s 附加前提引入 ②p s前提引入 → ③p①②假言推理 ④r) →前提引入 p→ (q ⑤r q→③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 即根据附加前提证明法,推理正确。
离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1,1-2解: a)是命题,真值为T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为T。 f)是命题,真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2)解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3)解: a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q (4)解: a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 (Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。P∧Q b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。P∧Q c)设P:气候很好。Q:气候很热。P∨Q d)设P: a和b是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q e)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P∨ Q)→ R (6) 解: a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 (1)解:
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等 性 ;就是否有对称性 。 6、4阶群必就是 群或 群。 7、下面偏序格就是分配格的就是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是 。 * a b c a b c a b c b b c c c b
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈>∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解: F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ?,在(a)(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ? ?? F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ?? (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ? ? y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ?? ∧ ? x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R.
1. 写出命题公式 ﹁(P →(P ∨ Q))的真值表。 答案: 2.证明 答案: 3. 证明以下蕴涵关系成立: 答案: 4. 写出下列式子的主析取范式: 答案: )()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)()()(R P Q P ∨∧∧?
5. 构造下列推理的论证:p ∨q, p→?r , s →t, ?s →r, ?t ? q 答案: ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I 11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明:p→(?(r ∧s )→?q ), p, ?s ? ?q ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨
7. 请将下列命题符号化: 所有鱼都生活在水中。 答案: 令 F ( x ):x是鱼 W( x ):x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化: 存在着不是有理数的实数。 答案: 令 Q ( x ):x 是有理数 R ( x ):x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化: 尽管有人聪明,但并非一切人都聪明。 答案: 令M(x):x 是人 C(x):x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化: 对于所有的正实数x,y ,都有x+y ≥x。 答案: 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化: 每个人都要参加一些课外活动。 答案: 令P(x ):x 是人 Q (y): y 是课外活动 S(x,y):x参加y ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??))(),()((y Q y x S x P y x ∧→??
第十四章部分课后习题参考答案 5、设无向图G 有10条边,3度与4度顶点各2个,其余顶点的度数均小于3,问G 至少有多少个顶点?在最少顶点的情况下,写出度数列、)()(G G δ、?。 解:由握手定理图G 的度数之和为:20102=? 3度与4度顶点各2个,这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。 其余顶点的度数均小于3,欲使G 的顶点最少,其余顶点的度数应都取2, 所以,G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(==?G G δ. 7、设有向图D 的度数列为2,3,2,3,出度列为1,2,1,1,求D 的入度列,并求)(),(D D δ?, )(),(D D ++?δ,)(),(D D --?δ. 解:D 的度数列为2,3,2,3,出度列为1,2,1,1,D 的入度列为1,1,1,2. 2)(,3)(==?D D δ,1)(,2)(==?++D D δ,1)(,2)(==?--D D δ 8、设无向图中有6条边,3度与5度顶点各1个,其余顶点都是2度点,问该图有多少个顶点? 解:由握手定理图G 的度数之和为:1262=? 设2度点x 个,则1221513=+?+?x ,2=x ,该图有4个顶点. 14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的?对可图化的数列,试给出3种非同构的无向图,其中至少有两个时简单图。 (1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解:(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数,不可图化; (2) 2+2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数,可图化; 18、设有3个4阶4条边的无向简单图G 1、G 2、G 3,证明它们至少有两个是同构的。 证明:4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3,度数之和为8,因而度数列为2,2,2,2;3,2,2,1;3,3,1,1。但3,3,1,1对应的图不是简单图。所以
. 一、选择题:(每题2’) 1、下列语句中不是命题的有()。 A.离散数学是计算机专业的一门必修课。B.鸡有三只脚。 C.太阳系以外的星球上有生物。D.你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A与B是等价的,是指()。 A.A与B有相同的原子变元B.A与B都是可满足的 C.当A的真值为真时,B的真值也为真D.A与B有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为()。 A.010,100,101,110,111 B.010,100,101,111 C.全体赋值D.不存在 4、合式公式?(P∧Q)→R的主析取范式中含极小项的个数为()。 A.2 B.3 C.5 D.0 5、一个公式在等价意义下,下面哪个写法是唯一的()。 A.析取范式B.合取范式C.主析取范式D.以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有()。 A.(P∧Q) → (P∨Q) B.(P?Q) ? (( P→Q)∧(Q→P)) C.?(P →Q)∧Q D.P →(P∧Q) 7、命题公式(?P→Q) →(?Q∨P)中极小项的个数为(),成真赋值的个数为()。 A.0 B.1 C.2 D.3 8、若公式(P∧Q)∨(?P∧R) 的主析取范式为m001∨m011∨m110∨m111则它的主合取范式为()。 A.m001∧m011∧m110∧m111B.M000∧M010∧M100∧M101 C.M001∧M011∧M110∧M111D.m000∧m010∧m100∧m101 9、下列公式中正确的等价式是()。 A.?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) B.(?x) (?y)A(x, y) ? (?y) (?x) A(x, y) C.?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) D.(?x) (A(x) ∧B(x)) ? (?x) A(x) ∨(?x) B(x) 10、下列等价关系正确的是()。 A.?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) B.?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) C.?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q D.?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q 11、设个体域为整数集,下列真值为真的公式是()。 A.?x?y(x·y=1)B.?x?y(x·y=0)C.?x?y(x·y=y)D.?x?y(x+y=2y) 12、设S={?,{1},{1,2}},则有()?S。 A.{{1,2}} B.{1,2 } C.{1} D.{2} 13、下列是真命题的有()。 A.{a}?{{a}} B.{{?}}∈{?,{?}} C.?∈{?,{?}} D.{?}∈{?,{?}} 14、设S={?,{1},{1,2}},则2S有()个元素。 A.3 B.6 C.7 D.8
第6章 函数 一、选择题(每题3分) 1、设{,,},{1,2,3}A a b c B ==,则下列关系中能构成A 到B 函数的是( C ) A 、1{,1,,2,,3}f a a a =<><><> B 、2{,1,,1,,2}f a b b =<><><> C 、4{,1,,1,,1}f a b c =<><><> D 、1{,1,,2,,2,,3}f a a b c =<><><><> 2、设R Z N 、、分别为实数集、整数集,自然数集,则下列关系中能构成函数的是( B ) A 、)}10(),(|,{<+∧∈>
欢迎共阅 一、填空题 1设集合A,B ,其中A ={1,2,3},B={1,2},则A-B =____________________; ?(A)-?(B)=__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|?(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a ,b },B={1,2},则从A 到B 的所有映射是_______________________________________,其中双射的是__________________________. 4.6设A 、7.设R 8.9.设集合 R 1?R 2 R 1210.11设A ∩13.14.设一阶逻辑公式G=?xP(x)??xQ(x),则G 的前束范式是_______________________________. 16.设谓词的定义域为{a ,b },将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除,写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________. 17.设集合A ={1,2,3,4},A 上的二元关系R ={(1,1),(1,2),(2,3)},S ={(1,3),(2,3),(3,2)}。则R ?S =_____________________________________________________, R 2=______________________________________________________. 二、选择题
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 (2)(p?r)∧(﹁q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0. (3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1)? (0∧0∧0)?0 (4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?1 17.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。” 答:p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。 19.用真值表判断下列公式的类型: (4)(p→q) →(?q→?p) (5)(p∧r) ?(?p∧?q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答:(4) p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 (5)公式类型为可满足式(方法如上例) (6)公式类型为永真式(方法如上例) 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r) 0 0 0 0 0 1
全国2010年7月自学考试离散数学试题 课程代码:02324 一、单项选择题(本大题共15小题,每小题1分,共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列句子不是..命题的是( D ) A .中华人民共和国的首都是北京 B .张三是学生 C .雪是黑色的 D .太好了! 2.下列式子不是..谓词合式公式的是( B ) A .(?x )P (x )→R (y ) B .(?x ) ┐P (x )?(?x )(P (x )→Q (x )) C .(?x )(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ) D .(?x )(P (x ,y )→Q (x ,z ))∨(?z )R (x ,z ) 3.下列式子为重言式的是( ) A .(┐P ∧R )→Q B .P ∨Q ∧R →┐R C .P ∨(P ∧Q ) D .(┐P ∨Q )?(P →Q ) 4.在指定的解释下,下列公式为真的是( ) A .(?x )(P (x )∨Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2} B .(?x )(P (x )∧Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域: {1,2} C .(?x )(P (x ) →Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} D .(?x )(P (x )→Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} 5.对于公式(?x ) (?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y ),下列说法正确的是( ) A .y 是自由变元 B .y 是约束变元 C .(?x )的辖域是R(x , y ) D .(?x )的辖域是(?y )(P (x )∧Q (y ))→(?x )R (x ,y ) 6.设论域为{1,2},与公式(?x )A (x )等价的是( ) A .A (1)∨A (2) B .A (1)→A (2) C .A (1)∧A (2) D .A (2)→A (1) 7.设Z +是正整数集,R 是实数集,f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f ( ) A .仅是入射 B .仅是满射 C .是双射 D .不是函数 8.下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是( ) A .???? ? ?????001110101 B .???? ? ?????101110001
离散数学习题答案 习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化: (5)李辛与李末是兄弟 解:设p :李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p (6)王强与刘威都学过法语 解:设p :王强学过法语;q :刘威学过法语;则命题符号化的结果是 p q ∧ (9)只有天下大雨,他才乘班车上班 解:设p :天下大雨;q :他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p → (11)下雪路滑,他迟到了 解:设p :下雪;q :路滑;r :他迟到了;则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p :2+3=5. q :大熊猫产在中国. r :太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值: (4)()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解:p=1,q=1,r=0, ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??, (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型: (2)()p p q →?→? 解:列出公式的真值表,如下所示: 20、求下列公式的成真赋值:
(4)()p q q ?∨→ 解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是: ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有:01,10,11。 习题二及答案:(P38) 5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ?→∧∧ 解:原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。 6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨?∨ 解:原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1)()p q r ∧∨ 解:原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨,此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取范式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式:
离散数学习题答案 习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化: (5)李辛与李末是兄弟 解:设p :李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p (6)王强与刘威都学过法语 解:设p :王强学过法语;q :刘威学过法语;则命题符号化的结果是 p q ∧ (9)只有天下大雨,他才乘班车上班 解:设p :天下大雨;q :他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p → (11)下雪路滑,他迟到了 解:设p :下雪;q :路滑;r :他迟到了;则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p :2+3=5. q :大熊猫产在中国. r :太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值: (4)()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解:p=1,q=1,r=0, ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??, (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型: (2)()p p q →?→? 解:列出公式的真值表,如下所示: 20、求下列公式的成真赋值:
(4)()p q q ?∨→ 解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是: ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有:01,10,11。 习题二及答案:(P38) 5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ?→∧∧ 解:原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。 6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨?∨ 解:原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1)()p q r ∧∨ 解:原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()(p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧? ∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()(p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567 m m m m m ?∨∨∨∨,此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取范式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式:
离散数学试题与答案试卷一 一、填空 20% (每小题2分) 1.设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且(N :自然数集,E + 正偶数) 则 =?B A 。 2.A ,B ,C 表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 。 3.设P ,Q 的真值为0,R ,S 的真值为1,则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4.公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5.若解释I 的论域D 仅包含一个元素,则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6.设A={1,2,3,4},A 上关系图为 则 R 2 = 。 7.设A={a ,b ,c ,d},其上偏序关系R 的哈斯图为 则 R= 。 8.图的补图为 。 9.设A={a ,b ,c ,d} ,A 上二元运算如下: * a b c d A B C
a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c ,有逆元的元素为 ,它们的 逆元分别为 。 10.下图所示的偏序集中,是格的为 。 二、选择 20% (每小题 2分) 1、下列是真命题的有( ) A . }}{{}{a a ?; B .}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ; C . }},{{ΦΦ∈Φ; D . }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有( ) A .{4,3}Φ?; B .{Φ,3,4}; C .{4,Φ,3,3}; D . {3,4}。 3、设A={1,2,3},则A 上的二元关系有( )个。 A . 23 ; B . 32 ; C . 332?; D . 223?。 4、设R ,S 是集合A 上的关系,则下列说法正确的是( ) A .若R ,S 是自反的, 则S R ο是自反的; B .若R ,S 是反自反的, 则S R ο是反自反的; C .若R ,S 是对称的, 则S R ο是对称的; D .若R ,S 是传递的, 则S R ο是传递的。 5、设A={1,2,3,4},P (A )(A 的幂集)上规定二元系如下 |}||(|)(,|,{t s A p t s t s R =∧∈><=则P (A )/ R=( ) A .A ; B .P(A) ; C .{{{1}},{{1,2}},{{1,2,3}},{{1,2,3,4}}}; D .{{Φ},{2},{2,3},{{2,3,4}},{A}} 6、设A={Φ,{1},{1,3},{1,2,3}}则A 上包含关系“?”的哈斯图为( )