2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞
=，则221lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==.
(B)若221lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==，则lim k k x a →∞
=
(C) 若lim k k x a →∞
=，则321lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==
(D)若331lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==，则lim k k x a →∞
=
2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）
（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3
3.设{}
2222(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续， 则(,)D
f x y dxdy ??=
（）
2cos 2sin 420
004
2sin 2cos 42000
4
10
110
()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)x
X
A d f r r rdr d f r r rdr
B d f r r rdr d f r r rdr
C dx f x y dy
D dx f x y dy
π
π
θ
θ
πππ
θ
θ
πθθθθθθθθθθθθ++??
??
??
??
??
?
4.下列级数中发散的是（）
（A ）13n n n ∞
=∑
(B)11)n n ∞=+ (C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑ (D)1!
n n n n
∞
=∑
5.设矩阵22111112,,14A a b d a d ????
? ?
== ? ? ? ?????
若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的
充分必要条件为（）
(),A a d ?Ω?Ω (),B a d ?Ω∈Ω (),C a d ∈Ω?Ω (),D a d ∈Ω∈Ω
6.设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为222
1232y y y +-，其中
123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则123(,,)x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（）
（A ）2221232y y y -+ (B)2221232y y y +- (C)2221232y y y -- (D)222
1232y y y ++
7.设A,B 为任意两个随机事件，则（）
（A ）()()()P AB P A P B ≤ (B)()()()P AB P A P B ≥
(C) ()()()2P A P B P AB +≤ (D)()()
()2
P A P B P AB +≥
8.设总体(,)X
B m θ，12,,n x x x 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则
21()n i i E x X =??
-=????
∑（） （A ）(1)(1)m n θθ-- (B) (1)(1)m n θθ-- (C) (1)(1)(1)m n θθ--- (D) (1)mn θθ-
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 92
ln(cos )
lim
x x x →∞= 。
10设函数()f x 连续，2
()()x x xf t ?=
?
，若(1)?1=，'(1)5?=，则(1)f =
11若函数z = (,)z x y 由方程
2+3z
1x y e xyz ++=确定，则(0,0)dz = 12设函数()y y x =是微分方程'''
20y y y +-=的解，且在x =0处()y x 取得极值3，则()y x = 13设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2
B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 14设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ,则(0)P XY Y -＜=
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数3
()ln(1)sin ,(),f x x x bx x g x kx α=+++?=若()f x 与()g x 在0x →时 是等价无穷小，求a,b,k 的值。 16、（本题满分10分） 计算二重积分
()D
x x y dxdy +??，其中{}2
22(,)2,D x y x
y y x =+≤≥
17、（本题满分10分）
为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η＞0） （i ）证明定价模型为11MC
p η
=
-
（ii ）若该商品的成本函数为2
()1600C Q Q =+，需求函数为40Q p =-，试由（1）中的定价模型确定此商品的价格。 18、（本题满分10分）
设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点
()00,()x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()
f x 的表达式。 19、（本题满分10分）
（i ）设函数()u x ，()v x 可导，利用导数定义证明[]'
'
'
()()()()()()u x v x u x v x u x v x =+
（ii ）设函数12*(),(),,()u x u x K u x 可导，12*()()()()f x u x u x Ku x =，写出()f x 的求导公式。
20（本题满分11分）
（20）设矩阵101101a A a a ?? ?=- ? ???
,且3
0A =.
（i ）求a 的值；
（ii ）若矩阵X 满足2
2
X XA AX AXA E --+=,其中E 为3阶单位矩阵，求X .
21（本题满分11分）
设矩阵02313312A a -?? ?=-- ? ?-??，相似于矩阵12000031B b -?? ?
= ? ???
，
（i ）求a,b 的值（ii ）求可逆矩阵P ，使1
P AP -为对角矩阵。 22（本题满分11分）
设随机变量X 的概率密度为2ln 2,0,
()0,0
x x f x x -?=?≤?＞
对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数。
（1） 求Y 的概率分布； （2） 求EY 。 23（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为
1
1(:)10,x f x θθθ
?≤≤?
=-???，其他
其中θ为未知参数，12,,R X X L X ，为来自该总体的简单随机样本。、
（1） 求θ的矩估计量；
（2） 求θ的最大似然估计量
2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2
n a
a >
（B ）2n a
a <
（C ）1n a a n >-
（D ）1
n a a n
<+
（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2
sin y x x =+ （C ）1sin
y x x
=+
（D ）21sin
y x x
=+ （3）设2
3
(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16
d =
（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式
00000000
a
b a b
c
d c
d
= （A ）2
()ad bc - （B ）2
()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -
（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的
（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件
（D ）既非充分也非必要条件
（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2
（C ）0.3 （D ）0.4
（8）设123,,X X X 为来自正态总体2
(0,)N σ
服从的分布为
（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
(10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设
20
1
4
a
x xe dx =
?
，则_____.a = (12)二次积分2
21
1
0(
)________.x
y y e dy e dx x
-=?? （13）设二次型22
123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围
是_________
（14）设总体X 的概率密度为2
22(;)30
x x f x θθ
θθ?<
=???其它
，其中θ是未知参数,
12,,...,,n X X X 为来自总体X 的简单样本，
若2
1
n
i
i c x
=∑ 是2θ的无偏估计，则c = _________
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
求极限121
21lim
1
ln(1)
x
t
x t e t dt x x
→+∞
????--?? ???????+?
（16）（本题满分10分）
设平面区域2
2
{(,)|14,0,0}D x y x y x y =≤+≤≥≥
，计算.D
（17）（本题满分10分）
设函数()f u 具有2阶连续导数，(cos )x
z f e y =满足222224(cos )x x
z z z e y e x y
??+=+??，若
(0)0,'(0)0f f ==，求()f u 的表达式。
（18）（本题满分10分）
求幂级数
(1)(3)n
n n n x
∞
=++∑的收敛域及和函数。
（19）（本题满分10分）
设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明： （I ）0(),[,];x
a
g t dt x a x a b ≤≤-∈?
（II ）
()()()().b
a a g t dt
b a
a
f x dx f x
g x dx +
?≤?
?
（20）（本题满分11分）设123401111203A --?? ?
=- ? ?-??
，E 为3阶单位矩阵。
①求方程组0Ax =的一个基础解系； ②求满足AB E =的所有矩阵B
（21）（本题满分11分）证明n 阶矩阵11111
111
1?? ?
? ? ???与00100200n ??
? ?
?
???
相似。 （22）（本题满分11分）
设随机变量X 的概率分布为P{X=1}=P{X=2}=1
2
，在给定X i =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布(0,)(1,2)U i i = （1）求Y 的分布函数()Y F y （2）求EY
（23）（本题满分11分）
设随机变量X 与Y 的概率分布相同，X 的概率分布为12
{0},{1},33
P X P X ====且X 与Y 的相关系数1
2
XY ρ=
（1） 求（X ，Y ）的概率分布
（2）求P{X+Y ≤1}
文都首发2013硕士研究生入学考试数学三真题
来源：文都教育
1. 当x →0时，用“o （x ）”表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是
A. x ·o （x 2）=o(x 3
) B.o(x )·o(x 2)=o(x 3) C.o(x 2)+o(x 2)= o(x 2) D.o(x )+ o(x 2)= o(x 2) 2. 函数f (x )=
1(1)ln x
x x x x
-+的可去间断点的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
3. 设D k 是圆域D ={(x ,y )|x 2+y 2≤1}位于第k 象限的部分，记I k =()k
D y x dxdy
-??（k =1,2,3,4），则
A.I 1>0,
B. I 2>0,
C. I 3>0, B. I 4>0 4. 设｛a n ｝为正项数列，下列选项正确的是 A. 若a n > a n+1, 则11(1)n n n a ∞
-=-∑收敛
B. 若11(1)n n n a ∞
-=-∑收敛，则a n >a n+1
C. 若1
n n a ∞
=∑收敛，则存在常数p >1，使lim n →∞
n p a n 存在
D. 若存在常数p >1，使lim n →∞
n p
a n 存在,则1
n n a ∞
=∑收敛
5. 设A,B,C 均为n 阶短阵，若AB=C,且B 可逆，则 A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价
6. 矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与20000000b ?? ?
? ???
相似的充分必要条件为（ ）
A. a =0,b =2
B. a =0,b 为任意常数
C. a =2,b =0
D. a =2,b 为任意常数
7. 设x 1, x 2, x 3是随机变量，且x 1~N (0,1),x 2~N (0,22),x 3~N (5,32),P j =P {-2≤x j ≤2}(j =1,2,3),则A.P 1>P 2>P 3 B.P 2>P 1>P 3 C.P 3>P 1>P 2 D.P 1>P 3>P 2
X 和Y 的概率分布分别为 A. 112
B. 18
C. 16
D. 12
9. 设曲线y=f(x )与y=x 2-x 在点（1，0）处有公共切线，则lim n →∞nf 2n n ??
?+??
= . 10. 设函数z=z(x,y)由方程（z+y ）x =xy 确定，则
(1,2)
z
x ??= . 11.2
1
ln (1)x
dx x +∞
+?
= .
12. 微分方程1
04
y y y '''-+
=的通解为y= . 13. 设A =(a ij )是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式，若a ij + A ij =0(i ，j=1,2,3)，则｜A ｜= .
14. 设随机变量X 服从标准正态分布N （0，1），则E (2X Xe ) = . 三、解答题
15.当0x →时，1cos ,cos 2,cos3x x x -与n ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。 16.设D 是由曲线1
3
y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。 17.设平面区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成，计算2D
x dxdy ??。
18.设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为
601000
Q
P =-
,(P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件)，已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润；
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义； （3）使得利润最大的定价P 。 19.设函数f(x)在[0,)+∞上可导，(0)0f =，且lim ()2x f x →∞
=，证明
（1）存在0a >，使得()1f a =；
（2）对（1）中的a ，存在(0,)a ξ∈，使得1()f a
ξ'=
。 20. 设101,101a A B b ????
== ? ?????，当a,b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B,并
求所有矩阵C 。
21. 设二次型22123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α??
?
= ? ???，
123b b b β?? ?
= ? ???
。
（1） 证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+；
（2） 若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22
122y y +。
22.设（X,Y ）是二维随机变量，X 的边缘概率密度为33,01,()0,X x x f x ?<<=??其他在
给定(01)X x x =<<的条件下，Y 的条件概率密度为2
33,01,()0,Y X y x f y x x ?<
=???其他
（1）求(,)X Y 的概率密度(,)f x y ； （2）求Y 的边缘概率密度()Y f y 。 （3）求{2}P X Y >.
23. 设总体X 的概率密度为23,0,
(;)0,x e x f x x θ
θθ-?>?=???
其他其中θ为未知参数且大于
零，12,,n X X X ，为来自总体X 的简单随机样本。 （1） 求θ的矩估计量；
（2） 求θ的最大似然估计量。
2012考研试题
1)
曲
线
22
1
x x y x +=-渐近线的条数
( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x x n x y x e e e n =--
-,其中
n 为正整数,则(0)y '= ( )
(A) 1
(1)
(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D)
(1)!n n -
(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )
(A) 若极限0
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微
(B) 若极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微
(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在
(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在 (4)设2
sin (1,2,3)k x K e xdx k π
==?I 则有 ( )
(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<
(5)设1100C α?? ?= ? ?
??
,2201C α?? ?= ? ??? ,3311C α?? ?=- ? ??? ,4411C α-??
?= ? ??? ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα
(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -?? ?= ? ???
.若P=（123,,ααα），1223(,,)
ααααα=+，则1Q AQ -= ( )
(A) 100020001?? ? ? ???(B) 100010002?? ? ? ???(C) 200010002?? ? ? ???(D)200020001??
? ? ???
(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则
{}p X Y <=( )
(A)
15 (B) 1
3
(C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )
(A) 1 (B) 12 (C) 1
2
- (D)1-
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =
(10)
2
x =?
(11)(2,1,1)()|z
grad xy +y
=
(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=
++=≥≥≥，则2y ds ∑
=??
(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T
E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()
11
,,23
p AB P C p AB C =
== 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)
证明2
1ln cos 1(11)12
x x x x x x ++≥+-<<-
(16)
求函数22
2
(,)x y f x y xe
+-=的极值
(17)
求幂级数
220
44321n
n n n x n ∞
=+++∑
的收敛域及和函数 (18)
已知曲线(),
:(0),cos 2
x f t L t y t
π
=?≤<
?
=?其中函数()f t 具有连续导数，且
'(0)0,()0(0).2
f f t t π
=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数
()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
(19)
已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0)，再沿圆周22+4x y =到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d (2)d L
J x y x x x y y =++-?
(20)(本题满分 分)
设10010101,00100010a a A a a β????
???
- ??
?== ???
???
???? （I ）计算行列式;A
(II)当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解。 (21)
已知1
010
111001A a a ?????
?=??
-??-??
，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2 （1）求实数a 的值；
（2）求正交变换x Qy =将f 化为标准型. （22）
（Ⅰ）求{}2P X Y =；
（Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -.
(23)
设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N u σ与2(,2)N u σ，其中σ是未知参数且0σ>。设.Z X Y =- (1)求Z 的概率密度2(,);f z σ （2）设12,,
,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ
（3）证明2σ为2σ的无偏估计量
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-与是k cx 等价无穷小，则
(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-
(2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2()
lim x x f x f x x
→-= (A) '
2(0)f - (B) '
(0)f - (C) '
(0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是
(A) 若
1n
n u
∞
=∑收敛，则
21
21
()n n n u
u ∞
-=+∑收敛
(B) 若
21
21()n n n u
u ∞
-=+∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛
(C) 若
1n
n u
∞
=∑收敛，则
21
21
()n n n u
u ∞
-=-∑收敛
(D) 若
21
21
()n n n u
u ∞
-=-∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛
(4) 设40
ln(sin )I x dx π
=?
,40
ln(cot )J x dx π
=?,40
ln(cos )K x dx π
=? 则I ,J ,K 的大
小关系是
(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3
行得单位矩阵记为11001
10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ?
= ? ???
，则A = (A)12P P (B)112P P - (C)21P P (D) 1
21P
P - (6) 设A 为43?矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，1k ,2k 为任意常数，则Ax β=的通解为
(A)
23
121()2
k ηηηη++-
(B) 23
221()2k ηηηη-+-
(C) 23
131221()()2k k ηηηηηη++-+-
(D) 23
221331()()2
k k ηηηηηη-+-+-
(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x , 1()f x 是连续函数，则必为概率密度的是
(A) 12()()f x f x (B)212()()f x F x
(C) 12()()f x F x (D) 1221()()()()f x F x f x F x + (8) 设总体X 服从参数λ(0)λ>的泊松分布，11,,
(2)n X X X n ≥为来自总体的简
单随即样本，则对应的统计量11
1n i i T X n ==∑，12111
1n i
n i T X X n n -==+-∑ (A)1212,ET ET DT DT >> (B)1212,ET ET DT DT >< (C)1212,ET ET DT DT <> (D) 1212,ET ET DT DT <<
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 设0
()lim (13)x t
t f x x t →=+，则'
()f x =______.
(10) 设函数(1)x
y x
z y
=+，则(1,1)|dz =______.
(11) 曲线tan()4
y x y e π
++=在点(0,0)处的切线方程为______.
(12) 曲线y 2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体
的体积______.
(13) 设二次型123(,,)T f X X X x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标准型为______.
(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从2
2
(,;,;0)N μμσσ，则2
()E XY =______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
求极限0
1
lim
ln(1)
x x x x →-+.
(16) (本题满分10分)
已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，
[](),(,)z f x y f x y =+。求2(1,1)|z
x y
???.
(17) (本题满分10分)
求
(18) (本题满分10分)
证明44arctan 03
x x π
-+
=恰有2实根。 (19) (本题满分10分)
()f x 在[]0,1有连续的导数，(0)1f =，且
'
()()
t
t
D D f
x y dxdy f t dxdy +=????，{(,)|0,0,0}(01)t D x y x t y t x y t t =≤≤≤≤≤+≤<≤，求()f x 的表达式。
(20) (本题满分11分)
设3维向量组11,0,1T α=（），20,1,1T α=（），31,3,5T α=（）不能由11,,1T
a β=（），21,2,3T β=（），31,3,5T
β=（）线性标出。
求：(Ⅰ)求a ；
(Ⅱ)将1β，2β，3β由1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)
已知A 为三阶实矩阵，()2R A =，且111100001111A -????
? ?
= ? ? ? ?-????
，
求：(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X ，Y 的概率分布如下：
且2
2
P()1X Y ==，
求：(Ⅰ)()X Y ，的分布；
(Ⅱ)Z XY =的分布； (Ⅲ)XY ρ. (23) (本题满分11分)
设(,)X Y 在G 上服从均匀分布，G 由0x y -=，2x y +=与0y =围成。
求：(Ⅰ)边缘密度
()X f x ；
(Ⅱ)
|(|)X Y f x y 。
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 若01
1
lim ()1x x a e x x
→??--=???
?
，则a 等于
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
(2) 设1y ，2y 是一阶线性非齐次微分方程'
()()y p x y q x x +=的两个特解，若常数λ，
u 使12y uy λ+是该方程的解，12y uy λ-是该方程对应的齐次方程的解，则（）
（A ）1122λμ=
=， （B ）1122λμ=-=-， （C ）2133λμ==， （D ）22
33
λμ==，
(3) 设函数()f x ,()g x 具有二阶导数，且"
()0g x <。若0()=g x a 是()g x 的极值，则
[]()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是（）
（A ）'()0f a < （B ）'
()0f a > （C ）"()0f a < （D ）"
()0f a >
(4) 设10
()ln f x x =，()g x x =,10
()x h x e =,则当x 充分大时有（） （A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<
(5) 设向量组Ⅰ：12r ααα，，可由向量组Ⅱ：12s βββ，，线性表示，下列命题正确的是
（A ）若向量组Ⅰ线性无关，则r s ≤ （B ）若向量组Ⅰ线性相关，则r s > （C ）若向量组Ⅱ线性无关，则r s ≤ （D ）若向量组Ⅱ线性相关，则r s >
(6) 设A 为4阶实对称矩阵，且2
0A A +=,若A 的秩为3，则A 相似于
（A ）1110?????
??????? （B ）1110????
????-??
??
（C ）1110????-????-???? （D ）1110-????-????-??
?? (7) 设随机变量的分布函数0
1()01211
x x F x x e
x -
=≤
?-≥??，则{}1P X == （A ）0 （B ）
12
（C ）11
2e -- （D ）11e --
(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[]1,3-上的均匀分布的概率密度，若12()0
()(0,0)()0
af x x f x a b bf x x ≤?=>>?
>?为概率密度，则,a b 应满足
（A ）234a b += （B ）324a b += （C ）1a b += （D ）2a b +=
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数()y y x =由方程
2
20
sin x y
x
t e dt x t dt +-=?
?确定，则
x dy
dx ==______. (10)
设位于曲线)y e x =
≤<+∞下方，
x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是______.
(11) 设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为3
1p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则()R p =______.
(12) 若曲线3
2
1y x ax bx =+++有拐点(1,0)-,则b =______.
(13) 设A ，B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B -+=，则1A B -+=______. (14) 设1x ，2x ，n x 为来自整体2
(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，记统计量
2
1
1n i i T X n ==∑，则ET =______.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分) 求极限11ln lim (1)
x
x
x x →+∞
-
(16) (本题满分10分) 计算二重积分
3()D
x y dxdy +??，其中D
由曲线x =
与直线0x +=
及0x -=围成。
(17) (本题满分10分)
求函数2u xy yz =+在约束条件2
2
2
10x y z ++=下的最大值和最小值 (18) (本题满分10分) （Ⅰ）比较
[]1
ln ln(1)n
t t dt +?
与1
0ln n
t t dt ?(1,2,)n =的大小，说明理由
（Ⅱ）设[]1
ln ln(1)n
n u t t dt =
+?
(1,2,)n =，求极限lim n n u →∞
(19) (本题满分10分) 设函数()f x 在
[]
0,3上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且
2
2(0)()(2)+(3)f f x dx f f ==?，
（Ⅰ）证明：存在(0,2)η∈，使()(0)f f η= （Ⅱ）证明：存在(0,3)ξ∈，使"
()0f ξ= (20) (本题满分11分)
设1101011A λλλ????=-??????，11a b ????=??????
已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解 （Ⅰ）求λ，a
（Ⅱ）求方程组Ax b =的通解 (21) (本题满分11分)