本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学
习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f 。
二、数的进制
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n ，我们有n 0=1。
n 进制：n 进制的运算法则是“逢n 进一，借一当n ”，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
进制间的转换：如右图所示。
知识点拨
教学目标
5-7位置原理与数的进制
例题精讲
模块一、位置原理
【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；
【巩固】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；
【巩固】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。
【例 2】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？
【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．
【巩固】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。
【例 3】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？
【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．
【巩固】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
【巩固】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？
【巩固】a，b，c分别是09
中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？
【例 4】在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两
位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。
【巩固】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【巩固】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．
【例 5】已知1370,
abcd abc ab a abcd
+++=求.
【巩固】(2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．
【例 6】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这
两个三位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数．
【巩固】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111
A，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。
【巩固】某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如4
abcdefg，则七位数abcdefg应是多少？
【例 7】一个六位数abcdef，如果满足4abcdef fabcde
?=，则称abcdef为“迎春数”(例如?=410256，则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．
4102564
【巩固】(2008年“华杯赛”决赛)设六位数abcdef满足fabcde f abcdef
=?，请写出这样的六位数．
【例 8】记四位数abcd为X，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为X*，如果*999
-=，
X X 那么这样的四位数X共有_______个．
???=)．将这24个四位数【例 9】将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数(432124
按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整
除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中
最大的那个．
模块二、数的进制
【例 10】 ① 222(101)(1011)(11011)?-=________；
② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；
③ 4710(3021)(605)()+= ；
④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；
⑤ 若(1030)140n =，则n =________．
【巩固】 ①852567(((=== ） ） ）；
②在八进制中，1234456322--=________；
③在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．
【例 11】 在几进制中有413100?=？
【巩固】 在几进制中有12512516324?=？
【巩固】 算式153********?=是几进制数的乘法？
【例 12】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？
【巩固】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
【巩固】 将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
【巩固】 某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l 位数字是几?
【例 13】 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
【例 14】 在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少?
【巩固】 在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？
【巩固】 一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人
的年龄．
【巩固】 N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的四次方．
【例 15】 试求(22006-1)除以992的余数是多少?
【巩固】 计算2003(31)-除以26的余数．
【巩固】 计算2003(21)-除以7的余数．
【巩固】 (2001年人大附中分班考试题)在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余
数为多少？
【例 16】 (2009年清华附中小升初入学测试题)已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N =，那么在
十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？
电子技术基础实验 课程设计 60进制计数器
一、实验目的 （一）掌握中规模集成计数器74LS161的引脚图和逻辑功能。 （二）熟悉555集成定数器芯片的引脚图。 （三）利用74LS161和555定时器构成60进制计数器。 （四）在Multisim软件中仿真60进制计数器。 二、实验容 （一）集成计数器74LS161逻辑功能验证。 （二）用555定时器构成多谐振荡器。 （三）用两片74LS161和555定时器构成60进制计数器。 三、集成计数器介绍 （一）集成计数器74LS161管脚介绍 74LS161是4位二进制同步加法计时器。图1为它的管脚排列图，集成芯片74LS161的CLR是异步清零端（低电平有效），LOAD是异步预置数控制端（低电平有效）。CLK是时钟脉冲输入端，RCO是进位输出端，ENP、ENT是计数器使能端，高电平有效。A、B、C、D是数据输入端； QA、QB、QC、QD是数据输出端。
图1 74LS161管脚排列图 （二）集成计数器74LS161功能介绍 由表1可知，74LS161具有以下功能： 1．异步清零。当CLR=0时，无论其他各输入端的状态如何，计数器均被直接置“0”。 2．同步预置数。当CLR=1、LOAD=0且在CP上升沿作用时，计数器将ABCD同时置入QA、QB、QC、QD,使QA、QB、QC、QD=ABCD。 3．保持（禁止）。CLR=LOAD=1且ENP、ENT=0时，无论有无CP脉冲作用，计数器都将保持原有的状态不变（停止计数）。 4．计数。CLR=LOAD=ENP=ENT=1时，74LS161处于计数状态。 表1 74LS161功能表
本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学 习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。 一、位值原理 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f 。 二、数的进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n ，我们有n 0=1。 n 进制：n 进制的运算法则是“逢n 进一，借一当n ”，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 进制间的转换：如右图所示。 知识点拨 教学目标 5-7位置原理与数的进制
《数字电子技术基础》课程设计任务书 专业：16电气工程及其自动化 班级：专升本二班 学号：160732060 姓名：王冬 指导教师：耿素军 二零一六年十二月二十七日
目录 1、计数器的概述 (3) 2、六十进制计数器 (4) 2.1设计要求 (4) 2.2设计方案框架图 (4) 3、六十进制计数器设计描述 (5) 3.1设计的思路 (5) 3.2设计的实现 (7) 4、六十进制计数器的仿真设计与仿真的结果 (10) 4.1基本电路分析仿真设计 (11) 4.2 计数器电路的仿真的结果 (12) 5、心得体会 (13) 6、参考文献 (13)
1、计数器概述 计数是一种最简单基本的运算，计数器就是实现这种运算的逻辑电路，计数器在数字系统中主要是对脉冲的个数进行计数，以实现测量、计数和控制的功能，同时兼有分频功能，计数器是由基本的计数单元和一些控制门所组成，计数单元则由一系列具有存储信息功能的各类触发器构成，这些触发器有RS触发器、T触发器、D触发器及JK触发器等。计数器在数字系统中应用广泛，如在电子计算机的控制器中对指令地址进行计数，以便顺序取出下一条指令，在运算器中作乘法、除法运算时记下加法、减法次数，又如在数字仪器中对脉冲的计数等等。 在数字电子技术中应用的最多的时序逻辑电路。计数器不仅能用于对时钟脉冲计数，还可以用于分频、定时、产生节拍脉冲和脉冲序列以及进行数字运算等。但是并无法显示计算结果，一般都是要通过外接LCD或LED屏才能显示。 计数器的种类 1.按照计数器中的触发器是否同时翻转分类，可将计数器分为同步计数器和异步计数器两种。 2.按照计数过程中数字增减分类，又可将计数器分为加法计数器、减法计数器和可逆计数器，随时钟信号不断增加的为加法计数器，不断减少的为减法计数器，可增可减的叫做可逆计数器。
计数器工作原理及应用 除了计数功能外，计数器产品还有一些附加功能，如异步复位、预置数（注意，有同步预置数和异步预置数两种。前者受时钟脉冲控制，后者不受时钟脉冲控制）、保持（注意，有保持进位和不保持进位两种）。虽然计数器产品一般只有二进制和十进制两种，有了这些附加功能，我们就可以方便地用我们可以得到的计数器来构成任意进制的计数器。下面我们举两个例子。在这两个例子中，我们分别用同步十进制加法计数器74LS160构成一个六进制计数器和一个一百进制计数器。 因为六进制计数器的有效状态有六个，而十进制计数器的有效状态有十个，所以用十进制计数器构成六进制计数器时，我们只需保留十进制计数器的六个状态即可。74LS160的十个有效状态是BCD编码的，即0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111、1000、1001[图5-1]。 图5-1 我们保留哪六个状态呢？理论上，我们保留哪六个状态都行。然而，为了使电路最简单，保留哪六个状态还是有一点讲究的。一般情况下，我们总是保留0000和1001两个状态。因为74LS160从100 1变化到0000时，将在进位输出端产生一个进位脉冲，所以我们保留了0000和1001这两个状态后，我们就可以利用74LS160的进位输出端作为六进制计数器的进位输出端了。于是，六进制计数器的状态循环可以是0000、0001、0010、0011、0100和1001，也可以是0000、0101、0110、0111、1000和1001。我们不妨采用0000、0001、0010、0011、0100和1001这六个状态。 如何让74LS160从0100状态跳到1001状态呢？我们用一个混合逻辑与非门构成一个译码器[图5. 3.37b]，当74LS160的状态为0100时，与非门输出低电平，这个低电平使74LS160工作在预置数状态，当下一个时钟脉冲到来时，由于等于1001，74LS160就会预置成1001，从而我们实现了状态跳跃。
5-7-1.位值原理 教学目标 1.利用位值原理的定义进行拆分 2.巧用方程解位值原理的题 知识点拨 位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 模块一、简单的位值原理拆分 【例1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。这个两位数的各位数字的和是。【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分 【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。 【答案】10 【例2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上） 【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第5题
计数器原理分析及应用实例 除了计数功能外，计数器产品还有一些附加功能，如异步复位、预置数（注意，有同步预置数和异步预置数两种。前者受时钟脉冲控制，后者不受时钟脉冲控制）、保持（注意，有保持进位和不保持进位两种）。虽然计数器产品一般只有二进制和十进制两种，有了这些附加功能，我们就可以方便地用我们可以得到的计数器来构成任意进制的计数器。下面我们举两个例子。在这两个例子中，我们分别用同步十进制加法计数器74LS160构成一个六进制计数器和一个一百进制计数器。 因为六进制计数器的有效状态有六个，而十进制计数器的有效状态有十个，所以用十进制计数器构成六进制计数器时，我们只需保留十进制计数器的六个状态即可。74LS160的十个有效状态是BCD编码的，即0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111、1000、1001[图5-1]。 图5-1 我们保留哪六个状态呢？理论上，我们保留哪六个状态都行。然而，为了使电路最简单，保留哪六个状态还是有一点讲究的。一般情况下，我们总是保留0000和1001两个状态。因为74LS160从1001变化到0000时，将在进位输出端产生一个进位脉冲，所以我们保留了0000和1001这两个状态后，我们就可以利用74LS160的进位输出端作为六进制计数器的进位输出端了。于是，六进制计数器的状态循环可以是0000、0001、0010、0011、0100和1001，也可以是0000、0101、0110、0111、1000和1001。我们不妨采用0000、0001、0010、0011、0100
和1001这六个状态。 如何让74LS160从0100状态跳到1001状态呢？我们用一个混合逻辑与非门构成一个译码器[图5.3.37b]，当74LS160的状态为0100时，与非门输出低电平，这个低电平使74LS160工作在预置数状态，当下一个时钟脉冲到来时，由于等于1001，74LS160就会预置成1001，从而我们实现了状态跳跃。 图5.3.37b用置数法将74160接成六进制计数器（置入1001） 比这个方案稍微繁琐一点的是利用74LS160的异步复位端。下面这个电路中[图5.3.34]，也有一个由混合逻辑与非门构成的译码器。 图5.3.34用置零法将74LS160接成六进制计数器
位值原理 知识框架 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使像古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝： （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 知识点一：位值原理的认识 【例 1】填空：
365= ×100+ ×10+ ×1 365=36×+5× =2×+3×＋a×+b×=203 +× 【例 2】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。 【例 3】把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是121，这个两位数的数字和是多少？ 【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【例 4】（1）用数字1、2、3各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是多少？这个和是三位数的数字和的多少倍？ （2）有三个不同的数字，用它们组成六个不同的三位数，如果这六个三位数的和是1554，那么这 三个数字分别是多少？ 【巩固】从1-9这九个数字中取出3个，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，若这六个三位数之和是2442，则这三个数字的和是多少？
module count60_dongtai_LED ( input clk, input rest_n, output reg [2:0] sel, //位选 output reg [6:0] display ); reg [15:0] count_clk; // 分频计数器，最大2^16=64K分频 reg [5:0] sum_num; //计数缓存器,2^6=64 reg [3:0] g_bit; //个位 reg [3:0] s_bit; //十位 reg [3:0] disp_temp; //分频 always @ (posedge clk or negedge rest_n) begin if(rest_n ==0) begin count_clk=16'b0; end else begin if(count_clk==16'hffff) begin count_clk=16'b0; end else begin count_clk=count_clk+1'b1; end end end // 60进制计数 always @ (negedge count_clk[3] or negedge rest_n) begin // clk_clk[3] 对"clk" 16分频if(rest_n ==0) begin g_bit=4'b0; s_bit=4'b0; sum_num=6'b0; end else begin if (sum_num==6'd59) begin sum_num=6'b0; end else begin sum_num=sum_num+1'b1; end end s_bit=(sum_num/10)%10;
信 息 工 程 分 院 课题名称：集成计数器及其应用 班级：14电子信息工程技术1班 学生姓名：邱荣荣 学 号： 18 指导教师：王连英 完成时间：2015年5月19日 设 计 报 告
七进制计数器电路设计 1.设计要求 a.分别采用反馈清零和反馈置数的方法 b.用同步十进制加法计数器74LS160(或同步4位二进制加法计数器74LS161)、三3输入与非门74LS10、4511、共阴七段数码LED 显示器设计七进制计数器。 2.设计原理 a.使用4位同步二进制计时器74LS161设计反馈清零加法计数器 由74LS160是模16加法计数器、M=16，要设计制作的是七进制加法计数器、N=7，M>N ，需一块74LS161,且74LS161具有异步清零(低电平有效)功能。 从初始状态开始，七进制加法计数器的有效循环状态:0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110等七个。其最后一个，在下一个状态所对应的数码是:0111。所以，异步清零的反馈数210)0110()7(===N S N 。利用74LS161的异步清零(低电平有效)功能有,反馈数012Q Q Q CR =。据此有反馈清零法，由74LS161七进制加法计数器循环转换状态换图2.1.1所示，仿真电路如图2.1.2所示。 2.1.1 反馈清零七进制加法计数器循环转状态换图
b.使用4位同步二进制计时器74LS161设计反馈置数加法计数器 对于74LS161而言，取七进制加法计数器的有效循环状态，是使用74LS161十个有效状态中任意连续的七个，例如是:0010、0011、0100、0101、0110、0111、1000。设预置数输入端0123D D D D 则对应的预置数码0123d d d d 为0010，则从0010开始，其最后一个循环状态所对应的数码是:1000，所以此时，同步置数的反馈数2)1000(=S 。有,3Q LD =。 据此有，74LS160反馈置数法设计七进制加法计数器循环转换状态换图2.2.1所示，仿真电路如图2.2.2所示。———实验证据如图00所示 图2.1.2 反馈清零法七进制加法计数器仿真电路 2.2.1 反馈置数七进制加法计数器循环转状态换图
module counter60(clk_in,clkout,rst,out); input clk_in,rst; output [6:0] out; output clkout; reg [6:0] out1; reg [6:0] out2; reg [3:0] cnth; reg [3:0] cntl; reg [7:0] cnt; always @(posedge clk_in) begin if(!rst) cnt<=8'd0; else cnt<=cnt+8'd1; end assign clkout=cnt[4]; always @(posedge clkout or negedge rst) begin if(!rst) {cnth,cntl}<=8'd0; else if(cnth==5&&cntl==9) {cnth,cntl}<=8'd0; else if(cntl==4'd9) begin cntl<=4'd0; cnth<=cnth+4'd1; end else cntl<=cntl+4'd1; end always @(cnth) begin case(cnth) 4'd0:out1=7'b011_1111;//0 4'd1:out1=7'b000_0110;//1 4'd2:out1=7'b101_1011;//2 4'd3:out1=7'b100_1111;//3 4'd4:out1=7'b110_0110;//4 4'd5:out1=7'b110_1101;//5 default:out1=7'b011_1111;//0 endcase end
“位值原理与数的进制” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握 的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。 一、位值原理 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字 和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 二、数的进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……， =1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110) 2 ×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。 n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号
内的。 【试题来源】 【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。 【试题来源】 【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？ 【试题来源】 【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？ 【试题来源】 【题目】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 【试题来源】 【题目】a，b，c分别是0～9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？
目 录 1 课程设计的目的............................................................12 计数器设计的总体框图......................................................13 计数器设计过程 (1) 3.1根据题意可画出该计数器状态图：.......................................13.2选择触发器，求时钟方程，画出卡诺图：.................................13.3根据卡诺图写出状态方程：.............................................33.4求驱动方程：.........................................................33.5检查电路能否自启动：.................................................44 173进制加法计数器 (4) 4.1写出和的二进制代码.............................................41 N S N S 5 设计的逻辑电路图. (4) 5.1同步七进制加法计数器.................................................45.2 173进制加法计数器...................................................56 设计的芯片原理图..........................................................66 实验仪器..................................................................77 总结与体会. (7) 参考文献 (8)
第4讲 进位制与位值原理（二） 同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)( )= 【答案】见解析 【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)= 位值原理法：210(101110)(46)= 2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11 【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011 100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11. 3. 在几进制中有12512516324?=? 【答案】7 【解析】注意101010(125)(125)(15625)?=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10 实验7 74ls160组成n进制计数器 一、实验内容 1．掌握集成计数器的功能测试及应用 2．用异步清零端设计6进制计数器，显示选用数码管完成。 3．用同步置0设计7进制计数器，显示选用数码管完成。 二、演示电路 74LS160十进制计数器连线图如图1所示。 图1 74LS160十进制计数器连线图 74161的功能表 如表1所示。由表1可知，74161具有以 下功能： ①异步清 零 当CR（C L R’）=0时，不管其他输入端的状态如何（包括时钟信号C P），计数器输出将被直接置 零，称为异步清零。 ②同步并 行预置数 在CR=1的条件下，当 LD(L O A D’)=0、且有时 钟脉冲C P的上升沿 作用时，D0、D1、D2、D3输入端的数据将 分别被Q0～Q3所接 收。由于这个置数操 作要与C P上升沿同步，且D0、D1、D2、 D3的数据同时置入计 数器，所以称为同步 并行置数。 ③保持 在CR=LD=1的条件 下,当E N T=E N P=0,即 两个计数使能端中有 0时,不管有无C P脉 冲作用，计数器都将 保持原有状态不变 (停止计数)。需要说 明的是，当E N P=0, E N T=1时，进位输出C 也保持不变；而当 E N T=0时，不管E N P 状态如何，进位输出 R C O=0。 ④计数 当 CR=LD=E N P=E N T=1时， 74161处于计数状态, 电路从0000状态开 始，连续输入16个计 数脉冲后，电路将从 1111状态返回到0000 状态，R C O端从高电 平跳变至低电平。可 以利用R C O端输出的 高电平或下降沿作为 进位输出信号。 连上十进制加法计数器160，电路如图1所示，给2管脚加矩形波，看数码管显示结果，并记录显示结果。 三、用160和与非门组成6进制加法计数器-用异步清零端设计 74160从0000状 态开始计数，当输入 第6个C P脉冲（上 数的进制与位值原理 知识框架 一、位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 二、数的进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。 十进制计数器 LIBRARY IEEE; USE IEEE.STD_LOGIC_1164.ALL; USE IEEE.STD_LOGIC_UNSIGNED.ALL; ENTITY CNT10IS PORT(CLK,RST,EN:IN STD_LOGIC; CQ:OUT STD_LOGIC_VECTOR(3DOWNTO 0); COUT:OUT STD_LOGIC); END CNT10; ARCHITECTURE behav OF CNT10IS BEGIN PROCESS(CLK,RST,EN) VARIABLE CQI: STD_LOGIC_VECTOR(3DOWNTO0); BEGIN IF RST='1'THEN CQI:=(OTHERS =>'0');--计数 ELSIF CLK'EVENT AND CLK='1'THEN IF EN='1'THEN IF CQI<9THEN CQI:=CQI+1; --允许计数, ELSE CQI:=(OTHERS=>'0'); --大于9， END IF; END IF; END IF; IF CQI=9THEN COUT<='1';--计数大于9，输出进位信号 ELSE COUT<='0'; END IF; CQ<=CQI;--将计数值向端口输出 END PROCESS; END behav;六十进制计数器源程序 library ieee; use ieee.std_logic_1164.all; use ieee.std_logic_unsigned.all; entity cnt60is port(clk,rst,en:in std_logic; cq:out std_logic_vector(7downto0); cout:out std_logic); end cnt60; architecture behav of cnt60is begin process(clk,rst,en) variable cqi:std_logic_vector(7downto0); begin if rst='1'then cqi:=(others=>'0'); elsif clk'event and clk='1'then if en='1'then if cqi<59then cqi:=cqi+1; else cqi:=(others=>'0'); end if; end if; end if; if cqi=59then cout<='1'; else cout<='0'; end if; cq<=cqi; end process; end behav; 学科培优数学 “位值原理与数的进制” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。 知识梳理 一、位值原理 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 二、数的进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……， =1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110) 2 ×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。 n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号 内的。 例题精讲 【试题来源】 【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。 【试题来源】 【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？ 【试题来源】 【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？ 【试题来源】 【题目】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 【试题来源】 【题目】a，b，c分别是0～9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？ 综合性、设计性实验报告电子技术实验（数字电子部分） 报告分数： 学期： 班级： 姓名： 日期： 1. 实验目的 1)学习仿真软件Multisim的使用方法； 2)学习、掌握时序电路的设计方法； 3)掌握常用电子元器件的使用方法； 4)熟练运用用已有集成计数器（M进制）构成任意进制计数器（N进制），M < N 时，多片级联实现的方法； 5)熟悉由555定时器构成的多谐振荡器产生时钟脉冲； 6)了解反馈置数法和反馈清零法的特点及区别，并能熟练运用这两种方法。 2. 预习要求 1）阅读《数字电子技术基础》相关内容，了解集成计数器的原理及功能； 2）熟悉集成计数器74LS161及七段数码显示管的各引脚功能； 3）了解555定时器构成的多谐振荡器产生脉冲的基本原理； 4）对于反馈清零法和反馈置数法有基本的了解。 3. 实验内容 1）在Multisim集成环境中用74LS161和555定时器设计60进制计数器，要求能够实现暂停和置数的功能，并完成其仿真； 2）在模块化电子技术综合实验箱上完成电路搭接与调试； 4. 实验原理 4.1 个位模块 （1）利用反馈置数法，U2（74LS161D）为低位片即个位模块，用A、B、C、D四个输入端的高低电平实现个位预置数； （2）用开关控制U2的EP使能端高低电平实现暂停功能； （3）U2的CP脉冲端连接555定时器构成的多谐振荡器的矩形脉冲输出端； （4）U2的使能端ET始终接有效的高电平，清零端CR始终接无效的高电平； 因为用的是反馈置数法，U2实现0（0000）~9（1001）的十进制循环，U2的QD和QA段用作二输入与非门U5A（74LS00D）的输入端，其输出端连接到U2的LD上。 （5）U2的四个输出端QD、QC、QB、QA连接U4数码管的D、C、B、A输入端，从而显示0~9这十个状态。 图1 个位模块原理图 4.2 十位模块 （1）利用反馈置数法，U1（74LS161D）为高位片即十位模块，用A、B、C 三个输入端的高低电平实现十位预置数； （2）U1的CP脉冲端连接555定时器构成的多谐振荡器的矩形脉冲输出端； （3）U1的使能端ET、EP始终接有效的高电平，清零端CR始终接无效的高电平； （4）因为用的是反馈置数法，U1实现0（0000）~5（0101）的六进制循环，U1的QC和QA端与个位数的QD和QA端用作四输入与非门U6A（74LS20D）的输入端，其输出端连接到U1的LD上。 （5）U1的四个输出端QD、QC、QB、QA连接U3数码管的D、C、B、A输入端，从而显示0~5这六个状态。 成绩评定表 课程设计任务书 目录 1.课程设计的目的 (2) 2.计数器设计的总体框图 (2) 3.计数器设计过程 (2) 4.序列脉冲设计的总体框图 (5) 5.脉冲序列设计过程 (5) 6.设计的仿真电路图 (10) 7.设计的芯片原理图 (11) 8.实验仪器 (12) 9.总结与体会 (12) 10.参考文献 (13) 1课程设计的目的 1.加深对教材的理解和思考，并通过实验设计、验证正是理论的正确性。 2.学习自行设计一定难度并有用途的计数器、加法器、寄存器等。 3.检测自己的数字电子技术掌握能力。 2．计数器设计的总体框图 下图为同步七进制加法计数器示意框图 图 1 3．计数器设计过程 七进制同步加法计数器，无效态为：111 ①根据题意可画出该计数器状态图： 000 001 010 011 110 101 100 图 2 ②选择触发器，求时钟方程，画出卡诺图。 a.触发器：JK 边沿触发器三个 b.时钟方程：由于是同步计数器，故CP 0=CP 1=CP 2= CP c.卡诺图如下： 七进制同步加法计数器次态卡诺图： Q 图 3 次态Q n 12 +的卡诺图 n n 图 4 次态Q n 1 1+的卡诺图 n n 图 5 次态 Q n 10 +的卡诺图 Q 图 6 ③根据卡诺图写出状态方程： 状态方程： Q n+1 2= Q n 2Q n 1+Q n 2Q n 1Q n 0 Q n+1 1 = Q n 1Q n 0+ Q n 2Q n 1Q n Q n+1 0 = Q n 1Q n 0+ Q n 2Q n 0 ④求驱动方程： JK 触发器特性方程为：1n n n Q JQ KQ +=+ 由此可以得出驱动方程： J 2=Q n 1Q n 0 K 2=Q n 1 J 1=Q n 0 K 1= Q n 2Q n J 0=Q n 1 Q n 2 K 0=1 ⑤检查电路能否自启动： 将无效态（111）代入状态方程、输出方程进行计算， 电子技术基础实验 课程设计 用74LS161设计六十进制计数器 学院：班级：姓名：学号： 电气工程学院 电自1418 刘科2014303010328 用74LS161设计六十进制计数器 摘要 计数器是一个用以实现计数功能的时序部件，它不仅可用来及脉冲数，还常用作数子系统的定时、分频和执行数字运算以及其它特定的逻辑功能。目前，无论是TTL还是CMOS 集成电路，都有品种较齐全的中规模集成计数器。使用者只要借助于器件手册提供的功能和工作波形图以及引出端的排列，就能正确运用这些器件。计数器在现代社会中用途中十分广泛，在工业生产、各种和记数有关电子产品。如定时器，报警器、时钟电路中都有广泛用途。在配合各种显示器件的情况下实现实时监控，扩展更多功能。 利用两片74LS161分别作为六十进制计数器的高位和低位，分别与数码管连接。把其中的一个通过一个与门器件构成一个十进制计数器，另一个芯片构成六进制计数器。十进制计数器（个位）和六进制计数器（十位）均采用反馈清零法利用两个74LS161构成。当个位计数器从1001计数到0000时，十位计数器要计数一次，可通过两芯片之间级联实现。使用200HZ时钟信号作为计数器的时钟脉冲。根据设计基理可知，计数器初值为00，按递增方式计数，增到59时，再自动返回到00。 关键字：60进制，计数器，74LS161，级联 目录 第1章概述 (1) 1.1 计数器设计目的 (1) 1.2 计数器设计组成 (1) 第2章六十进制计数器设计描述 (2) 2.1 74LS161的功能 (2) 2.2 方案框架 (3) 第3章六十进制计数器的设计与仿真 (4) 3.1 基本电路分析设计 (4) 3.2 计数器电路的仿真 (6) 第4章总结 (8)实验7 74ls160组成n进制计数器
四年级奥数十进制的数字问题(位值原理)2
10进制和60进制计数器
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数字电子实验——60进制计数器
同步七进制加法计数器——数字电子技术,
设计60进制计数器数电课程设计资料
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