1
第一次作业：练习一之1、2、3题
1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087
813812411210)(][4
1
==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E
81
)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224
1
22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D
109.164
71
==
1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为
?
????≥<≤-+<=21
201)](2π
Αsin[0.500
)(x x x x x F
求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 解：?????<≤-π==其他0 2 01)](2 π [cos 2)()(x x A dx x dF x f 由 1)(=?∞ ∞ -dx x f 得 2A 021)](2π Asin[1)]d (2π[cos 2=-=-π?∞ ∞ -x x x A 2 1A = 35.04 2 )]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=< 1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。 （1）?????<≥-=-00 0e 1)(2x x x F x （2）?? ? ??≥<≤<=1110Α00 )(2 x x x x x F （3）0)]()([)(>--= a a x u x u a x x F （4）0)()()(>--- =a a x u a x a x u a x x F 2 解：（1）?????<≥-=-00 0e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立； )()(x F x F =+也成立。 所以，)(x F 是连续随机变量的概率分布函数。 求得，?????<≥== -0 021)()(2 x x e dx x dF x f x （2）?? ? ??≥<≤<=1110Α00 )(2 x x x x x F 在A>0时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 欲使1)(0≤≤x F 和)()(x F x F =+成立，必须使A=1。 所以，在A=1时，)(x F 是连续随机变量的概率分布函数。 同理，? ? ?<≥>==000 12)()(x x Ax dx x dF x f 欲满足 1)(=?∞ ∞ -dx x f ，也必须使A=1。 所以，???<≥>==00 12)(x x x x f （3）0)] ()([)(>--=a a x u x u a x x F 上式可改写为00 0)]()([)(>?????<≤--=a a x a x u x u a x x F 其他 对于12x a x >>，)()(12x F x F ≥不成立。 所以，)(x F 不是连续随机变量的概率分布函数。 （4）0)()()(>--- =a a x u a x a x u a x x F 0)()]()([>---+=a a x u a x u x u a x 3 0120100>?????????≤-<≤<=a x a x a a x x a x 当x a <时，不满足1)(0≤≤x F ，所以)(x F 不是连续随机变量的概率分布函数。 第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X 在[α，β]上均匀分布 ??? ??β≤≤αα-β=其他下0 1 )(x f ? ?β α ∞ ∞β +α= α-β==2d d )(]E[-x x x x xf X )2(31 d d )(]E[222-2 2 β+β+α=α-β==??β α ∞ ∞x x x x f x X 222-2)(12 1 ])X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-=?∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为?? ?<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函数。 解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ? ??≤≤=其他0615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ???上均匀分布，且互相独立。若∑==n 1 i i X Y ,求 （1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。 （2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。 解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(???=??? ? ?? ?≤≤-=其它 4 n=2时，)()()(21y f y f y f X X Y *= 111)()()(21 dx x y f x f y f X X Y ?∞ ∞--= ? -?-=b a dx a b a b 111 a b -= 1 同理，n=3时，)(y f Y a b -= 1 1.7 设随机变量X 的数学期望和方差分别为m 和σ，求随机变量23--=X Y 的数学期望、方差及X 和Y 的相关矩。 解：数学期望：23][--=m Y E 方差： σ=-σ-=90)3(][2Y D ]23[)]23([][2X X E X X E XY E R XY --=--== 222])[(][][m X E X D X E +σ=+= 相关矩： m m R XY 2332---=σ 第三次作业：练习一之9、10、11题 1.9随机变量X 和Y 分别在[0,a ]和[0,2 π ]上均匀分布，且互相独立。对于a b <，证明： a b Y b x P π2)cos (=< 证：rv . X 和Y 分别在[0,a ]和[0, 2 π ]上均匀分布 有??? ? ?? ?≤≤=其它 001)(a x a X f 和??? ? ?? ?≤ ≤=其它 02 02)(π πy Y f ? ? ? ??≤≤<≤????<≤<20cos 0cos cos πy y b x a b y b Y b x Y b x cos < )2 0,cos 0()cos (π ≤ ≤<≤= ? ?= 2 /0 cos 0 ),(πy b dxdy y x f dy 5 ??= 2/0 cos 0 )()(πy b dxdy y f x f dy 因为rv . X 和Y 相互独立 ? ? ?= 2/0 cos 0 2 1ππ y b dxdy a dy ? ?=2 /0 cos 2ππ ydy a b a b π2= 命题得证 1.10 已知二维随机变量（21,X X ）的联合概率密度为),(2121x x f X X ，随机变量（21,X X ）与随机变量（21,Y Y ）的关系由下式唯一确定 ?? ?+=+=21112 2 1111Y d Y c X Y b Y a X ?? ?+=+=212 2 11dX cX Y bX aX Y 证明：（21,Y Y ）的联合概率密度为 ),(1 ),(21112111212 121y d y c y b y a f bc ad y y f X X Y Y ++-= 证：做由),(2121y y f Y Y 到),(2121x x f X X 的二维变换 ),(2121x x f X X =J ),(2121y y f Y Y ),(2121y y f Y Y =J 1 ),(2121x x f X X bc ad d c b a x y x y x y x y J -==????????=2 21 22 1 1 1 ),(1 ),(21112111212121y d y c y b y a f bc ad y y f X X Y Y ++-= 1.11 随机变量X,Y 的联合概率密度为2 ,0) sin(),(π ≤ ≤+=y x y x A y x f XY 求：（1）系数A ；（2）X,Y 的数学期望；（3）X,Y 的方差；（4）X,Y 的相关矩及相关系数。 解： 6 （1） ????????+=+=∞∞-∞ ∞ -2 2 2 2 202 sin cos cos sin )sin(),(ππππππ ydy xdx A ydy xdx A dxdy y x A dxdy y x f XY 12==A 2 1= A （2）ydy x ydy x dy y x dy y x f x f XY X sin cos 21cos sin 21)sin(21),()(2 202 0????+=+==∞ ∞-π ππ )cos (sin 21 x x += 同理 )cos (sin 2 1 )(y y x f Y += ?????+-=+=+==20202 0202 sin 21cos 21cos 21sin 21)cos (sin 21πππ ππy yd y yd ydy y ydy y dy y y y m m Y X ??-++-=2 02 0sin 2102sin 21cos 2102cos 21π π π π ydy y y ydy y y 4 π= （3）??+--=+-==2 020 22 )4cos()4(22)cos (sin 21)4(][][ππ π ππ y d y dy y y y Y D X D dy y y y y ?+-++--=20 2)4cos()4(22202)4cos()4(22π π ππ ππ ?+ - += 2 2 )4 sin()4 (216 π π π πy d y y d y y y ?+-+ - += 2 2 )4sin(202)4sin()4 (216 π π π ππ π 22 16 2 -+ = π π （4）相关矩????-=+===202 202 012)sin(21),(][πππππ dxdy y x xy dxdy y x xyf XY E R XY XY 协方差116 2][][2 --=-=ππY E X E R C XY XY 相关系数32 816 82 2-++--==ππππσσY X XY XY C r 7 第四次作业：练习一之12、13、14、15题 1.12 求随机变量X 的特征函数，已知随机变量X 的概率密度 02)(≥=-x e x f x X α 解： ? ∞ ∞ -= dx e x f Φx j X X ωω)()(?∞ ∞ --=dx e e t u x j x ωα)(2 利用傅氏变换：ω ααj e t u t +-1 ~ )( ω αωj ΦX -= 2 )( 1.13 已知随机变量X 服从柯西分布2 2 1 )(x x f X += αα π，求他的特征函数。 解： ?∞∞ -=dx e x f Φx j X X ωω)()(?∞ ∞-+=dx e x x j ωααπ22221 利用傅氏变换：ω ααα-+e x ~222 ω αω-=e ΦX )( 1.14 求概率密度为x X e x f -= 2 1)(的随机变量X 的特征函数。 解： ?∞ ∞ -=dx e x f Φx j X X ωω)()(?∞ ∞ --=dx e e x j x ω21 利用傅氏变换：x e αωαα-+~22 2 2 11 )(ωω+=X Φ 1.15 已知相互独立的随机变量X 1，X 2，X 3，…，X n 的特征函数，求X 1，X 2，X 3，…，X n 线性组合∑=+=n i i i c X a Y 1的特征函数。a i 和c 是常数。 解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。 ][)]}({exp[)(1 1∏∑===+=n i X a j c j n i i i Y i i e E e c X a j E ωωωωφ 第五次作业：练习二之1、2、3、4、5题 2.1 随机过程t B t A t X ωωsin cos )(+=，其中ω为常数，A 、B 是两个相互独立的高斯变量，并且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。求X (t )的数学期望和自相关函数。 解： ]sin []cos []sin cos [)]([t B E t A E t B t A E t X E ωωωω+=+= t B E t A E ωωsin ][cos ][+= 0= （0][][==B E A E ） 8 )]sin cos )(sin cos [()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++== ]sin sin cos sin sin cos cos cos [2122121212t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωω+++= 2122121212sin sin ][cos sin ][][sin cos ][][cos cos ][t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E ωωωωωωωω+++=212212sin sin ][cos cos ][t t B E t t A E ωωωω+= （22])[(][][X E X D X E +=） )(cos 122t t -=ωσ )(cos 2τωσ= （12t t -=τ） 2.2 若随机过程X (t )在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。 证： 由均方连续的定义0])()([lim 2 =-?+→?t X t t X E t ， 展开左式为：)]()()()()()([lim 220 t X t X t t X t X t t X t t X E t +?+-?+-?+→? =0))]()()((([))]()()((([{lim 0 =-?+--?+?+→?t X t t X t X E t X t t X t t X E t 固有0)]([)]([lim 0 =-?+→?t X E t t X E t ，证得数学期望连续。 2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在 二阶偏导数212 1212) ,(t t t t t t R =???。 证： 1 2121101212110121)] ()([)]()([lim ),(),(lim ),(11t t X t X E t X t t X E t t t R t t t R t t t R t X t ?-?+=?-?+=??→?→? 1 111201212110)}] ()(){([lim )]()()()([lim 11t t X t t X t X E t t X t X t X t t X E t t ?-?+=?-?+=→?→? 211112111220,021212)}] ()(){([)}]()(){([lim ),(21t t t X t t X t X E t X t t X t t X E t t t t R t t ??-?+--?+?+=???→?→? ])} ()()}{()({[lim 2 11112220,021t t t X t t X t X t t X E t t ??-?+-?+=→?→?在21t t =时存在， 也就是]})()([{ lim 2 0t t X t t X E t ?-?+→?存在。 2.4 判断随机过程)cos()(Φt A t X +=ω是否平稳？其中ω为常数，A 、Φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。 π?π ?2021 )(<<= Φf ； 0)(2 222 >= - a e a a f a A σσ 解： 021 ) cos()][cos(20 =+=+??πωωπ d Φt Φt E 0)][cos(][)]cos([)]([=+=+=Φt E A E Φt A E t X E ωω ]cos )22[cos(][2 1 }])(cos{)cos([),(22ωτωτωτωωτ+++=+++=+Φt E A E Φt Φt A E t t R X 9 ωτcos ][2 1 2A E = 与时间的起点无关，且∞<)]([2t X E 因此，是广义平稳的随机过程。 2.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A 、B 构成的随机过程 t B t A t X 00sin cos )(ωω+= 是宽平稳而不一定是严平稳的。其中t 0ω为常数，A 、B 的数学期望为零，方差2σ相同。 证：0sin ][cos ][)]([00=+=t B E t A E t X E ωω )](sin )(cos )(sin cos [(),(0000τωτωωωτ++++=+t B t A t B t A E t t R X )] (sin sin )(cos sin )(sin cos )(cos cos [0020000002τωωτωωτωωτωω+++++++=t t B t t AB t t AB t t A E 2 0020000002)(sin sin ][)(cos sin ][][)(sin cos ][][)(cos cos ][τωωτωωτωωτωω+++++++=t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E )(sin sin ][)(cos cos ][002002τωωτωω+++=t t B E t t A E （22])[(][][X E X D X E +=） τωσ02cos = ∞<)]([2t X E 因此，是广义平稳的随机过程。 )]sin cos )(sin cos )(sin cos [(),,(303020201010321t B t A t B t A t B t A E t t t R X ωωωωωω+++= sin cos )(sin sin cos sin sin cos cos cos [(30201022010201020102B t A t t B t t AB t t AB t t A E ω ωωωωωωωωω++++=]sin )sin sin cos sin sin cos cos cos [(]cos )sin sin cos sin sin cos cos cos [(30201032010220102201023020102201022010220103t t t B t t AB t t AB t t B A E t t t AB t t B A t t B A t t A E ωωωωωωωωωωωωωωωωωω+++++++= ]sin sin sin []cos cos cos [30201033020103t t t B E t t t A E ωωωωωω+= 可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。 第六次作业：练习二之6、7、8、9、10题 2.6 有三个样本函数t t x t t x t x sin 3)(,cos 2)(,2)(321===组成的随机过程)(t X ，每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？ 解：}sin 3,cos 2,2{)}(),(),({)(321t t t x t x t x t X == 31 3 21===P P P ∑=++==3 1 )sin 3cos 22(31 )()]([i i i t t P t x t X E 由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。 2.7 已知随机过程)cos()(Φt A t X +=ω，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，A 可能是常数、时间函数或随机变量。A 满足什么条件时，)(t X 是各态历经过程？ 解： 10 （1）考查)(t X 为平稳过程的条件 在A 为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足 }])(cos{)cos([)]()([),(0 )]([2 Φt Φt A E t X t X E t t R t X E X +++=+=+=τωωττ ]}[cos )]22[cos(]{[21 2ωτωτωE Φt E A E +++= ωτcos ][2 1 2A E = )(τX R = （2）考查)(t X 为各态历经过程的条件 在A 为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足 )]([cos lim )cos(21lim )(21lim )(t X E 0T Φsin T A dt Φt A T dt t X T t X T T T T T T T ===+==∞→-∞→-∞→??ωωω 而??-∞→-∞→+++=+=+T T T T T T dt Φt Φt A T dt t X t X T t X t X })(cos{)cos(21 lim )()(21lim )()(2τωωττ ?-∞→+++=T T T dt Φt A T ]cos )22[cos(221lim 2 ωτωτω ωτcos 2 2A = 只有在A 为常数时，满足=+)()(t X t X )(τX R 。 欲使)(t X 是各态历经过程，A 必为常数。 2.8 设)(t X 和)(t Y 是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？ 解：令)()()(t Y t X t Z = Y X m m t Y E t X E t Y t X E t Z E ===)]([)]([)]()([)]([ ) ()()()]()([)]()([)] ()()()([),(ττττττττZ Y X Z R R R t Y t Y E t X t X E t Y t X t Y t X E t t R ==++=++=+ 又∞<=)]()([)]([222t Y t X E t Z E )(t X 和)(t Y 的乘积是平稳的。 2.9 求用)(t X 自相关函数及功率谱密度表示的)cos()()(0Φt t X t Y +=ω的自相关函数及功率谱密度。其中，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，)(t X 是与Φ相互独立的随机过程。 解：}])(cos{)()cos()([)]()([),(00Φt t X Φt t X E t Y t Y E t t R Y ++++=+=+τωτωττ }])(cos{)[cos()]()([00Φt Φt E t X t X E ++++=τωωτ τωτ0cos )(2 1 X R = )(τY R = 11 )]()([41 ])[(41 ])[(41 cos )(21 )()(00)()(00000ωωωωτττττ τωτττωτωωτωωωττωτωωτωτ -++=+= +=== ????∞ ∞ --+--∞ ∞---∞ ∞ --∞ ∞ -X X j j X j j j X j X j Y Y S S d e e R d e e e R d e R d e R S 2.10 平稳高斯过程)(t X 的自相关函数为τ τ-=e R X 2 1)(，求)(t X 的一维和二维概率密度。 解：02 1lim )(lim )(2 ===∞=-∞→∞→ττττe R R m X X X 0=X m 2 1)()0(2 =∞-=X X X R R σ （1）)(t X 的一维概率密度： 2 2 1 2 121 ),(2 12x x X e e t x f -?- = ? = ππ （2）平稳高斯过程n 维概率密度等于n 个以为概率密度的乘积。 第七次作业：练习二之11、12、13、14、15题 2.11 对于两个零均值联合平稳随机过程)(t X 和)(t Y ，已知10,52 2==Y X σσ，说明下列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。 τ τ ττττττ33)(5)() 5(46)()3()6cos()()1(2 ---=+=-=e u R e R e R X Y Y τ ττττ ττ-===e R R R X X Y 5)() 6()5sin(5)()4(]3)3sin([5)()2(2 解： （a ）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足； （b ）)()0(τX X R R ≥，（a ）中仅有(2)、(3)、(6)满足； （c ）对于非周期平稳过程有)()0(2∞-=X X X R R σ， （b ）中仅有(6)满足。 因此，(6)是自相关函数。 2.12 求随机相位正弦信号)cos()(0Φt t X +=ω的功率谱密度，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，0ω是常数。 12 解： τωτωωττ000cos 2 1 }] )(cos{)[cos()]()([),(=+++=+=+Φt Φt E t X t X E t t R X )] ()([2 cos 21 )()(000ωωδωωδπ τ τωττωωτωτ -++===-∞ ∞ --∞∞ -??d e d e R S j j X X 2.13 已知随机过程∑==n i i i t X a t X 1 )()(，式中i a 是常数，)(t X i 是平稳过程，并且相互之 间是正交的，若)(ωXi S 表示)(t X i 的功率普密度，证明)(t X 功率谱密度为 )()(12ωωXi n i i X S a S ∑== 证：因)(t X i 是平稳过程，并且相互之间是正交的，j i R ij ≠=,0)(τ。 ])()([)]()([)(1 1 ∑∑==+=+=n i i i n i i i X t X a t X a E t X t X E R τττ )()]()([1 21 2ττXi n i i i i n i i R a t X t X E a ∑∑===+= )()()()(1 21 2ωττττωωτ ωτ Xi n i i j Xi n i i j X X S a d e R a d e R S ∑?∑?=-∞ ∞-=-∞∞ -== = 2.14 由)(t X 和)(t Y 联合平稳过程定义了一个随机过程t t Y t t X t V 00sin )(cos )()(ωω+= （1）)(t X 和)(t Y 的数学期望和自相关函数满足那些条件可使)(t V 是平稳过程。 （2）将（1）的结果用到)(t V ，求以)(t X 和)(t Y 的功率谱密度和互谱密度表示的)(t V 的功率谱密度。 （3）如果)(t X 和)(t Y 不相关，那么)(t V 的功率谱密度是什么？ 解： （1）t t Y E t t X E t t Y t t X E t V E 0000sin )]([cos )]([]sin )(cos )([)]([ωωωω+=+= 欲使)]([t V E 与时间无关，不随时间函数t 0cos ω、0sin ωt 变化，)(t X 和)(t Y 的数学期望必须是0)]([,0)]([==t Y E t X E ； ) (sin sin )()(cos sin )() (sin cos )()(cos cos )()(sin sin )]()([)(cos sin )]()([)(sin cos )]()([)(cos cos )]()([)}](sin )()(cos )(}{sin )(cos )([{)] ()([),(00000000000000000000τωωττωωττωωττωωττωωττωωττωωττωωττωττωτωωττ+++++++=+++++++++++=++++++=+=+t t R t t R t t R t t R t t t Y t Y E t t t X t Y E t t t Y t X E t t t X t X E t t Y t t X t t Y t t X E t V t V E t t R Y YX XY X V 在)()(),()(ττττYX XY Y X R R R R -==时，上式可写作与时间起点无关的表达式： τωττωττ00sin )(cos )()(XY X V R R R += 因此，当0)]([,0)]([==t Y E t X E ，)()(),()(ττττYX XY Y X R R R R -==时，)(t V 是平稳 13 过程。 （2）对τωττωττ00sin )(cos )()(XY X V R R R +=两边同时作傅氏变换： )]()([2 1 )]()([21]sin )(cos )([)()(000000ωωωωωωωωτ τωττωτττωωτωτ ++-+++-=+== ??∞ ∞ --∞ ∞ --XY XY X X j XY X j V V S S S S d e R R d e R S （3）)(t X 和)(t Y 不相关，)(t V 的互功率谱密度为零。 )]()([2 1 )(00ωωωωω++-=X X V S S S 2.15 设两个随机过程)(t X 和)(t Y 各是平稳的，且联合平稳 ) sin()() cos()(00Φt t Y Φt t X +=+=ωω 式中，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，0ω是常数。他们是否不相关、正交、统计独立。 解：0)]([)]([==t Y E t X E τωττ0cos 2 1 )()(==Y X R R τωωωττ000sin 2 1 ]sin([cos()]()([)(=++=+=Φ)t Φ)t E t Y t X E R XY 0sin 2 1 )]([)]([)()(0≠=-=τωττt Y E t X E R C XY XY )(t X 和)(t Y 是相关的，不是统计独立的； 又0)(≠τXY R ，)(t X 和)(t Y 是非正交的。 第八次作业：练习三之1、2、3、4、5题 3.1 RC 积分电路的输入电压为)cos()(00Φ++=t X t X ω，其中0X 和Φ分别是在[0，1] 和[0，π2]上均匀分布的随机变量，且相互独立。求输出电压Y (t )的自相关函数。 解：)}]cos()}{cos([{)]()([)(00000ΦΦ+++++=+=τωωωττt X t X E t X t X E R X )]cos()cos()cos()cos([000000002 0ΦΦΦΦ+++++++++=τωωωτωωωt t t X t X X E )]sin()sin()cos()cos()cos()[cos(00][00000020τωωωτωωωΦΦΦΦ++-+++++=t t t t E X E )sin(]0sin )(2[sin 2 1)cos(]0cos )(2[cos 21][00002 0τωωτωω++-+++=ΦΦt E t E X E τω0cos 2 1 31+= RC 积分电路的RC j H 1 ,)(=+=αωααω ττωωτd e R S j X X -∞ ∞ -?=)()( 14 =)]()([2 1 )(3200ωωδωωδπωπδ++-+ )]}()([2 1)(32{)()()(002 222 ωωδωωδπωπδωααωωω++-++==X Y S H S ωωπτωτ d e S R j Y Y ?∞∞ -=)(21)( τ ωτωωααωαα002 0222022414131j j e e -++++= τωωαα020 22cos 2131++= 3.2 若图示系统的输入X (t )为平稳随机过程，求输出的功率谱密度。 解：)}()()}{()([{)]()([)(ττττ+-++-+=+=T t X t X T t X t X E t Y t Y E R Y )()()(2T R T R R X X X ++-+=τττ ττττττωωτωτ d e T R T R R d e R S j X X X j Y Y -∞ ∞ --∞ ∞ -??++-+==)}()()(2{)()( T j X T j X X e S e S S ωωωωω)()()(2++=- )()cos 1(2ωωX S T += 3.3 冲激响应为)(1t h 和)(2t h 的两个系统并联，求)(1t h 、)(2t h 和X (t )的自相关函数表示的)(1t Y 和)(2t Y 的互相关函数。 解：设X (t )为平稳过程，)(1t h 和)(2t h 为线性时不变系统，有 ])()()()([)]()([),(2 1 2 2 2 1 1 1 2121λλλλτλλττd d h t X h t X E t Y t Y E t t R Y Y -+-=+=+? ?∞∞-∞ ∞ - 21221121)()()(λλλλλλτd d h h R X ??∞∞-∞ ∞ --+= )()()(21τττh h R X *-*= 3.4 随机过程X (t )作用到脉冲响应为)(1t h 和)(2t h 的串联系统。求)(1t h 、)(2t h 和X (t )的自相关函数表示的)(1t Y 和)(2t Y 的互相关函数。 解：设X (t )为平稳过程，)(1t h 和)(2t h 为线性时不变系统，有 )()()()(111ττττh h R R X Y *-*= )()()()()()()(2112121τττττττh h h R h R R X Y Y Y **-*=*= 3.5 功率谱密度为2/0N 的白噪声作用到2)0(=H 的低通网络，它的等效噪声带宽为2MHz 。若在1欧姆电阻上噪声输出平均功率是0.1W ，0N 是多少？ 解：设为e ω?等效噪声带宽，低通系统输出的平均功率为 06062 010442102)0(2)0(N N H N R e Y π ππω?=??=?= 15 Ω??= ??= -Hz W N /104 10 41 .076 0π π 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷 一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=， 其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀 分布的随机变量。（ 共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的 一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平 稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函 数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????， 此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω = 当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维 概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳， 所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均 匀分布随机变量。（ 共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =， 故两个随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（ 共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分) 北京理工大学2011级随机信号分析期末试题B卷 1（15分）、考虑随机过程X t=2Nt2，其中N为标准正态随机变量。计算X(t)在t为0秒，1秒，2秒时的一维概率密度函数fx x;0，fx x;1，fx x;2 2（15分）、考虑随机过程X t=a2cos2(ω0t+?)，其中a，ω0为常数，?为在[0,2π) 上均匀分布的随机变量。 （1）、X(t)是否为宽平稳随机过程？为什么？ （2）、X(t)是否为宽遍历随机过程？为什么？ （3）、求X(t)的功率谱密度及平均功率。 3（15分）、考虑下述随机过程 Y(t)=X k dk t t?2T 式中，X(t)为宽平稳随机过程。 （1）、试找出一线性时不变系统，使得系统输入为X(t)时其输出为Y(t)，写出该系统的单位冲激响应； （2）、假定X(t)的自相关函数为R XX(τ)，计算Y(t)的自相关函数； （3）、假定X(t)的功率谱密度为S XX(ω)，计算Y(t)的功率谱密度。 4（15分）、已知某宽平稳高斯随机过程的功率谱密度如下 S XXω=10 22 将其通过一微分网络，输出为Y(t)。 （1）、求Y(t)的功率谱密度S Yω； （2）、求Y(t)的平均功率； （2）、求Y2(t)的平均功率。 5（40分）、已知X t=A t cos(ω t?θ)?A t sin?(ω0t?θ) 其中A(t)为宽平稳实随机过程，功率谱密度如图1所示，且ω0?W，θ服从(0,2π)上均匀分布的随机变量。 分别定义X(t) 和同相分量和正交分量为： X I t=X t cosω0t+X t sinω0t X Q t=X t cosω0t?X t sinω0t 式中，X t表示X(t)的希尔伯特变换。 （1）、计算X(t)及X t的平均功率，分别画出X(t)，X(t)的复解析过程，X(t)的复包络，以及X(t)的正交分量和同相分量的功率谱密度； （2）、若A(t)为零均值的随机过程，X(t)通过如图2的系统，求Y(t)的均值和方 随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<< 8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。 1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 第 一 章 1.1不考 条件部分不考 △雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义 相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥?? 第二章 随机过程的时域分析 1、随机过程的定义 从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散） 一维概率密度、一维特征函数 二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期 相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92 电子科技大学2014- 2015学年第2学期期末考试 A 卷 一、设有正弦随机信号X t Vcos t , 其中0 t，为常数，V是［0,1）均匀分布的随机变 量。（共10分） 1.画出该过程两条样本函数。（2分） 3 2.确定t。— , t1—时随机信号x（t）的一维概率密度函数，并画出其图形。（5 分） 3.随机信号x（t）是否广义平稳和严格平 稳？（3分） 解: 1.随机信号x t的任意两条样本函数如题解图（a）所示： 2.当t0 厂时，x（—）0, P x（—）0 1, 此时概率密 度函数为：f x（X；厂）（X） 当t时，X（右）乎V,随机过程的一维概率密度函数为： 1 3. E X t EV cos t 2cos t 均值不平稳，所以X（t）非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号X n sin 2 n 与 Y n cos 2 n ，其中为0~上均 匀分布随机变量。（共10分） 1.求两个随机信号的互相关函数 （n!, n2）o （2 分） R KY 2.讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。（4分） 3 .两个随机信号联合平稳吗？（4分）解: 1.两个随机信号的互相关函数 其中E sin 2 口2迈2 0 2.对任意的厲、n2,都有R XY^M） 0, 故两个 随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、W t为独立二进制传输信号，时隙长度T。在时隙内的任一点 P W t 3 0.3和P W t 3 0.7 ，试求 （共10 分） 1．W t的一维概率密度函数。（3 分） 随机信号分析习题参考答案 北京工业大学电控学院 2008.12.9 第一章 随机信号基础 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为： 求： （1） 系数A （2）X 取值在（0.5 ，1）内的概率)15.0(< 解： 如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件： （I ）)(x F 是x 的单调非减函数 （II ）)(x F 是非负函数，且满足：1)(0<≤x F （III ）)(x F 处处连续 （1）0 )(0 12 <= ≥--x x F x e x 可证明)(x F 满足以上三个条件，可知)(x F 是一个概率分布函数。 )()(0 2 1' 2 <= =≥-x x F x f x e X x （2）0 1 10)(0 2 ≥<≤= ………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得： （3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分） 随机信号分析习题一： 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0(,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=??， 求{}10,10<<< 8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+??=+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1,()0X a x b f x b a ?≤≤?=-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞=，l.i.m n n Y Y →∞=，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞ →∞=。 1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {} {}{}()()0.30.70.30 .70.70 .3 0.7P X P X F P X F =<< =<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤ 1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x d x k ∞ -∞==? 第②问 {}()()() 2 11221x x P x X x F x F x f x d x < ≤ =-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ??? 4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπ τττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==?????时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ ()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = ==??= ? ? ?? ?????P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-=== P 交直流分量为平均功率：流 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的 相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络 和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一 偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 二、计算题（共80分） 两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。求： 1)a ; 2)X 特征函数； 3)试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。 解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即 （2分） 一、已知随机变量X 服从11,22??-???? 区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-=== 。 若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数 ()Z f z 。 2、特征函数()Z v Φ。 解： 1、随机变量X 均服从11,22?? -????区间的均匀分布， 111,()()22 0,X x f x rect x otherwise ? -≤≤ ?==??? 11 ()(1)(1) 22 Y f y x x δδ=++- 由于X 和Y 彼此统计独立，所以 11 ()()()(1)(1) 22 Z X Y f z f z f z rect z rect z =*=++- 131/2, 220,z otherwise ? ≤≤?=??? 2、 ()2rect z Sa ω?? ? ? ?? 且 ()()FT z z f z v Φ- 所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-????Φ=+= ? ????? 二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为0T ，问： 1、信号的均值函数()E X t ??? ?。 2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。 3、()X t 的一维概率分布函数 ();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。 解：1、()00.510.50.5X t E =?+?=???? 2、当,t t τ+在同一个时隙时： [] 2 2 2 (,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： 电子科技大学随机信号分析期末测验A ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 一、已知随机变量X 服从11,22??-???? 区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-=== 。 若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数 ()Z f z 。 2、特征函数()Z v Φ。 解： 1、随机变量X 均服从11,22?? -????区间的均匀分布， 111,()()22 0,X x f x rect x otherwise ? -≤≤ ?==??? 11 ()(1)(1) 22 Y f y x x δδ=++- 由于X 和Y 彼此统计独立，所以 11 ()()()(1)(1) 22 Z X Y f z f z f z rect z rect z =*=++- 131/2, 220,z otherwise ? ≤≤?=??? 2、 ()2rect z Sa ω?? ? ? ?? 且 ()()FT z z f z v Φ- 所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-????Φ=+= ? ????? 二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ， 时隙长度为0T ，问： 1、信号的均值函数()E X t ??? ?。 2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。 3、()X t 的一维概率分布函数 ();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。 解：1、()00.510.50.5X t E =?+?=???? 2、当,t t τ+在同一个时隙时： [] 2 2 2 (,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： 随机信号分析习题二： 1. 设正弦波随机过程为 0()cos X t A w t = 其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即 1,01 ()0,others A a f a ≤≤?=? ? (1) 试求000 30, , , 44t w w w π π π =时，()X t 的一维概率密度； (2) 试求0 2t w π = 时，()X t 的一维概率密度。 2. 若随机过程()X t 为 (),X t At t =-∞<<+∞式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随 机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。 3. 设随机振幅信号为 0()sin X t V w t = 其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 4. 设随机相位信号0()cos()X t a w t φ=+式中a 、0w 皆为常数， φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 5. 设()sin(),X t A w t t θ=+-∞<<+∞，()sin(),Y t B w t t θφ=++-∞<<+∞，其中 A ， B ，w ，φ为实常数，~[0,2]U θπ，试求(,)XY R s t 。 6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2 210.5() 12(,)3t t X R t t e --=的随机信号()X t 输入 微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t = 。求()Y t 的均值和相关函数。 7. 设随机信号3()cos 2t X t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的 随机信号0 ()()t Y t X d λλ= ? 。试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。 8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程 cos ,()2, t X t t π?=??出现正面 出现反面 随机信号分析习题7 1设{(),-}X t t ∞<<∞是均值为零的实正态平稳过程，相关函数为()X R τ， 1 ()0()sgn () 1 ()0X t Y t X t X t ≥?==?-+++ 试求()X t 、()Y t 各自的自相关函数 . 4. 信号和噪声()()()X t S t N t =+同时作用于平方律检波器2()y f x bx ==，信号 0()cos()S t a t ωθ=+，其中a 和0ω为常数，θ为[0 2]π均匀分布的随机变量，噪声为零均值的高斯随机过程，相关函数为()N R τ，信号和噪声是不相关的， 求输出信号的均值、方差、自相关函数和功率谱. 5. 设一非线性系统的传输特性为， 0x y a a β=>，其输入()X t 为零均值的平 电子科技大学随机信号分析期末测验题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计 得分 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性 要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相 位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数， 则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 得 得随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案
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