全国高校自主招生化学模拟试卷十二
第1题 (共5分)
环境中的二氧化碳气体可与水形成酸，或同岩石中的碱性物质发生反应，水体中的二氧化碳也可通过沉淀反应变为沉积物从水体中失去，在水与生物体之间的生物化学交换中，二氧化碳占有独特地位，在调节天然水体的pH及其组成方面起着非常重要的作用。在碳酸—天然水平衡体系中，部分生物学家认为碱度可以近似地表征水体的肥力，总碱度通常定义为：c(总碱度)=c(HCO3－)+2c(CO32-)+c(OH－)－c(H+)。现有一水体与CaCO3(s)相接触并达到平衡，请判断添加少量下列物质对溶液中钙离子浓度与总碱度的影响(忽略离子强度的影响)[填“增加”、“减少”或“不变”]。
第
铝是一种重要的金属材料，广泛用于制作导线、结构材料和日用器皿，铝合金大量用于飞机和其它构件的制造。十九世纪曾以电解熔融氧化铝的方法制备金属铝，当时铝由于价格昂贵而只被贵族用作装饰品。现代工业上是通过在1000℃左右的高温下电解氧化铝和冰晶石(Na3AlF6)的熔融液制备铝的。请回答下列问题：
(1) 现代工业电解制备铝过程中正极和负极实际发生的反应分别为：在正极放电产生；在负极放电产生。
(2) 电解反应方程式为。
(3) 以现代工业方法制备的铝价格下降的可能原因是：
。
(4) 若电流效率为75％，则制备1kg金属铝需以10A电流电解小时。
(5) 电解NaCl－AlCl3熔融液制备铝比电解Al2O3－Na3AlF6的熔融液制备铝节省电能约30％，为什么现在仍用后一种方法制备铝?
。
第3题 (共12分)
(1) cis－Pt(NH3)2Cl2、cis－Pt(NH3)2Cl4和cis－PtCl2(en)等是目前临床上广泛使用的抗癌药物，尤其对早期的睾丸癌具有很高的治愈率。实验测得它们都是反磁性物质。（en为乙二胺）
① Pt2+和Pt4+的价电子构型分别为和，上述配合物都是型(填“内轨”或“外轨”)配合物，cis－Pt(NH3)2Cl2的中心离子杂化轨道类型为。
②以上3种抗癌药均为顺式(cis－)结构，而所有的反式(trans－)异构体均无抗癌效果。试画
出上述3种物质顺式异构体的结构图：
(2) 已知反应CO(g)+2H 2(g)
CH 3OH(g)在773K 时的
=4.78×10-6
。若向某容器中加入1molCO
和2 mol H 2，在773K 达到平衡时，生成0.1mol CH 3OH ，此时反应体系的压强为 。
(3) 称取含硼砂及硼酸的试样0.7513g ，用0.1000mol/L HCl 标准溶液滴定，以甲基红为指示剂，消耗盐酸25.00mL ，再加甘露醇强化后，以酚酞为指示剂，用0.2000mol/L NaOH 标准溶液滴定消耗37.50mL 。则可知试样中Na 2B 4O 7·10H 2O 的质量分数为 ，H 3BO 3的质量分数为 。 第4题 (共6分)
20世纪80年代末，南京大学的一个研究小组率先提出了低热固相反应的概念，从而打破了固体之间的反应只有在高温下才能进行的局限性。他们发现一些在液相中不能进行的反应在低热固相反应中得以实现，一些在固相和液相反应中都能进行的反应，产物却不同。
将CuCl 2·2H 2O 晶体和NaOH 固体混合研磨，可生成黑色固体化合物A 。A 不溶于水，但可溶于硫酸生成蓝色溶液B ；在B 中加入适量氨水生成浅蓝色沉淀C ；C 溶于盐酸后，加入BaCl 2溶液，生成白色沉淀；C 溶于过量氨水得到深蓝色溶液D ，向D 中通入SO 2至微酸性，有白色沉淀E 生成。元素分析表明E 中部分元素的质量分数为：Cu 39.31％、S 19.84％、N 8.67％；激光拉曼光谱和红外光谱显示E 的晶体里有一种三角锥型的负离子和一种正四面体型的正离子；磁性实验指出E 呈抗磁性。
1) A 的化学式为 ；A 不同于CuCl 2和NaOH 在溶液中反应所得产物的可能原因是 。
(2) C 的化学式为 ，D 的化学式为 。 (3) 写出由D 生成E 的化学反应方程式。
第5题 (共12分)
光合作用是绿色植物和其他自养型生物利用光能由简单化合物合成高能复杂分子的过程。光合作用中叶绿素分子与特殊的酶分子受体(MS)相结合，发生一系列氧化还原反应。科学家们发现光合作用还存在许多变化形式，如有些细菌可用H 2S 代替H 2O 进行光合作用生成结构与性质完全相似的产物。
我国科学家早在1946年就发现铀吸收中子后可发生核裂变分裂成较小的碎片。如以一个慢中子轰击
U 23592
发生核裂变时，能产生两种核素72X 、Sm 16062和若干快中子。快中子再与核素72
X 反应可生成
Ni 69
28
，继而生成以上MS 中金属M 的一种核素。M 是应用最广泛的金属之一，在高温高压下与CO 作用生
成淡黄色液体A(A在高温下可分解为M和CO)。含有M的一种深红色化合物晶体B具有顺磁性，在碱性溶液中B能把Cr(Ⅲ)氧化为CrO42-，而本身被还原成C。溶液中C可被氯气氧化成B。固体C在高温下可分解，其产物为碳化物D，剧毒的钾盐E和化学惰性气体F。A继续与CO作用可形成满足18电子规则的金属有机化合物M2(CO)9。(18电子规则指过渡金属有机化合物中，金属的价电子和配体提供或共享的电子总数等于18)。
(1) M的元素符号为；B的化学式为。
(2) 写出上述所有核化学反应方程式。
(3) 写出B将Cr(Ⅲ)氧化为CrO42-的离子方程式。
(4)H2S代替H2O进行光合作用的主要产物是，该反应能够发生的主要原因是：
(5)(5) 指出M2(CO)9中共有几种不同的成键方式，画出M2(CO)9的结构式。
第6题 (共4分)
铌酸锂(LiNbO3)是性能优异的非线性光学晶体材料，有多种性能，用途广泛，在滤波器、光波导、表面声波、传感器、Q－开关以及激光倍频等领域都有重要的应用价值，因而是一种重要的国防、工业、科研和民用晶体材料。铌酸锂的优异性能与它的晶体结构是密不可分的，单晶X－射线衍射测试表明，铌酸锂属三方晶系，晶胞参数a=b=5.148?，c=13.863?；密度为4.64g/cm3沿着c轴方向的投影见下图，其中Li和Nb原子投影重合，它们处于氧原子投影的六边形中心。
(1) 请在下图表示的二维晶体结构上画出一个结构基元。
(2) 假设下图是某新型晶体材料LiNbA2沿c轴的投影图(A原子取代氧的位置)，在这种晶体中，沿a方向两层Nb原子之间夹着两层A原子和一层Li原子。请写出这种新型晶体材料的晶胞类型，并画出它的一个三维晶胞的透视图。
第7题 (共8分)
(1) 三氟甲磺酸稀土化合物[Ln(OTf)3]是一类新型的强Lewis 酸，与传统的Lewis 酸如AlCl 3、BF 3、TiCl 4等相比，它们的优点是对水稳定，可回收再利用，并且在大多数情况下，仅仅催化量的Ln(OTf)3就可完成反应，它们是一类对环境友好的催化剂。以Ln(OTf)3为催化剂(10％mol)可成功实现烯醇硅醚与醛的醇醛缩合反应：
C 6H 5CHO OSi(CH 3)3
3
C 6H 5
OH O
A
+
H 2O
① 请用
“*”标注A 化合物中的手性碳原子，A 的对映异物体数目为 。 ② 醇醛缩合反应属于 加成反应(填“亲电”或“亲核”)。 ③ 请推测Ln(OTf)3为什么能催化此反应?
(2) 菠萝酮是菠萝香气的主要成分，主要用作酒类及烘烤食品的香料添加剂，当使用量达10ppm
时即获得很好的效果。菠萝酮可由O
O
O
C 2H 5OOC
COOC 2H 5在酸性条件下加热得到。菠萝酮有
无互变异构体?若有，请写出所有结构简式，并说明哪个结构最稳定，为什么?
第8题 (共7分)
复脂是指含磷或含糖的脂类，因而分为磷脂和糖脂，化合物(a)是一种磷脂，化合物(b)是一种糖脂，其结构分别如下图(R 1、R 2为长链烃基)所示：
H 2NCH 2CH 2
P O
O
CH 2
OH
CHOCOR 2H 2C O
C H
CH 2
CHOCOR 22OCOR 1
请回答下列问题：
(1) 化合物(a)在近中性时以两性离子存在，其两性离子的结构简式为：
。 (2) 化合物(a)经酸处理后可产生一个长链脂肪醛，此醛的结构简式为：
。 (3) 化合物(b)中的两个单糖之间的糖苷键为 型，另一个糖苷键为 型。
(4) 化合物(b)
完全水解后产物的类别为 。
(5) 这两个化合物均可作为表面活性剂，原因是
。
第9题 (共8分)
以硝基化合物合成酰胺通常需要2步：(1)把硝基化合物还原成相应的胺类化合物；(2)选用合适的酰化试剂与相应的胺进行酰化反应而得到酰胺。最近文献报道了在二碘化钐—四氢呋喃体系中，硝基化合物和酯作用一锅法制备酰胺的新方法。
NO 2
COR NH CR O
该法反应条件温和，原料易得，操作步骤便捷，效率高，对环境友好。
近来有人以苯和丙酮为主要原料，应用一锅法合成了
NH
C
O
，请写出合成过程。
第10题 (共12分)
除虫菊是肯尼亚盛产的一种经济作物，从其花(除虫菊花)中可提取重要的杀虫活性成分。天然的除虫菊花中含有六种有效成分，其中之一的化学结构为：
此类化合物为酯(除虫菊酯)，由菊酸(A)部分和醇(B)部分组成。由于每个化合物结构中含有3个手性中心(1、3和α位)及环丙烷的顺反2种结构，所以每个化合物至少有16种可能的异构体。但天然的除虫菊酯中仅以一种立体异构体存在：(+)－1R，3R－trans－α S－，此异构体的活性最高(如，trans－是cis－的500倍)。由于天然除虫菊酯化学稳定性差、毒副作用强且资源有限，科学家对此结构进行了改造，合成出一类新的高效、低毒、稳定性好的拟除虫菊酯(Pyrethroids)，这类化合物达200多种，如较早合成的苯醚菊酯(Phenothrin)的结构为：
此化合物现广泛用在家庭卫生中，能有效杀灭蚊蝇及蟑螂等。
由于要满足(+)－1R，3R－trans－的立体化学要求，合成苯醚菊酯的菊酸(C)部分一直是科学难题。M．Matsuda曾采用天然松节油成分中的蒈烯(Carene)E为原料，经过6步反应制得了菊酸，其合成步骤可表示为：
E
F(C 10H 16O 2)
10H 14
O)
KMnO 4H H(C 8H 12O 4)
I(C 8H 10
O 3)
J(C 18H OH
O
(C 10H 16O 2)
(1) 请按系统命名(IUPAC)法，给出菊酸的名称(要求表明全部立体化学特性)。
(2) 写出F 、G 、H 、I 、J 的结构简式(不要求表明立体结构)。
F ：
G ：
H ：
I ： J ：
第11题 (共7分)
用钠汞齐还原硝酸钠水溶液可得物质A ，用NH 2OH 和CH 3CH 2NO 2在NaOCH 2CH 3中反应也可得到物质A ，已知A 中N 的质量分数为26.43％，A 是氮的一种不稳定酸B 的钠盐，该酸是火箭推进剂的成分。
(1) 试写出上述两个制得A 的化学反应方程式。
(2) 试写出B 和它的同分异构体的结构。
第12题 (共11分)
2005年1月美国科学家在Science上发表论文，宣布发现了Al的超原子结构，并预言其他金属原子也可能存在类似的结构，这是一项将对化学、物理以及材料领域产生重大影响的发现，引起了科学界的广泛关注。这种超原子是在Al的碘化物中发现的，以13个Al原子或14个Al原子形成Al13或Al14超原子结构，量子化学计算结果表明，Al13形成12个Al在表面，1个Al在中心的三角二十面体结构，Al14可以看作是一个Al原子跟Al13面上的一个三角形的3个Al形成Al—Al键而获得的。文章还指出，Al l3和Al l4超原子都是具有40个价电子时最稳定。
(1) 根据以上信息可预测Al13和Al14的稳定化合价态分别为和。A114应具有元素周期表中类化学元素的性质，理由是：
。
(2) 对Al13和A114的Al—Al键长的测定十分困难，而理论计算表明，Al13，和Al14中的Al—Al 键长与金属铝的Al—Al键长相当，已知金属铝的晶体结构采取面心立方最密堆积，密度约为2.7g/cm3，请估算Al13和Al14：中Al—Al的键长。
。
(3) Al13三角二十面体中有多少个四面体空隙，假设为正四面体空隙，如果在其中搀杂其他原子，请通过计算估计可搀杂原子的半径最大为多少?
2013年全国高校自主招生化学模拟试卷十二
参考答案
1．(共5分)(错一空扣0.5分)
说明：化学方程式反应物或产物错不得分，配平错扣一半分。
－ 不变 增加 减少 增加
增加
不变
减少
增加
增加
2．(共8分)
(1) O 2－
O 2 Al 3+
Al (2分，每空0.5分)
(2) Na 3AlF 6Al 2O 3
Al O 2电解
，1000℃
243+↑ (2分)
(3) 纯氧化铝熔点很高(＞2000℃)，加入Na 3AlF 6后由于形成共熔体使其熔点大大降低，从而使制备铝成本降低 (1分) (4) 397 (2分)
(5) 由于AlCl 3没有天然矿藏，制备AlCl 3所需氯气仍需电解制得，电能没有省下 (1分) 3．(共12分)
(1)① 5d 8
5d 6
(1分，各0.5分) 内轨 (1分) dsp 2
(1分) ②
Pt
Pt Cl
Cl
NH 3
NH 3
Cl
Cl
Cl
Cl
NH 3
NH 3
Pt
Cl
Cl
NH 2NH 2
CH 2CH 2
(共3分，每个1分)
(2) 2.40×104
kPa (2分) (3) 63.43％ 20.56％ (各2分) 4．(共6分)
(1) CuO (1分) 固相反应中放出的热量使Cu(OH)2分解生成CuO (1分) (2) Cu 2(OH)2SO 4 (1分) [Cu(NH 3)4]SO 4 (1分) (3) 2[Cu(NH 3)4]SO 4+4H 2O+3SO 2
2Cu(NH 4)SO 3+3(NH 4)2SO 4 (2分)
5．(共12分)
(1) Fe K 3[Fe(CN)6] (2分，各1分)
(2)
n Sm Zn n U 1
016062723010235924++→+；
)(4
269
281
072
30α或He Ni n Zn +→+
)(4
266
261
069
28α或He Fe n Ni +→+ (3分，各1分)
(3) -
-++OH
OH Cr CN Fe 5)()(3336O H CrO CN Fe 224464)(3++-
- (2分)
(4) 碳水化合物(或葡萄糖)、硫 (1分)
(a) O 和S 是同族元素 (b) O 2和S 2的价电子数为12，可视为等电子体 (c) O 2和S 2中均有一个σ键，2个2中心3电子π键(3
2π键) (1分，答对任意1点即可)
(5) 4种 (1分)
（2分）
6．(共4分) (1)
（2分）
(2) 简单六方晶胞
（2分）
7．(共8分)
(1) ①
OH
O
C 65
*
* 4 (2分，各1分) ②亲核 (1分)
③ 醛羰基能与稀土金属配位，从而能减弱羰基碳的电子云密度，增强其亲电性，有利于烯醇硅醚中的双键碳对其进行亲核进攻 (1分)
(2)
O O
OH O O
O
O HO
OH
(2分，答对1个得1分，答对2个或3个得2分)
由于①式易于形成分子内氢键，其结构最为稳定 (2分)
O
O
O
8．(共7分) (1)
3NCH 2CH 2
P O
O
CH 2
CHOCOR 2H 2C
O
C H
C (1分)
(2) O
C H
(3)α β (1分，各0.5分)
(4) 糖、多元醇、羧酸(2分，答对1个或2个得1分)
(5)两者长链烃基为憎水端，前者的两性离子部分为亲水端，后者的糖部分多羟基为亲水端 (2分，仅答“亲水端”和“憎水端”得1分)
9．(共8分)
HNO 3H 2SO 4NO 2
O
HCN
OH
CN
OH
CN
H 3O C 2H 5OH
COC 2H 5
O NO 2
COC 2H 5
O
SmI 2
THF
C NH
O
，△
(1)
(2)
(2分)
+(2分)(3)
①②+/△(2分)
+
(4)
(2分)
(合成步骤可连写)
10．(共12分)
(1) (+)－1R ，3R －trans －2，2－二甲基－3－(1－异丁烯基)—1—环丙烷酸 或 (+)－1R ，3R －trans —2，2—二甲基—3—(2—甲基—1—丙烯基)—1—环丙烷酸 或 (+)－1R ，3R －trans －2，2－二甲基—3—2，—甲基—1′—丙烯基—1—环丙烷酸 (将“－1－环丙烷酸”写成“环丙烷酸”或“环丙基甲酸”也可)
CHO
O O
COOH
COOH
O
O
O
OH COOH
11．(共7分)
(1) 2NaNO 3+8Na(Hg)+4H 2O →Na 2N 2O 2+8NaOH+8Hg (2分) NH 2OH+CH 3CH 2NO 2+2CH 3CH 2ONa →Na 2N 2O 2+3CH 3CH 2OH (2分)
(3分，每个1分)
12．(共11分)
(1)－1 +2 (Al 13- Al 142+
) (2分，各1分)
碱土金属 因为Al 14容易失去2个电子而呈现+2价 (1分) (2) 根据晶体密度公式可得：3
237
.21002.6427a N MZ V A =???==
ρ 故晶胞参数α=405pm 因为金属铝形成面心立方晶胞，所以原子半径与晶胞参数之间的关系为： pm pm a r r
a 1434054
24242=?==
=
所以估计Al-Al 键长约为：2r=2×143pm=286pm (3分) (3) 有20个四面体空隙 (2分)
设Al 的半径为R ，正四面体空隙可以填充的内切球半径为r ，
则正四面体边长b=2R ，立方体边长R 2， 立方体对角线为：R R R 6])2()2[(2
122
=
+
R r R +=?62
1
所以Pm pm R R r 2.32143225.0225.0)12
6
(=?==-= (3分)
2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D)
自招需要准备哪些材料 自招初审我们主要需要准备的有九大材料： 1、自主招生申请表 2、高中三年的成绩单 3、综合素质评价表 4、理科竞赛/文科竞赛/科创竞赛等竞赛奖项 5、专利/论文及其他相关证明 6、自荐信 7、推荐信 8、社会实践、辅助材料等 9、其他有效材料 其中，第2、4、5是最有分量，也是各校最为看重的。下面我们来具体分析。 哪些考生通过初审 1、在高三上学期和高二暑假参加过各大学的暑期学堂、夏令营、金秋营、冬令营并取得了较好的成绩得到高校许诺给予自主招生初审资格的。 这其中以清华北大的各种竞赛营、综合营、专业营最多：竞赛营一般都提供直接降分优惠，综合营、专业营大部分提供清北初审资格。 2、在五项学科竞赛获得全国决赛金银铜牌，并且在决赛现场同各高校进行面试，签订了相关降分协议的考生。 每年各科奥赛的国决现场不仅是竞赛生的对决，也是各大名校抢人的对决。 一般金牌选手会被清华北大争着签约，一般是直降一本线；银牌选手面试表现好的话，也有签清北的机会；铜牌选手则一般签约复旦、中科大等次一级的名校。 3、少数高校对在一些指定活动中，承诺过给予自主招生初审名额的。 比如在英才计划中有突出表现得、比如在外语类保送生考试中未被录取却表现优异得考生。 哪些考生比较容易能通过初审 在五大学科竞赛中获得了省一奖项的学生更加容易通过初审；获得过两科省二的也相对更容易通过初审。其余单科省二、省三的要看高校的生源情况。 在科创类大赛中获得过高级别奖项。全国青少年科技创新大赛、明天小小科学家奖励活动、中小学生电脑制作活动这三大科创竞赛获得国一国二奖项相对更容易得到认可。
在含金量较高得新概念作文大赛、全国中小学生创新作文大赛、全国创新英语大赛、全国中学生英语能力竞赛四大文科竞赛中获得全国大奖也是相对比较好通过初审得。 拥有原始第一产权人发明专利的考生。不少家长搞不明白专利是什么意思，实际上专利包括发明专利、实用新型专利、外观设计专利三类。被普遍认可的只有发明专利。 在省级以上期刊以第一作者身份发表两篇真实的高水平论文的考生也比较容易通过初审。 如果你在当地省份排名前五的高中且在校综合学业成绩特别优异、单科成绩特别突出也会有一小部分高校的初审比较容易通过。 高校如何审核考生申请材料 如果考生满足某高校的报考条件之一，那么一定会通过该校的初审吗？那要从高校初审的审核模式说起。 如果考生满足高校要求的报考条件，那么通过初审的概率肯定会相应增加，但是，高校会根据所有考生的学科特长等级、竞赛奖项高低等，分类别分专业筛选，优中选优。 很容易理解，省一等奖的考生通过初审的概率肯定要比省二等奖的大，但如果省二等奖的学生还有其他比较突出的、高校看重的特长，也会在一定程度上增加初审的。 不同大学间的审核模式并不相同。 如南京大学采取由学校统一负责的审核模式：组织专家对所有报名考生进行统一评审，根据考生所展现出的学科特长和发展潜质，对报名材料进行综合审核，确定测试资格名单。 而武汉大学则采取分包到各个学院进行审核的模式：学校各学院分别成立以专家教授为主的资格审核专家组并制定审核方案，择优确定资格合格学生名单。 此外，对于没有任何奖项，只凭单科或者综合成绩分数及排名来报考的学生，大部分高校也会根据比例来分配一定的初审名额。 因此，综合对比近年来自主招生相关数据也表明，有很多”三无”考生凭借综合成绩优秀也能拿到名校自主招生资格。 通过自招初审还有哪些窍门 1、研究高校往年在本省录取人数。 大部分高校自主招生虽是针对全国招生，录取不分省市，但自主招生最终入选名额或多或少会兼顾各省招生计划。 研究各高校往年在本省招生计划，以确定大概的竞争情况，招生人数多的，自招也会更容易一些。 2、挑一所限报数量少的高校。 机会与挑战并存，限报数量越少的高校，在一定的程度上，报考
自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难 度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风 格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题： 1.已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结 论．（08交大） 2.设，试证明对任意实数： （1）方程总有相同实根； （2）存在，恒有．（07交大） 3.（06交大）设 （05复旦）在实数范围内求方程：的实数根． 5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数， 求a,b,c的值． 6. 解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足 ，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）（2） （3）（） （4） 中是下凸函数的有-------------------。 A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. （06复旦）设x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：(1)
（tanx1+tanx2）>tan; (2) （tanx1+tanx2）
自主招生报考形势分析 2017年自主招生报考形势分析 一、自主招生名额整体形势分析 按照2016年的情况：全国90所重点大学普通自主招生的最终录取计划大概是18000人左右，初审通过10万余人。老师预计2017 年的初审人数和最终录取计划和2016年不会有太大出入。 根据全国各个省的奖项统计，2017年五项学科竞赛的省一、省二、省三的人数加起来总计能有七八万人。获得了省一省二省三奖 项的同学基本上都能通过自主招生初审，只要注意报考学校的层次 就行。也就是说自主招生初审十万多人次，有超过一大半的是五项 学科奥赛获奖学生。剩下的少部分初审名额是给了文科竞赛、科技 创新竞赛、论文专利、平时成绩这类考生。 所以可以肯定的是，理科五项竞赛获奖仍然是通过自主招生初审不可替代的主渠道。 二、竞赛获奖人数分析 我们统计了省一等奖人数，2016年全国获得五项学科竞赛的省 一名额总共7595人次(数学竞赛1561人、物理竞赛1595人、化学 竞赛1494人、生物竞赛1016人、信息竞赛1929人。全国省二的人数大概有两三万左右，全国省三的人数大概三四万人。省一、省二、省三的人数加起来总计能有七八万人。 三、省一等奖的学生出路 自主招生、保送生制度改革以前获得学科竞赛省一奖项的考生都是可以直接保送进名牌大学的。2016年、2017年获得省一奖项的学 生已经不能被保送、加分了，所以全部都来挤自主招生这个加分的 独木桥。教育部规定重点高校自主招生的人数要控制在招生总计划
的5%。排名前20的高校每年最多招10万个学生，按5%算就是 5000人，这7000-8000获得省一的考生刚好足够他们挑选，有一些 省一等奖的学生还挤不进前20的自主招生。这很有可能是名牌大学 定自主招生报名需要“省一”奖项门槛的`根据。 所以复旦大学、上海交通大学、中科大、南京大学、浙江大学等华东5校必要省一及以上奖项才能通过自招初审。而北京大学、清 华大学的门槛更高(博雅领军除外)，要求进入全国决赛。 四、省二、省三等奖的学生出路 省二省三的学生基本不可能通过清北华五等全国前十的好大学了，不过全国有90所重点大学都做自主招生，所以可以根据自身的奖项 状况报考对应的自主招生大学。除了低层次的大学以外北大博雅、 清华领军也为省二省三校内成绩不错的学生提供了机会。上交、复旦、同济、浙大、国科大等好大学也提供了一些特殊的综合评价机会。
2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温
3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图
全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42)
近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。
关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1名校自主招生竞争激烈 北大清华初审淘汰率十之七八
名校自主招生竞争激烈北大清华初审淘汰率十之七八 高考结束，有的考生更忙。端午假期，北京大学、清华大学、中国人民大学自主招生初试相继举行，来自全国的上万考生参加测试，竞争三所名校的录取优惠。名校自主招生竞争激烈，北大自招初审淘汰率超过80%，清华自招初审淘汰率超过75%。 北大博雅计划笔试6小时 昨天，北大普通自主招生、“博雅人才培养计划”和“筑梦计划”测试同时举行。北大自主招生初审严格，200多位专家对全国2.4万名申请者进行三轮以上审核，最终只有4000人获得考试资格。“博雅计划”有1.2万余名考生报名，只有2600余人通过初审。 昨天，“博雅计划”笔试长达6小时，从13时到19时，考生需要连考五门。“博雅计划”面试中，学科类考题兼具难度和深度，比如“举出自己最喜欢的三个英文翻译成中文的词，例如可口可乐等，并说明理由”；“谈谈吴佩孚、段祺瑞等人为何被称为‘北洋军阀’”；“如何看待经济发展与文化之间的关系”…… 北大还尝试为一些“偏才”“怪才”量身定制测试方案。例如科创类考生将体验一次“入学答辩”。北大多领域专家将围绕考生的作品或成果进行多角度提问，考生现场答辩。北大招办相关负责人表示，不同学生的特长不一，才能也不尽相同。考试就应该依据这些特点，为学生创造展示自己的舞台。 清华自招考笔顺 前天上午，清华普通自主招生、“领军人才”选拔及“自强计划”测试举行。今年，全国共有2.6万名考生报名清华自招，经过初审，6000余名考生获得考试资格，在全国29个省份的36个考点应考。6月16日至17日，通过初试的考生还要到清华参加复试，面临综合面试、学科/专业特色选拔和体质测试等考验。 “这题比高考难，但比竞赛题容易。”清华自主招生考场外，一位考生说。清华自主招生考试科目为数学与逻辑、物理探究、阅读与表达，考生根据报考专业选择其中两门参加测试。不少考生就没想到阅读与表达中会考到笔顺。阅读与表达有30道题，内容比较宽泛，考查字音、字形、词语、句子衔接等，还考查“火”“及”等字的笔顺。考题还涉及《红楼梦》文本解读，考生需要对贾政、
2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P
2018自主招生最全攻略 作为2018届、2019届的考生和家长，不知道此时的你有没有那么一点高考的紧迫感？每年都会在距离高考仅有两三个月的时候，很多家长会问：“我们家孩子没有竞赛奖能参加自招吗？”“我们现在准备XX证书还来得及吗？”这时候，老师们往往是又心疼又无奈，忍不住要问一下，裸分进名校那么难，自主招生这么好的一条路，为什么就不能早点把握呢？ 为了不让新一届的家长和考生因为不懂、不知道等原因错过自招，万朋教育小编整理了这篇文章，为你系统梳理自主招生这件事儿，什么是自主招生？为什么要参加？如何参加？各阶段都有哪些事情要准备？相信看完之后会让你心里有数，高考一定提前规划，切莫临时抱佛脚！ 一、什么是自主招生？ 自主招生又称自主选拔，是各大学在高考后独立组织考试，给与在考试中表现优秀的学生降分录取等优惠，近几年全国共有90所985、211名校有自招资格。2003年，中国教育部开始推行自主招生。学生通过高校自主招生笔试和面试之后，可以得到相应的高考降分政策，一般通过考试后招生学校会与其签订招生考试合同，签订合同后，一般可享受降低十分至几十分录取的优惠政策，最多能降至一本线录取（即分数达到当地高考一本线即可进入该大学）。另外还有专业选择方面的优惠，具体合同要与学校谈。 二、自主招生有什么用？ 自主招生是学生高考的“保险”，是学生高考之外想进入名校的又一路径。当学生的高考分数没有达到统招的分数线时，可以使用自主招生的优惠政策，“计划外招生”进入大学。 例如，2016年北大的分数线在695左右，如果某学生高考失利考了670分，正常情况下，他的成绩原本是上不了北大的。但如果他参加了自主招生，并且因为自主招生考试中表现优秀，获得了30分的加分（降分录取），加分后为700分，高于北大的统招分数线，就可顺利进入北京大学了。
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分)
１1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:
【知涯】高考QQ群资料 2019年自主招生政策解读30问 一、自主招生政策部分 01自主招生是什么？ 2018年全国共有90所985、211名校有自招，在高考后独立组织考试，给与在考试中表现优秀的学生降分录取等优惠。最多能降至一本线录取(即分数达到当地高考一本线即可进入该大学)。 02自主招生的作用是什么？ 自主招生是学生高考的“保险”：当学生的高考分数没有达到统招的分数线时，可以使用自主招生的优惠政策，“计划外招生”进入大学。 例如2017年北大的分数线在664左右，某学生高考失利考了640分，同时在自主招生考试中表现优秀，获得30分加分(降分录取)，加分后为670分，高于北大的统招分数线，即可顺利进入北京大学。 同时，自招也代表着竞争更好的选择——你能去更好的学校，选更好的专业。 让一本变211， 211升985, 985进顶尖院校！
03那么没有任何奖项就不能参加自主招生吗？ 没有任何奖项也可以参加自主招生。纵观2018年高校自主招生条件虽然都需要各种奖项，但是也有少部分高校招收单科成绩或者是综合优秀类的考生。其中不乏哈工大、西安交大、华科、华南理工等知名高校。 04怎样参加自主招生？ 自主招生为大学公开发布信息，学生自愿报名参加，全程公开的招生形式。 几个重要时间节点如下： 高考出分前确定入选名单6月中旬高校考核6月7、8日统一高考4月底公示初审通过名单; 3月份考生提交申请材料; 2月底高校发布招生简章温馨提示：按照2018年的时间安排，高校简章在3月上旬才公布，大部分集中在3月中旬公布; 预测2019年可能是3月初公布。 05可以拿到多个学校的自招加分吗？ 可以。在投递材料、获得初审资格、参加考试等环节中，一个学生都可以同时获得多个大学的自招机会。即一个学生可以同时向多所大学提出申请、同时获得多个大学的初审通过资格、参加多个大学的考试，因而一个学生可能获得多个大学的自招加分。但是部分高校也会明确表示不能同时填报多所高校。但在最后填报志愿时，只能使用其中一所大学的加分。
各自主招生高校对各项学科竞赛奖项的要求大汇总!签约路径又有几种方式? 2017-11-0 不少人以为只有拿到竞赛“省一”等奖才管用。实际上只要是官方中国数学会、中国物理学会、中国化学会、中国动植物学会、中国计算机学会举办或主管的赛事，无论获奖级别高低甚至是市级奖项都是有用的。 一、竞赛国集保送路径（1条路） 根据教育部的要求，只有在五项学科竞赛中获得金牌并且入选国家集训队的队员，才有免高考的保送资格。绝大多数国集都选择保送了北大清华，且专业任选；但是学科竞赛网提醒大家要想进入五项学科竞赛国家集训队，非常非常难，全国仅有250个集训队名额，对一般人可望而不可及。 二、竞赛营签约路径（6条路） 1、全国决赛营签约之路（进入决赛的省队选手） 五大学科竞赛全国决赛指的是经过预选赛、复赛（联赛、国初）、省队考试三个选拔流程之后的赛事，每个科目全国都仅有300多绝顶高手参加。清华北大复旦上交等高校会派出专人签约一些在决赛中表现优异的考生，清北一般会抢签决赛前120名的考生，剩下的选手一般也会被复旦上交浙大等高校瓜分。 2、清北六月体验营签约之路
清华北大一般在6月份会举办面向信息省一（省队）、生物省一（省队）的体验营。 3、清北暑期竞赛营签约之路（具备省一实力的高二学生） 对于数学物理两个学科的竞赛具备省一实力的选手（高二升高三的暑假）而言，北大清华在暑假会组织数学暑期竞赛营和物理竞赛竞赛营。北大的暑期数学营叫数学科学夏令营，清华大学叫丘成桐中学生数学夏令营；北大的物理暑期竞赛营叫物理科学营，清华叫全国优秀中学生物理学夏令营。 4、清北金秋竞赛营签约之路（已经获得省一或省队的高中生） 对于数理化三个学科竞赛已经获得省一等奖的学生而言，每年的10月份北大清华都会针对这批学生组织一个金秋竞赛营。北大叫金 秋营，清华叫体验营。 5、北大冬令营竞赛签约之路 北大在寒假左右时间会组织一个生命科学冬令营、化学寒假课堂。生命科学冬令营面向多科省一或者生物省队的选手。化学寒假课堂主要面向省一省二的高一高二学生。 6、清北“飞签”之路（顶级高中的优秀竞赛生） ”飞签“不经过高校组织的各类营，而由清北招生组老师空降至高中直接安排笔试面试，合适的直接签降分约。 三、竞赛国奖之自主招生路径（4条路） 1、北京大学（至少国决铜牌） 2、清华大学（至少国决铜牌）
2010年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβP ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六 一、选择题(36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 y x O O x y O x y y x O A. B. C. D. 3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于 (A) 163 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4．若x ∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x +2 3 )－tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大 值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3
5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9 9－y 2 的最小值 是 (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5 6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角 为3 ，则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3 3 二．填空题(每小题9分，共54分) 7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ． 8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1， 则△PF 1F 2的面积等于 ． 9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A B ，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=3 2，log c d=5 4 ，若a －c=9，则b － d= ． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a –1)+lg(b –1) 嘚值( ) （A ）等于lg2 （B ）等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b 无关嘚常数 2.若非空集合A={x|2a+1≤x ≤3a – 5},B={x|3≤x ≤22},则能使A ?A ∩B 成立嘚所有a 嘚集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9} (B) {a | 6≤a ≤9} (C) {a | a ≤9} (D) ? 3.各项均为实数嘚等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( ) (A) 150 (B) - 200 (C) 150或 - 200 (D) - 50或400 4.设命题P ：关于x 嘚不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2 + b 2x + c 2 > 0嘚解集相同； 命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1 c 2． 则命题Q( ) (A) 是命题P 嘚充分必要条件 (B) 是命题P 嘚充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P 嘚必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P 嘚充分条件也不是命题P 嘚必要条件 5.设E, F, G 分别是正四面体ABCD 嘚棱AB,BC,CD 嘚中点,则二面角C —FG —E 嘚大小是( ) (A) arcsin 63 (B) π2+arccos 33 (C) π2－arctan 2 (D) π－arccot 2 2 6.在正方体嘚8个顶点, 12条棱嘚中点, 6个面嘚中心及正方体嘚中心共27个点中, 共线嘚三点组嘚个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果. 1．若f (x) (x ∈R)是以2为周期嘚偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f(x)=x 1 1000 ，则f(9819)，f(10117)，f(10415)由小到大排列是 ． 2．设复数z=cos θ+isin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i)z ，2－z 在复平面上对应嘚三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R 不共线时,以线段PQ, PR 为两边嘚平行四边形嘚第四个顶点为S, 点S 到原点距离嘚最大值是___________. 3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10嘚偶数, 不同嘚取法有________种. 4．各项为实数嘚等差数列嘚公差为4, 其首项嘚平方与其余各项之和不超过100, 这样嘚数列至多有_______项. 5．若椭圆x 2+4(y －a)2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 嘚取值范围是 ． 6．?ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o , AC = 2, M 是AB 嘚中点. 将?ACM 沿CM 折起,使A,B 两点间嘚距离为 22 ，此时三棱锥A-BCM 嘚体积等于__________. 三、（本题满分20分） 已知复数z=1－sin θ+icos θ(π 2<θ<π)，求z 嘚共轭复数－z 嘚辐角主值．