金属自由电子气理论
特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量
自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率
特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设1
1.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。
2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。）
特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设2
3.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律
欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ?==-??=??-??
=+??=????==???=-??
2.经典模型的另一困难：传导电子的热容
根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故
333
(),222
A B e U U N k T RT C R T ?====?
33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）
但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。
4.2 Sommerfeld 的自由电子论
1925年：泡利不相容原理 1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论
抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
量子力学的索末菲模型
1、独立电子近似：所有离子实提供正电背景，忽略电子与电子之间的相互作用。
2、自由电子近似：电子与原子实之间的相互作用也被忽略。
3、采用费米统计以代替玻尔兹曼统计。
传导电子的索末菲模型
一、自由电子模型
电子在一有限深度的方势阱中运动，电子间，电子与原子实之间的相互作用忽略不计
电子按能量的分布遵从Fermi —Dirac 统计 电子的填充满足Pauli 不相容原理 电子在运动中存在一定的散射机制
V=0，薛定谔方程（不考虑自旋）为：【为什么不考虑势阱影响？】
2
2()()2r E r m
ψψ-
?=
作行波试探解：()ik r
k r ψ?=
对应的能量本征值：2
2
()2k E k m
=
K 与未知无关的矢量。已作归一化处理：2
1|()|V
r dr ψ=?
引入周期性边界条件：【为什么用周期性边界条件？】
(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)x L y z x y z x y L z x y z x y z L x y z ψψψψψψ+=??+=??+=?1
23222x y
z
k n L k n L k n L πππ?
=??
?
?=??
?
=??
可见，状态是分立的，（不考虑自旋），在k 空间中每一分立的点代表一个状态。每个状态在k 空间所占体积为3(2/)L π。
波矢空间
以波矢k 的三个分量x k 、y k 、z k 为坐标轴的空间称为波矢空间或
k 空间。
金属中自由电子波矢：12x k n L π=
，22y k n L π=，32z k n L
π= （1）在波矢空间每个（波矢）状态代表点占有的体积为：3
2L π??
???
（2）波矢空间状态密度（单位体积中的状态代表点数）：3
2L π??
???
（3）~k k dk +体积单元dk 中的（波矢）状态数为：3
3
02L dZ d k π??= ??? （4）~k k dk +体积单元dk 中的（波矢）状态数为：3022L dZ π??= ???
K 空间状态数
对半径为k ，各向同性的波矢分布，被电子占据的状态数为：
3
3324386V Vk k πππ
?= 再考虑自旋：3/2
3222233Vk V mE N ππ??
== ???
对于~k k dk +球壳内电子占据的态数为：2
2
32248V Vk k dk dk πππ
??=
费米球和费米面
费米面：在绝对零度下，k 空间中被电子占据与未被占据的分界
面。以n~2210个/3cm ，代入得0
~5F E eV
基态，T=0K
用泡利不相容原理来处理多体问题 定义费米波矢：3
23F
V N k π
=
，21/321/3(3/)(3)F k N V n ππ== 定义费米能：2
220
22/3(3)22F
F
k E n m m
π=
=
能态密度：E~E+dE 之间单位能量间隔中的能态数 定义能态密度：单位能量的状态数()/N E dN dE = 对于能量低于E 的状态数有：
3/2
2223V mE N π??= ???
态密度：3/2
1/22223()22dN V m N
N E E dE E
π??==??=
?
??
电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大
粒子的平均能量
000
1
1
3()2F
F
E E N
E E N E dE E dE N N
E
=
?=
?
?
?
03/23/20
22
1
323()3235
F
E F V m E dE E eV N
π=
=≈?
如果把电子比作费米子的理想气体分子，则在绝对零度，电子基态的平均能量相当于T~23077K ，对应于平均速度为
263||110/~1/300B k T
v v m s ∴==
≈?光速 定义费米速度1226
F F e k v c m =
≈ 若采用Drude 模型所算出的14210τ-=?s ，电子平均自由程：
200F l v A τ=≈，月100个原子间距。
量子统计：Bose —Einstein 统计和Fermi —Dirac 统计 经典统计—Boltzmann 统计：()~exp B E f E k T ??- ???
量子统计：
Bose —Einstein 统计：
()/1()1
B E k T
f E e
μ-=
-，其中μ是化学势，对光子、声子μ=0
Fermi —Dirac 统计：
()/1()1
B E k T
f E e
μ-=
+，T=0的化学势μ=费米能0
F E =5eV
T=0时，费米能2
202F F
k E m
=
，费米半径F k =，费米动量F F F P k mv ==
在E~E+dE 中的电子数为：()()dN f E N E dE =
系统的自由电子总数为：000
()()()F
E T N f E N E dE N E dE ∞
==??
?→?? 3/23/21/203/2
2223
2(2)()()23F
E F V m V m N E dE E ππ
==?
()
2/3
2
2
2/3
22
3322F N E n m V m
ππ??==
?
??
n ——自由电子浓度
定义Fermi 温度：0
F
F B
E T k =
物理意义：设想将0
F E 转换成热振动能，相当于多高温度下的振
动能。
金属：F T :4510~10
金属自由电子气理论 特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量 自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率 特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设1 1.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。 2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。） 特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设2 3.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。 4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。 特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律 欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ?==-??=??-?? =+??=????==???=-?? 2.经典模型的另一困难：传导电子的热容 根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故 333 (),222 A B e U U N k T RT C R T ?====? 33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.） 但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。 4.2 Sommerfeld 的自由电子论 1925年：泡利不相容原理 1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论 抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。 量子力学的索末菲模型 1、独立电子近似：所有离子实提供正电背景，忽略电子与电子之间的相互作用。 2、自由电子近似：电子与原子实之间的相互作用也被忽略。 3、采用费米统计以代替玻尔兹曼统计。 传导电子的索末菲模型
第四章金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？ 解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？ 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？ 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？ 解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，
所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。 6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?= k 2 …………………………（2） 又由于 m k E 22 2 = 所以 m k dk dE 2 = …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为： E m L E 22)( πρ= …………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电
金属中的电子气的理论 金属中的自由电子并非真正自由，而是要受到金属离子的周期势场的作用，因此一些自由电子理论并不能解释金属的全部性质。由F.布洛赫和 .布里渊确立的单电子能带论解释了金属导电性与绝缘体和半导体的差别（见能带理论，半导体），并能定量计算金属的结合能，在考虑了金属离子的热运动的影响后，在描述金属的导电和导热等输运过程方面均取得了很大成功。金属中自由电子之间有很强的相互作用，在低温下考虑了电子通过晶格推动相互耦合就能很好地解释单电子理论无法解释的超导电性。近年来，研究合金中电子运动规律的合金电子理论也是金属电子论中的重要内容。 一、托马斯-费米近似方法 在相互作用强度很大的情况下，相互作用能在系统能量中占主导地位，相比之下，处于基态的系统的粒子由于受到非常强的相互排斥作用，其运动范围受到了限制，因此，动能就会远小于相互作用能。这时候，哈密顿量中的动能就可以忽略掉，被称为托马斯-费米(Thomas-Fermi)近似。一维定态GP 方程变为 则玻色子的密度分布为
同时玻色子密度分布的边界满足，在外势为简谐势的情况 我们得到凝聚体的半径为 则系统的粒子数为 将上式变换一下，得到化学势μ 满足 其中单粒子基态的特征半径为 边界R满足 化学势u和边界R都是随着粒子个数N和相互作用强度U1的增加而增加的。
在处理多电子原子问题中,、通常采用Hartree-Fook近似方法比较好,但是计算比较繁复,工作量大,在电子计算机使用以后,可以帮助人们进行大量的计算,减轻人们的负担,但用电子计算机计算有一个缺点,就是计算机只能进行数值计算,而不能解出一般形式,我们希望能找出一个普遍形式,这样对各种具体问题都能适用。 费米模型认为将金属中电子看作限制在边长为a的立方体盒子中运动.盒子内部势能为0.盒外势能为无限大,这样通过解定态薛定谔方程,可得出金属中电子的许多性质,如电子能级,电子的最高能量,电子的平均能量,电子气的压强,电子气的能级密度和磁化率,而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处,可以推出原子核的质量公式,跟实验结果比较符合得很好。 对于多电子原子应用如下的近似方法,即托马斯——费米方法,这是一个统计方法.它不是直接解薛定愕方程,可得出一些有用结论,其基本思想是在重原子中把正电荷看作连续分布(背景),电子在背景中运动n,这样处理中性原子运动比较成功。 二、哈特利-福克近似方法 通过绝热近似，把电子运动与离子实的运动分开，但系统的薛定谔方程仍然是一个多体方程。由于电子间存在的库伦相互作用，严格求解这种多电子问题是不可能的。通过哈特利-福克（Hartree-Fock）近似,可以将多电子的薛定谔方程简化为单电子有效势方程。 哈特利波函数将多电子波函数表述为每个独立电子波函数的连
1）经典定理固体原子作独立的简谐振动+能量均分定理仅在室温和高温范围内符合实验 2）爱因斯坦理论固体原子的振动模满足谐振子解+所有固体原子作同频共振+原子在振动模上服从玻尔兹曼分布在低温上定性符合3）德拜理论（非金属固体）固体原子的振动模式按频率的分布服从驻波条件+固体原子的振动模式的能量满足谐振子解+每一个振动模式只与一个原子的振动相对应+原子在振动模式上服从玻尔兹曼分布在低温时定性符合4）索末菲理（金属固体）对于金属固体：离子振动贡献+自由电子气体贡献。对自由电子气体：电子具有波粒二象性+电子的量子态满足驻波条件+自由电子在量子态上的填充满足费米分布。对离子振动：服从德拜理论，在低温处①金属中的自由电子形成强简并的费米气体，或者说自由电子气体以强简并形式占据量子态。 ②德布罗意假设——电子具有波粒二象性 ③电子自旋为1/2，且电子间为库仑相互作用。金属中的自由电子服从费米分布 ④在体积V 内，能量在的范围内，电子的实际量子态为⑤0K 时费米温度和电子简并压。当T=0K 时，化学势设为，则由费米分布有平均粒子数（体现了占据最低能量态和泡利不相容原理） 一般情况下，，即电子气体的分布与0K 时相差不大，与十分接近。由的分布可知，只有能量在附近，量级为的范围内的电子对热容量有贡献。这部分粒子数为、对能量和热容的贡献为固体的热容量问题 金属中的自由电子气体由自由电子在量子态上的费米分布，总电子数为 费米能级 费米动量费米温度（根据单个粒子的等效热温度概念） 0K 时的自由电子气体的内能 0K 时的自由电子气体的压强 T>0K 时自由电子气体性质自由电子气体的热容量的定量计算 低温下金属固体的实际定容热容量贡献的来源：金属中的离子振动——德拜理论+金属中的自由电子气体——索末菲理论。低温下金属的总定容热容量为自由电子气体
第四章 金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？ 解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？ 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？ 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？ 解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。 6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?=k 2 ………………………… （2） 又由于 m k E 22 2η= 所以 m k dk dE 2η= …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该 一维金属晶体中自由电子的状态密度为： E m L E 22)(ηπρ= (4) （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：
金属自由电子理论文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
第四章金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关 解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差 解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ (1) 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?= k 2 (2) 又由于 m k E 22 2 = 所以 m k dk dE 2 = …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为： E m L E 22)( πρ= (4) （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：
上讲回顾 ?固体的微观定义 *固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动 ?贯穿课程的主线→ *周期性→波在周期性结构中的运动 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型1
本讲内容：建模→推演→比较→修正?如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、 前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属 宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良 好导电和导热现象 *对已知现象，用已有知识，抓住要点 *困难之处施展腾挪手段 #一时搞不清楚的相互作用，用近似和假定绕过去?自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似*用该模型研究金属的电导、热导→ #成功地解释Wiedemann-Franz定律 *对比实验，分析该模型的局限，提出模型改进之道10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型2
第2讲、金属电子气的Drude模型 1.已知的金属性质 2.模型的建立——基本假定及其合理性分析 3.金属电导率 4.金属热传导 5.Wiedemann-Franz定律 6.Hall效应和磁阻 7.Drude模型的局限 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型3
1、已知的金属性质 模型建立的依据 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型4
为什么研究固体从金属开始？ ?金属最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3是金属元素，应用很广泛，当时对金属的了解 比其他固体多 *比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就 被广泛应用 *区分非金属，实际上也是从理解金属开始 ?当时已经知道很多其他固体所没有的金属性质*这些性质很多已经有应用，亟需知道其之所以有这 些性质的原因 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型5
金属导体中自由电子的定向移电速率 设铜导线单位体积内的自由电子数为n，电子定向移动为v，每个电子带电量为e，导线横截面积为S．则时间t内通过导线横截面的自由电子数，其总 电量。根据得，代入数字可得 v =7.4×10－5米/秒，即0.74毫米/秒．从以上数据可知，自由电子在导体中定向移动速率（约10－4米/秒）只约为自由电子热运动的平均速率（约105米／秒）的1/109．这说明电流是导体中所有自由电子以很小的速度运动所形成的．这是为什么呢？金属导体中自由电子定向移动速度虽然很小，但是它的"传导速度"是很大的，好像一队学生从前校门列队到后操场，没有行进命令时，都是站着不动的（相当于导线中无电流），一声令下，虽然后操场最后的那位同学可能要走很久才能到达前校门，但只要整个队列一动，马上就有学生出了前校门！（相当于整个导线中各处都有了电流）。这里前校门开始有学生走出的反应速度决定于口令声波的传播速度，同样，导线中即使很远的地方开始有电流的反应速度，只决定于"口令"电磁场在导线中的传播速度（等于光速）。
自由电子在交流电路中的运动速率 当金属中有电场时，每个自由电子都将受到电场力的作用，使电子沿着与场强相反的方向相对于晶格做加速的定向运动．这个加速定向运动是叠加在自由电子杂乱的热运动之上的．对某个电子来说，叠加运动的方向是很难确定的．但对大量自由电子来说，叠加运动的定向平均速度方向是沿着电场的反方向．电场大小变化或电场方向改变，其平均速度大小和方向都变化．对50赫的交流电而言，可推导出自 由电子的定向速，τ为自由电子晶格碰撞时间，其数量级为10－14秒．所受到的合力 ，即电子所受的力满足．这 说明自由电子在交流电路中是做简谐运动．其电子定向运动的最大速率为：，振幅约为10－6米．
金属自由电子理论 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
第四章金属自由电子理论 1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关 解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。 3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么 解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关 解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。 5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差
解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。 6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。 解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE dk dk dZ dE dZ E ? == )(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为： dk L dk dZ π =?= k 2 (2) 又由于 m k E 22 2 = 所以 m k dk dE 2 = (3) 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：
一,金属自由电子气体模型 1.1 经典电子论 特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量 自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率 特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设1 1.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。 2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。） 特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设2 3.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。 4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。 特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律 欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。 202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ?==-??=??-??=+??=????==???=-?? 1.2.经典模型的另一困难：传导电子的热容 根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故 333 (),222A B e U U N k T RT C R T ?====? 33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.） 但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。 1.3 Sommerfeld 的自由电子论
范佳华20111101113 物理一班 金属自由电子气体模型 1：金属自由电子气体模型和理想气体的联系 什么是理想气体：严格遵从气态方程(PV=(m/M)RT=nRT)的气体，叫做理想气体(Ideal gas)。从微观角度来看是指：分子本身的体积和分子间的作用力都可以忽略不计的气体，称为是理想气体。理想气体具有的性质： 1、分子体积与气体体积相比可以忽略不计； 2、分子之间没有相互吸引力； 3、分子之间及分子与器壁之间发生的碰撞不造成动能损失。 4、在容器中，在未碰撞时考虑为作匀速运动，气体分子碰撞时发生速度交换，无动能损失。 5、解热学题的时候，简单的认为是分子势能为零，分子动能不为零。 6、理想气体的内能是分子动能之和。 把理想气体的性质运用于金属中，金属中的大量传导电子近视的类似于经典理想气体，可以把它们归纳
为四个基本假设： 1：独立电子近似——忽视电子与电子之间的相互作用2:自由电子近似——近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间做自由运动，故金属中的传到电子又称为自由电子。 3：弛豫时间近似——不论碰撞前后如何近似认为与离子实碰撞后电子速度的统计分布将恢复到平衡状态。4:经典近似——在与离子实的相继两次碰撞之间的电子的运动遵循牛顿运动定律，碰撞前后电子遵循boltzmann统计分布。 在我看来，这个时候金属自由电子气体模型有点理想化，对于理想气体我们知道这时气体的温度体积和压强都不会发生改变，也就是说处于一个非常稳定的状态，在金属中，我们可以考虑它的一些性质，金属在我们生活中最重要的性质我们知道是导电性，导热性，延展性，熔点高，这与金属的内部结构有关，这时把理想气体的性质运用到金属中，我们就能够假设金属内部的电子和电子~电子和离子实之间碰撞基本上队金属本身是没有什么影响的，而且彼此之间的碰撞可能还有一定的规律可循，可以运用一些宏观上的