第二章 函数 三 指数函数与对数函数
【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．
【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】
（一）选择题（共15题）
1.（安徽卷文7）设
232555
322555a b c ===（）,（），（）
，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a
【答案】A
【解析】2
5
y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x
y =在0x >时是减函数，所以c b >。
【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.
2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a
x
(ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系
中的图像可能是
【答案】D
【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 a <0,矛盾，对于C 、D 两图，0<| b a |<1,在C 图中两根之和-b a <-1，即b a >1矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a B.b C. c 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2= 21 log e ,而22log 3log 1e >>,所以a c=1 2 5- =, 而222log 4log 3 >=>,所以c 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 5.（全国Ⅰ卷理10）已知函数F(x)=|lgx|,若0 (A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞(D)[3,)+∞ 【答案】A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小 题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+2b 2 a a =+ >,从而错选A,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或 1b a = ，所以a+2b=2 a a + 又0 2 ()f a a a =+ ,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1) 上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+2 1=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 6.（全国Ⅰ卷文7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小 题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a + ≥,从而错选D,这也是命 题者的用苦良心之处. 7.（山东卷文3）函数()() 2log 31x f x =+的值域为 A. ()0,+∞ B. )0,+∞?? C. ()1,+∞ D. )1,+∞? ? 【答案】A 【解析】因为311x +>，所以 ()()22log 31log 10 x f x =+>=，故选A 。 【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等基础知识。 8.（陕西卷文7）下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 [ ] （A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数 【答案】C 【解析】因为x y x y a a a +=所以f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）。 9.（上海卷理17）若0x 是方程1 3 1()2x x =的解，则0x 属于区间 【答】（ ） (A)(23,1) (B)(12,23) (C)(13,12) (D)(0,13) 解析：结合图形3 121 3 1312121,3121??? ?? ?? ??>?? ? ?? ，∴0x 属于区间(13,12) 10.（上海卷文17）若 x 是方程式lg 2x x +=的解，则 x 属于区间 [答]（） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75）（D ）（1.75，2） 解析：0 41 47lg )47()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数 11.（四川卷理3） 552log 10log 0.25+= （A ）0 （B ）1 （C ） 2 （D ）4 解析：2log510＋log50.25 ＝log5100＋log50.25 ＝log525 ＝2 答案：C 12.（四川卷文2）函数y=log2x 的图象大致是高^考#资*源^网 (A) (B) (C) (D) 解析：本题考查对数函数的图象和基本性质. 答案：C 13.（天津卷文6）设 5 54 a log4 b log c log === 2 5 ，（3），，则 (A)a 【答案】D 【解析】因为55 a log4log5=1, =<22 55 (log3)(log5)=1, b=<5 44 c log log41 =>= ， 所以c最大，排除A、B；又因为a、b (0,1) ∈，所以a b >，故选D。 【命题意图】本题考查对数函数的单调性，属基础题。 14.（浙江卷文2）已知函数1 ()log(1), f x x =+ 若 ()1, fα=α= (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析：α+1=2，故α=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题 15.（重庆卷文4）函数 y= （A） [0,+∞）(B) [0,4] (C) [0,4) (D) (0,4) 【答案】C 【解析】 [) 40,0164160,4 x x >∴≤-< . （二）填空题（共4题） 1. （福建卷理15）已知定义域为 (0) +∞ ，的函数() f x满足：（1）对任意(0) x∈+∞ ，，恒有 (2)2() f x f x =成立；（2）当(12] x∈，时()2 f x x =-。给出结论如下： ①对任意m Z ∈，有(2)0 m f=；②函数() f x的值域为[0) +∞ ，；③存在n Z ∈，使得(21)9 n f+=；④“函数() f x在区间() a b ，上单调递减”的充要条件是“存在k Z ∈，使得 1 ()(22) k k a b+ ? ，，”。 其中所有正确结论的序号是。 【答案】①②④ 【解析】○1 )2( 2 ) 2( 2 ) 2 2( ) 2(1 1 1= = = = ? =- - -f f f f m m m m ，正确；○2取 ] 2, 2(1+ ∈m m x， 则]2,1(2∈m x ；m m x x f 22)2 (-=，从而 x x f x f x f m m m -====+12)2(2)2(2)( ，其中， ,2,1,0=m ，从而),0[)(+∞∈x f ， 正确；○3122)12(1--=++n m n f ，假设存在n 使 9)12(=+n f ，即存在..,,21t s x x 102221=-x x ，又，x 2变化如下：2,4,8,16,32，……，显然不存在，所以该命题错误；○4 根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是○1○2○4. 【命题意图】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大。 2.（上海卷理8）对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3) a x +的反函数的图像都经过 点P ，则点P 的坐标是 解析：f(x)= log (3) a x +的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2） 3.（上海卷文9）函数 3()log (3) f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是。 解析：考查反函数相关概念、性质 法一：函数3()log (3) f x x =+的反函数为 33-=x y ，另x=0，有y=-2 法二：函数 3()log (3) f x x =+图像与x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数 3()log (3) f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点为（0，-2） 4.（浙江卷文16）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500 万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值。 解析：20；依题意2 38605002[500(1%) 500(1%)]7000 x x +++++≥，化简得2(%)3% 0.64x x +≥ ，所以20x ≥。 【命题意图】本题主要考察了用一元二次不等式解决实际问题的能力，属中档题 2015-2017年全国卷数列真题 1、（2015全国1卷17题）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2 n n a a +=43n S +. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1 1 n n n b a a += ,求数列{n b }的前n 项和. 2、（2015全国2卷4题）已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= （ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 3、（2015全国2卷16题）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则 n S =________． 4、（2016全国1卷3题）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 5、（2016全国2卷15题）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 6、（2016全国2卷17题）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =， 其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 7、（2016全国3卷17题）已知数列{} n a 的前n 项和 1n n S a λ=+，其中0λ≠． （I ）证明 {} n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若 531 32S = ，求λ． 8、（2017年国1卷4题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（）A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 9、（2017年国1卷12题）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 指数函数与对数函数专项练习 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >， 2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D 东山中学指数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ B ） A ．3 x y -= B ．3-=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 2、下列命题中正确的是 （ D ） A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是 （ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 4、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为 （ ） A 、 4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 5、下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．3124 3)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 6、化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 7、已知732log [log (log )]0x =，那么12 x -等于 （ ） A 、 1 3 B C D 8、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于 （ ） 近三年高考名句默写整理 2019年 2019全国1 （1）《庄子·逍遥游》中的斥鴳无法理解大鹏，称自己腾跃起飞，“______，______”，也就是飞行的极致了。 （2）李白《蜀道难》中“______，______”两句，回顾了“五丁开山”的传说。（3）范仲淹《渔家傲（塞下秋来风景异）》中“______，______”两句，写戍边将士满怀思想的愁若，但末获胜利仍然不得还乡。 【答案】 (1)不过数仞而下，翱翔蓬蒿之间(2)地崩山摧壮士死，然后天梯石栈相钩连(3)浊酒一杯家万里，燕然未勒归无计 2019全国2 （1）《邹忌讽齐王纳谏》中“____________，____________”，表现了主人公的形象之美。 （2）杜牧《阿房宫赋》中“____________，____________”两句，写阿房宫占地极广且极为高大，以表现其雄壮之美。 （3）苏轼在《赤壁赋》中以“____________，____________”两句，写出了婉转悠长、延绵不尽的乐声之美。 【答案】 （1）邹忌修八尺有余而形貌昳丽 （2）覆压三百余里隔离天日 （3）余音袅袅不绝如缕 2019全国3 （1）《论语·子罕》中，孔子用“，”两句话阐明，一个普通人，也是有坚定志向的；要改变一个人的志向，是很困难的。 （2）《师说》中，对于为子择诗自己却耻于学习这种现象，韩愈最后的评价是：“，”。 （3）苏轼在《念奴娇（大江东去）》中，用“，”两句，表达了岁月虚度、只能借酒浇愁的无奈之感。 【答案】 （1）三军可夺帅也匹夫不可夺志也 （2）小学而大遗吾未见其明也 （3）人生如梦一尊还酹江月 2019江苏 （1）名余曰正则兮，__________________。（屈原《离骚》） （2）__________________，善假于物也。（荀子《劝学》） （3）艰难苦恨繁霜鬓，__________________。（杜甫《登高》） （4）树林阴翳，__________________，游人去而禽鸟乐也。（欧阳修《醉翁亭记》）（5）__________________，抱明月而长终。（苏轼《赤壁赋》） （6）浩荡离愁白日斜，__________________。（龚自珍《己亥杂诗》） （7）道之以德，__________________，有耻且格。（《论语·为政》） （8）盖文章，经国之大业，__________________。（曹丕《典论·论文》） 【答案】 （1）字余曰灵均（2）君子生非异也（3）潦倒新停浊酒杯（4）鸣声上下（5）挟飞仙以邀游（6）吟鞭东指即天涯（7）齐之以礼（8）不朽之盛事 2019天津 （1）卒相与欢，_________________。（司马迁《廉颇蔺相如列传》） （2）涉江采芙蓉，______________。（《古诗十九首·涉江采芙蓉》） （3）层峦耸翠，__________________。（王勃《滕王阁序》） （4）_______________________，枯松倒挂倚绝壁。（李白《蜀道难》） （5）__________________，画船听雨眠。（韦庄《著萨蛮》） （6）携来百侣曾游,__________________。（毛泽东《沁园春·长沙》） 【答案】 （1）为刎颈之交 （2）兰泽多芳草 （3）上出重霄 （4）连峰去天不盈尺 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 高一指数函数对数函数 测试题及答案精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 指数函数和对数函数测试题 一、选择题。 1、已知集合A={y|x y 2log =，x ＞1},B={y|y=( 21)x ,x ＞1},则A ∩B=（） A.{y|0＜y ＜21}B.{y|0＜y ＜1}C.{y|2 1＜y ＜1}D.φ 2、已知集合M=｛x|x ＜3｝N=｛x|1log 2＞x ｝则M ∩N 为（） φ.｛x|0＜x ＜3｝C.｛x|1＜x ＜3｝D.｛x|2＜x ＜3｝ 3、若函数f(x)=a (x-2)+3（a ＞0且a ≠1），则f(x)一定过点（） A.无法确定 B.(0，3) C.(1，3) D.(2，4) 4、若a=π2log ，b=67log ，c=8.02log ，则（） ＞b ＞＞a ＞＞a ＞＞c ＞a 5、若函数)(log b x a y +=(a ＞0且a ≠1)的图象过(-1，0)和(0，1)两点，则a ，b 分别为（） =2，b==2，b==2，b==2，b=2 6、函数y=f(x)的图象是函数f(x)=e x +2的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为（） (x)=(x)=-e x +(x)=(x)=-e -x +2 7、设函数f(x)=x a log (a ＞0且a ≠1)且f(9)=2，则f -1(2 9log )等于（） 2422229log 、若函数f(x)=a 2log log 32++x x b （a ，b ∈R ）,f(2009 1)=4，则f(2009)=（） 、下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（） =-x 2log (x ＞0)=x 2+x(x ∈R)=3x (x ∈R)=x 3(x ∈R) 10、若f(x)=(2a-1)x 是增函数，则a 的取值范围为（） ＜21B.2 1＜a ＜＞≥1 11、若f(x)=|x|(x ∈R)，则下列函数说法正确的是（） (x)为奇函数(x)奇偶性无法确定 (x)为非奇非偶(x)是偶函数 12、f(x)定义域D=｛x ∈z|0≤x ≤3｝，且f(x)=-2x 2+6x 的值域为（）A.[0，29]B.[29,+∞]C.[-∞，+2 9]D.[0，4] 每日一题全国卷专题（一） 1.[化学——选修5：有机化学基础]（15分） 化合物H是一种有机光电材料中间体。实验室由芳香化合物A制备H的一种合成路线如下： 回答下列问题： （1）A的化学名称为__________。 （2）由C生成D和E生成F的反应类型分别为__________、_________。 （3）E的结构简式为____________。 （4）G为甲苯的同分异构体，由F生成H的化学方程式为___________。 （5）芳香化合物X是F的同分异构体，X能与饱和碳酸氢钠溶液反应放出CO2，其核磁共振氢谱显示有4种不同化学环境的氢，峰面积比为6∶2∶1∶1，写出2种符合要求的X 的结构简式____________。 （6）写出用环戊烷和2-丁炔为原料制备化合物的合成路线________（其他试剂任选）。 每日一题全国卷专题（二） 2．[化学——选修5：有机化学基础]（15分） 化合物G是治疗高血压的药物“比索洛尔”的中间体，一种合成G的路线如下： 已知以下信息： ①A的核磁共振氢谱为单峰；B的核磁共振氢谱为三组峰，峰面积比为6∶1∶1。 ②D的苯环上仅有两种不同化学环境的氢；1molD可与1mol NaOH或2mol Na 反应。 回答下列问题： （1）A的结构简式为____________。 （2）B的化学名称为____________。 （3）C与D反应生成E的化学方程式为____________。 （4）由E生成F的反应类型为____________。 （5）G是分子式为____________。 （6）L是D的同分异构体，可与FeCl 3 溶液发生显色反应，1mol的L可与 2mol的Na 2CO 3 反应，L共有______种；其中核磁共振氢谱为四组峰， 峰面积比为3∶2∶2∶1的结构简式为___________、____________。 每日一题全国卷专题（三） 经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数. 思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域). 解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5， ∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式. 思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程. 解： ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253 x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2. 2015级建筑部3月份月考数学测试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分） 1、下列函数是幂函数的是（ ） A 3+=x y ； B 3 x y =； C x y 3=； D x y 2log = 2、数列-3,3,-3,3,…的一个通项公式是( ) A. n a =3(-1) n+1 B. n a =3(-1)n C. n a =3-(-1)n D. n a =3+(-1)n 3、对数1log 3的值正确的是( )． A. 0 B.1 C. 2 D. 以上都不对 4、将对数式24 1 log 2 -=化成指数式可表示为( ) A.224 1-= B.412 2 =- C.2412 =?? ? ??- D.2412 -=?? ? ?? 5、若指数函数的图像经过点?? ? ??21,1，则其解析式为（ ） A.x y 2= B.x y ??? ??=21 C. x y 4= D. x y ??? ??=41 6、下列运算中，正确的是（ ） A.5553443=? B.435÷5534= C.55 3 44 3=??? ? ? ? D.0554343=?- 7、已知3log 2log a a >，则a 的取值范围是（ ） A 1>a ； B 1a a 或 8、将对数式ln 2x =化为指数式为 ( ) A. 210x = B. x = 2 C. x = e D. x = e 2 9、4 32813?-的计算结果为（ ）。 A ．3 B.9 C.3 1 D.1 近三年全国卷高考真题第40题 40．（2013·课标版全国Ⅰ卷）（25分）阅读材料，完成下列要求。 材料一我国是最早利用海洋的国家之一，殷墟即发现了来自南海乃至阿曼湾的海贝。齐国借助“边海”的地理条件，发展“鱼盐之利”，成为春秋战国时最为富庶的国家。汉代“海上丝绸之路”雏形即已出现，魏晋而后，僧人“附商舶”西行“求法”，成为佛教东传的重要方式。宋元时代指南针等远洋航行工具的使用，使海外贸易达到鼎盛。明朝前期，在郑和下西洋的背景下，出现了一批重要的航海著作，如《瀛涯胜览》《星槎胜览》《西洋番国志》等，记录海行见闻，反映当时东南亚、印度以及阿拉伯、东非等地的风土人情、山川形胜。明后期，郑若曾针对倭寇等问题，在《筹海图编》中明确提出“海防”的主张：“欲航行于大洋，必先战胜于大洋。”而明、清政府常常采用“海禁”的办法。到鸦片战争前，“各省水师战船，均为捕盗缉奸而设”。——摘编自白寿彝总主编《中国通史》等材料二鸦片战争后，中国被卷入世界市场体系，通商口岸不断增加。魏源认为海运“优于河运者有四利：利国、利民、利官、利商”。1842~1846年，茶出口增长一倍，丝的出口增长将近五倍；1846~1856年，茶出口又增长55%，丝的出口增长三倍多。海关税收从1861年的490余万两增加到1902年的3000余万两。1866年，左宗棠创办福州船政局，附设福州船政学堂。1868年，江南制造总局制造的第一艘近代海轮“惠吉”号下水。1872年轮船招商局成立，“使我内江外海之利，不致为洋人占尽”。1885年，海军衙门设立。随着西方商品与资本输出的扩大，部分国人提出与列强进行“商战”。1904年，张謇上奏朝廷，请准各省成立海洋渔业公司，购置新式渔轮，发展海洋渔业。19世纪60年代后，清政府与英法等国签订条约，允许百姓出国，“毫无禁阻”，仅南洋地区，就有中国移民500万人。 ——摘编自许涤新、吴承明主编《中国资本主义发展史》等（1）根据材料一并结合所学知识，概括指出我国古代海洋利用的特点。（10分） （2）根据材料一、二并结合所学知识，分析指出晚清海洋利用的主要变化及启示。（15分） 40．（2013·课标版全国Ⅱ卷）（25分）阅读材料，完成下列要求。 材料一第一次世界大战前，有不少学者对爱因斯坦的学说持怀疑态度。1919年，英国科学家爱丁顿对日全食的观测结果证实了爱因斯坦的理论，引起巨大轰动，世界范围的爱因斯坦热接踵而至。荷兰、捷克斯洛伐克、奥地利、美国、英国、法国、日本等国先后邀请他前往讲学。在中国，梁启超发起成立的讲学社曾拟邀请爱因斯坦来华讲学。北京大学校长蔡元培亦发出邀请，并得到其本人应允。虽然爱因斯坦因故未能成行，但相对论却在中国广泛传播。从1917年到1923年，各种报刊登载相对论的论著、译文、通讯、报告和文献不下百篇，出版译著15种左右。 ——摘编自阿尔布雷希特·弗尔辛《爱因斯坦传》等材料二爱因斯坦热在中国方兴未艾之际，正是国内东方文化与西方文化问题论战正酣之时。以梁启超为代表的部分知识分子认为，东方文明与西方文明是两种不同类型的文明，前者以道德文明为核心， 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 指数函数和对数函数单元测试题 一选择题 1 如果，那么a、b间的关系是【】 A B C D 2 已知，则函数的图象必定不经过【】 A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 3 与函数y＝x有相同图象的一个函数是【】 A B，且 C D，且 4 已知函数的反函数为，则的解集是【】 A B C D 5已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是【】 A B C D 6 已知函数的值域是，则它的定义域是【】 A B C D 7已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是【】 A B C D 8 已知，则方程的实数根的个数是【】 A1 B 2 C 3D 4 9 函数的定义域为E，函数的定义域为F，则【】 A B C D 10有下列命题：（1）若，则函数的图象关于y轴对称；（2）若，则函数的图象关于原点对称；（3）函数与的图 象关于x轴对称；（4）函数与函数的图象关于直线对称。其中真命题是【】 A（1）（2） B（1）（2）（3）C（1）（3）（4） D （1）（2）（3）（4） 二填空题 11函数的反函数是______ 。12 的定义域是______ 。 13 函数的单调减区间是________。 14 函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________. 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。 4 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 参考答案 一选择题BADBC BCBDD 二填空题11121314或 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 定义域定义域 值域值域且 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 减区间，增区间减区间， 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。解（1），又，所以，所以定义域。 （2）在上单调增。 （3），，即 ，所以，所以解集 2 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 新课标卷近三年高考题 1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=o ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【解析】 ⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥ ∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥ ∵=DF EF F I ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=? ∵AB EF ∥ AB ?平面EFDC EF ?平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ?平面ABCD ∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形 以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a = ()020EB a =u u u r ，，，322a BC a ?? =- ? ???u u u r ，，，()200AB a =-u u u r ，， 设面BEC 法向量为()m x y z =u r ，，. 00m EB m BC ??=? ??=??u r u u u r u r u u u r ，即1111203 202a y a x ay z ?=????-?=?? 设面ABC 法向量为()222n x y z =r ，， =00n BC n AB ?????=??r u u u r r u u u r .即2222 320220a x ay ax ?-=???=? 222034x y z ===， 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 《指数函数与对数函数》测试题 一、选择题： 1、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg5 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若2 2 log log a a M N =则M N =； ④若M N =则2 2 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2 {|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、2 3(1)a a -+ D 、2 31a a -- 9、若210 25x =，则10x -等于（ ） A 、15 B 、15- C 、150 D 、1625 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 指数函数与对数函数检测题 一、选择题： 1、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） ①若M N =则log log a a M N =；②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =；④若M N =则22 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、?B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ???，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值X 围是（ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++?等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 9、若21025x =，则10x -等于（ ） 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ，y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数： y x 且a 叫指数函数。 定义：函数 aa 0 1 定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时， y 4 x ，当 x 1 时，函数值不存在。 4 a 0 ， y 0x ，当 x 0 ，函数值不存在。 a 时， y 1 x x 虽有意义，函数值恒为 1，但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在， 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x ， y 1 ，y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （ 1）图象都位于 x 轴上方； （ 1） x 取任何实数值时，都有 a x 0 ； 2 0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0 时， y 1 ； （ ）图象都经过点（ ， （ 3） y 2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐 （ 3）当 a x 0，则 a x 1 1 时， 0，则 a x 1 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， x 1 y 2 x x 0，则 a x 1 当 0 的图象正好相反； a 1时， 0，则 a x 1 x （ 4） y 2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐 （ 4）当 a 1 时， y a x 是增函数， 近三年高考完型填空和语法填空 先自己做，我已经把难点解释出来了，再看答案和总结 学习的方法因人而异 贵在坚持 不懂一定要问清楚 建议：每天背单词，先把语法书的练习做了，做过的题一定要想明白，每天做一篇完型填空或者语法填空，每周末把做过的题拿出来复习，把背过的单词再记忆一篇。 管理好时间，你在玩的时候，人家在努力，这就是差距。 还有两年。。。。有付出一定会有收获 2014 Parents feel that it is difficult to live with teenagers (it is +adj. + to do sth.做什么很。。。). Then again, teenagers have 1 feelings about their parents, saying that it is not easy living with them.(it is +adj.+doing 也可以表示做什么很。。。) According to a recent research, the most common 2 between parents and teenagers is that regarding untidiness and daily routine tasks. On the one hand, parents go mad over 3 rooms, clothes thrown on the floor and their children’s refusal to help with the 4 . On the other hand, teenagers lose their patience continually when parents blame them for（for表示因为） 5 the towel in the bathroom, not cleaning up their room or refusing to do the shopping at the supermarket. The research, conducted by St. George University,（conducted 做非谓语，和research是被动，用过去分词，后面的show 是谓语，记得一个句子只有一个谓语，其他的动词都是非谓语）shows that different parents have different 6 to these problems. However, some approaches are more7 than others（more …..than ….比什么更加。。。。）. For example, those parents who yell at their children for their untidiness, but 8 clean the room for them, （定语从句，表示。。。。的父母）have fewer chances of changing their children’s 9 . On the近三年数列全国卷高考真题
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