《数学分析选论》习题解答
第 一 章 实 数 理 论
１.把§1、3例4改为关于下确界的相应命题,并加以证明.
证 设数集S 有下确界,且S S ?=ξinf ,试证:
（１）存在数列ξ=?∞
→n n n a S a lim ,}{使; （２）存在严格递减数列ξ=?∞
→n n n a S a lim ,}{使. 证明如下:
（１） 据假设,ξ>∈?a S a 有,;且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0.现依 次取,,2,1,1
==εn n n 相应地S a n ∈?,使得
,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n .
因)(0∞→→εn n ,由迫敛性易知ξ=∞
→n n a lim 、 （２） 为使上面得到的}{n a 就是严格递减的,只要从2=n 起,改取
,3,2,,1min 1=?
?????+ξ=ε-n a n n n , 就能保证
,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n . □ ２.证明§1、3例６的(ⅱ).
证 设B A ,为非空有界数集,B A S ?=,试证:
{}B A S inf ,inf m in inf =.
现证明如下.
由假设,B A S ?=显然也就是非空有界数集,因而它的下确界存在.故对任何B x A x S x ∈∈∈或有,,由此推知B x A x inf inf ≥≥或,从而又有
{}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥.
另一方面,对任何,A x ∈ 有S x ∈,于就是有
S A S x inf inf inf ≥?≥;
同理又有S B inf inf ≥.由此推得
{}B A S inf ,inf m in inf ≤.
综上,证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立. □
３.设B A ,为有界数集,且?≠?B A .证明:
(１){}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?;
(２){}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?.
并举出等号不成立的例子.
证 这里只证(２),类似地可证(１).
设B A inf ,inf =β=α.则应满足:
β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有.
于就是,B A z ?∈?,必有
{}βα≥??
??β≥α≥,max z z z , 这说明{}βα,max 就是B A ?的一个下界.由于B A ?亦为有界数集,故其下确界存在,且因下确界为其最大下界,从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立.
上式中等号不成立的例子确实就是存在的.例如:设
)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则,
这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而,故得
{}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?. □ ４.设B A ,为非空有界数集.定义数集
{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,,
证明:
(１)B A B A sup sup )sup(+=+;
(２)B A B A inf inf )(inf +=+.
证 这里只证(２),类似地可证(１).
由假设,B A inf ,inf =β=α都存在,现欲证β+α=+)(inf B A .依据下确界定义,分两步证明如下:
１）因为,,,,β≥α≥∈∈?y x B y A x 有所以B A z +∈?,必有
β+α≥+=y x z .
这说明B A +β+α是的一个下界.
２)B y A x ∈∈?>ε?00,,0,使得
2,2
00ε+β>ε+α>y x . 从而ε+β+α>+∈+=?)(,0000z B A y x z 使得,故B A +β+α是的最大下界.于就
是结论 B A B A inf inf )(inf +=+ 得证.
□
５.设B A ,为非空有界数集,且它们所含元素皆非负.定义数集 {}B b A a ab c AB ∈∈==,,
证明:
(１)B A AB sup sup )sup(?=;
(２)B A AB inf inf )(inf ?=.
证 这里只证(１),类似地可证(２).
??
????≤≤≤=≥≥∈∈?∈?,sup sup ,
sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ?就是AB 的一个上界.
另一方面,B b A a ∈∈?>ε?00,,0,满足
ε->ε->B b A a sup ,sup 00,
故)(000AB b a c ∈=?,使得
εε-+-?>])sup sup ([sup sup 0B A B A c .
由条件,不妨设0sup sup >+B A ,故当ε足够小时,εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为一