【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
x
y
2
h 1h b
g ρo
()
2h b >> h x
y
l
/2/2
h M
N
F S
F 1
q q
图2-17
图2-18
【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。
【解答】图2-17：
上（y =0）
左(x =0) 右（x =b ）
l
0 -1 1 m
-1
() x f s
()
1g y h ρ+
()
1g y h ρ-+
() y
f
s
1gh ρ
代入公式（2-15）得
①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：
()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;
===-+=x xy x x g y h σρτ
②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：
()
()
,0y
xy y y gh σρτ===-=
③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：
()()2
2
0,0
====y h
y h u v
这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：
10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：
()()()222
10000
0b y y h b
y y h b
xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18
①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）
l
m
x f (s)
y f (s)
2h y =-
0 -1 0 q
2
h y =
1
-1q
-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-
②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有
/20/2/2
0/2/20
/2()()()h xy x S
h h x x N h h x x h dx F
dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-????
③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。
首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：
110,x
N N
N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y
S S S S F
F F ql F ql F ''=++=?=--∑
2
211110,'02222
A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑
由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故
M '
N F 'S F '
/21/22/2
1/2/2/2
()()22()h x x l N N
h h x x l S h h xy x l S S
h dy F q l F
q lh ql ydy M M F l dy F ql F
σστ=-=-=-?'==-???'==
---??
?'==--?????
【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA 边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？
【解答】由于h
l ，OA 为小边界，故其上可用圣维
南原理，写出三个积分的应力边界条件：
(a)上端面OA 面上面力q b
x
f f y x ==,0
由于OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有
()()()0
00020000002
2120b
b b y y y b b b y y y b
yx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===?=-=-=-??
???
=-=-=
? ????
?=??
???????(对OA 中点取矩) (ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y 向为正，主矩为负，则
()()()0
0200002
120b
y N y b
y y b xy y qb dx F qb xdx M dx σστ===?=-=-??
?=-=??
?=??
??? 综上所述，在小边界OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。
【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：
x
y
h
o
b
()
,1h b δ>>=q
A
x
y
h
o /2b M
A
/2b N
F 2
N qb
F =
212
qb M =
()
a ()
b 图2-19
q
q
q
q
a b
a
b
y
x O
x
y
l
O
/2
h /2
h q
l h
?
图2-20 图2-21
（a ）图2-20，2
2x y q b
s =，0==y xy στ。
【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。
（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且0==x y f f
0??+=??yx x x y τσ 0??+=??y xy
y x
στ 显然满足 （2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有
等式左=()2222x y x y σσ????++ ?????
=220≠q
b =右
应力分量不满足相容方程。
因此，该组应力分量不是图示问题的解答。
（b ）图2-21，由材料力学公式，=x M y I σ，*=s xy F S bI
τ(取梁的厚度b=1)，得出所示问题的解答:332=-x x y q lh σ，222
3
3-(4)4=-xy q x h y lh τ。又根据平衡微分方程和边界条件得出：333222=--
y q xy xy q x
q lh lh l σ。试导出上述公式，并检验解答的正确性。
【解答】（1）推导公式
在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h 的矩形，
其对中性轴（Z 轴）的惯性矩3
12=h I ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和
剪力方程()2
3(),62=-=-q qx M x x F x l l
。
所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：
()332==-x M x x y y q I lh
σ
()()222
2233431.424??=-=-- ???s xy F x y q x h y bh h lh
τ。 根据平衡微分方程第二式（体力不计）。
0??+
=??y xy y
x
στ
得： 3
33.22=
-+y q xy xy q A lh lh
σ 根据边界条件
()
/2
0==y
y h σ
得 q .
2=-x
A l
故 333.2
.22=--y q xy xy q x
q lh lh l
σ 将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：
22336.60x y x y
q q lh lh
=-+==左右 满足
第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）
()22223312.12.0????=++=--≠= ?????
左右x y xy xy
q q x y lh lh σσ
应力分量不满足相容方程。
故，该分量组分量不是图示问题的解答。
【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F （图2-22），体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力0y σ=，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。
【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程()M x Fx =-，横截面对中性轴
x
O
/2
h /2
h F 1
的惯性矩为3/12z I h =，根据材料力学公式
弯应力3()12x z M x F
y xy I h
σ=
=-； 该截面上的剪力为()s F x F =-，剪应力为
()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ??--????==?-??+=-- ? ??????????
取挤压应力0y σ=
（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：2312120F F
y y h h
=-+==左右
第二式：左=0+0=0=右
该应力分量满足平衡微分方程。
（3）将应力分量代入应力表示的相容方程
2()0x y σσ=?+==左右 满足相容方程 （4）考察边界条件
①在主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件(2-15)
l
m
x f
y
f
2h y =-上
0 -1 0 0 2h y =上
1
代入公式（2-15），得
()
()()()
-/2
/2
/2
/2
0,0;0,0
y xy y yx y h y h y h y h στστ==-======
②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢
主矩
/20/2/2
0/22
/2/22
03/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--??==??==?????=--=-=??????
????向面力主矢面力主矩向面力主矢
满足应力边界条件
M
N
F
③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，0,,N S F F F M Fl ==-=-
其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：
/2
/2
3/2/212()0h h x x l N h h F
dy lydy F h σ=--=-==??
/2/22
3/2/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl M h σ=--=-=-=??
2/2
/2
23/2
/26()4h h xy x l S
h h
F h dy y dy F F h τ=--??=--=-= ???
?
?
满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
第一章 平面问题的直角坐标解答
【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?
【解答】⑴相容条件:
不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).
⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得
6,0,0x y xy yx ay σσττ====
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；
当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()
0y x y x f τ
===
右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y x y x l f τ===
应力分布如图所示，当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩
x
y
l
O
h
图3-8
x
y
O
x
f x
f
主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ：
因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ：
2()0/6/6
x A p pe
e h bh bh σ=
-=?= 同理可知，当a <0时，可以解决偏心压缩问题。
【3-5】取满足相容方程的应力函数为：⑴2,ax y Φ=⑵2,bxy Φ=⑶3,cxy Φ=试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。
【解答】（1）由应力函数2ax y Φ=，得应力分量表达式
0,2,2x y xy yx ay ax σσττ====-
考察边界条件，由公式（2-15）()()
()()x yx s x y xy s y l m f s m l f s στστ?+=??+=??
①主要边界，上边界2
h
y =-上，面力为
()22=-=x h
f y ax ()2y h f y ah =-=
②主要边界，下边界2h
y =，面力为
()2,2x h f y ax ==- ()2
y h
f y ah ==
③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为 x 向主矢：/20/2()0h x x x h F dy σ=-=-=?
y 向主矢：/2
0/2
()0h y xy x h F dy τ=-=-=?
主矩：/20/2
()0h x x h M ydy σ=-=-=?
次要边界，右边界x=l 上，面力的主矢，主矩为
e
P P
e
x
y
l
O /2h 图3-9
/2
h ()
l h ?ah yx
τxy
τA
x 向主矢：/2
/2()0h x x x l h F dy σ=-'==? y 向主矢：/2
/2/2
/2
()(2)2h h y xy x l h h F dy al dy alh τ=--'==-=-?
?
主矩：/2/2
()0h x x l h M ydy σ=-==?
弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示 ⑵2bxy Φ=
将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式
2x bx σ=，0y σ=，2xy yx by ττ==-
考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得
在2h y =-主要边界，上边界上，面力为,022x y h h f y bh f y ???
?=-==-= ? ????
?
在2h y =
，下边界上，面力为,022x y h h f y bh f y ???
?==-== ? ????
?
在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：
在左边界x=0，面力分布为()()00,02x y f x f x by ==== 面力的主矢、主矩为 x 向主矢：()2020h
h x x x F dy σ=-=-=?
y 向主矢：()
()2200
2
2
20h h h h y xy x x F dy by dy τ==--=-=--=??
主矩；/2
0/2
()0h x x h M ydy σ=-=-=?
在右边界x=l 上，面力分布为
()()2,2x y f x l bl f x l by ====- 面力的主矢、主矩为 x 向主矢：()
/2
/2
/2/222h h x x x l
h h F dy bldy blh σ=--'=
==??
y 向主矢：()()/2/2
/2
/2
'20h h y xy x l h h F dy by dy τ=--==-=??
主矩：()/2
/2
/2
/2'20h h x x l h h M ydy blydy σ=--===?
? 弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示
ah
O
y
xy
τal
2x
ah
xy
τ
（3）3cxy Φ=
将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式
26,0,3x y xy yx cxy cy σσττ====-
考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15）
①2
h
y =-上边界上，面力为
23,0242x y h h f y ch f y ???
?=-==-= ? ????
?
②h
y=2
下边界上，面力为
23,0242x y h h f y ch f y ???
?==-== ? ????
?
次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：
③左边界x=0上，面力分布为
()()()()
()()2/20/2/2
/22
3
/2
/2
h/20-h/2
00,03x 0
1
34
x y h x x x h h h y xy x h h x x f x f x cy F dy y F dy cy dy ch M ydy στσ=-=--======-==-=--==-=???
?
面力的主矢、主矩为向主矢：向主矢：主矩：
④右边界x l =上，面力分布为
()()26,3x y f x l cly f x l cy ====-
面力的主矢、主矩为 x 向主矢()/2/2
/2
/2
60h h x x x l h h F dy clydy σ=--'===?
?
y 向主矢：()
()/2
/2
2
3
/2
/2
134
h h y y x l
h h F dy cy dy ch σ=--'=
=-=-??
主矩：()/2/2
23/2/2
162
h h x x l h h M ydy cly dy clh σ=--'===?
? 弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示
【3-6】试考察应力函数
223(34)2F
xy h y h Φ=-，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。
【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）
444422420?Φ?Φ?Φ
++=????x x y y
，显然满足 （2）将Φ错误！未找到引用源。代入式（2-24），得应力分量表达式
3
12,0,x y Fxy h
σσ=-=2
234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：
①在主要边界上（上下边界）上，2h
y =±，
应精确满足应力边界条件式（2-15），应力()()/2/2
0,0y yx y h y h στ=±=±== 因此，在主要边界2h y =±上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ???
?=±==±= ? ????
?
②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为：
22340:0,1-2x y F y x f f h h ??
=== ???
3
221234:,12x y Fly F y x l f f h h h
??
==-
=-- ???
因此，各边界上的面力分布如图所示：
x
y
l
O
/2h 图3-9
/2
h ()
l h ?
③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
x=0上 x=l 上
1212h/2/2
/2/2h/2
/2
/2/2h/2/2
12-h/2
/2
=0, 0=, =0, h N x N x h h h S y S y h h h x x h x F f dy F f dy y F f dy F F f dy F M f ydy M f ydy Fl
-----======-===-????
?
?
向主矢：向主矢：主矩：
因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：
(a) (b)
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F 作用的问题。
【3-7】试证232333(431)(2)410qx y y qy y y
h h h h
Φ=-+-+-能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l ，深度为h ，体力不计）。
【解答】(1)将应力函数Φ代入式（2-25）
440x
?Φ=?，443
24qy
y h ?Φ=?，42233122422qy qy x y h h ?Φ--=?=?? 代入（2-25），可知应力函数Φ满足相容方程。 （2）将Φ代入公式（2-24），求应力分量表达式:
2232336435x x qx y qy qy
f x y h h h σ?Φ=-=-+-?
232343(1)2y y q y y
f y x h h
σ?Φ=-=-+-?
22
236()4
xy yx
qx h y x y h ττ?Φ==-=--??
(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：
①在主要边界2
h
y =-（上面），应精确满足应力边界条件（2-15）
()()()()
()()()()()()()()/2/2/2
/2
3
30
00,222152
/20,/20
0340,00
5x yx y y y h y h x yx y y y h y h x x y xy x x h h f y f y q
h
y f y h f y h x qy qy f x f x h h
τστσστ=-=-====???
?=-=-==-=-= ? ?????=-=========-=-==-=在主要边界下面，也应该满足在次要边界上，分布面力为 应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:
x
y
l
O
/2h 图3-9
/2
h ()
l h ?
3/2
/2
3/2/2/2
/23/2
/2
3/2
/2340
50
340
5h h N x h h h S y h h h x h h qy qy F f dy dy h h F f dy qy qy M f ydy ydy h h ---
---??
==-= ??
?==??
==-= ??
?????
?
④在次要边界x l =上，分布面力为
()()23336435x x x l
ql y qy qy f x l h h h
σ====-+-
()()
2
2364y xy x l
ql h f x l y h τ=??===-- ???
应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:
23
/2
/2
33/2/22
/2/223/2/2
23/2
/2
2
33/2
/2643()056()4
6431'()52h h N x h h h h s y h h h h x h h ql y qy qy F f x l dy dy h h h ql h F f x l dy y dy ql
h ql y qy qy M f x l ydy ydy ql h h h ------??
'===-+-= ??
?????'===--=-?? ???????===-+-=- ???
?????
?
综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩，如图
q
ql
2
12
ql x
y
o
q
(a) (b)
因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q 的问题。 【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q （图3-10），试求应力分量。
【解答】采用半逆法求解。
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。
根据材料力学，弯曲应力y σ主要与截面的弯矩有关，剪应力
xy τ主要与截面的剪力有关，而挤压应力x σ主要与横向荷载有关，本题横向荷载
x
y
o b
g
ρh
()h b ?q
图3-10
为零，则0x σ=
(2)推求应力函数的形式
将0x σ=，体力0,x y f f g ρ==，代入公式（2-24）有
220x x f x y
σ?Φ
=-=?
对y 积分，得
()f x y
?Φ
=? （a ） ()()1yf x f x Φ=+ （b ）
其中()()1,f x f x 都是x 的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。 将（b ）式代入相容方程（2-25），得
()()
44144
0d f x d f x y dx dx
+= （c ） 在区域内应力函数必须满足相容方程，（c ）式为y 的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y 值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
()()44140,0d f x d f x dx dx
== 两个方程要求
()()32321,f x Ax Bx Cx f x Dx Ex =++=+ （d ）
()f x 中的常数项，()1f x 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在Φ的表达式中成为y 的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d ）式代入（b ）式，得应力函数
()()3232y Ax Bx Cx Dx Ex Φ=++++ （e ）
（4）由应力函数求应力分量
220x x f x y
σ?Φ
=-=? （f ）
226262y y f y Axy By Dx E gy x
σρ?Φ
=-=+++-? (g)
2232xy
Ax Bx C x y
τ?Φ=-=---?? (h)
(5)考察边界条件
利用边界条件确定待定系数A 、B 、C 、D 、E 。 主要边界0x =上（左）：
()000,()0x xy x x στ====
将（f ），（h ）代入
()00x x σ==，自然满足
0()0xy x C τ==-= （i ）
主要边界x b =上，
()0x x b σ==，自然满足
()xy x b q τ==，将（h ）式代入，得
2()32xy x b Ab Bb C q τ==---= （j ）
在次要边界0y =上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
()200
0()62320b
b
y y dx Dx E dx Db Eb σ==+=+=?? （k ）
()3200
()6220b b y y xdx Dx E xdx Db Eb σ==+=+=?? （l ）
()23200
()320b b yx y dx Ax Bx C dx Ab Bb Cb τ==---=---=?
? （m ）
由式（i ），(j)，（k ），（l ），（m ）联立求得
2, , 0q q
A B C D E b b
=-====
代入公式（g ），(h)得应力分量
230, 13, 2x y xy qx x q gy x x b b b b σσρτ????
==
--=- ? ?????
【3-9】图3-11所示的墙，高度为h ，宽度为b ，h b ?，在两侧面上受到均布剪力q 的作用，试应用应力函数
3
Axy Bx y Φ=+求解应力分量。
【解答】按半逆解法求解。
⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。 ⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有
220x y σ?Φ==?，226y Bxy x
σ?Φ
==?，223xy yx A Bx x y ττ?Φ==-=--??
⑶考察边界条件：
在主要边界2x b =-上，精确满足公式（2-15）
()/2/20,()x xy x b x b q στ=-=-==-
第一式自然满足，第二式为
23
4
A Bb q --=- (a)
②在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)
()()/2/20,x xy x b x b q στ====-
第一式自然满足，第二式为
23
4
A Bb q --=- (b)
③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:
()
/2
/20
0b y
b y dx σ-==? 满足
()
/2
/2
0b y
y b xdx σ=-=? 满足
()()3
/2
/2
2
0/2/21
304
b b yx y b b dx A Bx dx Ab Bb τ=--=--=--=?? （
c ） 联立（a ）（c ）得系数
22,2q q
A B b
=-=
代入应力分量表达式，得
222120,,1122x y xy q q x xy b b σστ??
===- ???
q
q o
y
x
/2b ()
h b ?h
/2
b 图3-11
【3-10】设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，
l h ?（图3-12），试用应力函数
233Axy By Cy Dxy Φ=+++求解应力分量。
【解答】采用半逆解法求解
（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足
（2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)
()226603x y xy yx B By Dxy A Dy σσττ??
=++????=????==-+????
(a) (3)考察边界条件
①主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件
()
/2
0y
y h σ=±=， 满足
()/20,xy y h τ=±= 得23
04
A Dh += （b ）
②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件
()()/2/20/2/2
262h h N
x N N x h h F dy F B Cy dy F B h
σ=--=-?+=-?=-?? ()()/2/23
0/2/2
226h h x x h h M
ydy M B Cy ydy M C h σ=--=-?+=-?=-?? ()()/2/22
30/2/2134
h h xy s s s x h h dy F A Dy dy F Ah Dh F τ=--??=-?-+=-?+=???? （c ） 联立方程（b ）（c ）得
332,2s s F F A D h h
==-
最后一个次要边界()x l =上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。
将系数A 、B 、C 、D 代入公式（a ），得应力分量
332212120
3142N s x y S xy F F M y xy h h h F y h h σστ?
?=---??
=????
?=-- ?????
【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次式的应力函数求解。
【解答】采用半逆解法求解
(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）
设应力函数3223=Ax Bx y Cxy Dy Φ+++，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）
(2) 由式（2-24）求应力分量
由体力分量0,x y f f g ρ==，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：
2226x x f x Cx Dy y
σ?Φ
=-=+? （a ）
2262y y f y Ax By gy y σρ?Φ
=-=+-? （b ）
222xy Bx Cy x y
τ?Φ
=-=--?? （c ）
（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。 ①对于主要边界0y =，其应力边界条件为：
0()0
y y σ==，
0()0
yx y τ== （d ）
将式（d ）代入式（b ），（c ），可得
0=0A B =， （e ）
②对于主要边界tan y x α=（斜面上），应力边界条件：
在斜面上没有面力作用，即0x y f f ==，该斜面外法线方向余弦为，sin l α=-，cos m α=.由公式（2-15）
，得应力边界条件 tan tan tan tan sin ()cos ()0sin ()cos ()0x y x yx y x xy y x y y x ααααασατατασ====-?+?=?
?-?+?=?
（f ）
将式（a ）、（b ）、（c ）、（e ）代入式（f ），可解得
2
cot ,cot 23
g g C D ρραα==- （g ）
将式（e ）、（g ）代入公式（a ）、（b ）、（c ），得应力分量表达式：
2cot 2cot cot x y xy gx gy gy
gy σραρασρτρα
?=-?
=-??
=-? 【分析】本题题目已经给定应力函数的函数形式，事实上，也可通过量纲分析法确定应力函数的形式。
按量纲分析法确定应力函数的形式：三角形悬臂梁内任何一点的应力与
x y g αρ，，和有关。由于应力分量的量纲是12L MT --，而,x y 的量纲是L ，g ρ的
量纲是12L MT --，又是量纲—的数量，因此，应力分量的表达式只可能是x 和y 的纯一项式，即应力分量的表达式只可能是,A gx B gy ρρ这两种项的结合，其中A ，B 是量纲一的量，只与α有关。应力函数又比应力分量的长度量纲高二次，即为
x 和y 的纯三次式，故可假设应力函数的形式为3223Ax Bx y Cxy Dy Φ=+++。
【3-12】设图3-5中简支梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用§3-4中的应力函数（e ）求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。
【分析】与§3-4节例题相比，本题多了体力分量0,x y f f g ρ==。去除了上边界的面力。依据§3-4，应力分量的函数形式是由材料力学解答假设的。
【解答】按半逆解法求解。
（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为2
32()
2x Ay By Cy D Φ=+++
3254
32()106
A B x Ey Fy Gy y y Hy Ky +++-
-++，由§3-4可知，Φ必然满足相容方程（2-25）。
（2）应力分量的表达式：
2
32(62)(62)22622
x x Ay B x Ey F Ay By Hy K σ=+++--++ （a ）
32y Ay By Cy D gy σρ=+++- （b ） 22(32)(32)xy x Ay By C Ey Fy G τ=-++-++ （c ）
【注】y σ项多了-gy ρ
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 1、试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 1.2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性, 各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和 岩质地基不可以作为理想弹性体。 1.3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理 量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的 平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时，它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分
弹性力学重点复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部 分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量 应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为 了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
第一章习题 1-1 试举例证明，什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什么是非均匀的各向异性体。 1．均匀的各向异性体： 如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成，故为均匀的。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。 2．非均匀的各向同性体： 实际研究中，以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的，或者说非均匀各向同性体没有多少可讨论的价值，因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物体非均匀（即点点材性不同），即使各点单独考察都是各向同性的，也因各点的各向同性的材料常数不同而很难加以讨论。 实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体，密度由上到下逐渐加大，非均匀。但任取一点考察都是各向同性的。 再考察素混凝土构件，由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响，则为均匀的，同时也必然是各向同性的。反之，如果构件尺寸较小，粗骨料颗粒尺寸不允许忽略，则为非均匀的，同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸，因此也必然是各向异性体。因此，将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。 3．非均匀的各向异性体： 如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成，故为非均匀。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。 1-2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 理想弹性体指：连续的、均匀的、各向同性的、完全（线）弹性的物体。 一般的混凝土构件（只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小）可在开裂前可作为理想弹性体，但开裂后有明显塑性形式，不能视为理想弹性体。 一般的钢筋混凝土构件，属于非均匀的各向异性体，不是理想弹性体。 一般的岩质地基，通常有塑性和蠕变性质，有的还有节理、裂隙和断层，一般不能视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。 一般的土质地基，虽然是连续的、均匀的、各向同性的，但通常具有蠕变性质，变形与荷载历史有关，应力-应变关系不符合虎克定律，不能作为理想弹性体。在土力学中有专门研究。 1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全（线）弹性假定使应力应变关系明确为虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样，可取任一点分析。各向同性使材料常数各方向一样，坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性，
弹性力学复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系在应用这些方程时，应注意些什么问题 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定试将它们写出。如何确定它们的正负号 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz 、、zx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定什么是“理想弹性体”试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题什么叫平面应变问题各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑各方面反映的是那些变量间的关系 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之 间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 yx xy y x ττσσ=、、三个应力分量。 （2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力
【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
第一章绪论 1、所谓“完全弹性体”是指（B）。 A、材料应力应变关系满足虎克定律 B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识是（A）。 A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象 D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D）。 A、杆件 B、板壳 C、块体 D、质点 4、弹性力学研究物体在外力作用下，处于弹性阶段的应力、应变和位移。 5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题；并对杆状结果进行精确分析，以及验算材力结果的适用范围和精度。与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？ 答：1）研究对象更为普遍； 2）研究方法更为严密； 3）计算结果更为精确； 4）应用范围更为广泛。 6、材料力学研究杆件，不能分析板壳；弹性力学研究板壳，不能分析杆件。（×） 改：弹性力学不仅研究板壳、块体问题，并对杆件进行精确的分析，以及检验材料力学公式的适用范围和精度。 7、弹性力学对杆件分析（C）。 A、无法分析 B、得出近似的结果 C、得出精确的结果 D、需采用一些关于变形的近似假定 8、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C）
A 、材料力学 B 、结构力学 C 、弹性力学 D 、塑性力学 解答：该构件为变截面杆，并且具有空洞和键槽。 9、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）。 A 、任务 B 、研究对象 C 、研究方法 D 、基本假设 10、重力、惯性力、电磁力都是体力。（√） 11、下列外力不属于体力的是（D ） A 、重力 B 、磁力 C 、惯性力 D 、静水压力 12、体力作用于物体内部的各个质点上，所以它属于内力。（×） 解答：外力。它是质量力。 13、在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。（ × ） 解答：两者正应力的规定相同，剪应力的正负号规定不同。 14、图示单元体右侧面上的剪应力应该表示为（D ） A 、xy τ B 、yx τ C 、zy τ D 、yz τ 1 τ2 τ3 τ4 τO x y z 15、按弹性力学规定，下图所示单元体上的剪应力（ C ）。
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
第一章绪论 1、所谓“完全弹性体”就是指(B)。 A、材料应力应变关系满足虎克定律 B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识就是(A )。 A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都就是弹性力学的研究对象 D、弹性力学理论像材料力学一样,可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的就是(D )。 A、杆件 B、板壳 C、块体 D、质点 4、弹性力学研究物体在外力作用下,处于(弹性)阶段的(应力)、(应变)与(位移) 5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题;并对杆状结果进行精确分析,以及验算材力结果的适用范围与精度。与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？ 答:1)研究对象更为普遍; 2)研究方法更为严密; 3)计算结果更为精确; 4)应用范围更为广泛。 6、材料力学研究杆件,不能分析板壳;弹性力学研究板壳,不能分析杆件。(×) 改:弹性力学不仅研究板壳、块体问题,并对杆件进行精确的分析,以及检验材料力学公式的适用范围与精度。 7、弹性力学对杆件分析(C) A、无法分析 B、得出近似的结果 C、得出精确的结果 D、需采用一些关于变形的近似假定 8、图示弹性构件的应力与位移分析要用什么分析方法？(C) A、材料力学 B、结构力学
C 、弹性力学 D 、塑性力学 解答:该构件为变截面杆,并且具有空洞与键槽。 9、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于( B )。 A 、任务 B 、研究对象 C 、研究方法 D 、基本假设 10、重力、惯性力、电磁力都就是体力。(√) 11、下列外力不属于体力的就是(D) A 、重力 B 、磁力 C 、惯性力 D 、静水压力 12、体力作用于物体内部的各个质点上,所以它属于内力。(×) 解答:外力。它就是质量力。 13、在弹性力学与材料力学里关于应力的正负规定就是一样的。( × ) 解答:两者正应力的规定相同,剪应力的正负号规定不同。 14、图示单元体右侧面上的剪应力应该表示为(D) A 、xy τ B 、yx τ C 、zy τ D 、yz τ 1τ2 τ3τ4τO x z 15、按弹性力学规定,下图所示单元体上的剪应力( C )。
弹性力学简明教程（第四版） 习题解答 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形
【2-9】【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：() () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板 厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-= 由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力
1 图2.4 习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 解：(1)pi iq qj jk pq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===; (2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-; (3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ???=?=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=??-??a c b d a d b c 。 2.5设有矢量i i u =u e 。原坐标系绕z 轴转动θ系，如图2.4所示。试求矢量u 在新坐标系中的分量。 解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。 1112cos sin i i u u u u βθθ''==+，
【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？ 【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。 【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。 【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。 【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？ 【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m 个；在n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n 个。 【3-4】试考察应力函数3 ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3 ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。
第四章 平面问题的极坐标解答 【4-8】 实心圆盘在r ρ=的周界上受有均布压力q 的作用，试导出其解答。 【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11），即 2 2(12ln )2(32ln )20A B C A B C ρ?ρ? σρρσρρτ? =+++? ???=-+++?? ?? =?? (a) 首先，在圆盘的周界（r ρ=）上，有边界条件()=r q ρρσ=-，由此得 -q 2 (12ln )2A B C ρσρρ = +++= (b) 其次，在圆盘的圆心，当0ρ→时，式（a ）中ρσ，?σ的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。），当=0ρ时，必须有0A B ==。 把上述条件代入式（b ）中，得 /2C q =-。 所以，得应力的解答为 -q 0ρ?ρ?σστ===。 【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q ，试用应力函数 2(sin 2)ΦρB φC φ=+求解应力分量（图4-15）。 【解答】（1）相容条件： 将应力函数Φ代入相容方程40?Φ=，显然满足。 （2）由Φ求应力分量表达式 =-2sin 222sin 222cos 2B C B C B C ρ?ρ?σ?? σ??τ??+?? =+??=--??
（3）考察边界条件：注意本题有两个?面，即2 π ?=± ，分别为?±面。在?±面 上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有 2()0,??πσ=±= 得0C =； -q 2 (),ρ??πτ=±= 得2 q B =-。 将各系数代入应力分量表达式，得 sin 2sin 2cos 2q q q ρ?ρ?σ?σ?τ? ?=?? =-??=?? 【4-14】 设有内半径为r 而外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改 变量，并求圆筒厚度的改变量。 【解答】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），注意到B =0。 内外的应力边界条件要求 r r ()0,()0;(), ()0 R R q ρ?ρρ?ρρρρρττσσ=======-= 由表达式可见，前两个关于ρ?τ的条件是满足的，而后两个条件要求 r 2 22,20A C q A C R ?+=-??? ?+=??。 由上式解得 22 2 ,C () 2() 22 22 qr R qr A R -r R -r =-=。 (a) 把A ，B ，C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分离，教材中式（4-12）。 ()()222211cos sin ,(R r )qr R u I K E ρμρμ??ρ?? =-++++??-? ? (b) sin cos 0u H I K ?ρ??=-+=。 (c) 式（c ）中的ρ，?取任何值等式都成立，所以各自由项的系数为零
《弹性力学简明教程》 习题提示和参考答案 第二章习题的提示与答案 2－1 是 2－2 是 2－3 按习题2－1分析。 2－4 按习题2－2分析。 2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。 2－6 同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。 2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。 2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。 2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。 2－10 参见本章小结。 2－11 参见本章小结。 2－12 参见本章小结。 2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足 （1）平衡微分方程， （2）相容方程， （3）应力边界条件（假设)。 2－14 见教科书。 2－15 见教科书。 2－16 见教科书。 2－17 取 它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 2－18 见教科书。 2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。 第三章习题的提示与答案 3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （1）校核相容条件是否满足， （2）求应力， （3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。 3－3 见3-1例题。 3－4 本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再由求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是： 主要边界： 所以在边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力；上边界有向下的法向面力q。 次要边界： x=0面上无剪切面力作用；但其主矢量和主矩在x=0 面上均为零。 因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。 3－5 按半逆解法步骤求解。 （1）可假设 （2）可推出 （3）代入相容方程可解出f、，得到 （4）由求应力。 （5）主要边界x=0,b上的条件为 次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为 读者也可以按或的假设进行计算。 3－6 本题已给出了应力函数，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在各有两个应精确满足的边界条件，即 而在次要边界y=0 上，已满足，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0， 使本题无解），可用积分条件代替： 3－7 见例题2。 3－8 同样，在的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。
弹性力学复习题（06水工本科） 一、选择题 1. 下列材料中，（）属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 2 关于弹性力学的正确认识是（）。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 3. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（）。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 4. 所谓“完全弹性体”是指（）。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 5. 所谓“应力状态”是指（）。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 6. 变形协调方程说明（）。 A. 几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的； B. 微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束； C. 变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件； D. 变形是由应变分量和转动分量共同组成的。 7. 下列关于弹性力学基本方程描述正确的是（）。 A. 几何方程适用小变形条件； B. 物理方程与材料性质无关； C. 平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件； D. 变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件； 8、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（）求解这些微分方程，以
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程。
弹性力学2005 期末考试复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx、σy、σz、τxy、τyz、、τzx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平 面问题中的物理方程。