2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
（1）样本数据12,,,n x x x …的方差()2
2
11n i i s x x n ==-∑，其中1
1n i i x x n ==∑．
（2）直棱柱的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 为高． （3）棱柱的体积V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．
． 1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,0,2}B =-，则A B =I ． 2．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 ． 3．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是 ． 4．根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值为 ．
5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ．
6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2
s = ． 7．已知tan()24
x π
+
=，
则x
x
2tan tan 的值为 ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x
x f 2
)(=
的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是 ．
9．函数()sin()f x A x ω?=+（A ，ω，?是常数，
0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值
是 ．
10．已知1e u r ，2e u u r 是夹角为π3
2
的两个单位向量，122a e e =-r u r u u r ，12b ke e =+r u r u u r ，若0a b ?=r r ，
则实数k 的值为 ．
11．已知实数0≠a ，函数?
??≥--<+=1,21
,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为
．
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x
的图象上的动点，该
图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．
13．设1271a a a =≤≤≤…，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差
为1的等差数列，则q 的最小值是 ． 14．设集合{(,)|
A x y =222(2)2
m
x y m ≤-+≤，},x y R ∈，{(,)|B x y =2m x y ≤+≤21m +，},x y R ∈，若A B ≠?I ， 则实数m 的取值范
围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分7．
15．（本小题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,． （1）若sin()2cos 6A A π
+=，求A 的值；
（2）若1
cos 3
A =，3b c =，求C sin 的值．
16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，
AB AD =，60BAD ∠=o ，,E F 分别是,AP AD 的中点．
求证：（1）直线//EF 平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD ．
P E
F
A
B
C
D
17．（本小题满分14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
P
18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆12
42
2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ．设直线PA 的斜率为k ．
（1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值；（2）当2k =时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意0k >，求证：PA PB ⊥．
19．（本小题满分16分）已知,a b 是实数，函数3()f x x ax =+，2
()g x x bx =+，)(x f '和)(x g '是()f x 和()g x 的导函数．若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和
)(x g 在区间I 上单调性一致．
（1）设0>a ，若)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，求实数b 的取值范围； （2）设0a <且b a ≠，若)(x f 和)(x g 在以,a b 为端点的开区间上单调性一致，求||a b -的最大值．
20．（本小题满分16分）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项的和为n S ，已知对任意整数k M ∈，当n k >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立． （1）设{1}M =，22=a ，求5a 的值；（2）设{3,4}M =，求数列}{n a 的通项公式．