黄金分割 专题讲解
一、请你填一填
（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足
关系式________，即AP 是________与________的比例中项.
（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.
（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.
（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________.
（5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则d b c a ++=________. 二、认真选一选 （1）已知y
x 23
=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2y
B.xy =6
C.32=y x
D.32=x y （2）把ab =21
cd 写成比例式，不正确的写法是（ ）
A.b d c a 2=
B.b d c a =2
C.b d c a =2
D.d a b c 2=
（3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ）
A.3∶1
B.2∶3
C.2∶1
D.3∶2
（4）有以下命题:
①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d
c b a
= ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项
③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项
④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1
其中正确的判断有（ ）
A.1个
B.2 个
C.3个
D.4个
5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ）
A 、P
B AB AP ?=2； B 、PB AP AB ?=2；
C 、AB AP PB ?=2；
D 、2
22AB BP AP =+
4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）
A 、)15(5-
B 、)15(5+
C 、)25(10-
D 、)53(5-
一、选择题 1．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC ∶AB 为（ ） A ．215- B ．253- C ．215+ D ．215-或2
53- 2．若=+-1y y x 黄金数，则y
x 的值是（ ） A ．55 B ．21 C ．2
5 D ．5 3．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）
A ．53-
B ．15-
C ．51+
D ．53+
4．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美 感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是 理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉。如果某女士身高为1.60m ， 躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（ ）
A ．2.5cm
B ．5.1cm
C ．7.5cm
D ．8.2cm
5．如图，在正五边形ABCDE 中，对角线AD 、AC 与EB 分别相交于点M 、N ．下列命题：
①四边形EDCN 是菱形；
②四边形MNCD 是等腰梯形；
③△AEN 与△EDM 全等；
④△AEM 与△CBN 相似；
⑤点M 是线段AD 、BE 、NE 的黄金分割点，
其中假命题有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．4个
二、填空题
1．C 是AB 的黄金分割点，则 BC AC 。 2．P 为线段AB ＝10cm 的黄金分割点，则AP ＝ cm （保留两个有效数字）。
3．当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时，身材是最完美的。一位身高为165cm ，肚脐到 头顶高度为65cm 的女性，应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美（精确到1cm ）。
4．如图，节目主持人现站在舞台AB 的一端A 点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果， 若舞台AB 长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A 点至少 米处，如果向 B 点再走 米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米）
5．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金分割点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ．那么BF ：FD 的 值为 。
6．如图，在△ABC 中，点D 是AB 的黄金分割点（AD ＞BD ），BC ＝AD ，如果∠ACD ＝90°， 那么tanA ＝ 。
三、解答下列各题
1．在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感。张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多大的高跟鞋看起来更美。(精确到十分位)
2．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看。如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到1cm）
参考数据：黄金分割比为
21
5
，5＝2.236。
3．要设计一座2m高的维纳斯女神雕像（如图），使雕像的上部AC（肚脐以上）与下部BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比。试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比？（结果精确到0.001）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠1＝∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点。请说明理由。
5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC边上取一点D，使BD＝BA，连接AD。求证：（1）△ADC∽△BAC；
（2）点D是BC的黄金分割点。