专题51 曲线与方程----求轨迹方程
【热点聚焦与扩展】
纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法. 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系
（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法
（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可
（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程
（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹
直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r
② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c
③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c
④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹
确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程
（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得
到,x y 和k 的方程：()()
x f k y g k =???=??，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程. 【经典例题】
例1.【2018届北京石景山区一模】如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=?（λ是大于0且不等于1的常数）
，则点C 的运动轨迹为（ ）
A. 圆的一部分
B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分 【答案】
B
例2.设点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离．已知点A （1，0），圆C ：x 2
+2x+y 2
=0，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线 【答案】D
【解析】圆的标准方程为()2
2
11x y ++=，
如图所示，设圆心坐标为'A ，满足题意的点为点P ，由题意有：
'11PA PA --=，则'2'PA PA AA -==，
设()2,0B ，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线AB . 本题选择D 选项.
例3.动点在曲线
上移动，点和定点
连线的中点为，则点的轨迹方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
例4.已知直线y kx m =+与抛物线2
2y x =交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，若
OM AB ⊥于M ，则点M 的轨迹方程为（ ）
A. 22
2x y += B. ()2
211x y -+= C. ()2
211x y +-= D. ()22
14x y -+=
【答案】B
【解析】思路：先处理条件OA OB OA OB +=-可得由,OA OB 为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形.即OA OB ⊥，设()()1122,,,A x y B x y ，即12120x x y y +=，联立直线与抛物线方程并利
联立方程：22y kx m y x
=+??=?，消去x 可得：2
22202ky y m ky y m =+?-+= 122m y y k ∴= 22
2121224y y m x x k =
= 2
220m m k k
∴+=，由0km ≠可得2m k =- ():22l y kx m kx k k x ∴=+=-=-，即直线过定点()2,0C
OM AB ⊥即OM CM ⊥ M ∴的轨迹为以OC 为直径的圆
则该圆的圆心为()1,0，半径1r =
∴轨迹方程为()2
211x y -+=
答案：B 例5.点是圆上的动点，定点
，线段
的垂直平分线与直线
的交点为，则点的轨迹
方程是___．
【答案】
【解析】由垂直平分线的性质有，所以
，
又
，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是C ，F 为焦点，以4为实轴长的双曲线，
，
，
所以点Q 的轨迹方程是.
例6.【2018届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线l 过抛物线C ： 2
4y x =的焦点， l 与C 交于A ， B 两
点，过点A ， B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的轨迹方程为________. 【答案】1x =-
1y =-，故原抛物线C 相应的点P 的轨迹方程为x 1=-，故答案为x 1=-.
例7.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】(1) 2
2
2x y +=.(2)证明略. 【解析】
（2）由题意知()1,0F -.设()()3,,,Q t P m n -,则
()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---?=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---.
由1=OP PQ 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知22
2m n +=，故
330m tn +-=.
所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
例8.已知抛物线：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线
分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q
两点.
（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；
（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（I ）详见解析；（II ）
．
【解析】由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为.
（I）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
当与轴不垂直时，由可得.而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.
例9.【2018届河北衡水金卷】已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的
交于，两点，且，，其中，，均为正实数.
（1）求抛物线及的方程；
（2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标，由点点距得到半径；（2）设，，，,由直线和曲线相切得到，：，
同理：，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹. 解析：
（1）由题意，，故。
所以抛物线的方程为.
将代入抛物线方程，解得，
因此，
令，解得，
故：，
同理：.
则由
解得
因直线
，
.
则由 得
，
则
因此根据点在圆上满足方程，消参得到.
例10：如图所示，点N 在圆22
4x y +=上运动，DN x ⊥轴，点M 在DN 的延长线上，且()0DM DN λλ=>
（1）求点M 的轨迹方恒，并求当λ为何值时，M 的轨迹表示焦点在x 轴上的椭圆 （2）当12λ=
时，在（1）中所得曲线记为C ，已知直线:12
x
l y +=，P 是l 上的动点，射线OP （O 为坐标原点）交曲线C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2
OQ OP OR ?=，求点Q 的轨迹方程