第二章 随机信号分析
2.1 引 言
任何一个通信系统其作用都是传输消息信号。而信号在传输过程中不可避免会受到通信系统内外各种噪声的干扰。因此对通信系统的研究始终离不开对信号和噪声的分析，它和系统分析一起构成通信的理论基础。 ???通信系统分析
信号和噪声分析
通信的理论
信号的变化可表现为任一物理量的变化，通信系统中一般感兴趣的是电量的变化，如随时间变化的电流、电压。对于各种各样的信号，可按不同方法分类。
???随机信号
确定性信号
??
?离散信号
连续信号
??
?非周期信号
周期信号
确定信号：表征信号的所有参量都是确定的，能写出明确的瞬间函数值， ()()00?+ω?=t A t e sin ，()也就确定时00 t e t t ,=，
确定信号如：发射机振荡器输出的正弦载波。 随机信号：“随机”两个字的本义含有不可预测意思，不能用单一时间函数表达。随机信号是指一些不规则的信号。
???)
,(:通信失去意义如消息信号确知受信者接收的消息信号通信系统中的噪声
随机信号
确定信号是理论上的抽象，与随机信号的特性之间有一定联系，用确定性信来分析系统，使问题简化，在工程上有实际应用意义。采用傅立叶理论分析。 随机信号：或称随机过程，采用统计数学方法，用随机过程理论分析研究。
随机信号的一般特性有均值，最大小值、均方值，平均功率值及平均频谱。
见下表：
本章主要介绍随机信号与噪声的表示方法和基本特性，以及它们通过线性系统的基本分析方法。
在介绍之前，先复习确定信号分析的基本内容，这不仅是为了本章的需要，也是为了本书的需要。
2.2 确定信号分析
2.2.1 周期信号的傅里叶表示及其频谱
信号分析是将一复杂信号分解为若干简单的单元信号分量，并从这些分量的组成情况去观察信号的特性。
在高等数学中我们知道将一个复杂函数可以分解成若干个幂级数之和： ()∑∞
==
n n n x a x f
对于一个周期为T 的周期信号()t f （满足狄利赫莱条件），都可用傅立叶级数表示。
三角级数的表示形式：
()()()
()
∑∑∑∞
=∞
=∞
=+=++=++=0
01
001000cos cos sin cos 2n n n n n n n n n t n A t n A A t n b t n a a x f ?ω?ωωω
上式指出，任何一个满足狄利赫莱条件的周期信号可以分解为直流分量
和许多正弦分量，这些正弦分量的频率必须是基频0f 的整数倍，称为谐波。 各次谐波的幅度n A 和相位n ?决定于原信号，都是谐波0ωn 的函数。
n A
ωn 三角形式幅度频谱图
举 例：
作为一个周期信号()t f 用三角级数分解的例子，我们考虑矩形函数（脉冲信号）。
当矩形函数用多项t sin 近似后，近似程度改善，谐波项数增加，越逼近矩形函数。参见图示。
对于一般情况下，将振幅n A 对0ωn 的函数关系绘图成下图所示的线图，称为幅度频谱图。
同样，可绘出n ?对0ωn 的相位频谱图。
利用欧拉（Euler ）公式，可将三角函数和指数函数联系起来：
2
?
-?+=?j j e e cos ，j e e j j 2?-?-=?sin
指数级数的表示形式：
()()∑∑+∞
∞
-ω+∞
∞-ω=ω==t jn n t
jn e F e
n F t f 0 0 0
（这里n 包括了从∞-到∞+的全部整数，出现负频率是写成指数项后出现的一种数学形式。） 同样，可绘出复数振幅n F 的频谱图（如下图）。图中每一条谱线代表一个指数项，频谱对n F 轴来讲是对称的，且每一指数谱线的长度等于n A 2
1。（n A ～
三角谱的谱线），（0F 谱线除外，仍然
00A F =）。
t
t
t
)t
下面举周期性矩形脉冲信号的例子。周期性矩形脉冲波信号见下图。
采用作频谱图分析，较数学表示式一目了然。（见下图）
2.2.2非周期信号的频谱 —— 傅里叶变换与频谱密度 一、非周期信号的频谱
周期信号的付氏表示及频谱：
()()∑+∞
-∞
=ωω=
n t jn e n F t f 0
()()?
--=
22
001
T
T t jn dt e t f T
n F ωω则其频谱
当周期脉冲信号的重复周期无限增大时，此信号转化为非周期性单脉冲信号。信号周期不复存在，或说信号周期无限大。
()n F n F =ω00
0ωn 指数形式幅度频谱图（复数频谱图）
t
ω
周期脉冲信号的复数频谱图 相同)(x Sa =
将周期信号的频谱()()?-ω-=ω2
2
001T T t jn dt e t f T n F 代入付氏表示式：
()()t jn T T t n j n n t
jn e dt e t f T e n F t f 0002
2 01 ω-ω-∞
+-∞=+∞
-∞
=ω?=
ω=
?∑∑])([//
式中，周期00
01
2 2ω=πωπ=T T ,
当∞→T 时，00→ω→ωd ， 00→ω)(n F ， ω→ω0n
谱线距离渐密 谱线长度渐小（短） 不连续变量 趋于零 趋于零 趋于连续变量
从数学角度讲：极限情况下,无限多个无穷小之和，仍可等于一有限值，这个值决定于信号的能量。
从物理角度讲：一个信号无论怎样分解，其能量不能改变，频谱规律仍然存在。
∞→T ，π
ω
→πω=2210d T
非周期性信号()t f 表示为：
ω?π
=ω∞∞-ω-∞∞
-??d e dt e t f t f t
j t j ])([)(21 再来看周期信号的频谱，对周期信号的频谱两边乘上周期T ，并令∞→T ，
()()?-ω-∞
→∞
→=ω22
00T
T t jn T T dt e t f n TF lim lim
上式左边，)(0ωn F （00→ω)(n F ）为无穷小量，T （∞→T ）乘无穷小量()0ωn F 可能是有限值，记为：
()()?∞
∞-ω-=ωdt e t f F t j （称)(ωF 频谱密度函数，)(t f 为原函数） 这时，非周期性信号()t f 的表示：
???∞∞-ωω∞∞-ω-∞∞-ωωπ
=ω?π=d e F d e dt e t f t f t
j t j t j )(])([)(21 21 这就是()t f 的傅立叶积分表示式。
)
()(ω=ω-∞
∞
-?F dt e t f t j
()()ωF t f , 列为一对傅立叶变换式
()()()()??∞+∞
-ω+∞
∞-ω-ωωπ
==ωd e F t f dt
e t
f F t
j t j 21 记为：
()()付氏反变换
付氏正变换 )]
([ F )]([ F 1ωωF t f t f F -==
或记为： ()()t f F ?ω，()()ω?F t f ☆ 频谱密度与离散频谱的关系比喻
一列火车在铁轨上，铁轨和火车轮子接触的几个点上受力。铁轨离散负荷：
个轮子的荷重第k W k n
k k
ωω=∑=1
如果不用轮，车厢直接密合压在铁轨上，则：()?=λdx x D W
式中，λ ～轨道长度，()x D ～负荷密度，
()x x D ? ～一小段轨道x ?的荷重
离散频谱信号，其能量集中在一些谐波分量中，而连续频谱信号，其能量分布在所有频率中，每一频率分量包含的能量为无穷小量，无穷小量之和等于该信号的能量（有限值）。
二、几个典型信号的频谱函数 (1) 门函数（单个矩形脉冲）
门函数： ()????
?τ
>τ-<τ<<τ-=2
2022t t t A t f , ， 其频谱函数： ()()2
2ωτ
ω==ω?∞
+∞-ω-sin A dt e
t f F t
j
()x D λ
铁轨离散负荷示意图 车厢直接密合压在铁轨的负荷示意图
频谱函数的模量： ()2
22
2ωτωτ
τ
=ωτω=ωsin
sin A A F 频谱的相位：
()()()()Λ
,3 ,2, 1 ,0222122 1224,,0±±±=???
?
???
+<<++<<=n n n n n τπ
ωτπτπωτππω?
门函数及频谱图形见下图：
(2) 单位阶跃函数（开关通断电压信号源）
V U 1=开关通断电压信号源
的电路图
门函数～ t f t (
)频谱函数～ ωF ω
τ
ω
ω
()频谱函数的相位～ ω
?U ()t U t
t
(F ～ 单位阶跃函数()t U 2π
±j
(3) 单位冲激函数 ()t δ
()t δ的性质： ()()()0
011≠=δ=δ?∞
∞-t t dt t 积分值为
（()()?∞
∞-ω-=δ=ω1
dt e t F t j
()()t d e t t
j δ?ω?π
=δ?∞∞
-
ω1 , 1
21）
三、()t δ函数的抽样性质
0=t 时，()()()()0f t t f t δ=?δ
()()()()()00f dt t f dt t f t =δ=δ??∞
∞-∞∞-
推理：()()()?∞
∞-=-δ00t f dt t f t t
()t δ函数的抽样性质图示：()0t f 等于()t δ函数与()t f 函数乘积之积分运算。
()t δt
t
()
ωF ～ 单位冲激函数的频谱
～ 单位冲激函数
t
t
=
?
∞
∞
- d t
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπ τττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 () Y R τ
000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==?????^时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()()()2 1412 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()10242411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππ ωωπ - --∞ ∞∞ -∞∞--∞??--?? ??? ?? -?? ?= ? ?? ????=== ? ? ???? ?? = ==??= ? ? ?? ?????P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-===P Z 交直流分量为平均功率：流
第六章随机信号分析简介 本章总课时理论4课时。 本章主要内容本章介绍测试技术中随机信号分析方法，主要内容包括随机信号的幅值域分析、相关分析、功率谱分析。 本章基本要求熟练掌握描述随机信号的主要数字特征参数，掌握时域与频域分析的基本方法，了解时域与频域分析的应用。 本章重点及难点本章重点为随机信号的幅值域分析、相关分析、功率谱分析的基本原理，难点为各部分相关的理论分析。 本章教学方法 1. 以课堂理论教学为主。 2. 在理论教学过程中，可利用多媒体对已有应用实例进行演示性教学，使学生对随机信号信号时域与频域分析的应用具有一定的感性认识，激发学生掌握相关基本原理与应用的兴趣。 3. 教学中要求学生在掌握基本原理的基础上，对幅值域分析、相关分析、功率谱分析进行比较，以促进对随机信号信号时域与频域分析方法的理论与
应用有比较清楚的认识。 4. 充分利用课外辅导及练习加深对所学理论知识的认识。 实验本章未安排实验课。 课外学习指导及作业 1. 名词解释随机信号的均值、方差、均方值、均方根值、相关函数、功率谱密度函数。 2. 简述题(1) 描述随机信号的主要数字特征参数有哪些？其物理意义是什么？各自描述了随机信号的什么特性？ (2) 相关分析是在什么范围内分析随机信号的方法？相关系统与相关函数各自描述了随机信号的什么特征？ (3) 相关分析在工程上有什么样的应用？试举例说明。 (4) 功率谱分析是在什么范围内分析随机信号的方法？ (5) 功率谱分析在工程上有什么样的应用？试举例说明。 (6) 实际信号的谱分析中为什么自功率谱比幅值谱应用更为广泛？ (7) 自相关函数、互相关函数、自谱、互谱各自保留了原信号的哪些特征？这对实际应用有什么影响？ 3. 计算题(1) 试求三角波与方波的概率密度函数p1(x)与p2(x)。
随机信号分析 朱华，等北京理工大学出版社2011-07-01 《随机信号分析》是高等学校工科电子类专业基础教材。内容为概率论基础、平稳随机过程、窄带随机过程、随机信号通过线性与非线性系统的理论与分析方法等。在相应的部分增加了离散随机信号的分析。《随即信号分析》的特点侧重在物理概念和分析方法上，对复杂的理论和数学问题着重用与实际的电子工程技术问题相联系的途径及方法去处理。《随即信号分析》配套的习题和解题指南将与《随即信号分析》同期出版。《随即信号分析》适用于电子工程系硕士研究生及高年级本科生，也适用于科技工作者参考。 第一章概率论 1.1 概率空间的概念 1.1.1 古典概率 1.1.2 几何概率 1.1.3 统计概率 1.2 条件概率空间 1.2.1 条件概率的定义 1.2.2 全概率公式 1.2.3 贝叶斯公式 1.2.4 独立事件、统计独立 1.3 随机变量及其概率分布函数 1.3.1 随机变量的概念 1.3.2 离散型随机变量及其分布列 1.3.3 连续型随机变量及其密度函数 1.3.4 分布函数及其基本性质 1.4 多维随机变量及其分布函数 1.4.1 二维分布函数及其基本性质 1.4.2 边沿分布 1.4.3 相互独立的随机变量与条件分布 1.5 随机变量函数的分布 1.5.1 一维随机变量函数的分布 1.5.2 二维随机变量函数的分布 1.5.3 二维正态随机变量函数的变换 1.5.4 多维情况 1.5.5 多维正态概率密度的矩阵表示法 1.6 随机变量的数字特征 1.6.1 统计平均值与随机变量的数学期望值 1.6.2 随机变量函数的期望值 1.6.3 条件数学期望 1.6.4 随机变量的各阶矩 1.7 随机变量的特征函数 1.7.1 特征函数的定义 1.7.2 特征函数的性质
第 一 章 1.1不考 条件部分不考 △雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义 相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥??
第二章 随机过程的时域分析 1、随机过程的定义 从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散） 一维概率密度、一维特征函数 二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期 相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92
第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4 P D = E －迟到，由已知可得 (|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0 P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()(P E P E A P E B P E C P E D =+++ 贝叶斯公式： ()(|)()0.075 (|)0.455()()0.165(|)()0.08 (|)0.485 ()0.165 (|)()0.01 (|)0.06 ()0.165(|)() (|)0 ()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?= ===?===?===?== 综上：坐轮船 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2 2 22,0 ()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=?? ，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？ 2 2222 2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx D X E X m X m f x dx D X E X E X E X x f x dx ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ =?=-=-=-?=???? 6、已知随机变量X 与Y ，有1,3, ()4,()16,0XY EX EY D X D Y ρ=====， 令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。 考察随机变量函数的数字特征
4-1 习 题 4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。 （a ） （b ） 题图4.1 解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a ）不可能是均值各态历经信号；（b ）很可能是均值各态历经信号 4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。 解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为， 41(),0Y pq T C T T ττττ???-≤? ?=???>?? 又根据充分条件为：()lim 0C ττ→∞=，且 ()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。 4.3 4.4 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。 解：由题意，均方意义下有， [()][()][()]()()()A Z t aA X t bA Y t aEX t bEY t EZ t =+=+= 2222[()()][()()][()()][()()][()()] [()()][()()][()()][()()] () Z A Z t Z t a A X t X t b A Y t Y t abA X t Y t abA Y t X t a E X t X t b E Y t Y t abE X t Y t abE Y t X t R ττττττττττ+=++++ +++=+++++++= 因此，()Z t 是均值各态历经信号 4.5 4.6 随机过程()sin cos X t A t B t =+，式中，A 和B 为零均值随机变量。求证()X t 是均值各态历经的，而均方值无各态历经性。
1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {}{}{} ()() 0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤
1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x dx k ∞ -∞==? 第②问 {}()()()21 1221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ???
5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。 R R C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 R 2 R 题图5.1 解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 1/1 ()1/1j C H j R j C j RC ωωωω= = ++ 第二个图中系统地传输函数 ()21 11221 1/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+= = ++++ 第三个图中系统地传输函数 ()22222121 11221212121122 /1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++ ++ 5.2 若平稳随机信号)(t X 的自相关函数| |2)(ττ-+=Be A R X ，其中，A 和 B 都是正 常数。又若某系统冲击响应为()()wt h t u t te -=。当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。 解： 因为[]()2 2X E X R A =∞= 所以[]E X A A =±=±。 ()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt w ξξξξξ∞∞∞--∞-∞±??=-==±=??????????????? 5.3 5.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。 解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。根据电路分析、信号与系统的知识， /1/1 1()()()1/1t RC j C H j h t e u t R j C j RC RC ωωωω-= = ?= ++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数， []()1/2X m E X t == []{}(){ }{}0 000(,)cos cos X R t t E X t X t τωωτ+=++Φ+++Φ=???? ()0 1/31/2cos ωτ+
完美 WORD 格式 1-9 已知随机变量X的分布函数为 0 , x 0 2 F (x) kx , 0 x 1 X 1 , x 1 求：①系数 k；②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率；③随机变量 X的概率密度。 解： 第①问利用F X (x) 右连续的性质k ＝1 P 0.3 X 0.7 P 0.3 X 0.7 P X 0.7 第②问 F 0.7 F 0.3 第③问f (x) X d F(x) X dx 2x 0 x 1 0 else
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完美 WORD 格式 x 1-10 已知随机变量X 的概率密度为( ) ( ) f x ke x X （拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X落在区间 (0,1)内的概率③随机变量 X 的分布函数 解： 第①问f x dx 1 k 1 2 第②问 x 2 P x X x F x F x f x dx 1 2 2 1 x 1 随机变量 X落在区间( x1 , x2 ] 的概率 P{ x1 X x2} 就是曲线y f x 下的曲边梯形的面积。 1 P 0 X 1 P 0 X 1 f x dx 1 2 1 e 1 第③问 1 2 f x 1 2 x e x x e x x F x f ( x)dx 1 1 x x x e dx x 0 e x 0 2 2
0 1 1 1 x x x x e dx e dx x 0 1 e x 0 2 0 2 2 专业知识分享
完美 WORD 格式 1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车 在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000 辆汽车进 出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少？ n=1 - 分布 (0 1) n ,p 0,np= 二项分布泊松分布 n 成立，0不成立 , p q 高斯分布 实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布 n 10 p 0.1 P X k k e ＝＝ np k! 汽车站出事故的次数不小于 2 的概率 P(k 2) 1 P k 0 P k 1 0.1 P(k 2) 1 1.1e 答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程
()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω =
随机信号分析 第一章 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()())0.210.520.33i i i f x p x x x x x δ δδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i i F x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（ 9.
10. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=， 求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由 ()1f x dx ∞ -∞ =? () ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=? ?? ? 所以12a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =? ? 所以X 的分布函数为 ()1,02 11,02 x x e x F x e x -?
求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。 解：（1） ()() ()()()()()() ,,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i j F x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑ ()() ()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i j f x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑ （2）X 的分布律为（i ij j P P ?=∑） ()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++= Y 的分布律为 ()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35 P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为
1. 2. 3. 4. 5. 6. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。 （1） 问所选零件为次品的概率是多少？ （2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。 ()()()()1 2 3 4 1 4 P B P B P B P B ==== ()()()()1234100 200 0.050.42000500100 100 0.1 0.1 10001000P D B P D B P D B P D B === ===== ()1111 0.050.40.10.10.1625 4444 P D =?+?+?+?= （2）发现次品后，它来自第二批的概 率为，
()()()2220.250.4 0.615 0.1625 P B P D B P B D P D ?= = = 7. 8. 9. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- ()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+- 10. 11. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由()1f x dx ∞-∞ =? ()0 ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=???? 所以12 a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞==? ? 所以X 的分布函数为
《通信原理》习题 第一章 绪论 习题1-1 习题1-2 习题1-3 习题1-4 第二章 随机信号分析 习题2-1 习题2-2 第三章 信道 习题3-1 习题3-3 第四章 模拟调制系统 习题4-1 习题4-2 习题4-3 习题4-4 第五章 数字基带传输系统 习题5-1 习题5-2 习题5-3 习题5-4 习题5-5 习题5-6 习题5-7 第六章 正弦载波数字调制系统 习题6-1 习题6-2 习题6-3 习题6-4 习题6-5 习题6-6 第七章 模拟信号的数字传输 习题7-1 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 习题7-5 第八章 数字信号的最佳接收 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 第九章 同步原理 错误!未找到引用源。 【习题1-1】 某数字通信系统用正弦载波的四个相位0、2π 、π、23π来传输信息，这四个相位是 互相独立的。 (1) 每秒钟内0、2π 、π、23π出现的次数分别为500、125、125、250，求此通信系统的码速率和 信息速率； (2) 每秒钟内这四个相位出现的次数都为250，求此通信系统的码速率和信息速率。 解： (1) 每秒钟传输1000个相位，即每秒钟传输1000个符号，故 R B =1000 Baud 每个符号出现的概率分别为P(0)=21,P ? ?? ??2π=81,P(π)=81,P ? ?? ??2 3π =41 ，每个符号所含的平均信息 量为 H (X )=(21×1+82×3+41×2)bit/符号=143 bit/符号
信息速率R b =(1000×143 )bit/s=1750 bit/s (2) 每秒钟传输的相位数仍为1000，故 R B =1000 Baud 此时四个符号出现的概率相等，故 H (X )=2 bit/符号 R b =(1000×2)bit/s=2000 bit/s 【习题1-2】已知等概独立的二进制数字信号的信息速率为2400 bit/s 。 (1) 求此信号的码速率和码元宽度； (2) 将此信号变为四进制信号，求此四进制信号的码速率、码元宽度和信息速率。 解：(1) R B =R b /log 2M =(2400/log 22)Baud=2400 Baud T =B R 1=24001 s=0.42 ms (2) R B =(2400/log 24)Baud=1200 Baud T=B R 1=12001 s=0.83 ms R b =2400 b/s
随即信号分析与应用习题答案 马文平 李冰冰 田红心 朱晓明 第一章 1.1 (1)答： (2)答：T 连续而E 离散，从而此过程为离散型随即过程。 (3)答：由于样本函数未来得值不能由过去的情况准确的预测，从而此过程为不确定随机过程。 1.2 答：已知A~N(0,1),B~N(0,1)且A 、B 相互独立。 故 22221212 12121(,)()*())exp()2222 AB A B x x x x f x x f x f x π+==--=- 11 12 ()Bt ()Bt X t A X t A =+?? =+? ? [X(1t ),X(2t )]是（A ，B ）的线性变换 ∴[X(1t ),X(2t )]服从二维正太分布 1 1 X 2 1(X)exp()22T X K X f K π-= -,其中K = 11 122122K K K K ?? ??? 而 222(){[()()]}1x t E X t E x t δ=-=+ 12111212(,){[()()][()()]}1X x x K t t E X t m t X t m t t t =--=+
∴2 111 2 222 1t 1t K K ?=+??=+??且1221121K K t t ==+ 最后将k 代入1 1 2 1()exp()22T x X K X f x K π-= -即可得到答案。 1.4 (1)答：该过程式确定性随机过程 (2)答：X(t)的分布函数为0 x<1 0.6 1 x<2F ()0.9 2 x<31 3 x X t ??≤? =?≤??≤? ∴X(t)的一维概率密度函数为X ()0.6(1)0.3f t t δδ δ=-+（x-2）+0.1(x-3) 1.6 答： 222 12122211222222221212121222E[X(t)] = E[A +B ]()()47R (,)[()()] [(A +B )(A +B )] [],16.1B B B X t t tE A t E B t t t t E X t X t E t t t t E A t t ABt t ABt t B t t A B A =+=+===+++= 2 互不相关 E()=D(A)+[E(A)]E()=D()+[E()2222X 1212121212121122121222 12122 4 ()51 .1282851(,)[(()())()()] (,)()() 0.12(,)0.12X x x X x x X t X R t t t t t t t t t t K t t E X t m t X t m t R t t m t m t t t t t K t t t t δ=∴+++=--=-=+==+2]（，）=16 1.7
《随机信号分析》练习题 一、 概念题 1．叙述随机试验的三个条件。 2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。 3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。 5．两个随机变量独立的充要条件。 6．两个随机过程的独立是如何定义的？ 7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各 个参数的意义。 8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。 9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函 数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。 10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k 阶矩)(k X E 的公式。 11． 设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为 C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1 ，则C Y (μ)=？ 12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是 复数？ 13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。 14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。 15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？ 16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续 的条件是？ 17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？ 18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？ 19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？ 20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。 22． 何为线性系统？ 23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。 24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。 25． 对正态过程而言，宽平稳和严平稳之间有何关系？
《随机信号分析与处理》教学大纲 （执笔人：罗鹏飞教授学院：电子科学与工程学院） 课程编号：070504209 英文名称：Random Signal Analysis and Processing 预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理 学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时 学分：3 一、课程概述 （一）课程性质地位 本课程是电子工程、通信工程专业的一门学科基础课程。该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析方法以及随机信号通过系统的分析方法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取方法。其目的是使学生通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本方法，培养学生运用随机信号分析与处理的理论解决工程实际问题的能力，提高综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。 本课程是电子信息技术核心理论基础。电子信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。因此，本课程内容是电子信息类应用型人才知识结构中不可或缺的必备知识。 二、课程目标 （一）知识与技能 通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析方法。内容包括： 1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述； 2.掌握随机过程通过线性和非线性系统分析方法 3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析方法； 4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析方法； 5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析方法； 6.掌握高斯白噪声中最佳检测器的结构和性能分析。 通过本课程的学习，要达到的能力目标是： 1.具有正确地理解、阐述、解释生活中的随机现象的能力，即培养统计思维能力； 2.运用概率、统计的数学方法和计算机方法分析和处理随机信号的能力； 3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的 科学研究能力； 4.培养自主学习能力；
随机信号分析 第一章 1. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()())0.210.520.33i i i f x p x x x x x δ δδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i i F x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（ 2. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=，求:(1) 系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由 ()1f x dx ∞ -∞ =? () ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=? ?? ? 所以12a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =? ?
所以X 的分布函数为 ()1 ,02 11,02 x x e x F x e x -?