75
第十一章 练习题
练习一
一、填空：
1． 级数
∑
∞
=---11
12
)1(n n n 部分和 S n =__________，此级数的和S=____________。
2． 级数
∑
∞
=+-1)13)(23(1
n n n 的部分和S n =______________，此级数的和S=__________。
3． 级数
∑∞
=+
1
)3
12
1
(n n
n
的和S=_____________。
二、单项选择题
1．级数的部分和数列有界是该级数收敛的（ ） （A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充要条件；（D ）既非充要又非必要条件。
2．如果级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，
∑∞
=1
n n
v
发散，那么对于
∑∞
=±1
)(n n n
v u
来说，结论（ ）成立。
（A ）级数收敛；（B ）级数发散；（C ）其敛散性不定；（D ）上述结论都不正确。 三、判断下列级数的敛散性
1． +-+-33227
57575 2． +++++151
121916131
3．∑
∞
=+1
)1
1ln(n n 4．∑
∞
=+
+-+1)122(n n n n
76
5．
∑
∞
=+
+1
1)1(n n
n
n n
n n
四、设n n na ∞
→lim 存在，且级数
∑∞
=--1
1)(n n n
a a
n 收敛，证明级数
∑∞
=1
n n
a
收敛。
77
练习二
一、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性
1．∑
∞
=-1
2
3
41n n 2．
∑∞
=1
2
sin n n
π
3．
∑∞
=>+1
)0(11
n n
a a
二、用比值审敛法与根值审敛法判别下列级数的敛散性
1．∑
∞
=1
2
3
sin
n n
n π 2．
∑
∞
=?-??1
!
3)
12(531n n
n n
3．∑
∞
=+1
)12(
n n
n n 4．∑
∞
=+1
3)11(2
n n
n
n
78
5．
∑
∞
=1
)(
n n
n
a b ，其中)(∞→→n a a n ，a b a n ,, 均为正数。
三、判断下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
1．∑
∞
=++-111)1(n n n n 2．∑
∞
=+-1
)1ln(1
)1(n n
n
3．∑
∞
=-1
!2)
1(2
n n
n
n
四、证明：若级数
∑
∞
=1
2
n n a 及
∑
∞
=1
2
n n b 收敛，则级数
∑
∞
=1
n n n b a ，
∑
∞
=+1
2
)(n n n b a 及
∑
∞
=1
n n n
a 也收敛。
五、利用级数收敛的必要条件，证明下列极限
1．0!
lim =∞→n n n
n 2．0!lim
=∞→n a n
n （a >1）
练习三一、求下列幂级数的收敛域
1．∑∞
=-
1
5
)1
(
n
n
n
n
n
x
2．∑∞
=
-
1
!
)1
(
n
n
n
n
x
3．∑∞
=+
1 2
3
n
n
n
x
4．∑∞
=
-
-
-
1
2
1
)2
(
)1
(
n
n
n
n
x
二、求下列幂级数的和函数及收敛域
1．∑∞
=-
11
n
n
nx2．∑∞
=0
2
n
n
n
x
79
3．∑∞
=
+ +
1 2
1 2
n
n
n
x
80
81
练习四
一、将下列函数展开成
x 的幂级数，并求其展开式成立的区间
1．)0()ln(>+a x a 2．)0(,>a a x
3．2
1x
x + 4．
3
)1(2x -
二、将函数x
1
展开成（3-x ）的幂级数。
82
三、将1
1
)(-=x x f 展开成 （1+x ）的幂级数。
四、将x x f cos )(=展开成（4
π-x ）幂级数。
83
*练习五
一、计算e
1
的近似值，误差不超过0.0001。
二、求?
+2
10
4
1x
dx 的级数表达式，取前两项计算其近似值，并估计误差。
84
三、求?
-
4
10
2
2dx e
x 的级数表达式，取前三项计算其近似值，并估计误差。
四、求曲线132+=x y ,y 轴及2
1
=x 所围成的面积的近似值，使其误差不超过0.001。
85
练习六
一、
设)(x f 是周期为π2周期函数，在],[ππ-上的表达式为1)(+=x x f ，求)2
3
(π-S ；
)(πS ；)2(πS ，其中)(x S 为)(x f 的付氏级数的和函数。
二、 将2
4
)(x
x f -
=
π
),(ππ-∈x 展开成以π2为周期的付氏级数，并作出和函数的图形。
五、设????
?≤≤<≤-=π
πx x e x f x
01
)(，试将)(x f 展开成付氏级数。
86
六、设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在],[ππ-上的表达式为：
?????????<≤<
≤-
-<≤--=π
πππππππx x x
x x f 2
2
2
2
2
2)(，
试将)(x f 展开成付氏级数。
87
练习七
一、已知x x f =)(，],0[π∈x ，试将)(x f 展开成余弦级数。
二、已知22)(x x f =，],0[π∈x ，试将)(x f 分别展开成正弦级数与余弦级数。
88
三、已知2)(x x f =，),(ππ-∈x ，将)(x f 展开成以π2为周期的付氏级数，再将2)(x x f =在
)2,0(π内展开成付氏级数，并比较其付氏系数是否相同？
89
练习八
一、设21)(x x f -=，)2
1
,21[-∈x ，试将)(x f 展开成周期为1的付氏级数。
二、设????
?
????<≤-<≤<≤-=12
1
121
01
1)(x x x x x f ，试将其展开成周期为2的付氏级数。
三、将x
)
(在[5，15]上展开成周期为10的付氏级数。
=10
f-
x
90
91
复习题
一、已知级数
∑
∞
=1
n n u 的部分和1
2+=
n n
S n )3,2,1( =n ，试求此级数的一般项n u ，并判断此级数的收敛性。
二、求级数
∑
∞
=+-1
)
12)(12(1
n n n 的和。
三、判断下列级数的敛散性
1．∑
∞
=1
3
4ln n n
n 2．
∑
∞
=+1
2
)!1(n n
n
3．∑
∞
=+1
)!12(3n n
n 4．∑
∞
=-+1
2)1(3n n n
92
5．)1(!1
>∑
∞
=a n a n n 6．∑
∞
=--+1
)11(1n n n n 7．∑∞
=+-1
1
1)
1(n n
n 8．
∑∞
=--1
31
2
)
1(n n
n n
9．
∑∞
=-+-1
)1()
1(n n
n n
四、求下列级数的收敛域
1．∑∞
=1
1
n n
n
x n
1．
∑∞
=-+1
121
2
n n n x n
3．∑
∞
=-1
)1(!n n
x n 4 ．
∑
∞
=+++1
1
1
)1ln(n n x n n
93
5．∑
∞
=+1])1[(n n
n x n n 6．∑
∞
=+1
)12(n n x n
五、求下列级数的和函数
1．∑∞
=0
2
n n
n
x 2．
∑
∞
=++0
1
21
2n n n x 3．∑∞
=+1
)12(n n
x
n 4．
∑∞
=1
2n n
x n
5．
∑∞
=+1
)1(n n
x
n n 6．求级数
∑
∞
=+1
2
)1(n n
n n 的和
六、利用函数的幂级数展开式，求下列函数的高阶导数
1．2
1x x y +=在0=x 的七阶导数。
94
2．421x x y +?=在0=x 的五阶导数。
3．x e x y 6=在0=x 的十阶导数。 六、假设∑∞
=1
n n
a
，
∑∞
=1
n n
c
都收敛于S ，且n n n c b a ≤≤，证明
∑∞
=1
n n
b
收敛。
七、设正项级数∑
∞
=1
n n u 收敛，证明
∑
∞
=+1
1n n n
u u 也收敛。