课程名称
初高中数学衔接
年级：九年级
学科：初中物理
姓名：
目录
总论...........................................................................2 第一讲：垂径定理.........................................................8. 第二讲：直径所对的圆周角.............................................10 第三讲：因式分解（部分）与解方程（组）........................12 第四讲：函数图像的平移................................................14 第五讲：一元二次方程的根与系数的关系...........................18 第六讲：二次函数c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，0≠a (20)
总论
经过紧张的中考，暑期之后初三的同学们就要迎接紧张充实的高中生活。为了迎接高中的数学学习应该做些什么？良好的开端是成功的一半。我们今天主要谈一下从初中到高中的数学学科的衔接问题。很多同学还没有接触高中知识，我们既不谈那一个个知识点，也不谈那一个个大家耳熟能详的学习方法，主要讲讲为什么要做好衔接以及从精神上、认识上如何去准备。
一、为何要做好初高中衔接？
从初中升入高中，大家普遍觉得上升了一个门槛。教学实践证明，踏好这个门槛，实现这个转折确实需要衔接。其原因是：
1.环境的改变对学生有影响。初中学校与高中学校的教学理念不完全相同，学校之间的差异或大或小，高一新生来自不同的学校，差异性较大。大家熟悉以前的校园、以前的人际关系、以前的各项规章制度及纪律要求。但进入新校园后，校园环境不同了，同学不同了，新学校有新学校的规章制度及具体纪律要求。对于这些变化，要使学生尽快融入新的集体、新的学校，这就必须做好衔接工作。对高一新生来讲，各方面可以说是全新的，新的同学、新的老师、新的管理措施与教育理念……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生“松口气”想法，如初三辛苦了，在高一休息一下，待高二认真一些、高三冲刺，使得高中入学后无紧迫感。
也有些学生有畏惧心理，他们在入学前，就比较头疼数学，高中数学课一开始也确是些难理解的抽象概念，如映射、函数、立体几何等，使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面。一些原来在初中是班级的佼佼者、教师的宠儿的学生，或者是中上等的学生。进入高中后发现自己没有优势可言。随着所处地位的改变和课程负担的加重等原因，可能出现适应不了新的学习环境，心理出现了极大的反差，所以不可避免地出现困惑、失落、焦虑、胆怯等不良心理现象。
2.初中与高中在思维方式上差异较大。相对初中的学习，高中的知识内容与知识结构与初中相比出现了两个飞跃：从具体到抽象、由特殊到一般。在知识的广度和深度上都大大提高。在能力方面，高中的学习对同学们提出了更高的要求，如抽象思维能力、逻辑思维能力、分析综合能力、自学能力等，而且高考命题强调能力立意，这就更加强化能力培养。在高中数学语言更加抽象。初中数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达，而高一数学一下子就触及抽象的集合符号语言、函数语言等，一下子难以互相转化。
3.教材结构不同，知识跨度大。初中数学教材内容通俗具体，变量也不多，题型少而简单；而高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。初中课改教材很多内容作了改变，有的内容在对学生的要求上大大降低要求，体现了“浅、少、易”的特点，但是高中还认为学生在初中熟练掌握了。随着近几年新教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中由于受高考的限制，教师还不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的新教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，
反而加大了。初中比较注重基础，常识性的介绍较多；高中知识则强调逻辑性、系统性、研究性，越来越接近科学体系，难度相应地增大、加深。
4.课时和学法的变化。在初中，由于内容少，题型简单，课时较充足。因此，课容量小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调，对各类习题的解法，教师有时间进行举例示范，学生也有足够时间进行巩固。而到高中，由于知识点增多，灵活性加大和新课时要求的实行，使课时减少，课容量增大，进度加快，对重难点内容没有更多的时间强调，对所有型题也不可能讲全讲细和巩固强化，主要讲通性通法。这也使高一新生开始不适应高中学习而影响成绩的提高。这一点对数学的冲击最大。新课改之后，有的学校数学课相对而言就少了很多，我了解得很多学校就是每周5节，也就是一天一节。当然也有多的，达到了11节。而且学习上学时玩得多了，中午、课外活动都去玩了，放在学习上的精力明显会少很多。在初中，知识点相对而言比较少，教师讲得细，有足够的时间练习，考试时，学生只要记准概念、公式、典型例题，一般都能熟练应答取得不错的成绩。中考数学考试时，两个小时的时间很多同学在一个小时的时候就只剩下最后一个大题，在高考时这几乎是不可能的，在一个小时内学生完成前两个大题就算好的了，也就是说至少还剩四个大题。因此，初中时学生习惯于围着教师转，因为即使不独立思考、不归纳总结，老师也会一再强调直到你做熟练为止。到了高中，由于内容多时间少，教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细，只能选讲一些具有典型性的题目，以落实“三基”培养能力，有的地方说“双基”，这里就不争论了。这就导致在以前好几天学习一个知识点，一个题型翻来复去的作很多遍；在高中就变成了一天学习好几个知识点，有的题型做到两三遍就已经是
很重要的题型了。因此，高中数学学习要求学生要勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。但是刚入学的高一新生，往往继续沿用初中的学法，还在“等”、“靠”老师总结、老师布置相应的练习一一对应那些知识点去练，致使学习困难较多，个别同学完成当天作业都比较困难，更没有预习、复习及总结等自我消化自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。
那么，如何走好“学习”衔接这一步，显得最为重要了。
二、如何做好初高中衔接？
初高中衔接措施很多，但归纳起来，可从两个方面思考：
1.从思想上：增强紧迫感，消除松懈情绪。不要等到高三再努力，一开始就要蹦紧学习这根弦。首先，培养自觉性。兴趣是最好的老师，初高中衔接，提高学科兴趣是第一步。不要被以前的成绩绊住了自己的脚步，不管是成绩好的还是不理想的，把自己当成一张白纸，从新规划。
2. 从学习上：
（1）重视新旧知识的联系与区别。每年新高一开头的几节课，数学老师间的都比较别扭，在讲授新知识时，一些原本应该在初中掌握的知识点，发现学生大多只掌握了很浅显的内容，稍微深一些的内容，学生就说没有学过。有的高中必备知识、公式，以前初中应该教，高中默认你已经熟练掌握的知识，有的学生却没有一点概念。还有的知识一部分
学生学过，一部分听说过，还有根本么听过的。有的老师就说“今年中考成绩600多分的学生，教起来还不如过去500多分的学生”。学生学得吃力，教师也教得吃力，这几乎是老师们的共同感受。一些老师不得不对这些新生补习与高中教材相对应的初中老教材，有时补课就要占去很多的课堂时间。为了不落下高中新课程，只得赶进度，学生学得吃力，很多问题还没搞明白，又要上新课了。“不仅初中知识没能掌握，高中知识的学习也因此受到影响”。这就要求最好在开学前对这部分初高中衔接过程中必备的知识自己先有所了解并将它强化。初高中数学有很多衔接知识点，如函数概念、平面几何与立体几何相关知识等，到高中，它们有的加深了，有的研究范围扩大了，有些在初中成立的结论到高中可能会有所变化。因此，联系旧知识，复习和区别旧知识，特别注重对那些易错易混的知识加以分析、比较和区别。这样可达到温故知新、温故而探新的效果。
（2）重视展示知识的形成过程和方法探索过程，培养创造能力。高中数学较初中抽象性强，应用灵活，这就要求学生对知识理解要透，应用要活，不能只停留在对知识结论的死记硬套上，要有质疑和解疑的思想，促进创造性思维能力的提高。碰到比较难理解的地方，一是反复多看，二是放一点时间在回过来看。以前学习遇到的难点，现在看起来可能就很简单了，小学的数学题你现在就不屑于做了。尽量缩短理解的过程，比如函数，两三天理解了还行，两三个星期再理解基本概念，那落下的就很多了。定义域、值域、求解析式、单调性、奇偶性、图象的变换一堆东西都学过去了。
（3）重视培养自我反思自我总结的良好习惯，高中数学概括性强，题目灵活多变，只靠课上听懂是不够的，需要课后进行认真消化，认真总结归纳。培养好的学习习惯：预
习、听讲、作业、总结这些每天做好就是了。这就要求学生应具备善于自我反思和自我总结的能力。在解题后，积极反思：思解题思路和步骤，思解题方法和解题规律的总结。在单元结束时，进行自我章节小结，形成自己的知识网络。每天晚上回顾一遍即可，每星期，每月都要对自己学过的知识作一个系统的梳理。
总的来说，要想使初中到高中有一个理想的衔接，就是要提高自己的能力。能做好开学时对自己心理和知识上的准备，学习时认真，学习后做到及时归纳整理就一定会取得理想的成绩。
第一讲：垂径定理
【知识要点】
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
2
、垂径定理的推论：①直线过圆心②直线垂直于弦
?
例1图
H
E
F
G
O
D
C
B
A
④直线平分弦所对的优弧 ⑤直线平分弦所对的劣弧 （“ 知二求三”）
【例题分析】
例1：①已知圆O 的弦AB ＝8，相应的弦心距OC ＝3，那么圆O 的半径等于 ；
②两个以点O 为圆心的同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切，如果AB 的长为24，大圆的半径OA 为13，那么小圆的半径为 。
例2：①已知：在⊙O 中，,AB AC 为互相垂直的两条相等的弦，,,OD AB OE AC ⊥⊥,D E 为垂足。则四边形ADOE 必为 。
②已知在⊙O 中，弦AB CD ⊥于P ，⊙O 的半径为5，8,6,,AB CD OE AB ==⊥
OF CD ⊥，求四边形OEPF 的周长。
例3：如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若2,6,AE cm BE cm ==
30CEA ∠=，求：()1CD 的长； ()2C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
练习：如图，在⊙O 中，直径AB 和弦CD 相交于点E ， 已知1,5,AE cm BE cm == 且
60DEB ∠=，求CD 的长。
【巩固练习】
1、在圆O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA = ．
2、已知,AB CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5,cm 8,6.AB cm CD cm == 则,AB CD 的距离为
。
?
3图
O
D C
B
A 3、在ABC △中，5A
B A
C ==，3
cos 5
B
=
（如图）．如果圆O 点B C ，，那么线段AO 的长等于 ．
4、如图，等腰ABC ?内接于半径为5cm 的⊙O ，1,tan .2
AB AC B == 求：()1BC 的长； ()2AB 边上高的长。
【回家作业】
1、若⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 。
2、如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么BC ＝ ．
3、本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖 边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径为 。
4、如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD 平行于AB ，并与弧AB 相交于点M 、N ．
（1）求线段OD 的长； （2）若1
tan C 2
∠=，求弦MN 的长．
第二讲：直径所对的圆周角 【知识要点】
1、圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。
2、三角形的外接圆、外心的定义，直角三角形外心的位置是
。 3、在圆中，90°的圆周角所对的弦是直径；直径所对的圆周角是直角。
C
A
【例题分析】
1、证明：在圆中，90°
2、如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC，求证：BD=CD.
3、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与
相交于点E，AC=10,求AE的长.
【巩固练习】
1、若AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，在∠BAC=10°，则∠ABC=________.
2、若AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD，判断△ABC的形状：____________________。
3、如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD的长.
【回家作业】
1、三角形的外心是的交点。
C
D
A B
第3题
锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 , 钝角三角形的外心在 。
2、P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________cm ；
最长弦长为___________cm ． 3、如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，且AB 是⊙O 的直径，半径OD ⊥AC ， 垂足为F ，若∠A=30o，OF=3，则OA=_____ , AC=______ , BC= _________ .
4、如图，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，若=ABC θ∠， ⊙O 半径为r ，试用r θ、表示AB 与AC 。
5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点O 在AB 上，以O 为圆心、OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ，且∠CBD=∠A ， 判断BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论。
第三讲：因式分解（部分）与解方程（组） 【知识要点】
1、十字相乘法与分组分解法；
F
A D C
B O
B
2、解二元二次方程组（以代入法为主）
【例题分析】 例1、分解下列因式：
（1）2265y xy x +- （2）3832
-+x x （3）22441y xy x -+-
（4）n np mp m 22+++ （5）2211223(3)x x x x ---（6）211212
()-
--x x x x x x
例2、解方程组①22
20 30 x y x y -=??-+=?
②11
28 x y xy +=??=?
例3、已知方程组???+==+--2
1242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。
【巩固练习】 1、分解下列因式：
（1）22712x xy y -+ （2）261110y y -- （3）2
222b ab a x -+-
（4）nx n mx mx --+2
（5） 2
2
1
1222(2)x x x x +-+ （6）22
211212
()---x x x x x x
2、解下列方程组： (1) 2228
2
x y x y ?+=?+=?
(2) 11116?+=????=-??
x y
xy
3、方程组???=--=-+0
122m x y y x 有唯一解，则m 的值是 。
【回家作业】 1、分解下列因式：
（1）4
2
718x x +- （2）2
2
483m mn n ++ （3）422416654y y x x +-
（4）bc c b a 2222+-- （5）3223b ab b a a +-- （6）2
21212
553(3)+-+x x x x
2、解下列方程组： (1) 22
1
235x y x xy y +=??++=?
(2) 3
2x y xy +=-??=?
3、已知方程组???+==m
x y x y 2
有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围。
4、当实数a 为何值时，方程组22
=+1
3=1
y ax x y ??-? ①仅有一个解， ②没有实数解， ③有两个实数解。
第四讲：函数图像的平移 【知识要点】
1、了解()f x ，()f x a ±，()f x b ±三类函数图像之间的关系。
2、一次函数图像的平移：
3、二次函数图像的平移：
2()y a x h k =-+向左（右）平移(0)m m >个单位长度可得2()y a x m h k =±-+ 2()y a x h k =-+向上（下）平移(0)b b >个单位长度可得2()y a x h k b =-+±
4、函数图像的平移变换的一般规律:
()y f x =的图像向左（右）平移(0)a a >个单位长度可得()f x a ±的图像， ()y f x =的图像向上（下）平移(0)b b >个单位长度可得()f x b ±的图像。
【例题分析】
例1、已知直线1
(2)2y x =+ 向左平移3个单位，则平移后函数的解析式为__________；已知直线1
(2)2y x =+向上平移2个单位，则平移后函数的解析式为____________。
例2、由直线1(2)2y x =+ 经过怎样的平移得直线1
52
y x =+？
例3、已知直线1:312l y x =-，将其向右平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式．
例4、（1）由抛物线()2
1122
y x =
-+先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线，则新抛物线的解析式为_____________________； （2）由抛物线2
1y x x 12
=
++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线，则新抛物线的解析式为_________________________
例5、（1）抛物线()2
1y x 122=-+要经过怎样的平移得到抛物线2
11y x 222??=-+ ???
？
（2）函数()2
y 2x 32=-+的图像要经过怎样的平移得到函数()2
y 2x 12=-+的图像？
例6、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，求此二次函数的解析式。
-
例7、把函数1
y x
=
的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得到的函数的解析式为__________________
例8、（1）函数1
23
y x =--的图像的对称中心为______________； （2）5
3x y x -=
-的图像的对称中心为______________； （3）723
x
y x -=-的图像的对称中心为______________.
【巩固练习】
1．直线1
y 23x =
-向下平移3个单位长度后得到的直线解析式是 ． 2．直线1
6
x y +=向右平移3个单位长度后得到的直线解析式是 ．
3．直线y=8x+13既可以看作直线y=8x-3向＿＿＿平移(填“上”或“下”)＿＿＿单位长度得到；也可以看作直线y=8x-3向＿＿＿平移(填“左”或“右”)＿＿＿单位长度得到． 4. 将抛物线y= -2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为_______________________． 5. 抛物线2132y x =-要经过怎样的平移可得到21
(3)2
y x =－的图像？
6. 25
3
x y x -=
-的图像的对称中心为______________. 7．已知二次函数的图像与x 轴只有一个交点，图像向右平移2个单位后的对称轴是y 轴，
向下平移1个单位后经过点（0，-1），求此二次函数的解析式。 【回家作业】 1．要从直线1y x 32=
-得到直线1
y x 2
=的图像，只须（ ）
A ．向上平移3个单位；
B ．向下平移3个单位；
C ．向左平移3个单位；
D ．向右平移3个单位．
2．要从抛物线y= -2x 2的图像得到y= -2x 2-1的图像，则抛物线y= -2x 2只须（ ） A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位．
3．将抛物线y= -3x 2的图像向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为（ ）
A ．y= -3(x-1)2-2；
B ．y= -3(x-1)2+2；
C ．y= -3(x+1)2-2；
D ．y= -3(x+1)2+2． 4．要从抛物线y=2x 2得到y=2(x-1)2+3的图像，则抛物线y=2x 2必须 （ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
5．直线3
2y x =-
向左平移1个单位得到直线（ ） A ．312y x =--； B ．312y x =-+； C ．3322y x =-+； D ．33
22y x =--
6．函数213y x =与2
123
y x =+的图像的不同之处是（ ）
A ．对称轴
B ．开口方向
C ．顶点
D ．形状 7．把函数2
y x
=-
的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的函数的解析式为__________________ 8．函数21
2
x y x -+=
-的图像的对称中心为______________. 9．把二次函数2y x =-的图像先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图像，求新图像所表示的二次函数的解析式。
10．把函数y= -2x 2-4x+1的图像经过怎样的变换可得到函数y= -2x 2＋4x 的图像？
11．已知0a b c ++=，0a ≠，把抛物线2y ax bx c =++向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。
12．作出函数211x y x -=-的图象，并说出有关性质，指出它是由1
y x
=的图象如何变化得到的。
第五讲：一元二次方程的根与系数的关系 【知识要点】
1、一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的求根公式
2、韦达定理：设21x x 、是一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两个实根，
则1212,
b c x x x x a
a
+=-?=
【例题分析】
1、已知关于x 的方程0522
=+-p x x 的一个根为3，求方程另一根及p 的值。
2、已知方程01422
=-+x x 的两根为21x x 、，求下列各式的值： （1）()()2221++x x ； （2）2
1
12x x x x +
； （3）21x x -。
3、已知关于x 的方程01232
=++-a x x 有两个正根，求实数a 的取值范围。
【巩固练习】
1、已知关于x 的方程01932=+-k x x 的一个根为1，求方程另一根及k 的值。
2、已知方程0132
=++-x x 的两根为21x x 、，求下列各式的值： （1）2111x x +；（2）21x x -；（3）。()()121221--x x 。
3、已知关于x 的方程()011222=-+-+m x m x 的两个实数根的平方和为9，求实数m 的值。
4、设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，求m 2＋4m ＋n 的值．
【回家作业】 1、已知关于x 的方程023
22
=-+ax x 的一个根为21，求方程另一根及a 的值。
2、已知方程01842=+-x x 的两根为21x x 、，求下列各式的值：
（1）??
? ??+??? ??+32132121x x ； （2）211211x x x x -+-； （3）2
13x x -。
3、已知关于x 的方程()()013212=++-+-k x k x k 有两个不相等的实根21x x 、。 （1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使得方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
4、（选做题）已知关于x 的方程03152
=-+-a x x 的两根为21x x 、。