常熟理工学院20 ～20 学年第学期
《离散数学》考试试卷（试卷库01卷）
试题总分： 100 分考试时限：120 分钟
题号一二三四五总分阅卷人得分
一、单项选择题（每题2分，共20分）
1.下列表达式正确的有( )
（A）（B）（C）（D）
2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为
真。
（A）（B）（C）（D）
3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
（A）自反的（B）对称的（C）传递的，对称的（D）传递的
4.设，，其中表示模3加法，*表示模2乘法，在集合上
定义如下运算：
有称为的积代数，则的积代数幺元是( )
（A）<0，0> （B）<0，1> （C）<1，0> （D）<1，1>
5.下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是( )
6.设为无向图，，则G一定是( )
（A）完全图（B）树（C）简单图（D）多重图
7.设P：我将去镇上,Q：我有时间。命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）。
（A） P Q （B）Q P （C）P Q （D）
8.在有n个结点的连通图中,其边数（）
（A）最多有n-1条（B）最多有n 条（C）至少有n-1条（D）至少有n条
9.设A－B＝,则有（）
（A）B＝（B）B（C）A B （D）A B
10.设集合A上有3个元素,则A上的不同的等价关系的个数为（）
（A）5 （B）7 （C）3 （D）6
二、填空题（每题2分，共20分）
1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。
2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。
3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。
4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。
5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。
6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。
7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。
8．设
* αβγδ
αδαβγ
βαβγδ
γβγγγ
δαδγδ
那么，代数系统
10．设A={<1，2>，<2，4>，<3，3>}，B={<1，3>，<2，4>，<4，2>}
= 。
= 。
三、判断题（每题1分，共10分）
1.命题公式是一个矛盾式。（）
2.，若，则必有。（）
3.设S为集合X上的二元关系，则S是传递的当且仅当(S S)S。（）
4.任何一棵二叉树的结点可对应一个前缀码。（）
5.代数系统中一个元素的左逆元一定等于该元素的右逆元。（）
6.一个有限平面图，面的次数之和等于该图的边数。（）
7.A′B = B′A （）
8.设*定义在集合A上的一个二元运算，如果A中有关于运算*的左零元θl和右零θr,则A中
有零元。（）
9.一个循环群的生成元不是唯一的。（）
10.任何一个前缀码都对应一棵二叉树。（）
四、解答题（5小题，共30分）
1.（5分）什么是欧拉路？如何用欧拉路判定一个图G是否可一笔画出？
2.（8分）求公式 (P∨Q)R 的主析取范式和主合取范式。
3.（5分）已知一棵无向树中有2个2度顶点、1个3度顶点、3个4度顶点，其余顶点度数都
为1。问它有多少个1度顶点？
4.（7分）权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。
5.（5分）集合上的关系，，写出关系矩阵
，画出关系图并讨论R的性质。
五、证明（3小题，共20分）
1.（10分）用推理P,T规则证明：P Q， P→R, Q→S R S。
2.（5分）设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：(A－B)(A－C)=A－(B C)。
3.（5分）设
常熟理工学院20 ～20 学年第学期
《离散数学》考试试卷（试卷库02卷）
试题总分： 100 分考试时限：120 分钟
题号一二三四五总分阅卷人得分
一、选择题（每题2分，共20分）
1.下列公式中哪些是永真式？( )
（A）(┐P Q)→(Q→R) （B） (P Q)→P （C）P→(Q→Q)
（D）P→(P Q)
2.下列推导错在( )
①P
②US①
③ES②
④UG③
（A）②（B）④（C）③（D）无
3.集合A={1，2，3，4}上的偏序关系图为图(0)，则它的Hass图为( )
4.设R是实数集合，“”为普通乘法，则代数系统
（A）群（B）独异点（C）半群（D）广群
5.连通非平凡的无向图G有一条欧拉回路当且仅当图G ( )
（A）只有一个奇度结点（B）只有两个奇度结点（C）只有三个奇度结点（D）没
有奇度结点
6.若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它( )片树叶
（A）n （B）2n （C）n-1 （D）2
7.在谓词演算中,是的有效结论,根据是（）。
（A）US规则（B） UG规则（C） ES规则（D） EG规则
8.设在上海工作；是上海人。则命题“在上海工作的人未必都是上海人”的符
号化为（）。
A．（B）（C）（D）
9.集合A上的关系R是相容关系的必要条件是（）
（A）自反,反对称的（B）反自反,对称的（C）传递,自反的（D）自反,对称的
10.下列各式错误的是（）
（A）（B）（C）（D）
二、填空题（每题2分，共20分）
1.设P、Q是命题公式，填写如下的基本等价关系式：
（1）┐(P∨Q)；（2）
P Q；
2.若集合A上的关系R 满足的三个性质，
则R是偏序关系。
3.设A，B是两命题公式，当且仅当。
4.给定无孤立点图G，若存在一条路满足，该条路称为欧拉路。
5.一个称为布尔格。
6.对于实数集合R，在下表所列的二元远算是否具有左边一列中的性质，请在相应位上填写“Y”
或“N”
Max Min +
可结合性
可交换性
存在幺元
存在零元
7.y是B的上界}，若B-有最小元，则称该最
小元为B的。
8.一个公式的等价式称作该公式的主析取范式是指它仅由组成。
9.由集合A和B的所有共同元素组成的集合称为A和B的交集，记作A?B ，即
A?B={ }。
10.的图称为完全图。
三、判断题（每题1分，共10分）
1.“北京与天津的距离很近”是复合命题。（）
2.如果A∨C B∨C，则有A B。（）
3.设R1和R2是集合A上的关系，且R1R2，则有r(R1) r(R2)。（）
4.若平面图共有v个结点，e条边和r个面，则v-e+r=2。（）
5.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。（）
6.命题公式是没有真假值的。（）
7.格〈L,≤〉所诱导的代数系统为〈L,∧，∨〉，则运算∧，∨满足交换律。（）
8.设函数f: A→B, 则f 的逆关系是函数当且仅当f 是入射。（）
9.群
10.任何一棵二叉树可对应一个前缀码。（）
四、解答题（3小题，共20分）
1.（5分）简述二叉树的定义。如何将任何一棵有序树（m叉树）改写为对应的二叉树？
2.（8分）求公式 (P→Q)R 的主析取范式和主合取范式。
3.（7分）如下图所示的赋权图表示某七个城市及预先算出它们之间的一些直接通
信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。
五、证明（4小题，共30分）
1.（10分）用推理P,T规则证明：P→Q，Q R，R，S P S。
2.（10分）若R和S都是非空集A上的等价关系，则R S是A上的等价关系。
3.（6分）若图G不连通，则G的补图是连通的。
4.（4分）I(整数集)上的二元运算*定义为：a,b I，a*b=a+b-2。证明
常熟理工学院20 ～20 学年第学期
《离散数学》考试试卷（试卷库03卷）
试题总分： 100 分考试时限：120 分钟
题号一二三四五总分阅卷人得分
一、单项选择题（每题2分，共20分）
1.在下述公式中不是重言式为( )
（A）（B）
（C）（D）
2.设，则B－A是( )
（A）（B）（C）（D）
3.设A={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于A封闭的有( )
（A）x*y=max(x ，y)
（B）x*y=质数p的个数使得
（C）x*y=gcd(x ， y) (gcd (x ，y)表示x和y的最大公约数)
（D）x*y=lcm(x ，y) （lcm(x ，y) 表示x和y的最小公倍数）
4.设 >是格 （A）{1,2,3,4,6,12} （B）{1,2,3,4,6,8,12,14} （C）{1,2,3,…,12}（D）{1,2,3,4} 5.在有n个顶点的连通图中，其边数( ) （A）最多有n-1条（B）至少有n条（C）最多有n条（D）至少有n-1条 6.一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为( ) （A）5 （B）7 （C）8 （D）9 7.公式G=P￢P ,则G是（） （A）永真的（B）永假的（C）可满足的（D）析取的 8.设P,Q的真值为0,R,S的真值为T,则下面命题公式中真值为T的是（）. （A）R P （B）Q S （C）P S （D）Q R 9.A={1,2,3}上的关系R={<1,1><1,2><1,3><3,3>},则R具备（） （A）传递性与反对称性（B）传递性与对称性（C）自反性与对称性（D）反自反性与对称性 10.连通图G是一颗树,当且仅当满足下述条件中那一个（） （A）有些边不是割边。（B）每条边都是割边（C）每条边都不是割边（D）无割边集 二、填空题（每题2分，共20分） 1.设P、Q是命题公式，填写如下的基本等价关系式： （1）P→Q；（2） P Q； 2.若对命题P赋值T，Q赋值F，则命题P Q的真值为。 3.代数系统 （填相等或不相等）。 4.设集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，定义A上的二元关系“≤”为 x≤y = x|y，则x y= 。 5.公式的根树表示为 。 6.重言式又叫式，其定义为。7．给定无孤立点图G，若存在一条回路满足，该回路称为欧拉回路。8．设R为X到Y的关系，S为从Y到Z上的关系，R°S称为R和S的复合关系，则R°S=。 9．设 10．设G是一个连通平面图，一个面的称作该面的次数。 三、判断题（每题1分，共10分） 1.设命题“所有的研究生都读过大学”符号化为： 。（） 2.设P，Q是两个命题，当且仅当P，Q的真值均为T时，P Q的值为T。（） 3.设A={a，b，c}， R A×A且R={ 4.在有向图中顶点间的相互可达关系是等价关系。（） 5.代数系统中一个元素若有左逆元，则该元素一定也有右逆元。（） 6.合式公式的定义是用一个递归形式给出的。（） 7.格〈L,≤〉所诱导的代数系统为〈L,∧，∨〉，则运算∧，∨满足分配律。（） 8.设函数f: A→B, 则f 的逆关系是函数当且仅当f 是满射。（） 9.群 10.K3，3不是平面图。（） 四、解答题（4小题，共30分） 1.（5分）请解释谓词演算推理理论的US规则，UG规则，ES规则和EG规则。 2.（8分）求公式 (P→Q)(R P) 的主析取范式和主合取范式。 3.（10分）集合上的偏序关系R为整除关系。设， ，试画出R的哈斯图，并求A，B，C的最大元素、极大元素、下界、上确界。 4.（7分）假设英文字母，a，e，h，n，p，r，w，y出现的频率分别为12%，8%，15%，7%，6%， 10%，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出happy new year的编码信息。 五、证明（3小题，共20分） 1.（8分）用推理P,T规则证明：B D，(E→F)→D，E B。 2.（6分）证明在6个结点12条边的简单连通平面图中，每个面的次数都是3。 3.（6分） 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库04卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、选择题（每题2分，共20分） 1.命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”的符号化（P(x)：x是聪明的，M(x)：x是人） ( ) （A）（B） （C）（D） 2.谓词公式中的x是( ) （A）自由变元（B）约束变元 （C）既不是自由变元又不是约束变元（D）既是自由变元又是约束变元 3.集合A={1，2，3，4}上的偏序关系如图(0)，则它的哈斯图为( ) 4.设是布尔代数，f是从A n到A的函数，则( ) （A）f是布尔代数 （B）f能表示成析取范式，也能表示成合取范式 （C）若A={0，1}，则f一定能表示成析取范式，也能表示成合取范式 （D）若f是布尔函数，它一定能表示成析（合）取范式 5.设，*为普通乘法，则 （A）代数系统（B）半群（C）群（D）都不是 6.设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点 （A）10 （B）4 （C）8 （D）12 7.一个割边集与任何生成树之间( ) （A）没有关系（B）至少有一条公共边（C）有一条公共边（D）割边集诱导子图是生成树 8.集合A上的等价关系R,决定了A的一个划分,该划分就是（） （A）商集A/R （B）交集A R （C）差集A-R （D）并集A R 9.公式G=P￢P ,则G是（） （A）永真的（B）永假的（C）可满足的（D）析取的 10.在有n个结点的连通图中,其边数（） （A）最多有n-1条（B）至少有n-1条（C）最多有n 条（D）至少有n条 二、填空题（每题2分，共20分） 1.设P、Q是命题公式，填写如下的基本等价关系式： （1）┐(P∧Q)；（2）P Q； 2.n个命题变元有个互不等价的极小项。 3.设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有N k个k度顶点，N k+1个 k+1度顶点，则N k= 。 4.设集合S={α，β，γ，δ，ζ}，S上的运算*定义为 * αβγδζ ααβγδζ ββδαγδ γγαβαβ δδαγδγ ζζδαγζ 。 5.具有的图称为欧拉图。 6.设*是定义在集合A上的一个二元运算，θ为A中的一个元素，如果对于任一x∈A, 有，则称θ为A中关于运算*的零元。 7.是存在量词消去规则，简称ES规则。 8.R在A上是自反的? íR。 9.若偏序集A的每一个非空子集存在最小元，则称偏序集A为集。 10.设图G= 是图G的子图。 三、判断题（每题1分，共10分） 1.命题公式是重言式。（） 2.公式中的辖域为。（） 3.不可能有某种关系，既是对称的，又是反对称的。（） 4.在任何有向图中，所有结点的入度的平方和等于所有结点的出度的平方和。（） 5.设S={1，2}，则S在普通加法和乘法运算下都封闭。（） 6.PúQ是一个合取范式。（） 7.格〈L,≤〉所诱导的代数系统为〈L,∧，∨〉，则运算∧，∨满足结合律。（） 8.设函数f: A→B, 则f 的逆关系是函数当且仅当f 是双射。（） 9.群 10.在任意图中,存在奇数个度数为奇数的结点。（） 四、解答题（5小题，共30分） 1.（5分）简述Warshall在1962年提出的求传递闭包的方法。 2.（8分）求公式 Q→(P R) 的主析取范式和主合取范式。 3.（4分）设全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c},求P(A)-P(B)。 4.（9分）在二叉树中（1）求带权为2，3，5，7，8的最优二叉树T; （2）求T对应的二元 前缀码。 5.（4分）设S=Q Q，Q为有理数集合，*为S上的二元运算：对任意 6.五、证明（2小题，共20分） 1.（10分）用推理P,T规则证明：P→(Q→R)，R→(Q→S) P→(Q→S)。 2.（10分）设 ①证明：对于任意的,如果a*b=b*c则b=c。②通过证明e是A中的幺元,证明 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库05卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、选择题（每题2分，共20分） 1.下列是真命题的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.下列集合中哪个是最小联结词集( ) （A）（B）{,} （C） {,} （D） 3.设，S上关系R的关系图如下，则R具有( )性质 （A）自反性、对称性、传递性（B）反自反性、反对称性（C）反自反性、反对称性、传递性（D）自反性 4.设，*为普通乘法，则 （A）代数系统（B）半群（C）群（D）都不是 5.如右图相对于完全图K5的补图为( ) 6.设G是n个结点、m条边和r个面的连通平面图，则m等于( ) （A）n+r-2 （B）n-r+2 （C）n-r-2 （D）n+r+2 7.连通图G是一颗树,当且仅当满足下述条件中那一个（） （A）有些边不是割边。（B）每条边都是割边（C）每条边都不是割边（D）无割边集 8.设集合A={1,2,3,,10},在集合A上定义运算,不是封闭的为（） （A）（B）（最大公约数） （C）（最小公倍数）（D） 9.设R和S是集合A上的等价关系,则R S的对称性（） （A）一定不成立（B）一定成立（C）不一定成立（D）不可能成立 10.图G和G’的结点和边分别存在一一对应关系是G和G’同构的（） （A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 二、填空题（每题2分，共20分） 1.设P、Q是命题公式，填写如下的基本等价关系式： （1）P→Q；（2） P Q； 2.任意两个不同小项的合取为，全体小项的析取式为。 3.设S={a1，a2，…，a8}，B i是S的子集，且设B1={a8},则由B31所表达的子集 是。 4.设集合S={α，β，γ，δ，ζ}，S上的运算*定义为 * αβγδζ ααβγδζ ββδαγδ γγαβαβ δδαγδγ ζζδαγζ 。 5.n阶完全图K n的点色数X(K N)= 。 6.无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且。 7.*是定义在A上的一个二元运算， e是A中关于运算*的幺元。如果对于A中的一个元素a存 在着A中的某个元素b,使得，那么就称b是a的一个逆元。 8.是存在量词引入规则，简称EG规则。 9.设X和Y是任意两个集合，而 f 是X到Y的一个关系，如 果，称关系f 为函数。 10.设图G的子图为G’，如果 ,则称该图G’为G的生成子图。 三、判断题（每题1分，共10分） 1.命题公式是重言式。（） 2.设命题“所有的研究生都读过大学”符号化为： 。（） 3.A B当且仅当A∩B=A。（） 4.在有向图中，所有结点的入度平方之和等于出度平方之和。（） 5.设 6.对于n个结点的完全图K n，有X(K n)＝n。（） 7.Aè(B′C) = (AèB)′(AèC)（） 8.群中的运算不满足消去律。（） 9.质数阶群必定是循环群。（） 10. (x)(A(x)∨B(x)) ? (x)A(x)∨(x)B(x)（） 四、解答题（5小题，共30分） 1.（5分）什么是集合的划分，如何根据集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系？ 2.（8分）求公式┐(P∧R)∧(P∨Q)的主析取范式和主合取范式。 3.（4分）设A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。求集合(A-B)(B-C)。 4.（7分）在通讯中，八进制数字出现的频率如下：0：20%、1：30%、2：10% 、3：15%、4： 10%、5：5%、6：5%、7：5%, 求传输它们最佳前缀码（写出求解过程）。 5.（6分）某年级共有9门选修课程，期末考试前必须提前将这9门课程考完，每人每天只在 下午考一门课，若以课程表示结点，有一人同时选两门课程，则这两点间有边（其图如右），问至少需几天？ 五、证明（2小题，共20分） 1.（10分）用推理P,T规则证明：P→Q，P→R，R→S S→Q。 2.（10分）设，在上定义关系当且仅当 ，证明是上的等价关系，并求出[<2,5>]R。 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库06卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.设是人，犯错误,命题“没有不犯错误的人”符号化为( ) （A）（B）（C）（D） 2.下列公式是重言式的有( ) （A）（B）（C）（D） 3.设A={} ，B=Р(Р(A)) 下列( )表达式不成立 （A）（B）（C）（D） 4.下面偏序集( )能构成格 5.6阶有限群的任何子群一定不是( ) （A）2阶（B）3 阶（C）4 阶（D）6 阶 6.一棵无向树T有7片树叶，3个3度顶点，其余顶点均为4度。则T有( )个4度结点 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7.设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( ) （A）欧拉图（B）树（C）平面图（D）连通图 8.设R和S是集合A上的等价关系,则R S的对称性（） （A）不一定成立（B）一定不成立（C）一定成立（D）不可能成立 9.设G= （A）n-m-2 （B）m-n+2 （C）n+m-2 （D）m+n+2 10.在0____之间填上正确的符号是（） （A） = （B）（C）（D） 二、填空题（每题2分，共20分） 1.设P、Q是命题公式，填写如下的基本等价关系式： （1）┐(P∧Q)；（2）P Q； 2.若P，Q，为二命题，真值为F 当且仅当。 3.设考虑下列子集 ，，，。 ，。 则是A的覆盖的子集有，是A的划分的子集有。 4.设 （A）若a，b，x∈G，a x=b，则x= 。 （B）若a，b，x∈G，a x=a b，则x= 。 5.n阶无向完全图K n的边数是，每个结点的度数是。 6.无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，且。 7.一般来说，命题公式用联结词组表示。 8.是反对称的?R?R cí。 9.设函数f : A?B，g: C?D，如果A=C，B=D，且，则称函 数f和g相等，记作f = g。 10.在无向图G中，如果结点u和v之间，则结点u和v称为是连通 的。 三、判断题（每题1分，共10分） 1.若P为命题变元，P∧P为主合取范式。（） 2.如果A B，则有￢A￢B。（） 3.设R1和R2是集合A上的关系，且R1R2，则有t(R1) t(R2)。（） 4.在完全二元树中，若有片叶子，则边的总数。（） 5.独异点的运算表中任意两行都是不相同的。（） 6.任意平面图G最多是5-色的。（） 7.A′B = B′A （） 8.群中的运算不满足消去律。（） 9.质数阶群不一定是循环群。（） 10.("x)F(x) T($x)F(x)（） 四、解答题（5小题，共30分） 1.（5分）已知一个偏序关系，如何画出它的哈斯图？ 2.（8分）求公式(P→Q)(R P) 的主析取范式和主合取范式。 3.（6分）如右图给出的赋权图表示六个城市及架起城市间直接通讯线路的预测造 价。试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小，并计算出最小总造价。 4.（7分）构造H、A、P、N、E、W、R、对应的前缀码，并画出与该前缀码对应的二叉树，写出 英文短语HAPPY NEW YEAR的编码信息。 5.（4分）设全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。求集合(A B)C。 五、证明（2小题，共20分） 1.（10分）用推理P,T和CP规则证明：A∨B→C∧D，D∨E→F A→F。 2.（10分）R是实数集， 于R-{-1}中任意元素a,b都有a*b=a+b+ab，证明0是 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库07卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、选择题（每题2分，共20分） 1.设L(x)：x是演员，J(x)：x是老师，A(x , y)：x钦佩y，命题“所有演员都钦佩某些老师” 符号化为( ) （A）（B） （C）（D） 2.命题逻辑演绎的CP规则为( ) （A）在推演过程中可随便使用前提 （B）在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果 （C）设是含公式A的命题公式，，则可用B替换中的A （D）如果要演绎出的公式为形式，那么将B作为前提，演绎出C 3.下列命题正确的是( ) （A）（B） （C）（D） 4.设 （A）每个元素都至少有一个补元（B）每个元素都有多个补元（C）每个元素都无补元（D）每个元素都有一个补元 5.设，*为普通乘法。则代数系统的幺元为( ) （A）不存在（B）（C）（D） 6.下列图中( )是根树 （A）（B） （C）（D） 7.左图(0)相对于完全图K5的补图为( ) 8.集合A上的关系R是相容关系的必要条件是（） （A）自反、反对称的（B）反自反、对称的（C）传递、自反的（D）自反、对称的 9.公式G=P￢P ,则G是（）。 （A）永真的（B）永假的（C）可满足的（D）析取的 10.在图G= （A）（B）（C）（D） 二、填空题（每题2分，共20分） 1.设P、Q是命题公式，填写如下的基本等价关系式： （1）P→Q；（2） P Q； 2.论域D={1，2}，指定谓词P P (1，1) P (1，2) P (2，1) P (2，2) T T F F 则公式真值为。 3.下图所示的哈斯图中，是格的为。 4.在一个群〈G，*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是。 5.一个图的欧拉回路是一条通过图中的回路。 6.给定图G，若存在一条路满足，这条路称作汉密尔顿路。 7.一个代数系统 8.一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式。 9.设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y∈A, 都有，则称该二 元运算*是可交换的。 10.若图G=〈V,E〉满足，则G称为连通图。 三、判断题（每题1分，共10分） 1.若命题合式公式A的对偶式是A*，则A A*。（） 2.“今天你吃饭了吗？”这句话不是命题。（） 3.设S为集合X上的二元关系，则S是传递的当且仅当S S S。（） 4.不可能有偶数个结点，奇数条边的欧拉图。（） 5.有最大元和最小元的偏序集并不一定是格。（） 6.连通图的生成树是唯一的。（） 7.在任意图中,存在奇数个度数为奇数的结点。（） 8.群 9.设 （） 10.K5不是平面图。（） 四、解答题（5小题，共30分） 1.（5分）什么是集合的覆盖，如何根据集合A的一个覆盖确定A元素间的一个相容关系？ 2.（3分）设A={0,1,2}，B={0,2,4}，列出二元关系R={ 3.（8分）求公式 (P Q)( P R) 的主析取范式和主合取范式。 （10分）设集合Ａ＝{a,b,c,d}上的关系Ｒ＝{ 4.（6分）某年级共有9门选修课程，期末考试前必须提前将这9门课程考完，每人每天只在下午 考一门课，若以课程表示结点，有一人同时选两门课程，则这两点间有边（其图如右），问至 少需几天？ 五、证明（2小题，共20分） 1.（10分）用规则P ,T和CP推证：B∨D, (C→A)→D B→C。 2.（10分）设I+是正整数集，A={ A∧ 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库08卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、选择题（每题2分，共20分） 1.命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( ) 设D：全总个体域，F（x）：x是花，M(x) ：x是人，H(x,y)：x喜欢y （A）（B） （C）（D） 2.给定公式，当D={a,b}时，解释( )使该公式真值为F。 （A）P(a)=0、P(b)=0 （B）P(a)=0、P(b)=1 （C）P(a)=1、P(b)=1 （D）P(a)=1、P(b)=0 3.下面集合( )关于整除关系构成格 （A）{2,3,6,12,24,36} （B）{1,2,3,4,6,8,12} （C）{1,2,3,5,6,15,30} （D）{3,6,9,12} 4.Q为有理数集N，Q上定义运算*为a*b=a+b–ab，则 （A）a （B）b （C）1 （D）0 5.设n阶图G有m条边，每个结点度数不是k就是k+1，若G中有N k个k度结点，则N k=( ) （A）n×k （B）n×(k+1) （C）n×(k+1)-m （D）n×(k+1)-2m 6.设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则( ) （A）n=m （B） n=m+1 （C） m=n+1 （D）不能确定 7.集合A上的关系R是相容关系的必要条件是（） （A）自反、反对称的（B）反自反、对称的（C）传递、自反的（D）自反、对称的 8.Z是整数集合,对于下列*运算,哪个 （A）（B）（C ）（D ） 9.无向图G中的边e是其割边的充分必要条件是（） （A）边e是平行边（B）边e不是平行边 （C）边e不包含在G的任一简单回路中（D）边e不包含在G的某一回路中。 10.设集合A={1,2,3,,10},在集合A上定义运算,不是封闭的为（） （A ）（最小公倍数）（B ）（最大公约数） （C ）（D ） 二、填空题（每题2分，共20分） 1.设P、Q是命题公式，填写如下的基本等价关系式： （1）┐(P∨Q)；（2） P Q； 2.若解释I的论域D仅包含一个元素，则在I下真值为。 3.设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下： * a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c 那么代数系统 4.n个结点的有向完全图边数是，每个结点的度数 是。 5.给定图G，若存在一条回路满足，这个回路称作汉密尔顿回路。 6.含有的半群称为独异点。 7.要证明AíB ，必须证明。 8.设RíA′A 且A1?, 则r( R ) = 。 9.设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称二元运算 *在A上是封闭的。 10.简单有向图G=〈V,E〉中，任意一对结点间，至少有一个结点到另一个结点是可达的，则称 这个图为连通图。 三、判断题（每题1分，共10分） 1.关系R是对称的，当且仅当关系矩阵是对称的，或在关系图上，任两个结点间若有定向弧线， 必是成对出现的。（） 2.“这件作品多有创意！”这句话不是命题。（） 3.设集合S={1，2，3，4}，S上的关系R={<1，1>，<2，2>，<1，3>}，则R具有自反性。（） 4.无多重边的图是简单图。（） 5.循环群的任何子群必定是循环群。（） 6.连通图的生成树是不唯一的。（） 7.A?(B′C) = (A?B)′(A?C)（） 8.群中可以有零元。（） 9.如果〈L, ≤〉是格，S是L的子集且〈S, ≤〉是格，则〈S, ≤〉一定是〈L, ≤〉的子格。 （） 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作， 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式 《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的） 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则 第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每 一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故 G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G 本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G= 数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r 国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021 离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{1,2}，{2,3}，{1,3}， A B {1,2,3}} ，A B= {< 1,1>，<1,2>，<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3， 2> } ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {< 2,2>，<2,3>，<>，<> } ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R－1＝ {< 6，3>，<8，4> } ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={离散数学作业答案
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