静电场中的导体与电介质一章习题解答
习题8—1 A 、B 为两个导体大平板，面积均为S ，平行放置，如图所示。A 板带电+Q 1，B 板带电＋Q 2，如果使B 板接地，则AB 间电场强度的大小E 为：［ ］ (A)
S Q 012ε (B) S
Q Q 02
12ε- (C) S
Q 01ε (D) S Q Q 02
12ε+
解：B 板接地后，A 、B 两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数值分别为+Q 1和-Q 1，这时AB 间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即
S
Q
S Q S Q E 01010122εεε=+=
板间 所以，应该选择答案(C)。
习题8—2 C 1和C 2两个电容器，其上分别标明200pF(电容量)，500V(耐压值)和300pF ，900V 。把它们串联起来在两端加上1000V 的电压，则［ ］
(A) C 1被击穿，C 2不被击穿 (B) C 2被击穿，C 1不被击穿 (C) 两者都被击穿 (D) 两者都不被击穿 答：两个电容器串联起来，它们各自承受的电压与它们的电容量成反比，设C 1承受的电压为V 1，C 2承受的电压为V 2，则有
231221==C V V ①
100021=+V V ②
联立①、②可得
V 6001=V ， V 4002=V
可见，C 1承受的电压600V 已经超过其耐压值500V ，因此，C 1先被击穿，继而1000V 电压全部加在C 2上，也超过了其耐压值900V ，紧接着C 2也被击穿。 所以，应该选择答案(C)。
习题8—3 三个电容器联接如图。已知电容C 1=C 2=C 3，而C 1、C 2、C 3的耐压值分别为100V 、200V 、300V 。则此电容器组的耐压值为［ ］
(A) 500V (B) 400V (C) 300V (D) 150V (E) 600V
解：设此电容器组的两端所加的电压为u ，并且用C 1∥C 2表示C 1、C 2两电容器的并联组合，这时该电容器组就成为C 1∥C 2与C 3的串联。由于C 1= C 2=C 3，所以C 1∥C 2＝2C 3，故而C 1∥C 2承受的电压为u /3，C 3承受的电压为2u /3。
+Q 1 +Q 2
A B
习题8―1图
由于C 1∥C 2的耐压值不大于100V ，这要求
)V (1003≤u
即要求 )V (300≤u
同理，C 3的耐压值为300V ，这要求 (V)4503002
3
=?≤u
对于此电容器组的耐压值，只能取两者之较低的，即300V 。因此，应该选择答案(C)。
习题8—4 一个大平行板电容器水平放置，两极
板间的一半充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，
有一质量为m 、带电量为+q 的质点，平衡在极板
间的空气区域中，此后，若把电介质抽去，则该质点：［ ］
(A) 保持不动。 (B) 向上运动。 (C) 向下运动。 (D) 是否运动不能确定。 解：在抽出介质前，相当于左右两半两个“电容器”并联，由于这两个“电容器”电压相等，而右半边的电容又小于左半边的，因此由q =CU 公式可知，右半边极板的带电量小于左半边的。当抽去介质后，极板电荷重新分布而变为左右均匀，使得右半边极板电荷较抽出介质前为多，因此这时带电质点受到向上的静电力将大于其重力，它将向上运动。所以应当选择答案(B)。
习题8—5 一个平行板电容器充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距拉大，则两极板间的电势差U 12、电场强度的大小E 和电场能量W 将发生如下变化：［ ］
(A) U 12减小，E 减小，W 减小。 (B) U 12增大，E 增大，W 增大。 (C) U 12增大，E 不变，W 增大。 (D) U 12减小，E 不变，W 不变。 解：电容器充电后与电源断开，其极板上的电荷将保持不变。由公式
C
Q
U =12
当将电容器两极板间距拉大，其电容C 将减小，这将使其极板间的电势差U 12增大；因为极板电荷保持不变，使得板间场强 S
Q E 00εεσ== 亦不变；由电容器储能公式
122
1
QU W =
因电势差U 12增大而极板电荷保持不变，故电场能量W 将增大。综上所述，
应当
C 习题8―3图
习题8―4图
选择答案(C)。
习题8—6 一个平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两极板间距拉大，则极板上的电量Q 、电场强度的大小E 和电场能量W 发生如下变化：［ ］
(A) Q 增大，E 增大，W 增大。 (B) Q 减小，E 减小，W 减小。 (C) Q 增大，E 减小，W 增大。 (D) Q 增大，E 增大，W 减小。
解：电容器充电后仍与电源连接，其两极板间的电压U 12不变。若此时将电容器两极板间距拉大，其电容量C 将变小，由公式
12CU Q = 可知，极板上的电量Q 将减小；与此同时，由公式 d
U E 12
= 可知，极板间电场也将减小；又由公式
2
12
2
1CU W =
可知，电场能量W 将减小。综上所述，应当选择答案(B)。
习题8—7 一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则电场强度大小E 、电容C 、电压U 、电场能量W 四个量各自与充入介质前相比较，增大(↑)或减小(↓)的情形为：［ ］
(A) E ↑、C ↑、U ↑、W ↑(B) E ↓、C ↑、U ↓、W ↓ (B) E ↓、C ↑、U ↑、W ↓(D) E ↑、C ↓、U ↓、W ↑
解：设未充满电介质时电容器的电容为C 0，电压为U 0，场强为E 0，电场能 量为W 0。充满电介质后则有
001
U U U r
<=
ε
所以U ↓；电场强度的大小变为
0001E E d U d U E r
r <===
εε 所以E ↓；电容变为
0000C C U Q U Q C r r
>===
εε 所以C ↑；电场能量为
0002
0212121W W C Q C Q W r
r <=?=?=εε
所以W ↓。综上所述，应当选择答案(B)。
习题8—8 C 1和C 2两空气电容器并联起来接上电源充电，然后将电源断开，再把一电介质板插入C 1中，则：［ ］
(A) C 1和C 2极板上电量都不变。
(B) C 1极板上电量增大，C 2极板上电量不变。 (C) C 1极板上电量增大，C 2极板上电量减少。 (D) C 1极板上电量减少，C 2极板上电量增大。
解：充电后将电源断开，两电容器的总电量不变，即
常量=+21q q (※)
由于两电容器并联，它们的电势差U 相等，因此它们所带的电量(q =CU )与它们的电容量成正比，但因C 1中插入了介质板，所以C 1的电容量增加，即q 1↑，由(※)式可知，这时q 2 应当减少，所以应当选择答案(C)。
习题8—9 两个薄金属同心球壳，半径各为R 1和R 2(R 1 (A) U 1 (B) U 2 (C) U 1+U 2 (D) (U 1+U 2)/2 解：用导线将两球壳连起来，电荷都将分布在外球壳，现在该体系等价于一个半径为R 2的均匀带电球面，因此其电势为 2 02 14R q q U πε+= 原来两球壳未连起来之前，内球电势为 2 021 01144R q R q U πεπε+ = 外球电势为 2 02 12 022 012444R q q R q R q U πεπεπε+=+ = [或者：202 12022014442R q q dr r q r q dr E l d E U R πεπεπε+=???? ??+=?=?=???∞外ρρ] 因此， 2U U = 所以，应选择答案(B)。 习题8—10 一平行板电容器充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质，已 知介质表面极化电荷面密度为σ'±。则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：［ ］ (A) 0εσ' (B) r εεσ0' (C) 02εσ' (D) r εσ' 解：介质表面的极化电荷可以看成两个电荷面密度为σ'±的无限大平行平 面，由叠加原理，它们在电容器中产生的电场强度大小为 0022εσεσεσ' ='+'= 'E 所以，应当选择答案(A)。 习题8—11 两块面积均为S 的金属板A 和B 彼此平行放置，板间距离为d (d 远小于板的线度)，设A 板带电为q 1，B 板带电为q 2，则A 、B 两板间的电势差为：［ ］ (A) d S q q 0212ε+ (B) d S q q 0214ε+ (C) d S q q 0212ε- (D) d S q q 02 14ε- 解：如图所示，设A 、B 两块平行金属板的四个 表面的电荷面密度分别为1σ，2σ，3σ和4σ，则根 据电荷守恒有 121q S S =+σσ ① 243q S S =+σσ ② 根据静电平衡条件有 022220 4 030201=---εσεσεσεσ ③ 022220 4 030201=-++εσεσεσεσ ④ 联立解得 ?? ??? -= -=+==S q q S q q 222 1322141 σσσσ 根据叠加原理，两个外侧表面的电荷在两极板间产生的场强相互抵消；两内侧的 电荷在两板间产生的场强方向相同，它们最终在板间产生的场强为 S q q E 02 1020302222εεσεσεσ-= =+= A B 4 σ 2 σ 题解8―11图 因而A 、B 两板间的电势差为 d S q q Ed U AB 02 12ε-= = 可以看出，应该选择答案(C)。 习题8—12 一空气平行板电容器，两极板间距为d ，充电后板间电压为U 。现将电源断开，在两板间平行地插入一厚度为d /3的金属板，则板间电压变成U '= 。 解法Ⅰ：电源断开前后极板带电量不变，因而极间场强不变；由于在两板间平行地插入一厚度为d /3的金属板，相当于极板间距变为原来的2/3，因此，板间电压相应地也变为原来的2/3，即 U U ?='3 2 解法Ⅱ：设未将电源断开 (也未插入金属板) 时电容器的电容为C ，这时电容器极板的电压为 C q U = 将电源断开后极板的电量将保持不变，但因在两板间平行地插入一厚度为d /3的金属板，这相当于极板间距变为2d /3，因而电容器的电容变为 C C d d C d d C 2332=??? ? ??=?'= ' 因此，现板间电压为 U C C U ?='= '3 2 习题8—13 A 、B 为两个电容值都等于C 的电容器，A 带电量为Q ，B 带电量为2Q ，现将A 、B 并联后，系统电场能量的增量W ?＝ 。 解：A 、B 并联后，系统的等效电容为2C ，带电量为3Q ，因此，系统电场能量的增量为 C Q C Q C Q C Q W W W 42)2(22)3(212 222- =??????+-?=-'=? 习题8—14 一空气平行板电容器，其电容值为C 0。充电后电场能量为W 0。在保持与电源连接的情况下在两极板间充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质，则此时电容器的电容值C = ，电场能量W = 。 解：充满介质后，电容器的电容值增大了r ε倍，因此有0C C r ε=；由电容器储能公式 22 1 CU W = 充满介质后，两极板间电压U 不变，只是电容值增大了r ε倍，因而其能量相应地增大为原来的r ε倍，即0W W r ε=。 习题8—15 半径为0.1m 的孤立带电导体球，其电势为300V ，则离导体球中心30cm 处的电势为U = 。 解：孤立导体球的电量为 R RU CU Q 04πε== 其电荷分布是一个均匀带电球面，因而其电势分布为 R U r R r Q U == 04πε 把r =0.30m 、R =0.1m 及U R =300V 代入上式可得U =100V 。 习题8—16 半径为R 1和R 2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为r ε的均匀介质。设两筒上单位长度带电量分别为λ+和λ-，则介质中电位移矢量的大小为D = ；电场强度的大小为E = 。 解：取半径为r (R 1 h rhD S d D λπ==??2ρ ρ侧 因此 r D πλ2= 根据电位移与场强的关系可得 r D E r r επελ εε002= = 习题8—17 两个半径相同的金属球，相距很远。证明：该导体组的电容等于各孤立导体球的电容值的一半。 证明：设两球分别带电+Q 和﹣Q ，因为它们相距很远，各自都可以看作“孤立”的。该两球的电势差为 R Q R Q R Q U U U 000211224)(4πεπεπε=-- = -= 所以，该导体组的电容为 R U Q C 012 2πε== 而对于各孤立导体球的电容则为R C 004πε=，因此我们有 02 1C C = 证毕。 习题8—18 证明：半径为R 的孤立球形导体，带电量为2Q ，其电场能量恰与半径为R /4、带电量为Q 的孤立球形导体的电场能量相等。 证明：半径为R 的孤立球形导体的电容为 R C 014πε= 其带电为2Q 时的电场能量为 R Q R Q C Q W 02 021212424)2(21πεπε= ?=?= 同理，半径为R /4、带电量为Q 的孤立球形导体的电场能量为 102 022222)4(4221W R Q R Q C Q W ==??=?=πεπε 习题8—19 两块“无限大”平行导体 板，相距为2d ，都与地连接。在板间均 匀充满着正离子气体(与导体板绝缘)， 离子数密度为n ，每个离子的带电量为q ，如果忽略气体中的极化现象，可以认为电场分布相对于中心平面O O '是对称的。试求两板间的电场分布和电势分布。 分析：由于电场分布相对于中心平面O O '是对称的，因此求板间电场可以考虑用高斯定理。 解：设中心平面O O '处为X 轴的原点，可以看出，板间电场都与X 轴平行：在-d ∑?= ?i i S q S d E 0 1 ερρ 习题8―19图 即 ∑???? ?? = ?+ ?+ ?i i q S d E S d E S d E 侧面 左端面 右端面 1ερρρρρ ρ )2(1 00 S x nq S E S E ????= ??+??+ε 解得 x nq E ?= ε (-d 写成矢量式 i x nq E ρρ0 ε= 两板间任一点的电势为 )(222 00 x d nq xdx nq dx E l d E U d x d x -==?=?=???εερρ (-d 习题8—20 两根平行“无限长” 均匀带电直线，相距为d ，导线半径都是R (R < 解：建立如图所示的坐标系，则两线间任一点的场为 ) (22)(00x d x x E -+= πελ πελ 两线间的电势差 dx x d x dx E U R d R )11(20 12-+= ?=? ?-πελ R R d -= ln 0πελ 单位长度的电容为 R R d U C -== ln 12 0πελ ［注意：① 两线间的电场强度E 是两个带电直线共同产生，应当用统一坐标系表示；② 每一条导线作为导体，各自都是等势体，因此求电势差的积分限取R 到d －R 。］ 习题8—21 电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a ，外筒半径为b ，筒长都是L ，中间充满相对介电常数为 r ε 的各向同性均匀电介质，若内外筒分别带 题解8―20图 有等量异号电荷+Q 和－Q 。设b -a <>b ，可以忽略边缘效应，求 (1) 圆柱形电容器的电容；(2) 电容器储存的能量。 解：(1) 由于b -a <>b ，所以两个同轴圆筒可看成“无限长”，它们沿长度方向电荷线密度为±Q ∕L ，两筒间的场为 r L Q r E r r επεεπελ 0022== 两筒间的电势差为 a b L Q dr r L Q dr E U r b a r ab ln 21200επεεπε=?= ?=?? 圆柱形电容器的电容为 a b L U Q U q C r ab ab ln 20επε=== (2) 电容器储存的能量为 a b L Q C Q W r e ln 421022?=?=επε 习题8—22 半径为R 的金属球，球上带电荷－Q ，球外充满介电常数为ε的各向同性的均匀电介质，求电场中储存的电场能。 解法Ⅰ：由高斯定理容易求得带电金属球内外的场分布 ?? ???-=,4,02r Q E πε 显然，电场能量密度为 4 22 23221r Q E e επε==w 在距金属球球心为r 处取厚度为dr 的薄球壳体积元，其体积为dr r dV 24π=，在 其内储存的电场能为 dr r Q dV dW e e 2 2 8πε=?=w 因此，金属球电场中储存的电场能为 R Q r dr Q dW W R V e e πεπε 882 22 == =??∞ 解法Ⅱ：孤立导体球(球外充满介电常数为ε的各向同性的均匀电介质)的电容为 R C πε4= ０≤r ＜R r ＞R 电容器储能公式，可以求得金属球电场中储存的电场能为 R Q C Q W e πε8212 2=?= ［注：比较两种方法，容易看出第二种方法更简单。］ 习题8—23 半径分别为 1.0cm 与 2.0cm 的两个球形导体，各自带电量C 100.18-?，两球心间相距很远。若用细导线将两球相接，求：(1) 每个球所带的电量；(2) 每个球的电势。 解：(1) 两个球用导线连接后，电荷重新分布，设这时两球分别带电为q 1 和q 2，由电荷守恒有 q q q =+21 ① 式①中q 为连接前两球的总带电量，C 100.28-?=q 。用导线连接后两球等势 21R R U U = 即 2 021 0144R q R q πεπε= ② 联立①、②解得 C 1067.6100.22 11 982111--?=??+=+= R R q R q C 103.13100.22 12 982122--?=??+=+= R R q R q (2) 由于两球相距很远，它们的相互影响可以忽略，可以看成孤立、均匀带 电的导体球，因此它们的电势为 V 100.6100.11067.6100.9432991 011?=?÷???== --R q U R πε V 100.6312?==R R U U ［注意：该题中的两球体是导体球，它们带的电只能分布在外表面；而且两者相距很远，都可以看作是表面均匀带电，因此，应该按均匀带电球面来计算它们的电势。］ 习题8—24 两个电容器的电容之比为C 1∶C 2=1∶2。 (1) 把它们串联后接到电压一定的电源上充电，它们的电能之比是多少? (2) 如果是并联充电，电能之比是多少? (3) 在上述两种情况下电容器系统的总电能之比是多少? 解：(1) 两个电容器串联它们的带电量相等，根据公式 C q W 2 21?= 可知它们的电能与电容量成反比，因此有 121221==C C W W (2) 两个电容器并联它们的电压相等，根据公式 22 1 CU W = 可知它们的电能与电容量成正比，因此有 212121==C C W W (3) 在以上两种情况下电容器系统的电容分别为 2 12 1C C C C C += 串 ； 21C C C +=并 由于电源电压一定，因此两种情况下电容器系统的总电能应与它们的电容成正比，所以有 2 2 21212 1221212)(C C C C C C C C C C C C W W ++=+= =并串并串 921 22211 211221=++=++= C C C C 习题8—25 一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm ，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的介质，该介质的击穿电场强度大小为E 0=200kV/cm ，试求该电容器可能承受的最高电压。 解：设该电容器的内、外柱半径分别为a 和b ，内、外柱带电分别为λ和λ-，则内、外柱间的场分布为 r E πελ 2= (a E E a r πελ 20=== 两极间的电势差 a b aE a b r dr Edr U b a b a a b ln ln 220====? ?πελπε λ (﹡) 根据最值条件，可令 0)1(ln ln 0200=-=??? ??-??-=a b E a b b a aE a b E da dU ab ∴ 1ln =a b ， e b a = 代入(﹡)式即可得到该电容器可能承受的最高电压 V 1047.17182 .2102002530max ?=??==E e b U 习题8—26 图示为一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表附近的电场强度最小? 并求这个最小电场强度的大小。 解：内外导体间的电势差满足下面关系 )1 1(40b a q U -=πε ① 内球表面附近的电场强度可表示为 2 04a q E πε= ② 把①代入②得 22)11(a ab bU a b a U E -=-= ③ 把③对a 求导数并令其等于零 0)() 2(2 22=--= ??? ??-=a ab b a bU a ab bU da d da dE 解得 2 b a = 所以，当a =b /2时，内球表附近的电场强度最小；这个最小电场强度的大小为 b U b b bU a ab bU E 44 2222min =-=-= 习题8—27 图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内、外筒半径分别为R 1和R 2，两筒间为空气，内、外筒电势分别为U 1=2U 0，U 2=U 0，U 0为一已知常量。求两金属筒之间的电势分布。 解：两金属筒之间的电势差为 习题8―26图 习题8―27图 1 200 00012ln 2222 1 2 1 R R r dr dr E U U U U R R R R πελ πελ== ?==-=? ? 所以 1 200ln 2R R U =πελ 设距轴线为r (R 1 r R R R U r R r dr dr E U r U R r R r 21202000ln )ln(ln 22)(22 ?==?=?=-? ?πελ πελ 因此， r R R R U U r U 21200ln )ln()(?+ = 这就是两金属筒之间的电势分布。 ［该步也可以有如下等价作法：因内筒与r 处的电势差为 1120100ln )ln(ln 2)(21R r R R U R r Edr r U U r R ?=?= =-?πελ 所以， 1 1200ln )ln(2)(R r R R U U r U ?- =］ 习题8—28 一电容为C 的空气平行板电容器，接上端电压U 为定值的电源充电。在电源保持连接的情况下，试求把两个极板间距增大至n 倍时外力所作的功。 分析：由于电源保持连接，所以在把两个极板间距拉大的过程中，外力与电源共同对系统作功，拉大的过程所满足的功能关系应为 e W A A ?=+电源外 我们只要算出系数能量的增量e W ?和电源作的功电源A 就能求得外力的功外A 。 解：因为保持与电源连接，因而两极间的电势差U 不变。由于在极板间距拉大的过程中，电容器的电容从 d S C 0ε= 变到 n C nd S C = ='0ε 所以电容器能量的增量为 0)11 (212121222<-=-'= -'=?n CU CU U C W W W e 在极板间距拉大的过程中，电容器上带电从Q 变到Q '，电源所作的功为 0)11 ()()(2<-=-'=-'=n CU U CU U C U Q Q A 电源 由功能关系 e W A A ?=+电源外 可得外力所作的功为 )11()11(2122---= -?=n CU n CU A W A e 电源外0)1 1(212>-=n CU 可见，在极板间距拉大的过程中外力作正功。 [注意：①对电容器来说，保持与电源连接，其两极电压U 不变，可用公式 22 1 CU W e =来进行计算或讨论其能量；若充电后断开电源，则极板带电量Q 不 变，这时可用公式C Q W e 2 21?=来进行计算或讨论其能量。②计算作功要搞清系 统和外界，对本题“外界”有两家：外力和电源；对如2000.1习题集15—112题就与此题不同，可参见以下的本章补充习题答案。] 静电场中的导体和电介质一章补充习题答案 习题15—112(2000.1习题集) 一平行板电容器的极板面积为S =1m 2，两极板夹着一块d =5mm 厚的同样面积的玻璃板。已知玻璃的相对介电常数r ε=5。电容器充电到电压U =12V 以后切断电源，求把玻璃板从电容器中抽出来外力需作多少功。 分析：电源已切断，只有外力作功，功能关系为：e W A ?=外。 解：切断电源前后极板上电荷不变，该电荷为切断电源前的电荷： C 10062.110 512151085.87 3 120---?=?????=?= =U d S CU Q r εε 式中C 为未抽出玻璃板时电容器的电容值。当抽出玻璃板后，电容器的电容值变为 F 1077.110 511085.893120---?=???=='d S C ε 根据功能关系，可得抽出玻璃板过程中外力所作的功为 )1 1(22121222r e C Q C Q C Q W W W A ε-'=?-'?=-'=?=外 J 1055.2)511(10 77.12)10062.1(69 27---?=-????= 习题15—89 在带电量为+Q 的金属球产生的电场中，为测量某点的场强E ρ ，在 该点引入一带电量为+Q /3的点电荷。若测得其受力为F ρ ，则该点场强大小为［ ］ (A) Q F E 3= 。 (B) Q F E 3>。 (C) Q F E 3<。 (D) 无法判断。 说明：因为引入的测场强的试验电荷的带电量太大了，以至于其场影响了原 来金属球上的电荷分布，从而影响了原来的场分布，使得测量值并不等于该点的原来的场强。具体情况为：该试验电荷所带的正电荷把金属球上的部分正电荷推向远离自己所在点的一面，使金属球上的正电荷中心远离试验电荷所在的点，因而使测得的力F 要小一些，所以3F /Q 也必然比该点原来的场要小。因此，应当选择答案(B)。 习题15—93 把A 、B 两块不带电的导体放在一带正电的导 体的电场中，如图所示，设无限远处为电势零点，A 点电势为U A ，B 点电势为U B ，则［ ］ (A) 0≠>A B U U 。 (B) 0=>A B U U 。 (C) A B U U =。 (D) A B U U <。 说明：可定性画出一些电力线，画法是从正电荷出发而止于负电荷，如图所示。可见电力线大致上是从带正电的导体出发到A ，再到B ，再到无限远处，依照“电力线总是指向电势降低的方向”的原则，可以判断出U b 习题15—119(2000.1习题集) 一“无限大” 空气平行板电容器，极板A 和B 的面积都是S ，两极板相距为d ，连接电源后，A 板电势U A =0。现将一带电量为q ，面积也为S 而厚度可忽略不计的导体片C 平行地插在两极板中间位置，如图所示。则导体片C 的电势为U C = 。 解：电容器两极板与电源连接，两板间电压V 保持不变。单纯由两板电荷在板间产生的场强为 d V E =0 由于V 恒定，故E 0亦不变。现在可以把问题转化，看成是在E 0的外场中引入导体C 。因为U A =0，所以欲求C 的电势就等价于求C 、A 间的电势差，为此，得先求出C 、A 间的场强E 2。根据叠加原理 习题15―93图 S q d V E E E C 0022ε+= += C 、A 间的电势差——C 板的电势为 S qd V d E U C 02422ε+=? = ［注：在本题的求解中，我们把导体薄片C 看成是一个纯粹的带电平面，这样做是完全可行的。这是因为，若把C 看成两个表面都带电的话，其产生的场为 S q S S E C 0021210020122)()(2122εεσσσσεεσεσ=+=+=+= 这与看成是一个纯粹的带电平面得到的结果完全一样。］ 第七章 静电场中的导体、电介质 一、选择题： 1. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ，如 图所示，则板外两侧的电场强度的大小为：[ ] （A ）E=02εσ （B ）E=02εσ （C ）E=0εσ （D ）E=02d εσ 2. 两个同心薄金属体，半径分别为R 1和R 2（R 2>R 1），若分别带上电量为q 1和q 2的电荷，则 两者的电势分别为U 1和U 2（选无穷远处为电势零点），现用导线将两球壳相连接，则它们的 电势为[ ] （A ）U 1 （B ）U 2 （C ）U 1+U 2 （D ）2 1（U 1+U 2） 3.如图所示，一封闭的导体壳A 内有两个导体B 和C ，A 、C 不带电， B 带正电，则A 、B 、 C 三导体的电势U A 、U B 、U C 的大小关系是 （A ）U A =U B =U C （B ）U B > U A =U C （C ）U B >U C >U A （D ）U B >U A >U C 4.一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ，则板的两侧离板的距离均为 h 的两点a 、b 之间的电势差为： [ ] （A ）零 （B ）02εσ （C ）0εσh （D ）02εσh 5. 当一个带电导体达到静电平衡时： [ ] (A) 表面上电荷密度转大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势。 (C)导体内部的电势比导体表面的电势高。 (D)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。 6. 如图示为一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、 外半径分别为r 1、r 2的金属球壳、设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为： [ ] 第四章 静电场 本章提要 1．电荷的基本性质 两种电荷，量子性，电荷首恒，相对论不变性。 2．库仑定律 两个静止的点电荷之间的作用力 12122 2 04kq q q q r r = = F r r πε 其中 9 2 2 910(N m /C )k =?? 12 2-1 -2 018.8510 (C N m ) 4k -= =??επ 3．电场强度 q = F E 0q 为静止电荷。由 10102 2 04kq q q q r r == F r r πε 得 112 2 04kq q r r = = E r r πε 4．场强的计算 （1）场强叠加原理 电场中某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。 i = ∑E E （2）高斯定理 电通量：在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定S ?=?S n ， θ为E 与n 之间的夹角，通过S ?的电场强度通量定义为 e cos E S ?ψ=?=??v S θ 取积分可得电场中有限大的曲面的电通量 ψd e s S = ??? E 高斯定理：在真空中，通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有电荷电量的代数和除以0ε，与封闭曲面外的电荷无关。即 i 0 1 d s q = ∑?? E S 内 ε 5．典型静电场 （1）均匀带电球面 0=E （球面内） 2 04q r πε= E r （球面外） （2）均匀带电球体 3 04q R πε= E r （球体内） 204q r πε= E r （球体外） （3）均匀带电无限长直线场强方向垂直于带电直线，大小为 02E r λ πε= （4）均匀带电无限大平面场强方向垂直于带电平面，大小为 2E σ ε= 6．电偶极矩 电偶极子在电场中受到的力矩 =?M P E 思考题 4-1 02 0 4q q r = = πεr 与F E E 两式有什么区别与联系。 思考题 13-1 尖端放电的物理实质是什么？ 答： 尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去。 13-2 将一个带电+q 半径为R B 的大导体球B 移近一个半径为R A 而不带电的小导体球A ，试判断下列说法是否正确？并说明理由。 (1) B 球电势高于A 球。 答： 正确。不带电的导体球A 在带电+q 的导体球B 的电场中，将有感应电荷分布于表面。另外，定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电势逐点降低，又由图看出电场线自导体球B 指向导体球A ，故B 球电势高于A 球。 (2) 以无限远为电势零点，A 球的电势: V A < 0 答： 不正确。若以无穷远处为电势零点V ∞＝0，从图可知A 球的电力线伸向无穷远处。所以，V A ＞0。 13-3 怎样能使导体净电荷为零 ，而其电势不为零? 答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有∑=0q 而导体的电势V ≠0 。 图13-37 均匀带电球体的电场能 13-4 怎样理解静电平衡时导体内部各点的场强为零？ 答： 必须注意以下两点： （1） 这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元。对于微观点，例如导体中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零； （2） 静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电荷除静电场力以外不受其他力（如“化学力”）的情况下才能成立。 13-5 怎样理解导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比？ 答： 不应产生这样的误解：导体表面附近一点的场强，只是由该点的一个面电荷元S ?σ产生的。实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强。如果场中不止一个导体，则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献。 13-6 为什么不能使一个物体无限制地带电？ 答： 所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷。当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电量的增加而增大。带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子和离子，这些游离的电子和离子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附近的大气被击穿。在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到带电体上，使带电体的电量减少。所以一个物体不能无限制地带电。如尖端放电现象。 13-7 感应电荷的大小和分布怎样确定？ 答： 当施感电荷Q 接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷±q ′。其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷 第十章 静电场中的导体和电介质 一 选择题 1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 2 02 00π4 . D ) (π4 . C π4 . B π4 .A R) (a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势 ??'±'±='= ' = 'q q q R R q V 0d π41π4d 00 εε 点电荷q 在球心处的电势为 a q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a q V V V 00π4ε= '+=。 所以选（A ） 2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( ) 2 . D . C 2 . B 2 .A εd E= εE= E E σσεσ εσ= = 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0 εσ= E 。 所以选（C ） 3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d 103 第八章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。 2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。 3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡 导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量 在均匀各向同性介质中 E E D r εεε0== 介质中的高斯定理 ∑??=?i i s Q s d D 自 3．电容器的电容 U Q C ?= 电容器的能量 C Q W 2 21= 4．电场的能量 电场能量密度 D E w ?= 2 1 电场能量 ? = V wdV W 三、例题 8-1 下列叙述正确的有（Ｂ） （Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。 104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。 解：选（B ）。由高斯定理??∑=?0/εi i q s d E ，由 ∑=?=00φq ，但场强则 不一定为零，如上题。 （C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。 8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为 R Q U 0114πε- = 点电荷Ｑ2在球心的电势为 R Q R Q U 02 0221234πεπε= ?= 所以，O 点的总电势为 R Q Q U U U 01 2210123ε-= += 由于整个导体球壳为等势体，则 0U U A =R Q Q 01 2123ε-= 8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。 解：连接前，空心球电势R Q U 2401 1πε= ，所以带电量为 第7章 静电场中的导体和电介质 7.1 要求 1、了解导体静电平衡条件和电介质的极化，了解电容器； 2、掌握计算电容器容量的方法； 3、能熟练应用电介质中的高斯定理以及安培环流定理。 7.2 内容提要 1、静电感应现象 当一个不带电的导体放在电场强度0E 的静电场中，在最初短暂的时间内 （约s 1410-数量级）导体内会有电场存在，驱使电子作定向运动，必然引起导 体内部正、负电荷的重新分布，最后达到静电平衡。在导体的两端出现等量、 异号的电荷，这种现象称为静电感应现象。 2、导体静电平衡状态 导体静电平衡时，其内部场强处处为零，导体内部和表面都没有电荷的定 向移动，导体所处的这种状态称为导体静电平衡状态。 3、导体静电平衡条件 导体内任一点的电场强度都等于零。在带电导体上，电荷只分布在导体的 表面上，导体内部处处都没有未被抵消的净电荷。 推论一：导体是等势体，其表面是等势面 0,=?=-=?b a b a b a d U U U U ； 推论二：导体表面的场强都垂直导体表面（力线正交等势面）。 4、导体的面电荷密度与场强的关系 导体表面附近的场强在数值上等于该处面电荷σ的0/1ε，方向为导体表面 的法线方向，即 n E 0 εσ=。 导体表面各处的电荷分布与其曲率有关，凸出而尖端的地方曲率较大，电 荷面密度较大；平坦的地方曲率较小，电荷面密度较小，凹陷的地方曲率为负， 电荷面密度更小。在导体尖端的附近电场特别强，会发生尖端放电。 5、电容 （1）、孤立导体的电容 附近没有其他导体和带电体的孤立导体，它所带的电量Q 与其电势U 成正 比，即 U Q C =，式中比例系数C 称为孤立导体的电容，它与导体的形状和大小有关，而与Q 和U 无关。电容反映了导体储存电荷和电能的能力，其 单位是F （法拉），在实际中常用F μ和pF 。 （2）、平板电容器的电容 d S C S Q Ed U E 00,,,εσεσ==== （3）、圆柱形电容器的电容 第6章 静电场中的导体与电介质 一、选择题 1. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高 (C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过 [ ] 2. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 [ ] 3. 当一个带电导体达到静电平衡时 (A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高 [ ] 4. 一个带正电的小球放入一个带等量异号电荷、半径为R 的球壳中，如图1所示．在距球心为r (R r <)处的电场与放入小球前相比将 (A) 放入前后场强相同 (B) 放入小球后场强增加 (C) 因两者电荷异号, 故场强减小 (D) 无法判定 [ ] 5. 设无穷远处电势为零, 半径为R 的导体球带电后其电势为V , 则球外离球心距离为r 处的电场强度大小为 (A) 23R V r (B) V r (C) 2RV r (D) V R [ ] 6. 有两个大小不等的金属球, 其大球半径是小球半径的两倍, 小球带有正电荷．当用金属细线连接两金属球后 (A) 大球电势是小球电势的两倍 (B) 大球电势是小球电势的一半 (C) 所有电荷流向大球 (D) 两球电势相等 [ ] 7. 在某静电场中作一封闭曲面S ．若有 ??=?s S D 0d ? ρ, 则S 面内必定 (A) 没有自由电荷 (B) 既无自由电荷, 也无束缚电荷 (C) 自由电荷的代数和为零 (D) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 [ ] 8. 有一空气球形电容器, 当使其内球半径增大到两球面间的距离为原来的一半时, 此电容器的电容为 (A) 原来的两倍 (B) 原来的一半 (C) 与原来的相同 (D) 以上答案都不对 [ ] 9. 一均匀带电Q 的球体外, 罩一个内、外半径分别为r 和R 的同心金属球壳，如图2所示．若以无限远处为电势零点, 则在金属球壳r ＜R ＇＜R 的区域内 q 图1 大学物理课后答案第 七章静电场中的导 体和电介质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 习题7 7-2 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题7-2图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少以地的电势为零，则A 板的电势是多少 解: 如题7-2图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为 2σ 题7-2图 (1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d 21===AC AB AB AC E E σσ 且 1σ+2σS q A = 得 ,32S q A = σ S q A 321=σ 而 711023 2 -?-=- =-=A C q S q σC C 10172-?-=-=S q B σ (2) 30 1 103.2d d ?== =AC AC AC A E U εσV 3 7-3 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算： (1)外球壳上的电荷分布及电势大小； (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势 题7-3图 ? ? ∞ ∞==?=2 2 020π4π4d d R R R q r r q r E U εε (2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生： 0π4π42 02 0=- = R q R q U εε (3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且 0π4' π4'π4'2 02 01 0=+-+ - = R q q R q R q U A εεε 第6章静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. 一个不带电的导体球壳半径为r , 球心处放一点电荷, 可测得球壳内外的电场．此后将该点电荷移至距球心r/2处, 重新测量电场．试问电荷的移动对电场的影响为下列哪 一种情况? [ ] (A) 对球壳内外电场无影响 (B) 球壳内外电场均改变 (C) 球壳内电场改变, 球壳外电场不变 T6-1-1图 (D) 球壳内电场不变, 球壳外电场改变 2. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 [ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高 (C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过 3. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 [ ] (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 4. 当一个带电导体达到静电平衡时 [ ] (A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高 T6-1-5图 5. 一点电荷q放在一无限大导体平面附近, 相距d, 若无限大导体平面与地相连, 则导体平面上的总电量是 [ ] (A) qq (B) - (C) q (D) -q 22 6. 在一个绝缘的导体球壳的中心放一点电荷q, 则球壳内、外表面上电荷均匀分布．若 使q偏离球心, 则表面电荷分布情况为 [ ] (A) 内、外表面仍均匀分布 (B) 内表面均匀分布, 外表面不均匀分布 (C) 内、外表面都不均匀分布 (D) 内表面不均匀分布, 外表面均匀分布 7. 带电量不相等的两个球形导体相隔很远, 现用一根细导线将它们连接起来．若大球半径为m, 小球半径为n, 当静电平衡后, 两球表面的电荷密度之比σ m／σ n 为 mnm2n2 [ ] (A) (B) (C) 2 (D) 2 nmnm 8. 真空中有两块面积相同的金属板, 甲板带电q, 乙板带电Q．现 将两板相距很近地平行放置, 并使乙板接地, 则乙板所带的电量为 [ ] (A) 0 (B) －q (C) - q+Qq+Q (D) 22 T6-1-8图 9. 在带电量为+q的金属球的电场中, 为测量某点的电场强度E, 现在该点放一带电量为(+q/3)的试验电荷, 电荷受力为F, 则该点的电场强度满足 6F 3F[ ] (A) E> (B) E> qq 3F 3FT6-1-9图 (C) E< (D) E= qq 测得它所受力为F．若考虑到q不是足够小, 则此时F/q比P点未放q 时的场强 [ ] (A) 小 (B) 大 (C) 相等 (D) 大小不能确定 10. 在一个带电量为Q的大导体附近的P点, 置一试验电荷q, 实验 大学物理第7章静电 场中的导体和电介质课后习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球 上电荷分布的影响。试证明：R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+= =??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π41 00εε+ ? 03π4π400=+'=R q R q εε 第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明： R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+==??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π4100εε+ ? 03π4π400=+'= R q R q εε 故 - ='q 3 q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。 （1）求导体球和球壳的电势1V 和2V ； （2）如果将球壳接地，求1V 和2V ； （3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求1V 和2V 。 解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。 半径为R 、带电量为q 的均匀带电球面产生的电势分布为 ???????>≤=)( 4)( 400 R r r q R r R q V πεπε 导体球外表面均匀带电q ；导体球壳表面均匀带电q -，外表面均匀带电Q q +，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。 导体球是等势体，其上任一点电势为 )( 413 210 1R Q q R q R q V ++-= πε 球壳是等势体，其上任一点电势为 一、选择题 [ B ］1（基础训练2） 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它 平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷 面密度为+σ ，则在导体板B 的两个表面 1和2上的感生电荷面密度为： (A) σ 1 = - σ， σ 2 = + σ． (B) σ 1 = σ21- ， σ 2 =σ2 1 +． (C) σ 1 = σ21- ， σ 1 = σ2 1 -． (D) σ 1 = - σ， σ 2 = 0． 【提示】“无限大”平面导体板B 是电中性的：σ 1S+σ 2S=0， 静电平衡时平面导体板B 内部的场强为零，由场强叠加原理得： 02220 2010=-+εσεσεσ 联立解得： 122 2 σ σ σσ=- = [ C ］2（基础训练6）半径为R 的金属球与地连接。在与球心O 相距d =2R 处有一电荷为q 的点电荷。如图所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q ' 为： (A) 0． (B) 2q ． (C) -2 q ． (D) -q ． 【提示】静电平衡时金属球是等势体。金属球接地，球心电势为零。球心电 势可用电势叠加法求得： 000'044q dq q R d πεπε' +=?， 00' 01'44q q dq R d πεπε=-?， 'q q R d =-，其中d = 2R ，'2q q ∴=- ［ C ］3（基础训练8）两只电容器，C 1 = 8 μF ，C 2 = 2 μF ，分别把 它们充电到 1000 V ，然后将它们反接(如图所示)，此时两极板间的电势差 为： (A) 0 V ． (B) 200 V ． (C) 600 V ． (D) 1000 V 【提示】反接，正负电荷抵消后的净电量为 661212(82)101000610Q Q Q C U C U C --=-=-=-??=? 这些电荷重新分布，最后两个电容器的电压相等，相当于并联。并联的等效电容为 512C'10C C F -=+=，电势差为'600()' Q U V C = =。 ［ D ］4（基础训练10）两个完全相同的电容器C 1和C 2，串联后与电源连接。现将一各向同性均匀电介质板插入C 1中，如图所示，则(A) 电容器组总电容减小． (B) C 1上的电荷大于C 2上的电荷． (C) C 1上的电压高于C 2上的电压 ．(D) 电容器组贮存的总能量增大． 【提示】(A) C 1↑，1/C=(1/C 1)+(1/C 2)，∴C ↑ (B) 串联，Q 1=Q 2 (C) U 1=Q/C 1，U 2=Q/C 2 ，∴U 1 第十章 大学物理辅导 静电场中的导体和电介质 ～53 ～ 第十章 静电场中的导体和电介质 一、教材的安排与教学目的 1、教材安排 本章的教材安排，讲授顺序可概括为以下五个方面： （1）导体的静电平衡； （2）电介质的极化规律； （3）电位移矢量和有介质时的高斯定理； （4）电容和电容器； （5）电容器的储能和电场的能量。 2、教学目的 本章的教学目的是： （1）使学生确切理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡导体的基本性质； （2）使学生了解电介质极化的机构，了解极化规律；理解电位移矢量的定义和有介质时的高斯定理； （3）使学生正确理解电容概念，掌握计算电容器的方法。 （4）使学生掌握电容器储能公式，并通过电容器的储能了解电场的能量。 二、教学要求 1、掌握导体的静电平衡条件，明确导体与电场相互作用的大体图象； 2、了解电介质的极化规律，清楚对电极化强度矢量是如何定义的，明确极化强度由总电场决定，并且'=σθP cos ； 3、理解电位移矢量的定义，注意定义式 D E P =+ε0是普遍适用的，明确 D 是一个 辅助矢量； 4、掌握有介质时的高斯定理； 5、掌握电容和电容器的概念，掌握电容器电容的计算方法； 6、了解电容器的储能和电场能量 三、内容提要 1、导体的静电平衡条件 （1）导体的静电平衡条件是导体内部场强处处为零。所谓静电平衡，指的是带电体系中的电荷静止不动，因而电场分布不随时间而变化。导体的特点是体内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以移动从而改变电荷的分布。电荷分布的改变又会影响到场的分布。这样互相影响，互相制约，最后达到静电平衡。 （2）从导体的静电平衡条件出发，可以得出三个推论 导体是个等势体，表面是个等势面； 导体表面外侧的场强方向处处垂直于表面，并且有导体内部无净电荷，即电荷体密度，电荷只分布在导体表面。 ；E =??? ??? =σερ00 2、电介质的极化规律 第七章 静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. （★★）一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。在腔内离球心的 距离为a 处（a 第七章 真空中的静电场 7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。 解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为 )41()2 2( 420+= a q F πε＝,252 0a q πε方向由q 指向-4q 。 7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。（1） 求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。 解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝λd ξ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则 2 02 0)(4)(4ξπεξ λξπεξ λ-= -= x d x d dE 则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为 )1 1(4)(400 20 x L x x d E L --=-= ? πελξξπελ ＝ ) (40L x x L -πελ方向沿ξ轴正向。 （2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y 2 04r dx dE πελ= θπελcos 42 0r dx dE y = ， θπελsin 42 0r dx dE x = 因θ θθθcos ,cos ,2y r d y dx ytg x ===， 习题7－1图 dq ξ d ξ 习题7－2 图a x x dx 习题7－2 图b y 代入上式，则 )cos 1(400θπελ-- =y ＝)1 1(4220L y y +--πελ，方向沿x 轴负向。 θθπελ θd y dE E y y ??= =0 0cos 4 00sin 4θπελy = ＝ 2204L y y L +πελ 7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。 解：如图，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为dq=λRd θ。对称分析E y =0。 θπεθ λsin 42 0R Rd dE x = ??==πθπελ 00sin 4R dE E x R 02πελ = 2 02 2R q επ= ，如图，方向沿x 轴正向。 7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l 、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。 解：在λ2的带电线上任取一dq ，λ1的带电线是无限长，它在dq 处产生的电场强度由高斯定理容易得到为， x E 01 2πελ= 两线间的相互作用力为 θ θπελ θd y dE E x x ??-= -=0 0sin 4x 习题7－3图 λ1 习题7－4图 第9章静电场中的导体和电介质 什么是导体什么是电介质 静电场中的导体静电平衡 9.1.1 静电感应静电平衡 金属导体：金属离子+、自由电子- 1、静电感应：在外电场作用下，导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。（感应电荷与外加电场相互影响，比如金属球置于匀强电场中，外电场使电荷重新分布，感应电荷的分布使均匀电场在导体附近发生弯曲。） 2、导体静电平衡条件 不受外电场影响时，无论对整个导体或对导体中某一个小部分来说，自由电子的负电荷和金属离子的正电荷的总量是相等的，正负电荷中心重合，导体呈现电中性。 若把金属导体放在外电场中，比如把一块金属板放在电场强度为0E r 的匀强电场中，这时导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力作用下作宏观定向运动，自由电子逆着电场方向移动，从而使导体中的电荷重新分布。电荷重新分布的结果使得金属板两侧会出现等量异号的电荷。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。 感应电荷在金属板的内部建立起一个附加 电场，其电场强度'E r 和外在的电场强度0E r 的方向相反。这样，金属板内部的电场强度E r 就是0 E r 和'E r 的叠加。开始时0'E E <，金属板内部的 电场强度不为零，自由电子会不断地向左移动， 从而使'E r 增大。这个过程一直延续到金属板内部的电场强度等于零，即0'0E E E =+=r r r 时为止。这时，导体上没有电荷作定向运动，导体处于静电平衡 状态。 当导体处于静电平衡状态时，满足以下条件： 静电场中的导体与电介质考试题及答案 6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ） （A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。 6 －2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地 分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。因而正确答案为（A ）。 6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0= = （B ）d εq V d εq E 02 0π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）R εq V d εq E 020π4,π4== 分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q ′，导体球表面的感应电荷±q ′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（A ）。 6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( ) （A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关 分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为（E ）。 6 －5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ） （A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍 （C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该 大学物理课后答案解析第七章静电场中的导体及电介质1习题7 7-2 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2 ，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题7-2图所示．如果使A 板带正电3.0 ×10-7 C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少? 解: 如题7-2图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ 题7-2图 (1)∵AB AC U U =，即∴AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d 21===AC AB AB AC E E σσ且1σ+2σS q A = 得,32S q A = σS q A 321=σ而711023 2 -?-=- =-=A C q S q σC C 10172-?-=-=S q B σ (2) 30 1 103.2d d ?== =AC AC AC A E U εσV 7-3 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q (1) (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及 *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变 解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势 题7-3图 ? ? ∞ ∞==?=2 2 2 0π4π4d d R R R q r r q r E U εε(2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为 q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生： 0π4π42 02 0=- = R q R q U εε (3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且最新第七章静电场中的导体
大学物理知识总结习题答案(第四章)静电场
第13章静电场中的导体和电介质
10静电场中的导体和电介质习题解答
第八章 静电场中的导体和电介质
7《学习指南 第七章 静电场中的导体和电介质
第6章 静电场中导体和电介质
大学物理课后答案第七章静电场中的导体和电介质
第6章 静电场中的导体和电介质习题讲解
大学物理第7章静电场中的导体和电介质课后习题及答案
ch7-静电场中的导体和电介质-习题及答案
10第十章 静电场中的导体与电介质作业答案
静电场中的导体和电介质
大学物理同步训练第2版第七章静电场中的导体详解
大学物理 第7章 真空中的静电场 答案
第9章_静电场中的导体和电介质
静电场中的导体与电介质考试题及答案
大学物理课后答案解析第七章静电场中的导体及电介质1.doc
相关主题
文本预览