第二章 平面向量
1.向量和差作图全攻略
两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握.
一、向量a 、b 共线
例1.如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向；
(2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |.
作法.在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB →
＝a ＋b ，具体作法是：当a 与b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下：
例2.如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向.
作法.在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →
＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－
b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下：
二、向量a 、b 不共线
如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.
例3.如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1.(应用三角形法则)
(1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O .
第一步：作OA →
＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA →
与a 同向.
第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB →
作成与b 的方向相反.)
第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB →
即为a ＋b . 作图如下：
(2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB →
＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA →
即为a －b . 作图如下：
点评.向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2.(应用平行四边形法则)
在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB →
＝a ， AD →
＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB →
＝a －b .作图如下：
点评.向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握.
向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是“作法不一”，比如作法中要求的是作AB →＝b ，可实际上作的是AB →
＝－b .只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形.
2.向量线性运算的应用
平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简
例1 化简下列各式： (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →
)； (2)1
24[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )]. 解.(1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →
)
＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD → ＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →. (2)1
24
[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )] ＝124(6a ＋24b －24a ＋12b )＝1
24(－18a ＋36b ) ＝－34a ＋32
b .
点评.向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数
例2 如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则
m ＝________.
解析.如图，因为MA →＋MB →＋MC →
＝0，
即MA →＝－(MB →＋MC →)， 即AM →＝MB →＋MC →， 延长AM ，交BC 于D 点，
所以D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD →
， 所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，
所以m ＝3. 答案.3
点评.求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值. 三、表示向量
例3 如图所示，在△ABC 中，AD →＝23AB →
，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，
设AB →＝a ，AC →＝b ，用向量a ，b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM →.
解.因为DE ∥BC ，AD →＝23
AB →
，
所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →
＝b －a ，
由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝2
3(b －a )，
又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ， 所以DN →＝12DE →＝1
3
(b －a )，
AM →＝AB →＋BM →
＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12
(a ＋b ).
点评.用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.
3.平面向量的基本定理应用三技巧
技巧一.构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，且a ＝
x 1e 1＋y 1e 2＝x 2e 1＋y 2e 2，则用?
??
??
x 1＝x 2
y 1＝y 2来求解.
例1.在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∶|OA →|＝1∶3，|ON →|∶|OB →
|＝1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OP →
. 解.∵B ，P ，M 共线，
∴存在常数s ，使BP →＝sPM →
， 则OP →
＝11＋s OB →＋s 1＋s OM →.
即OP →＝11＋s OB →＋s 3(1＋s )OA →
＝
s
3(1＋s )
a ＋
1
1＋s
b . ①
同理，存在常数t ，使AP →＝tPN →
， 则OP →
＝11＋t a ＋t 4(1＋t )
b .
②
∵a ，b 不共线，∴?????
11＋t ＝s 3(1＋s )
11＋s ＝t
4(1＋t )
，
解之得?????
s ＝92
t ＝8
3
，∴OP →＝3
11a ＋211
b .
点评.这里选取OA →，OB →作为基底，构造OP →
在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解.
技巧二.构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，a ＝x 1e 1＋y 1e 2，
b ＝x 2e 1＋y 2e 2，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0”来求解.
例2.如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12
OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →
＝b
.
(1)用a 、b 表示OM →
；
(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →
，求证：17p ＋3
7q ＝1.
(1)解.设OM →
＝m a ＋n b ，则 AM →
＝(m －1)a ＋n b ，AD →
＝－a ＋12
b .
∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →
共线， ∴1
2
(m －1)－(－1)×n ＝0，∴m ＋2n ＝1.
①
而CM →＝OM →－OC →＝(m －14)a ＋n b ，CB →
＝－14a ＋b .
∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →
共线， ∴－14n －(m －1
4)＝0.∴4m ＋n ＝1.
②
联立①②可得m ＝17，n ＝37，
∴OM →＝1
7a ＋37
b .
(2)证明.EM →
＝(17－p )a ＋37
b ，EF →＝－p a ＋q b ，
∵EF →与EM →
共线，
∴(17－p )q －3
7×(－p )＝0. ∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋3
7q
＝1. 点评.这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.
技巧三.将题目中的已知条件转化成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式(e 1，e 2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解.
例3.如图，已知P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →
＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用向量p 表示CQ →
.
解.∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →， ∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →
＝0， ∴AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →
＝0，
又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， ∴AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →， ∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →
＝0， ∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →
＝0.
而BQ →，QP →
为不共线向量，∴???
??
λ＋2＝0，3＋3μ＝0.
∴λ＝－2，μ＝－1.∴CP →＝－QP →＝PQ →
. 故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →
＝2p .
点评.这里选取BQ →，QP →
两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来求解.
4.直线的方向向量和法向量的应用
直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必
修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析. 一、直线的方向向量 1.定义
设P 1，P 2是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上的不同两点，那么向量P 1P 2→
以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→
的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)；特别当直线l 与x 轴不垂直时，即x 2－x 1≠0，直线的斜率k 存在时，那么(1，k )是它的一个方向向量；当直线l 与x 轴平行时，方向向量可为(1，0)；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(－B ，A ). 2.应用 (1)求直线方程
例1.已知三角形三顶点坐标分别为A (2，－3)，B (－7，9)，C (18，9)，求AB 边上的中线、高线方程以及∠C 的内角平分线方程. 解.①求中线方程
由于CB →＝(－25，0)，CA →＝(－16，－12)，那么AB 边上的中线CD 的方向向量为CB →＋CA →
＝(－41，－12)，
也就是? ????1，1241，因而直线CD 的斜率为1241， 那么直线CD 的方程为y －9＝12
41(x －18)，
整理得12x －41y ＋153＝0. ②求高线方程
由于k AB ＝9＋3－7－2＝－4
3，
因而AB 的方向向量为? ????1，－43，
而AB 边上的高CE ⊥AB ，
则直线CE 的方向向量为? ??
??1，34， 那么高线CE 的方程为y －9＝3
4(x －18)，
整理得3x －4y －18＝0. ③求∠C 的内角平分线方程
CB
→
|CB →|＝(－1，0)，CA →
|CA →|＝? ????－4
5
，－35，
则∠C 的内角平分线的方向向量为 CB
→
|CB →|
＋
CA
→
|CA →|
＝? ????－95，－35，也就是? ????1，13， 因而内角平分线CF 的方程为y －9＝1
3(x －18)，
整理得x －3y ＋9＝0.
点评.一般地，经过点(x 0，y 0)，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程是A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程是B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0. (2)求直线夹角
例2.已知l 1：x ＋3y －15＝0与l 2：y －3mx ＋6＝0的夹角为π
4，求m 的值.
解.直线l 1的方向向量为v 1＝(－3，1)， 直线l 2的方向向量为v 2＝(1，3m )， ∵l 1与l 2的夹角为π
4
，
∴|cos〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|3m －3|9＋1·1＋9m 2
＝2
2， 化简得18m 2
＋9m －2＝0.解得m ＝－23或m ＝16
.
点评.一般地，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，其方向向量为v 1＝(1，k 1)，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，其方向向量为v 2＝(1，k 2)，当1＋k 1k 2＝0时，两直线的夹角为90°；当1＋k 1k 2≠0时，设夹角为θ，则cos θ＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝|1＋k 1k 2|
1＋k 21·1＋k 2
2；若设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，其方向向量为(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，其方向向量为(－B 2，A 2)，那么cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|
A 21＋
B 21·A 22＋B 2
2
.
二、直线的法向量 1.定义
直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量.因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0，从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B ). 2.应用
(1)判断直线的位置关系
例3.已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与直线l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0. (1)若l 1⊥l 2，求实数a 的值； (2)若l 1∥l 2，求实数a 的值.
解.直线l 1，l 2的法向量分别为n 1＝(a ，－1)，n 2＝(2a －1，a )，
(1)若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝a (2a －1)＋(－1)×a ＝0，解得a ＝0或a ＝1.∴a ＝0或1时，
l 1⊥l 2.
(2)若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，∴a 2
－(2a －1)×(－1)＝0.解得a ＝－1±2，且a 2a －1＝－1
a
≠2.∴a ＝－1±2时，l 1∥l 2.
点评.一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，当n 1⊥n 2，即A 1A 2＋B 1B 2＝0时，l 1⊥l 2，反之亦然；当n 1∥n 2，即
A 1
B 2－A 2B 1＝0时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合.
(2)求点到直线的距离
例4.已知点M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点. 求证：点M (x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
证明.设P (x 1，y 1)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(A ，
B ).则M (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋
C ＝0的距离d 等于向量PM →
在n 方向上投影的长度，如图
所示.
d ＝|PM →|·|cos〈PM →
，n 〉|
＝|PM →·n ||n |
＝
|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(A ，B )|
A 2＋
B 2
＝
|A (x 0－x 1)＋B (y 0－y 1)|
A 2＋
B 2
＝
|Ax 0＋By 0－(Ax 1＋By 1)|
A 2＋
B 2
.
∵点P (x 1，y 1)在直线l 上，
∴Ax 1＋By 1＋C ＝0，∴Ax 1＋By 1＝－C ，
∴d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2
.
点评.同理应用直线的法向量可以证明平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A 2＋B 2
≠0且C 1≠C 2)的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.
证明过程如下：
设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(A ，B )，则P 1P 2→
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的投影的长度，就是两平行线l 1、l 2的距离.
d ＝|P 1P 2→
||cos 〈P 1P 2→
，n 〉|＝|P 1P 2，→
·n |
|n |
＝|(x 2－x 1，y 2－y 1)·(A ，B )|
A 2＋
B 2
＝
|A (x 2－x 1)＋B (y 2－y 1)|
A 2＋
B 2
＝
|(Ax 2＋By 2)－(Ax 1＋By 1)|A 2＋B 2＝|C 2－C 1|
A 2＋
B 2
.
5.向量法证明三点共线
平面向量既具有数量特征，又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力.下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 典例.已知OB →＝λOA →＋μOC →
，其中λ＋μ＝1.求证：A 、B 、C 三点共线. 思路.通过向量共线(如AB →＝kAC →
)得三点共线.
证明.如图，由λ＋μ＝1得λ＝1－μ，则OB →＝λOA →＋μOC →＝(1－μ)OA →＋μOC →.∴OB →－OA →
＝μ(OC →－OA →)，
∴AB →＝μAC →， ∴A 、B 、C 三点共线.
思考.1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性；
2.反之也成立(证明略)：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满足OB →＝λOA →
＋μOC →
，且λ＋μ＝1.揭示了三点共线的又一个性质；
3.特别地，λ＝μ＝12时，OB →＝12(OA →＋OC →)，点B 为AC →
的中点，揭示了△OAC 中线OB 的一个向
量公式，应用广泛. 应用举例
例1.如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝1
3BD .利用向量法
证明：M 、N 、C 三点共线.
思路分析.选择点B ，只须证明BN →＝λBM →＋μBC →
，且λ＋μ＝1.
证明.由已知BD →＝BA →＋BC →，又点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，得BN →＝13BD →＝13(BA →＋BC →)＝13BA →＋13BC →
.
又点M 是AB 的中点，
∴BM →＝12BA →，即BA →＝2BM →.∴BN →＝23BM →＋13BC →
.
而23＋1
3＝1.∴M 、N 、C 三点共线. 点评.证明过程比证明MN →＝mMC →
简洁.
例2.如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与AB 相交于E ，求证：BE ＝1
4
BA .
思路分析.可以借助向量知识，只需证明：
BE →＝14
BA →，而BA →＝BO →＋BC →
，又O 、D 、E 三点共线，存在唯一实数对λ、μ，且λ＋μ＝1，使BE →
＝λBO →
＋μBD →
，从而得到BE →与BA →
的关系.
证明.由已知条件，BA →＝BO →＋BC →，又B 、E 、A 三点共线，可设BE →＝kBA →
，则
BE →
＝kBO →＋kBC →
，
①
又O 、E 、D 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ， 使BE →＝λBO →＋μBD →
，且λ＋μ＝1. 又BD →＝13BC →，
∴BE →＝λBO →＋13
μBC →，
②
根据①②得?????
k ＝λ，k ＝1
3μ，
λ＋μ＝1，
解得?????
k ＝14，
λ＝1
4，
μ＝34.
∴BE →＝14BA →
，∴BE ＝14
BA .
点评.借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.
6.平面向量中的三角形“四心”问题
在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍： 1.重心
三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶点距离与该点到对边中心距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA →＋GB →＋GC →＝0或PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)(其中P 为平面任意一点).反之，若GA →＋GB →＋GC →
＝0，则点G 是
△ABC 的重心.在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且坐标分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有x ＝
x 1＋x 2＋x 3
3
，y ＝
y 1＋y 2＋y 3
3
.
例.已知△ABC 内一点O 满足关系OA →＋2OB →＋3OC →
＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 的值. 解.如图，延长OB 至B 1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，连接AB 1，AC 1，B 1C 1.
则OB 1→＝2OB →，OC 1→＝3OC →. 由条件，得OA →＋OB 1→＋OC 1→
＝0， ∴点O 是△AB 1C 1的重心.
从而S △B 1OC 1＝S △C 1OA ＝S △AOB 1＝1
3S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积.
∴S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S △B 1OC ＝12×13S △B 1OC 1＝1
18S .
于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶1
6
＝1∶2∶3.
点评.本题条件OA →＋2OB →＋3OC →＝0与三角形的重心性质GA →＋GB →＋GC →
＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比.
引申推广.已知△ABC 内一点O 满足关系λ1OA →＋λ2OB →＋λ3OC →
＝0，则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3. 2.垂心
三角形三条高线的交点叫垂心，它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA →·HB →＝HB →·HC →＝HC →·HA →或HA →2＋BC →2＝HB →2＋CA →2＝HC →2＋AB →2.反之，若HA →·HB →
＝HB →·HC →＝HC →·HA →
，则H 是△ABC 的垂心. 3.内心
三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC →|·IA →＋|CA →|·IB →＋|AB →|·IC →
＝0.反之，若|BC →|·IA →＋|CA →|·IB →＋|AB →|·IC →
＝0，则点I 是△ABC 的内心. 4.外心
三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等.在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA →＋OB →)·BA →＝(OB →＋OC →)·CB →
＝(OC →＋OA →)·AC →＝0或|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.反之，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →
|，则点O 是△ABC 的外心.
数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0r ，其方向是任意的，0r 与任意向量平行， 零向量a ＝0r ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a r 的单位向量为： ||a a e a r r r (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0r 与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a =a ； ③ ()0a a v v v ； ④若a 、b 是互为相反向量，则 a = b ,b =a ,a +b =0 。
必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空 1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是 6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5 ．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的
§1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1．下列说法正确的是（ ） （A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是 （ ） A ．}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．}01|{2 =+-x x x 3．方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{. 4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝ 5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． ．例：x 2 －3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 小结 用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的． 1 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合；
高中数学必修４知识点总结 第二章平面向量 １６、向量:既有大小，又有方向得量、数量:只有大小,没有方向得量、 有向线段得三要素:起点、方向、长度、零向量：长度为得向量、 单位向量:长度等于个单位得向量、 平行向量（共线向量):方向相同或相反得非零向量、零向量与任一向量平行、 相等向量:长度相等且方向相同得向量、 1７、向量加法运算： ⑴三角形法则得特点:首尾相连、 ⑵平行四边形法则得特点：共起点、 ⑶三角形不等式:、 ⑷运算性质：①交换律:; ②结合律:;③、 ⑸坐标运算:设,，则、 １８、向量减法运算： ⑴三角形法则得特点:共起点,连终点，方向指向被减向量、 ⑵坐标运算:设,,则、 设、两点得坐标分别为,,则、 19、向量数乘运算: ⑴实数与向量得积就就是一个向量得运算叫做向量得数乘,记作、 ①; ②当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时，、 ⑵运算律：①;②；③、 ⑶坐标运算:设,则、 ２0、向量共线定理:向量与共线，当且仅当有唯一一个实数,使、 设,，其中，则当且仅当时,向量、共线、 21、平面向量基本定理:如果、就就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使、(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底) 22、分点坐标公式:设点就就是线段上得一点,、得坐标分别就就是,,当时,点得坐标就就是、(当 23、平面向量得数量积: ⑴、零向量与任一向量得数量积为、 ⑵性质:设与都就就是非零向量,则①、②当与同向时，;当与反向时,；或、③、 ⑶运算律：①;②;③、 ⑷坐标运算:设两个非零向量,，则、 若，则,或、设,，则、 设、都就就是非零向量,,,就就是与得夹角，则、 第三章三角恒等变换 24、两角与与差得正弦、余弦与正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷； ⑸（); ⑹()、 25、二倍角得正弦、余弦与正切公式:
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征导学案 【问题导学】 1．空间几何体 (1)多面体：由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个叫做多面体的面；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点． (2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条叫做旋转体的轴． 2 多面体结构特征图形表示法 棱柱有两个面互相，其余各面都是， 并且每相邻两个四边形的公共边都互 相，由这些面所围成的多面体叫做棱 柱．棱柱中, 的面叫做棱柱的 底面，简称底；叫做棱柱的侧面； 相邻的侧面的叫做棱柱的侧棱；侧面 与底面的叫做棱柱的顶点 如上、下底面分别是四 边形A′B′C′D′、四 边形ABCD的四棱柱，可记为棱 柱ABCD－A′ B′C′D′ 棱锥有一个面是，其余各面都是有一个 公共顶点的，由这些面所围成的 多面体叫做棱锥．这个面叫做棱锥的 底面或底；有公共顶点的各 个叫做棱锥的侧面；各侧面 的叫做棱锥的顶点；相邻侧面 的叫做棱锥的侧棱 如图所示，该棱锥可表示为棱 锥S -ABCD 棱台用一个的平面去截棱锥,底面 和截面之间的部分叫做棱台．原棱锥的 和分别叫做棱台的下底面和上 底面 如上、下底面分别是四边形A′ B′C′D′、四边形ABCD的四 棱台，可记为棱台ABCD-A′B′ C′D′ 试一试：如图所示，是由两个相同形状的三棱柱叠放在一起形成的几何体，请问这个几何体是棱柱吗？ 旋转体结构特征图形表示法 圆柱以所在直线为旋转轴， 其余三边旋转形成的面所围成 的叫做圆柱，叫做 圆柱的轴；的边旋转而成 的叫做圆柱的底面； 的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 侧面；无论旋转到什么位置， 的边都叫做圆柱侧面 圆柱用表示它的轴的字母表 示，左图中圆柱表示为圆柱 OO′