泰勒公式在证明不等式中的几个应用
摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。特别在高等数学畴，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用.
关键词：泰勒公式；偏导数；不等式
引言
泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数
]
31[-.所以泰勒公式能很好的
集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾：
定理1[1]
设函数()f x 在点0x 处的某邻域具有1n +阶导数，则对该邻域异于0x 的任意点
x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得：
()f x =()0f x +()0'
f x 0(x -x )+
()0f''x 2!02
(x -x )+???+ ()()0n
f x n!
0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x =()
(1)(1)!
n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式；
若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，
即()f x = ()0f +()0'
f x +
()02!f''2x +???+()()0!
n
f n n
x +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用
不等式是高等数学和近代数学分析的重要容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。不等式的容也极其丰富，证明方法很多，而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。
2.1 泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用
对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导，且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助
函数()F x =
()x
t
a
f t d
?，将()F x 在所需点处（一般根据右边表达式确定展开点）进行泰
勒展开或直接写出()f x 的泰勒展式，然后根据题意对展开式（余项）作适当处理（一般是利用介值定理或放缩技巧）。 例1
[2]
设()f x 在[],a b 上单调增加，且()f''x ＞0，
证明 ：
()b
a
f x dx ?
＜()
b a -()()
2
f a f b +.
题设条件告知()f x 二阶可导且()f''x ＞0，由于高阶导数的存在，提示我们尝试使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是()f x ，右边有()f a 、()f b ，我们不妨对?t ∈[],a b ，将()f t 在点x 处展开为泰勒公式，再令,t a t b ==，进而找出()f x 与()f a 、()f b 的关系.
证明 对?t ∈[],a b ,()f t 在点x 处的一阶泰勒展开式为：
()f t =()f x +()'f x ()-t x +
()2!
f''ξ()2
-t x ，其中ξ在t 与x 之间， ∵ ()f''ξ＞0, ∴ ()f t ＞()f x + ()'
f
x ()-t x <1>
将,t a t b ==，分别代入〈1〉并相加，得
()()f a f b +＞2()f x +()a b +()'f x －2x ()'f x <2>
对〈2〉的两边在[],a b 上积分，则
()()f a f b +????()b a -＞2
()b
a
f x dx ?
+()a b + ()b
a
f x dx ?－2
()b
'a
xf x ?
dx
?()()f a f b +????()b a -＞2()b
a f x dx ?+()a
b +()f x b
a
—2()
()b
b
a
a xf x f x dx ??-???
?
?
?2()()f a f b +????()b a -＞4
()b
a
f x dx ?
故
()b
a
f x dx ?＜()
b a -()()
2
f a f b +.
在证明有关定积分不等式问题时，有时还需构造函数，然后通过泰勒公式与介值定理的结合使用，可以在不等式证明问题中达到事半功倍结果明朗化的效果.
例2[3]
设()f x 在[],a b 上二阶连续可微，其中a ＜0＜b ，则在该区间上存在一个η，使
得：
()b
a
f x dx ?
=()bf b —()af a —
12![()2b 'f b —()2'a f a ]+1
3!
()33(b -a )f''η. 题设条件告知()f x 二阶可微，且题中含有()f''η，提示可用泰勒公式证明. 又因为含有()f''η，可构造函数()F x =()x
t
a
f t d ?展开为二阶泰勒公式，注意证明过程中
与介值定理的结合使用. 证明 令()F x =
()x
t
a
f t d ?，将()F x 在x t = (a ≤t ≤b )处展成二阶泰勒公式：
()F x =()F t +'()F t ()x t -+12!''()F t ()2x t -+13!'''()F ξ()3
x t -,ξ在x 与t 之间，即()F x =()F t +()f t ()x t -+12!()'f t ()2x t -+13!
()''f ξ()3
x t - 〈3〉
令0x =,t a =则有〈3〉可得：
(0)F =()F a +()f a （-a ）+12!()'f a 2a +13!
()1''f ξ()3
a - 〈4〉
〈3〉－〈4〉得
()F b —()F a =()bf b —()af a —
()()221''2!b f b a f a ??-?
?-()()2133
1''''3!b f a f ξξ??-?? 令min m =｛()1''f ξ,()2''f ξ｝, max M =｛()1''f ξ,()2''f ξ｝,
并且-3
a ＞0 ()0a <
则有()
33m b a -≤()()2133
''''b f a f ξξ-≤M (3
3
b a -),因为()''f x 在[],a b 上连续，由
介值定理知存在η，使得()()
213333
''''b f a f b a
ξξ--=()''f η 所以
()b
a
f x dx ?
=()bf b —()af a —
12![()2b 'f b —()2'
a f a ]+13!
()33(b -a )f''η. 泰勒公式不但在证明连续函数的不等式问题中起重要作用，同样在证明某一定点的不等
式问题中也发挥着很大作用.
例3[4] 设其中函数()f x 在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件()f x ≤a ，''()f x ≤
b ，其中a ，b 都是非负数，
c 是（0，1）上任意一点，试证明：'()f c ≤22
b a +
. 由于()f x 在[0，1]具有二阶导数，可考虑利用()f x 在x c =的一阶泰勒公式. 证明 由于()f x 在[0，1]上具有二阶导数，()f x 在x c =的一阶泰勒公式:
2()
()()'()()()2!
f f x f c f c x c x c ξ=+-+
- <5> 其中ξ=c +()x c θ-,0<θ<1，
在<5>中令x =0,则有:21''()
(0)()'()(0)(0)2!f f f c f c c c ξ=+-+- (0<1ξ
(1)()'()(1)(1)2!
f f f c f c c c ξ=+-+- (0 将上述两式相减,得22 211(1)(0)'()''()(1)''()2! f f f c f c f c ξξ??-=+--?? 于是22 211'()(1)(0)''()(1)''()2! f c f f f c f c ξξ??=-- --??≤221(1)(0)''()(1)2 f f f c ξ++ - 211''()2f c ξ+≤22 (1)2b a a c c ??++-+??， 又因c ∈(0,1)，2 2 (1)c c -+≤1， 故 '()f c ≤22 b a + . 从上述几例可以看出，使用泰勒公式去证明关于定积分不等式问题，我们可以遵循以下几个步骤： 〈1〉高阶（二阶及二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一； （2）找一个函数()f x ，选一个展开点0x ，然后写出()f x 在0x 处的泰勒公式； （3）对ξa b ∈(,) 进行放缩或或与介值定理结合使用. 2.2 泰勒公式在证明关于初等函数和幂函数不等式中的应用 对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利用泰勒公式在00x =时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用. 例4[1] 证明不等式：3 16 x x - ≤sin x . 不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 。这时我们可用sin x 在00x =的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。 证明 31()sin 6f x x x x =-+ ,(0)0f =,21 '()cos 12 f x x x =-+,'(0)0f =, ''()sin f x x x =-+,''(0)0f =,'''()cos 1f x x =-+,'''()cos 1f ξξ=-+ 当3n =时，()f x 的泰勒展式为：331 ()000(1cos )()3! f x x x o x θ=+++ -?+ ?()f x = 331 (1cos )()6 x x o x θ-+≥0 (x ≥0, ξ≤x θ,0＜?＜1) 所以x ≥0,，有 3 16 x x -≤sin x . 在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答. 例5[1] 证明不等式：2 128 x x +-（x ＞0）. 对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以去掉根号，但x 的次数却提高了2次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答. 证明 设()f x =(0)1f =,121'()(1)2f x x -=+,1 '(0)2f =, 32 1''()(1)4f x x -=-+,1''(0)4 f =-,5 23'''()(1)8f x x -=+ 代入0x =0的二阶泰勒公式，有 2x - 28x +5 331 (1)16x x θ-+ (0＜θ＜1) ∵ x ＞0, ∴ 5 31(1)16 x θ-+3 x ＞0 所以 2 128 x x +-x ＞0）. 对于含有超越函数ln x 与幂函数结合的不等式证明，由于我们接触很少，看不出它们之间的大小关系，更不知如何去分析比较，但这时泰勒公式将是对付这类题的最有效武器. 例6[5] 证明不等式：2 -2 x x ＜()ln 1x +＜x ，其中x ＞0. 证明 令()f x = ()ln 1x +,由一阶麦克劳林公式知： ()ln 1x + = ln1 + 110+ x + 1 2!22 1(1) x ξ-+，(ξ(0,)x ∈) 所以 ()ln 1x +＜x, 再有二阶麦克劳林公式知： ()ln 1x + = ln1 + 110+x+12!221(10)x -++13!3 3 1(1) x ξ+, 其中ξ(0,)x ∈ 从而 ()ln 1x +＞2 -2 x x ， 故 2 -2 x x ＜()ln 1x +＜x ，（x ＞0）. 在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或 超越函数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在0x =0时的麦克劳林表达式。当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉. 2.3 泰勒公式在证明一般不等式中的应用 对题设条件中函数()f x 具有二阶和二阶以上导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的命题，我们一般通过以下三个步骤证明： 〔1〕写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式； 〔2〕恰当选择等式两边x 与0x （不要认为展开点一定以0x 为最合适，有时以x 为佳）； 〔3〕根据所给的最高阶导数的大小或边界对展开式进行放大或缩小. 例7[8] 设()f x 在[],a b 上连续，在（a ，b ）可导，且有'()f x ≤M ，()f a =0。 试证：M ≥ 2 2 ()()b a f x dx b a -? . 题目已经告知()f x 连续可导，且最高阶导数有界，故可用泰勒公式证之. 证明 由泰勒公式及()f a =0，有()f x =()f x －()f a ='()f ξ()x a -， ξ∈（a ，b ）. 由于'()f x ≤M ，可得()f x ≤M ()b a -，于是 b a ? ()f x dx ≤M b a ?()x a -dx = 12 M 2 ()x a -b a = 2 M 2()b a -()b a f x dx ? ≤()b a f x dx ? 故 ()b a f x dx ? ≤ 2 M 2()b a -， 即M ≥ 22()()b a f x dx b a -? . 但有些题目却从反方向来考查泰勒公式在证明一般不等式问题时，函数所具备的最高阶导数的有界性，即不给出最高阶导数的边界，让我们通过题目条件去证明最高阶导数的边界. 例8[1] 证明：若函数()f x 在[],a b 上存在二阶导数，且'()'()f a f b ==0，则在（a ， b ）存在一点ξ，使得''()f ξ≥ 2 4 ()()()f b f a b a --. 题目告知函数()f x 二阶导数存在，欲证最高阶导数有界，所以可用泰勒公式证明. 证明 将( )2 a b f +分别在a 和b 处展开一阶泰勒公式，并利用'()'()f a f b ==0，有： ()2a b f +=()f a +1''()2!f ξ2()2b a -， a ＜1ξ＜2b a +, <6> ()2a b f +=()f b +2''()2!f ξ2()2 b a - , a ＜2ξ＜2b a +, <7> 由〈6〉－〈7〉，得： ()()f a f b -+[]122 ()''()''()8 b a f f ξξ--=0 ? 12''()''()f f ξξ-= 2 8()b a -[]()()f b f a - 令''()f ξ=max ｛1''()f ξ,2''()f ξ｝,则： 2 ()()()8 b a f b f a --≤1''()f ξ+2''()f ξ≤2''()f ξ 故有 ''()f ξ≥ 2 4 ()()()f b f a b a --. 从上述几例我们可以看出，若欲证明的不等式或题设中，含有一阶以上的导数时，一般用泰勒公式证明比较方便. 3 泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中的推广应用与证明 泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中也扮演着重要角色，只要()f x 在0x 附近二阶可导，那么泰勒展开式可以推广为以下两种类型： 定理1[7] 设函数()y f x =在点0x 附近二阶可导，则 〈1〉 若''()f x ＞0，具有()f x ≥0()f x +()00'()f x x x -； 〈2〉 若''()f x ＜0，具有()f x ≤0()f x +()00'()f x x x -； 等号在x =0x 时成立. 对于定理1的证明，利用一元函数的泰勒展开式，结论显然成立。 下面我们利用定理1，对下面两个初等不等式作出证明. 例9 [8] 证明：设n N ∈ + n ≥2. 证明 设 ( )0)f x x =>，则()11'n n f x x n -=，()1211''0n n n f x x n n --= <， 有定理1 知：( f n +≤()f n +' f ， ( f n ≤()f n + 'f 两式相加即得结论。 例10[9] 设i x R + ∈，i =1，2， ???，n ， 1 n i i x α==∑，α≥2。 求证：11x x αα-+ 22x x α α-+33x x αα-+???+n n x x αα-≥1 2 (1)n n ααα--- 证明 作函数，()f x =x x αα-(0x α<<),则()() 12 ()'x x f x x αα ααα--+=-，()() 213 (1)()2()2''x x x x x f x x ααα αααααα----+-+=-， 注意到0x α<<,有()''f x ＞0，利用定理1，取010n x x x x n ++???+= ，有 ()1f x ≥12 n x x x n ++???+??????+12'n x x x f n ++???+?? ????121n x x x x n ++???+? ?-????， ()2f x ≥12 n x x x n ++???+??????+12'n x x x f n ++???+?????? 122n x x x x n ++???+??-???? ， … … … … ()n f x ≥12 n x x x n ++???+??????+12'n x x x f n ++???+?? ????12n n x x x x n ++???+? ?-???? . 以上n 式相加即得结论. 上述是泰勒公式展开式在一元函数不等式中的应用，当然对于二元函数，我们也有以下类似的定理： 定理2 [10] 若函数(,)z f x y =，在D 上具有连续的二阶偏导数，且满足： 22f x ??≥0，2222 f f x y ????2 2f x y ?-??≥0 则： (,)f x y ≥00(,)f x y +()() 00x x y y x y ?? -+-??00(,)f x y 证明 二元函数的泰勒公式： 2 1(,)() ()()()2((),()),01 000000000000f x y f(x ,y )x x y y f(x ,y )x x y y x y x y f x x x y y y θθθ????=+-+-+-+-?????+-+-<< 因为22f x ??≥0，22f y ??22 f y ??—2 2f x y ????????? ≥0， 所以 () ()()()22 22 20000222f f f x x y y x x y y x y x y ???-+-+--????≥ ()() 2002f x x y y x y ?--??， 故有 (,)f x y ≥00(,)f x y +() () 00x x y y x y ?? -+-??00(,)f x y . 在定理2中，若令 001 1 1 1 , ,k k n n k k x y x y ====∑∑可以很容易得到如下推论： 推论 如果函数(,)z f x y =，在D 上具有连续的二阶偏倒数，且满足： 22f x ??≥0，2222 f f x y ????2 2f x y ?-??≥0 则对于D 中,x y 的任意取值1x ， 2x ，???， n x ，1y ，2y ，???，n y 有 1111,k k n n k k f x y n n ==?? ???∑∑≤()001 1,n k f x y n =∑ 例11 设1x ， 2x ，???， n x ，为实数，1y ，2y ，???，n y 为正数，则有 22 1212 x x y y + +???+2n n x y ≥()2 1212n n x x x y y y ++???+++???+ 证明 设()2 ,x f x y y =，则2,x x f y =2,xx f y =22,y x f y =-232,yy x f y =22xy x f y = 且 2xx f y = >0，22xy x f y =, ()2xx yy xy f f f ?-=0 满足条件,所以 221212x x y y + +???+2n n x y ≥()()2 1212n n x x x n y y y n ?? ++???+ ???++???+≥()2 12 12n n x x x y y y ++???+++???+ 推论不但在证明函数不等式问题中可以使用,在一般的含有字母或数字不等式的证明问题中也可以使用,只是在证明的过程要构造一个二元函数(,)f x y ,然后再利用推论. 例12 设,,a b c 为正数,且满足abc =1, 求证: ()31a b c ++()31b a c ++()31 c a b +≥32 证明 分子变换为1=222 a b c ,右边= bc ca ab ab ac bc ba ca cb ++ +++，构造与是上例相同函数21(,)f x y x y -=，它满足推论条件，于是有 左边≥ 3()()2 323bc ca ab bc ca ab ++????++=()12bc ca ab ++=32， 故此题得证. 利用上述两个定理和推论，一般要构造合适的一元函数()f x 或二元函数(,)f x y ，然后观察所构造的函数与题目中条件，是否满足上述定理和推论所具备的条件. 结论 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的容，它象一根丝线连接着高等数学的许多知识版块和知识点，且在许多方面有着广泛的应用。本文主要通过论述与举例，阐述了如何灵活地运用泰勒公式，去解决一些不等式证明中用其它方法较难解决的问题。但在运用泰勒公式时需要注意一个问题是：将函数展开至多少项才可以呢？ 从上面所给的例题中不难看出，只要展开至比题目所给的函数的导数阶数少一次，然后根据题设条件恰当选择展开点即可。由于本人知识掌握的还不够全面系统，仅能总结归纳出以上几个方面，在今后的学习与探讨研究过程中，还可能会发现利用泰勒公式来解决其他典型不等式的例子。 参考文献 [1] 华东师大学数学系.数学分析（第三版）[M].：高等教育，2001. 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[19] Park S.Fixed Point theorems in hyperconvex metric space[J].Nonlinear Anal.,1999,37:467-472. 致 本文在完成过程中得到马晓娜老师的悉心指导和帮助，特此表示感。 '、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 、知识分析 定理1 若a，b为实数，贝当且仅当ab>0时，等号成 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与一b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与—b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a —b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，贝等号成立，即b落在a，c之间 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到 判别式法证 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是 错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A> B,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 典型例题】 例1已知函数，设a、b€ R,且a^b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： ① 当ab< —1时，式①显然成立； 当ab>—1时，式①② b,A式②成立。故原不等式成立。 证法二：当a=—b 时，原不等式显然成立； 当a M— b 时, ???原不等式成立。 证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12- 泰勒公式在证明不等式中的几个应用 摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。特别在高等数学畴，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用. 关键词：泰勒公式；偏导数；不等式 引言 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数 ] 31[-.所以泰勒公式能很好的 集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾： 定理1[1] 设函数()f x 在点0x 处的某邻域具有1n +阶导数，则对该邻域异于0x 的任意点 x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0' f x 0(x -x )+ ()0f''x 2!02 (x -x )+???+ ()()0n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x =() (1)(1)! n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x + ()02!f''2x +???+()()0! n f n n x +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用 不等式是高等数学和近代数学分析的重要容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。不等式的容也极其丰富，证明方法很多，而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。 2.1 泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用 对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导，且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 积分在不等式证明中的应用 摘 要：本文是根据积分的有关概念与性质，采用举例的方法归纳并总结了积分在不等式证明中的几种比较常见的技术和手法，同时重点突出了积分在不等式证明中的基本的思想与方法。 关键词：积分 不等式 应用 Application of integral in proving inequality Abstract:This article is based on concepts and properties about integral, several common techniques and practices of the integral in the proving inequalities are concluded and summarized using the example of the way, while highlighting the integral in the proving inequalities of basic ideas and methods. Keywords:integral; inequality; application 不等式证明不但是初等数学的重要课题，同时也是解决其他相关数学问题的基础知识。在初等数学领域中有许多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、放缩法、归纳法、函数法、几何法等，但用这些初等方法证明不等式时证明过程比较繁琐，而常用的高等方法如微分法，则往往忽略了积分在不等式证明中的重要作用，本文着重从积分的一些定理和相关性质的方面来说明不等式证明的几种技术和手法，以便于从整体上更好地掌握证明不等式基本的思想方法。 1. 积分的定义在不等式证明中的应用 从积分的定义出发来证明不等式，是很容易被忽略的一种方法，但是这种比较原始的证明方法有时却是一种很有效的证明方法。 例题1：设）（x ψ是[]a ,0上的连续函数，)(x f 二阶可导，0)(≥''x f ，试证： ))(1()]([100dt t a f dt t f a a a ??≥ψψ. 证明：由题意知，0)(≥''x f ，故对于[]a x x x n ,0,,,21∈? ，有 摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。 关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用 绪论 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到 n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 () 2 0000000()()() ()()()()(),1! 2! ! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+ -+ -++ - 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有 0()()(()),n n f x T x x x ο=+- 即() 2 00000000()() ()()()()()()(()).2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+ -++ -+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 数形结合在不等式证明中的应用 摘要主要研究“初等数学研究教程”教学,简单介绍如何运用数形结合思想证明不等式,有助于高等师范学校数学教育专业学生提高思维能力和中学数学教育能力。 关键词数形结合;不等式;证明 1引言 “初等数学研究教程”是高等师范学校数学教育专业的一门重要的专业基础课程,是从事中学数学教育必须掌握的基础理论。本文在“初等数学研究教程”教学中简单介绍如何运用数形结合思想证明不等式,以提高高等师范学校数学教育专业学生思维能力和中学数学教育能力。 数形结合的思想方法是中学数学的一大特点,而在中学数学教学中,不等式的证明历来是教学的一个重点和难点。合理、灵活地运用数形结合思想来证明不等式往往可以收到事半功倍的效果。我们首先看下面一道例题: 例1:若锐角α、β、γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证: 。 证明思路:借助已知条件可构造一长 方体,使它的三边分别为a、b、c,且 记相交一点的三条棱a、b、c分别与AC’ 交成α、β、γ角。于是原有的三角证式就变成代数证式: 2利用数形结合证明不等式 由上例可见利用数形结合证明不等式的确可以使复杂问题简单化、形象化。在数学上,数和形是中学数学的两块基石,是研究数学的最基本方法之一。它体现了抽象思维与形象思维的结合,数学问题大体上都是围绕着“数”和“形”提炼、演变,发展而展开的。在中学数学中数形结合应用于证明不等式主要有三方面:用平面几何或立体几何的性质证明不等式,用解析几何的性质和方法证明不等式,用三角函数的性质和方法证明不等式。 2.1利用平面几何或立体几何的方法证明不等式 由于许多数量关系源于平面几何(或立体几何),诸如三角形的边长关系、边角 泰勒公式的证明及其应用 数学与应用数学专业胡心愿 [摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述. [关键词]泰勒公式；不等式；应用； Proof of Taylor's Formula and Its Application Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application. Key words:Taylor's Formula;inequality;application 选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题 1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1 b ，x >y . 求证： x x ＋a > y y ＋b . 证明：∵ x x ＋a － y y ＋b ＝ bx －ay x ＋a y ＋b ， 又1a >1 b ，且a 、b 均为正实数， ∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴ bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y y ＋b . 2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立． 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋ b 2＋ c 2 ≥3(abc )23 ，① 1 a ＋1 b ＋1 c ≥3(abc )1 3-，② 所以(1 a ＋1 b ＋1c )2 ≥9(abc ) 2 3-. 故a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1 c )2 ≥3(abc ) 23 ＋ 9(abc ) 23 - . 又3(abc ) 23 ＋9(abc ) 23 -≥227＝63，③ 所以原不等式成立． 当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23 ＝9(abc ) 23 - 时，③式 等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314 时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，① 同理1 a2＋ 1 b2 ＋ 1 c2 ≥ 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ac ，② 故a2＋b2＋c2＋(1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )2≥ab＋bc＋ac＋ 3 1 ab ＋3 1 bc ＋3 1 ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝31 4时，原式等号成立． 3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1 x2－2xy＋y2 ≥2y ＋3. 解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 2x＋ 1 x2－2xy＋y2 －2y＝2(x－y)＋ 1 x－y2 ＝(x－y)＋(x－y)＋ 1 x－y2 ≥33 x－y2 1 x－y2 ＝3， 所以2x＋ 1 x2－2xy＋y2 ≥2y＋3. 4．已知正实数a，b，c满足 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，求证：a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9.证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ≥3 31 a · 2 b · 3 c .同理可证： a＋ b 2 ＋ c 3 ≥3 3 a· b 2 · c 3 . 所以(a＋ b 2 ＋ c 3 )( 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c )≥ 3 3 a· b 2 · c 3 ·3 31 a · 2 b · 3 c ＝9. 因为 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，所以a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9， 当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立． 摘要 本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍. 关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式 Abstract This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function. in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point. And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality. And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 泰勒公式（提高班） 授课题目： §3.3泰勒公式 教学目的与要求： 1.掌握函数在指定点的泰勒公式； 2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用. 教学重点与难点： 重点：几个常用函数的泰勒公式 难点：泰勒公式的证明 讲授内容： 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。 在微分的应用中已经知道，当x很小时，有如下的近似等式： ≈1，x e x+ x ln(． 1 +) x≈ 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子．显然．在0 x处这些— = 次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值． 但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式． 于是提出如下的问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间内具有直到 (1+n )阶导数，试找出一个关于(0x x -)的n 次多项式 n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=Λ (1) 来近似表达)(x f ，要求)(x p n 与)(x f 之差是比n x x )(0-高阶的无穷小，并给出误差)()(x p x f n -的具体表达式． 下面我们来讨论这个问题．假设)(x p n 在0x 处的函数值及它的直到n 阶导数在0x 处的值依次与)(0x f ，)(0x f '，)(,0)(x f n Λ相等，即满足 )()(00x f x p n =，)()(00x f x p n '='， )()(00x f x p n ''=''，)(,0)()(x f p n n n =Λ， 按这些等式来确定多项式(1)的系数n a a a a Λ,,,210.为此，对（1）式求各 阶导数，然后分别代人以上等式，得 )(00x f a =，)(101x f a '=?，)(!202x f a ''=，)(!,0)(x f a n n n =Λ ， 即得 )(00x f a =，)(01x f a '=，)(!2102x f a ''=，)(! 1,0)(x f n a n n =Λ. (2) 不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0 学年论文 题目凹凸函数及其在证明不等式中的应用学院数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 级别10级 姓名洪玉茹 学号101301040 摘 要 首先给出了凸函数的定义，．接着给出了凸函数的一个判定定理 以及Jesen 不等式．通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用． 关键词 凸函数，凸函数判定定理Jensen 不等式。 下面我们主要研究凸函数，凹函数由读者自行探索。 一、 凸函数的等价定义 定义1 若函数()f x 对于区间(,)a b 内的任意12,x x 以及(0,1)λ∈，恒有 []1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数． 其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间的 线总在曲线之上． 定义2 若函数()f x 在区间(,)a b 内连续，对于区间(,)a b 内的任意12,x x ，恒有 []12121 ( )()()22 x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数． 其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上． 定义3 若函数()f x 在区间(,)a b 内可微，且对于区间(,)a b 内的任意x 及0x ， 恒有 000()()()()f x f x f x x x '≥+-， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数． 12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 ［知识梳理］ 1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个向量，则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ； 泰勒公式及其应用 佟梅 (渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国) 摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。 关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。 Taylor’s formula and its application Tong Mei (Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated. Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality. 导数在不等式证明中的应用 引言 不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。其常用的证明方法有: 比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。 一、利用导数的定义证明不等式 定义 设函数()f f x =在点0x 的某领域内有定义,若极限 ()() 000 lim x x f x f x x x →-- 存在 则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作()'0f x 令 0x x x =+?，()()00y f x x f x ?=+?-，则上式可改写为 ()()()00'000lim lim x x f x x f x y f x x x ?→?→+?-?==?? 所以，导数是函数增量y ?与自变量增量x ?之比 y x ??的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率( 又称差商)，而导数()'0f x 则为f 在0x 处关于x 的变化率。 以下是导数的定义的两种等价形式：不等式证明的基本方法
证明不等式的几种方法
19泰勒公式在证明不等式中的几个应用
不等式证明的常用基本方法
积分在不等式证明中的应用
泰勒公式的证明及应用
不等式证明的基本方法
数形结合在不等式证明中的应用
泰勒公式的证明及其应用
北师大版数学高二-选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题
中值定理在不等式证明中的应用
证明不等式的几种常用方法
泰勒公式证明必须看word资料11页
经典不等式证明的基本方法
函数的凹凸性在不等式证明中的应用
证明不等式的基本方法(20200920095256)
泰勒公式证明及应用讲解
导数在不等式证明中的应用
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