第18讲 平几中的几个重要定理（一）
本节主要内容有Ptolemy 、Ceva 、Menelaus 等定理及应用．
定理1 (Ptolemy 定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)
定理2 (Ceva 定理)设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是
AZ ZB ·BX XC ·CY
YA
=1．
定理3 (Menelaus 定理)设X 、Y 、Z 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 所在直线上，则X 、Y 、Z 共线的充要条件是
AZ ZB ·BX XC ·CY
YA
=1．
定理4 设P 、Q 、A 、B 为任意四点，则P A 2-PB 2=QA 2-QB 2?PQ ⊥AB ．
A 类例题
例1 证明Ptolemy 定理．
已知：如图，圆内接ABCD ，求证：AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ．
分析 可设法把 AC ·BD 拆成两部分，如把AC 写成AE +EC ，这样，AC ·BD 就拆成了两部分：AE ·BD 及EC ·BD ，于是只要证明AE ·BD =AD ·BC 及EC ·BD =AB ·CD 即可．
证明 在AC 上取点E ，使∠ADE =∠BDC ， 由∠DAE =∠DBC ，得⊿AED ∽⊿BCD ．
∴ AE ∶BC =AD ∶BD ，即AE ·BD =AD ·BC ． ⑴ 又∠ADB =∠EDC ，∠ABD =∠ECD ，得⊿ABD ∽⊿ECD ． ∴ AB ∶ED =BD ∶CD ，即EC ·BD =AB ·CD ． ⑵ ⑴+⑵，得 AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ．
说明 本定理的证明给证明ab =cd +ef 的问题提供了一个典范．
Z
Y X
C B
A
A
B
C
P
X
Y
Z
A
B
C
D
E
例2 证明 Ceva 定理．
分析 此三个比值都可以表达为三角形面积的比，从而可用面积来证明． 证明：设S ⊿APB =S 1，S ⊿BPC =S 2，S ⊿CPA =S 3． 则AZ ZB =S 3S 2，BX XC =S 1S 3，CY YA =S 2S 1， 三式相乘，即得证．
说明 用同一法可证其逆正确．
例3 证明Menelaus 定理． 证明：作CN ∥BA ，交XY 于N ， 则AZ CN =CY YA ，CN ZB =XC BX
． 于是AZ ZB ·BX XC ·CY YA =AZ CN ·CN ZB ·BX XC ·CY
YA
=1．
本定理也可用面积来证明：如图，连AX ，BY ， 记S ?AYB =S 1，S ?BYC =S 2，S ?CYX =S 3，S ?XYA =S 4．则 AZ ZB =S 4S 2+S 3；BX XC =S 2+S 3S 3；CY YA
=S 3
S 4
，三式相乘即得证． 说明 用同一法可证其逆正确．Ceva 定理与Menelaus 定理是一对“对偶定理”．
例4 证明定理4 设P 、Q 、A 、B 为任意四点，则P A 2-PB 2=QA 2-QB 2?PQ ⊥AB ． 证明 先证P A 2-PB 2=QA 2-QB 2?PQ ⊥AB ． 作PH ⊥AB 于H ，
则 P A 2-PB 2=( PH 2+AH 2)-(PH 2+BH 2)
=AH 2－BH 2=(AH +BH )(AH -BH ) =AB (AB -2BH )．
同理，作QH ’⊥AB 于H ’， 则 QA 2
-QB 2
=AB (AB -2AH’) ∴H =H ’，即点H 与点H ’重合． PQ ⊥AB ?P A 2-PB 2=QA 2-QB 2显然成立．
Z
Y X
C
B
A
S 1 S 2 S 3
S 4 Z
Y X
C B
A
N
A
B
P
Q
H H '
A
B
C
P
X Y
Z
说明 本题在证明两线垂直时具有强大的作用．
情景再现
1.如图，P 是正△ABC 外接圆的劣弧︵
BC 上任一点
(不与B 、C 重合)， 求证：P A =PB ＋PC ．
2.设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于E ． 求证：AE ED =2AF
FB
．
3．线交于一点证明：三角形的角平分
． B 类例题
例5 设A 1A 2A 3…A 7是圆内接正七边形，求证：
1A 1A 2=1A 1A 3+1
A 1A 4
．(1987年第二十一届全苏) 分析 注意到题目中要证的是一些边长之间的关系，并且是圆内接多
边形，当然存在圆内接四边形，从而可以考虑用Ptolemy 定理．
证明 连A 1A 5，A 3A 5，并设A 1A 2=a ，A 1A 3=b ，A 1A 4=c ． 本题即证1a =1b +1
c
．在圆内接四边形A 1A 3A 4A 5中，有
A 3A 4=A 4A 5=a ，A 1A 3=A 3A 5=b ，A 1
A 4=A 1A 5=c ．于是有ab +ac =bc ，同除以abc ，即得1a =1b +1
c ，故证．
说明 Ptolemy
定理揭示了圆内接四边形中线段关系，在数学中应用非常广泛．
例6 (南斯拉夫，1983)在矩形ABCD 的外接圆弧AB 上取一个不同于顶点A 、B 的点M ，点P
、
1
6
C
Q 、R 、S 是M 分别在直线AD 、AB 、BC 与CD 上的投影．证明，直线PQ 和RS 是互相垂直的，并且它们与矩形的某条对角线交于同一点．
证明：设PR 与圆的另一交点为L ．则
→PQ ·→RS =(→PM +→P A )·(→RM +→MS )=→PM ·→RM +→PM ·→MS +→P A ·→RM +→P A ·→MS =－→PM ·→PL +→P A ·→PD =0．故PQ ⊥RS ．
设PQ 交对角线BD 于T ，则由Menelaus 定理，(PQ 交?ABD )得
DP P A ·AQ QB ·BT TD =1；即BT TD =P A DP ·QB
AQ
； 设RS 交对角线BD 于N ，由Menelaus 定理，(RS 交?BCD )得
BN ND ·DS SC ·CR RB =1；即BN ND =SC DS ·RB
CR
； 显然，P A DP =RB CR ，QB AQ =SC DS ．于是BT TD =BN
ND
，故T 与N 重合．得证．
说明 本题反复运用了Menelaus 定理，解题要抓住哪一条直线截哪一个三角形．
情景再现
4．在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ．求证：∠GAC =∠EAC ．（1999年全国高中数学联赛）
5．ABCD 是一个平行四边形，E 是AB 上的一点，F 为CD 上的一点．AF 交ED 于G ，EC 交FB 于H ．连接线段GH 并延长交AD 于L ，交BC 于M ．求证：DL =BM .
6．在直线l 的一侧画一个半圆T ，C ，D 是T 上的两点，T 上过C 和D 的切线分别交l 于B 和A ，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段AC 和BD 的交点，F 是l 上的点，EF 垂直l ．求证：EF 平分∠CFD ．
C 类例题
例7以O 为圆心的圆通过⊿ABC 的两个顶点A 、C ，且与AB 、BC 两边分别相交于K 、N 两点，⊿ABC 和⊿KBN 的两外接圆交于B 、M 两点．证明：∠OMB 为直角．(1985年第26届国际数学竞赛）
分析 对于与圆有关的问题，常可利用圆幂定理，若能找到BM 上一点，使该点与点Ｂ对于圆O 等幂即可．
证明：由BM 、KN 、AC 三线共点P ，知
PM ·PB =PN ·PK =PO 2-r 2
． ⑴
由∠PMN =∠BKN =∠CAN ，得P 、M 、N 、C 共圆， 故 BM ·BP =BN ·BC =BO 2
-r 2
． ⑵ ⑴－⑵得， PM ·PB -BM ·BP = PO 2 - BO 2， 即 (PM -BM )(PM +BM )= PO 2 - BO 2，就是
T,N
S
R Q
P
M A B
C
D
L
PM 2 -BM 2= PO 2 - BO 2，于是OM ⊥PB ．
例8 (蝴蝶定理)AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．
分析 圆是关于直径对称的，当作出点F 关于OM 的对称点F'后，只要设法证明⊿FMP ≌⊿F'MQ 即可．
证明：作点F 关于OM 的对称点F ’，连FF ’，F’M ，F’Q ，F’D ．则 MF =MF ’，∠4=∠FMP =∠6．
圆内接四边形F ’FED 中，∠5+∠6=180?，从而∠4+∠5=180?， 于是M 、F ’、D 、Q 四点共圆， ∴ ∠2=∠3，但∠3=∠1，从而∠1=∠2， 于是⊿MFP ≌⊿MF ’Q ．∴ MP =MQ ．
说明 本定理有很多种证明方法，而且有多种推广．
例9 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T .
求证：R ，T ，S 三点共线．
分析 对于圆内接多边形有很多性质，本题涉及到圆内接六边形，我们先来证明两个引理． 引理1:
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1
F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点，则有
11
11
111111111=??A F F E E D D C C B B A . 如图，设A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性
质易知
△ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1， △OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有
O D O B E D B A 111111=
， O B O F C B F E 111111=， O
F O
D A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得11
11
111111111=??A F F E E D D C C B B A ， 引理2：
圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足11
11111111111=??A F F
E E D D C C B B A
则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点． 该引理的证明，留给读者思考．
例9之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD . 由△EBR ∽△EP A ，△FDS ∽△FP A ，知
E
B
R
C T
A
P
S
D
F
B F A E 1
O
C D 1
1
11
1
A B
C
D E
F M
F'
12
34
5
6
O
P Q
EP EB PA BR =,FD
FP
DS PA =. 两式相乘，得
FD
EP FP
EB DS BR ??=. ① 又由△ECR ∽△EPD ，△FPD ∽△F AS ，知
EP EC PD CR =，FA
FP
AS PD =. 两式相乘，得 FA
EP FP
EC AS CR ??= ② 由①，②得
FD
EC FA
EB CR DS AS BR ??=??. 故
=??AB SA DS CD RC BR CE
DC
FD AF BA EB ??. ③ 对△EAD 应用Menelaus 定理，有
1=??CE
DC FD AF BA EB ④ 由③，④得
1=??AB
SA
DS CD RC BR . 由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点，所以R ，T ，S 三点共线．
情景再现
7．(评委会，土耳其，1995)设?ABC 的内切圆分别切三边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，X 是?ABC 内的一点，?XBC 的内切圆也在点D 处与BC 相切，并与CX 、XB 分别切于点Y 、Z ，证明，EFZY 是圆内接四边形．
。
证明：的交点，与是的中点，是上，点在的平分线，是是斜边上的高，中，若直角CE BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC //.8∠?
习题18
1．在四边形ABCD 中，⊿ABD 、⊿BCD 、⊿ABC 的面积比是3∶4∶1，点M 、N 分别在AC 、CD 上满足AM ∶AC =CN ∶CD ，并且B 、M 、N 三点共线．求证：M 与N 分别是AC 与CD 的中点．(1983年全国高中数学联赛)
2．四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 延长交于点P ，AD 、BC 延长交于点Q ，由Q 作该
圆的两条切线QE 、QF ，切点分别为E 、F ，求证：P 、E 、F 三点共线．(1997年中国数学奥林匹克）
3．若⊿ABC 的边a 、b 、c ，所对的角为1∶2∶4，求证：1a =1b +1
c
．
4．如图，⊿ABC 中，P 为三角形内任意一点，AP 、BP 、CP 分别交对边于X 、Y 、Z ．求证：
XP
XA +YP YB +ZP ZC
=1 5．(Lemoine line )从三角形的各个顶点引其外接圆的切线，这些切线与各自对边的交点共线． 6． (Desargues 定理)设有△ABC 、△A'B'C'，且AB 与A'B'交于Z ，BC
与B'C'交于X ，CA 与C'A'交于Y ．则
⑴ 若AA'、BB'、CC'三线共点，则X 、Y 、Z 三点共线；
⑵ 若X 、Y 、Z 三点共线，则AA'、BB'、CC'三线共点．
7．在ABC 中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)
8．已知 在⊿ABC 中，AB >AC ， A 的一个外角的平分线交⊿ABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F ．
求证 2AF =AB -AC ．（1989年全国高中数学联赛）
9．四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设三角形ABP 、BCP 、CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1、O 2、O 3、O 4．求证OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．（1990年全国高中数学联赛）
10．一个战士想要查遍一个正三角形区域内或边界上有无地雷，他的探测器的有效长度等于正三角形高的一半．这个战士从三角形的一个顶点开始探测．训他应怎样的路线才能使查遍整个区域的路程最短． (1973年第十五届国际数学奥林匹克)
A
B
C
P
X
Y Z
P
A
B
C
D
M N
E Q R
P
Y
X Z
C
B
A O
O
A
B
C
A'
B'
C '
X Y
Z
X Z
Y L
N
M E D C
B
A
O O A
B C
D
P
1
O O O 2
34
11．以锐角三角形ABC 的三边为边向外作三个相似三角形AC 1B ，BA 1C 、CB 1A ，(∠AB 1C =∠ABC 1=∠A 1BC ；∠BA 1C =∠BAC 1=∠B 1AC ．)
⑴ 求证：⊿AC 1B 、⊿B 1AC 、⊿CBA 1的外接圆交于一点；
⑵ 证明：直线AA 1、BB 1、CC 1交于一点．(1973年全苏数学奥林匹克)
12．⊿ABC 中，O 为外心，H 为垂心，直线AH 、BH 、CH 交边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，直线DE 交AB 于M ，DF 交AC 于N ．求证：⑴ OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；⑵ OH ⊥MN ．
本节“情景再现”解答：
1．证明：由Ptolemy 定理得P A ·BC =PB ·AC ＋PC ·AB ，∵AB =BC =AC ． ∴P A =PB +PC ．
2．证明由Menelaus 定理得
AE ED ·DC CB ·BF FA =1 ，从而AE ED =2AF
． 3．
4．证明 连结BD 交AC 于H ，对⊿BCD 用Ceva 定理，可得CG GB ·BH HD ·DE
EC =1．
因为AH 是∠BAD 的角平分线，由角平分线定理，可得BH HD =AB
AD ，故
CG GB ·AB AD ·DE
EC
=1．过点C 作AB 的平行线交AG 延长线于I ，过点C 作AD 的平行线交AE 的延长线于J ，则
CG GB =CI AB ，DE EC =AD CJ ，所以，CI AB ·AB AD ·AD
CJ
=1． 从而，CI =CJ ．又因CI ∥AB ，CJ ∥AD ，故∠ACI =π-∠BAC =π
-∠DAC =∠ACJ ，因此，⊿ACI ≌⊿ACJ ，从而∠IAC =∠JAC ，即∠GAC =∠EAC ．
5．证明：如图，设直线LM 与BA 的延长线交于点J ，与DC 的延长线交于点I ． 在△ECD 与△F AB 中分别使用Menelaus 定理，得
1=??HE CH IC DI GD EG ， 1=??JA BJ HB FH GF AG .因为AB ∥CD ，所以GF AG
GD EG =， HB FH HE CH =.从而JA BJ IC DI =，即=+CI CI CD AJ
AJ
AB +，故CI =AJ . 而 一点；
三角形的角平分线交于的角平分线分别是证：记∴=??∴===?1,,,,,111111*********A
B CB
C A BA B C AC c a
A B CB b c C A BA a b B C AC CC BB AA ABC G
A
E J L
D
I
M H A
B
C D
E
F
G
H
I
J
LA
DL
AJ DI CI BJ MC BM ===，且BM +MC =BC =AD =AL +LD . 所以BM =DL ． 6．证明：如图，设AD 与BC 相交于点P ，用O 表示半圆T 的圆心．过P 作PH 丄l 于H ，连OD ，OC ，OP ．由题意知Rt △OAD ∽Rt △P AH ， 于是有
DO HP AD AH =.类似地，Rt △OCB ∽Rt △PHB ，则有CO
HP
BC BH =. 由CO =DO ，有
BC BH AD AH =，从而1=??DA
PD
CP BC HB AH . 由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC ，BD ，PH 相交于一点，即E 在PH 上，点H 与F 重合． 因∠ODP =∠OCP =90°，所以O ，D ，C ，P 四点共圆，直径为OP . 又∠PFC =90°，从而推得点F 也在这个圆上，因此∠DFP =∠DOP =∠COP =∠CFP ，所以EF 平分∠CFD ． 7．证明：延长FE 、BC 交于Q ．AF FB ·BD DC ·CE EA =1，XZ ZB ·BD DC ·CY YA =1，?AF FB ·CE EA =XZ ZB ·CY
YA ．
由Menelaus 定理，有AF FB · BQ QC · CE
EA =1．
于是得XZ ZB ·BQ QC ·CY
YA =1．即Z 、Y 、Q 三点共线．
但由切割线定理知，QE ·QF =QD 2=QY ·QZ ． 故由圆幂定理的逆定理知E 、F 、Z 、Y 四点共圆．即EFZY 是圆内接四边形．
8．
本节“习题18”解答：
1、证明 设AC 、BD 交于点E ．由AM ∶AC =CN ∶CD ，故AM ∶MC =CN ∶ND ，
令CN ∶ND =r (r >0)， 则AM ∶MC =r ．由S ABD =3S ABC ，S BCD =4S ABC ，即S ABD ∶S BCD =3∶4．从而
D
l
A
B O F(H)
E C P
第7题图
Q
P I Z Y X F E A
B
C
D
.//.....1...,90,,,CE BF CKE FKB KE
BK KC KF BE BK FC KF BE BK
BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF FC KF EK AE DA CD F E D ACK EP CK EP BC EBC CE BH HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACK EBC BH B EBC ∴???∴=====???=?∴⊥?=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠?＝依分比定理有：＝即＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于则，上的高作为等腰三角形即则的平分线中，作在证：
AE ∶EC ∶AC =3∶4∶7．S ACD ∶S ABC =6∶1，故DE ∶EB =6∶1，∴DB ∶BE =7∶1．AM ∶AC =r ∶(r +1)，即AM =r r +1AC ，AE =3
7
AC ，
∴EM =(r r +1-37)AC =4r －37(r +1)AC ．MC =1
r +1AC ，∴EM ∶MC =4r －37．由Menelaus
定理，知CN ND ·DB BE ·EM
MC =1，代入得 r ·7·4r －37=1，即4r 2－3r －1=0，这个方
程有惟一的正根r =1．故CN ∶ND =1，就是N 为CN 中点，M 为AC 中点．
2、证明 连PQ ，作⊙QDC 交PQ 于点M ，则∠QMC =∠CDA =∠CBP ，于是M 、C 、B 、P 四点共圆．由 PO 2-r 2=PC ·PD =PM ·PQ ，
QO 2-r 2=QC ·QB =QM ·QP ，两式相减，得PO 2-QO 2=PQ ·(PM -QM ) =(PM +QM )( PM -QM )=PM 2
-QM 2
，∴ OM ⊥PQ ．
∴ O 、F 、M 、Q 、E 五点共圆．连PE ，若PE 交⊙O 于F 1，交⊙OFM 于点F 2，则对于⊙O ，有PF 1·PE =PC ·PD ，对于⊙OFM ，又有PF 2·PE =PC ·PD ．∴ PF 1·PE =PF 2·PE ，即F 1与F 2重合于二圆的公共点F ．即P 、F 、E 三点共线．
3、作三角形的外接圆，即得圆内接正七边形，转化为例5．
4、证明：XP XA =S PBC S ABC ，YP YA =S PCA S ABC ，ZP ZA =S P AB
S ABC ，三式相加即得证．
5、AB 交⊿PQR 于B 、A 、Z ，?PB BQ ·QZ ZR ·RA
AP =1，
AC 交⊿PQR 于C 、A 、Y ，?RA AP ·PY YQ ·QC
CR =1，
BC 交⊿PQR 于B 、C 、X ，?PB BQ ·QC CR ·RX
XP =1，
三式相乘，得(PB BQ ·RA AP ·QC CR )2QZ ZR ·RX XP ·PY
YQ
=1．
但PB =PA ，QB =QC ，RA =RC ，故得QZ ZR ·RX XP ·PY
YQ
=1．?X 、Y 、Z 共线．
6、（1）证明：若AA'、BB'、CC'三线交于点O ，由⊿OA'B'与直线AB 相交，得
OA AA '·A 'Z ZB '·B'B
BO
=1； 由⊿OA'C'与直线AC 相交，得A'A AO ·OC CC '·C'Y YA'=1；由⊿OB'C'与直线BC 相交，得OB BB'·B'X XC '·CC'
C'O =1；
三式相乘，得A'Z ZB'·B'X XC '·C'Y
YA'=1．由Menelaus 的逆定理，知X 、Y 、Z 共线．
（2）上述显然可逆．
7、提示:作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心．∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ．
P
A
B
C
D
M N
E Q R
P
Y
X
Z
C
B
A O
三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BC
AC
．另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩
BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ，∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ．∴
LX NY =AF BG =AC BC ，∴ NZ ZL ·LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX
NY
=1．由Menelaus 定理可得，X 、Y 、Z 三点共线．
注：本题是直线形问题，因此可用解析法证明．
8、证明 在FB 上取FG =AF ，连EG 、EC 、EB ，于是⊿AEG 为等腰三
角形，∴EG =EA ．又∠3=180?-∠EGA =180?-∠EAG =180?-∠5=∠4，
∠1=∠2．于是⊿EGB Λ?EAC ．4 BG =AC ，∴ AB -AC =AG =2AF ．
9、证明 ∵O 为⊿ABC 的外心，∴ OA =OB ．∵ O 1为⊿P AB 的外心，∴O 1A =O 1B ．∴ OO 1⊥AB ．作⊿PCD 的外接圆⊙O 3，延长PO 3与所作圆交于点E ，并与AB 交于点F ，连DE ，则∠1=∠2=∠3，∠EPD =∠BPF ，
∴ ∠PFB =∠EDP =90?．∴ PO 3⊥AB ，即OO 1∥PO 3．
同理，OO 3∥PO 1．即OO 1PO 3是平行四边形．∴ O 1O 3与PO 互相平分，即O 1O 3过PO 的中点．同理，O 2O 4过PO 中点．∴ OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．
10、提示：设士兵要探测的正三角形为⊿ABC ，其高=2d ，他从顶点A 出发．如图，以B 、C 为圆心d 为半径分别作弧EF 、GH ，则他分别到达此二弧上任意一点时，就可探测全部扇形区域BEF 及CGH ，故可取弧EF 上一点P ，及弧GH 上一点Q ，士兵从A 出发，走过折线APQ ，连PC ，交弧GH 于R ，则AP +PQ +QC >AP +PR +RC ，即AP +PQ >AP +PR ，因此，只要使AP +PC 最小，就有折线APQ 最小．
现取弧EF 的中点M ，MC 交弧GH 于N ，则士兵应沿折线AMN 前进． 易证，对于⊿ABC 三边上任一点，总有折线AMN 上某一点，与之距离 其次，对于弧EF 上任一点P ，AM +MC < AP +PC ．这可由下图证出：过M 作AC 的平行线，由点P 到AC 的距离>M 到AC 的距离，知AP 与此平行线有交点，设交点为K ．并作点C 关于此平行线的对称点C’，则AM +MC =AC ’ 11、⑴ 设D 为AA 1与BB 1的交点，易知∠A 1CA =∠B 1CB ，A 1C ∶BC =AC ∶B 1C ， O O A B C D P 1O O O 2 3 4 E F 1 2 3 A B C E F G 1 2 3 4 5C A B C B C A 1 1 1 ∴ ⊿A 1CA =?B 1CB ．4 ∠DBC =∠DA 1C ．于是B 、D 、C 、A 1共圆．同理A 、D 、C 、B 1共圆，故点D 是⊿A 1BC 和⊿AB 1C 的外接圆的交点． 又 ∠ADB =180?-∠ADB 1=180?-∠AC 1B ．所以，点A 1、D 、B 和C 1共圆，于是点D 是所有三个圆的公共点． ⑵ 由于∠BDC 1=∠BAC 1=∠BA 1C =180?-∠BDC ，所以直线CC 1经过点D ． 12、证明：⑴显然B 、D 、H 、F 四点共圆；H 、E 、F 四点共圆． ∴ ∠BDF =∠BHF +180?-∠EHF =∠BAC ． ∠OBC =1 2(180?-∠BOC )=90?-∠BAC ． ∴ OB ⊥DF ．同理，OC ⊥DE ． ⑵ ∵ CF ⊥MA ， ∴ MC 2-MH 2=AC 2-AH 2； ① ∵ BE ⊥NA ， ∴ NB 2-NH 2=AB 2-AH 2； ② ∵ DA ⊥AC ， ∴ DB 2-CD 2=BA 2-AC 2； ③ ∵ OB ⊥DF ， ∴ BN 2-BD 2=ON 2-OD 2； ④ ∵ OC ⊥DE ， ∴ CM 2-CD 2=OM 2-OD 2． ⑤ ①-②+③+④-⑤，得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2； OM 2-MH 2=ON 2-NH 2． ∴ OH ⊥MN ． A B C D E F N M H O 第二章热力学第一定律习题答案 自测题 1.判断题。下述各题中的说法是否正确？正确的在图后括号内画“√”，错误的画“×”（1）隔离系统的热力学能U是守恒的。（√） （2）理想气体的完整定义是：在一定T、P下既遵守pV=nRT又遵守(?U/?V)T =0的气体叫做理想气体。（×） （3）1mol 100℃、101325Pa下的水变成同温同压下的水蒸气，该过程的△U=0.（×） 2. 选择题。选择正确答案的编号，填在各题题后的括号内： (1) 热力学能U是系统的状态函数，若某一系统从一始态出发经一循环过程又回到始态，则系统热力学能的增量是：（ A ） （A）△U=0 ; （B）△U>0; (C) △U<0 (2) 当系统发生状态变化时，则焓的变化为：△H=△U+△（pV），式中△（pV）的意思是：（ B ） (A) △(PV)= △P△V; (B) △(PV)=P2V2- P1V1 (C) △(PV)=P△V+V△P (3) 1mol理想气体从P1、V1、T1分别经（a）绝热可逆膨胀到P2、V2、T2；（b）绝热恒外压膨胀到P’2、V’2、T’2，若P2= P’2，则（C ）。 （A）T’2=T2, V’2=V2; (B) T’2> T2 , V’2< V2; (C) T’2> T2, V’2> V2 3.填空题。在以下各小题中画有“______”处或表格中填上答案 （1）物理量Q（热量）、T(热力学温度)、V（系统体积）、W（功），其中用于状态函数的是___T, V___；与过程有关的量是___Q, W___；状态函数中用于广延量的是__V_____；属于强度量的是___T______。 (2) Q v=△U应用条件是_封闭系统____;__恒容____;__W’=0______。 （3）焦耳—汤姆逊系数μJ-T__=(?T/?p)H___，μJ-T>0表示节流膨胀后温度___低于___节流膨胀前温度。 计算题 一、273.15K、1013250Pa的0.0100m3双原子理想气体，分别经过下列过程，到达终态压力为101325Pa。试计算系统经过每种过程后的终态温度和W、Q及△U。 （1）等温可逆膨胀；（2）绝热可逆膨胀； （3）反抗恒定外压p ex=101325Pa，恒温膨胀； （4）反抗恒定外压p ex=101325Pa，绝热膨胀。 二、若将2mol、300K、1013250Pa的理想气体，先等容冷却到压力为101325Pa，再等压加热到300K。试求该过程总的W、Q、△U和△H。 三、1mol单原子理想气体经可逆过程A、B、C三步，从始态1经状态2、3，又回到始态1。已知该气体的C v,m=1.5R。试填充下表： 第七章力与运动 第一节科学探究：牛顿第一定律（1课时） 教学目标 1．体会亚里士多德与伽利略的思想冲突，通过动手实验，用分析与论证的方法探究出牛顿第一定律，并学会用自己的语言表达牛顿第一定律的内容。从对牛顿第一定律的探究过程中发展学生的观察能力、分析能力、归纳论证的能力和表述信息的能力。 2．认识伽利略的理想实验方法，了解物理上理想实验的实质。 3．通过大量的事实认识惯性，并了解利用惯性和防止惯性的方法；知道惯性与惯性定律的区别和联系；能够将惯性知识应用到生产、生活实验当中，强化STS教育。 教学重点与难点 重点：通过对实验探究的参与，强化学生分析与论证的能力，加深对牛顿第一定律的理解。正确理解惯性的概念。 难点：转变学生的经验概念——力是产生物体运动的原因为力是改变物体运动状态的原因。利用惯性知识解释一些日常生活、生产的现象。 教学方法实验探究法：观察法、分析论证法。 教学用具斜面、木板、棉布、玻璃板、毛巾、滑块、刻度尺、鸡蛋、光滑的硬纸片、装有水的玻璃杯、化纤桌布、小车、木块、锤子等。 教学过程 一、探究：牛顿第一定律 1．常见的日常生活现象引入（PPT） (1)给静止的木箱施加一水平方向的推力，木箱沿着水平方向运动,撤去推力后，木箱停了下来; (2)用铁锤敲击钉子，钉子向下运动陷入木板。停止敲击，钉子就不再下陷; (3)踢出去的足球，虽然会继续“飞行”，但它总是会停下来的; (4)关闭了发动机的火车，虽然继续运动，但是最后它也将停下来。 师：以上这些现象有什么共同特征? （生：物体受到力的作用，就发生运动．不受力的作用，就停止运动。物体的运动需要力的作用，不受力的作用就不会动。） 师：你们能否再举一些事例说明你们的观点?（学生举例） 早在2000年以前，亚里士多德针对类似情况就提出了这样的观点：要维持物体作匀速运动，就必须给物体施加一恒定的力。他认为不受力而一直运动的物体是不存在的。 伽利略却对这种观点提出了质疑，他通过理想实验说明了：运动物体如果不受其他物体的作用，其运动会是匀速的，而且将永远运动下去。 课件动画演示伽利略的理想实验，如课本P126图7—3。 配文：伽利略通过斜面实验发现，当小球从左侧斜面的一定高度滚下时，无论右侧斜面的坡度如何，它都会沿斜面上升到与下落点几乎等高的地方。假如右侧斜面变成水平放置，小球将为了达到那个永远无法达到的高度而一直滚动下去。 师：伽利略是在分析大量事实的基础上进行合乎逻辑的科学推理，不是凭空想像。伽利略的理想实验驳斥了亚里士多德的关于力是维持物体运动状态的原因的学说。 当时法国科学家笛卡儿进一步的结论是“物体不受到任何外力作用的时候，不仅速度大小不变，而且运动方向不变，将沿原来的方向匀速运动下去。 2．实验探究：力和运动的关系 我们认为一个物体不受其他物体的作用，即物体不受到力的作用。在实际情况中是不存在的，所以我们设想让滑块从相同的斜面顶端滑下，以相同的速度开始运动，逐渐减小平 热一定律总结 一、 通用公式 ΔU = Q + W 绝热： Q = 0，ΔU = W 恒容(W ’=0)：W = 0，ΔU = Q V 恒压(W ’=0)：W =-p ΔV =-Δ(pV )，ΔU = Q -Δ(pV ) → ΔH = Q p 恒容+绝热(W ’=0) ：ΔU = 0 恒压+绝热(W ’=0) ：ΔH = 0 焓的定义式：H = U + pV → ΔH = ΔU + Δ(pV ) 典型例题：3.11思考题第3题，第4题。 二、 理想气体的单纯pVT 变化 恒温：ΔU = ΔH = 0 变温： 或 或 如恒容，ΔU = Q ，否则不一定相等。如恒压，ΔH = Q ，否则不一定相等。 C p , m – C V , m = R 双原子理想气体：C p , m = 7R /2, C V , m = 5R /2 单原子理想气体：C p , m = 5R /2, C V , m = 3R /2 典型例题：3.18思考题第2,3,4题 书2.18、2.19 三、 凝聚态物质的ΔU 和ΔH 只和温度有关 或 典型例题：书2.15 ΔU = n C V , m d T T 2 T 1 ∫ ΔH = n C p, m d T T 2 T 1 ∫ ΔU = nC V , m (T 2-T 1) ΔH = nC p, m (T 2-T 1) ΔU ≈ ΔH = n C p, m d T T 2 T 1 ∫ ΔU ≈ ΔH = nC p, m (T 2-T 1) 四、可逆相变（一定温度T 和对应的p 下的相变，是恒压过程） ΔU ≈ ΔH –ΔnRT (Δn ：气体摩尔数的变化量。如凝聚态物质之间相变，如熔化、凝固、转晶等，则Δn = 0，ΔU ≈ ΔH 。 101.325 kPa 及其对应温度下的相变可以查表。 其它温度下的相变要设计状态函数 不管是理想气体或凝聚态物质，ΔH 1和ΔH 3均仅为温度的函数，可以直接用C p,m 计算。 或 典型例题：3.18作业题第3题 五、化学反应焓的计算 其他温度：状态函数法 Δ H m (T ) = ΔH 1 +Δ H m (T 0) + ΔH 3 α β β α Δ H m (T ) α β ΔH 1 ΔH 3 Δ H m (T 0) α β 可逆相变 298.15 K: ΔH = Q p = n Δ H m α β Δr H m ? =Δf H ?(生) – Δf H ?(反) = y Δf H m ?(Y) + z Δf H m ?(Z) – a Δf H m ?(A) – b Δf H m ?(B) Δr H m ? =Δc H ?(反) – Δc H ?(生) = a Δc H m ?(A) + b Δc H m ?(B) –y Δc H m ?(Y) – z Δc H m ?(Z) ΔH = nC p, m (T 2-T 1) ΔH = n C p, m d T T 2 T 1 ∫ 第一章 热力学第一定律练习题 一、判断题（说法对否）： 1．道尔顿分压定律，对理想气体和实际混合气体来说关系式PB=Nb(RT/V)都成立。 2．在两个封闭的容器中，装有同一种理想气体，压力、体积相同，那么温度也相同。 3．物质的温度越高，则热量越多；天气预报：今天很热。其热的概念与热力学相同。 4．恒压过程也就是恒外压过程，恒外压过程也就是恒过程。 5．实际气体在恒温膨胀时所做的功等于所吸收的热。 6．凡是温度升高的过程体系一定吸热；而恒温过程体系不吸热也不放热。 7．当系统的状态一定时，所有的状态函数都有一定的数值。当系统的状态发生变化时， 所有的状态函数的数值也随之发生变化。 8．体积是广度性质的状态函数；在有过剩NaCl(s) 存在的饱和水溶液中，当温度、压力 一定时；系统的体积与系统中水和NaCl 的总量成正比。 9．在101.325kPa 、100℃下有lmol 的水和水蒸气共存的系统，该系统的状态完全确定。 10．一定量的理想气体，当热力学能与温度确定之后，则所有的状态函数也完全确定。 11．系统温度升高则一定从环境吸热，系统温度不变就不与环境换热。 12．从同一始态经不同的过程到达同一终态，则Q 和W 的值一般不同，Q + W 的值一般也 不相同。 13．因Q P = ΔH ，Q V = ΔU ，所以Q P 与Q V 都是状态函数。 14．封闭系统在压力恒定的过程中吸收的热等于该系统的焓。 15．对于一定量的理想气体，当温度一定时热力学能与焓的值一定，其差值也一定。 16．在101.325kPa 下，1mol l00℃的水恒温蒸发为100℃的水蒸气。若水蒸气可视为理想 气体，那么由于过程等温，所以该过程ΔU = 0。 17．1mol ，80.1℃、101.325kPa 的液态苯向真空蒸发为80.1℃、101.325kPa 的气态苯。已 知该过程的焓变为30.87kJ ，所以此过程的Q = 30.87kJ 。 18．1mol 水在l01.325kPa 下由25℃升温至120℃，其ΔH = ∑C P ,m d T 。 19．因焓是温度、压力的函数，即H = f (T ,p )，所以在恒温、恒压下发生相变时，由于 d T = 0，d p = 0，故可得ΔH = 0。 20．因Q p = ΔH ，Q V = ΔU ，所以Q p - Q V = ΔH - ΔU = Δ(p V) = -W 。 21．卡诺循环是可逆循环，当系统经一个卡诺循环后，不仅系统复原了，环境也会复原。 22．一个系统经历了一个无限小的过程，则此过程是可逆过程。 23．若一个过程中每一步都无限接近平衡态，则此过程一定是可逆过程。 24．若一个过程是可逆过程，则该过程中的每一步都是可逆的。 25．1mol 理想气体经绝热不可逆过程由p 1、V 1变到p 2、V 2， 则系统所做的功为 V p C C V p V p W =--=γγ，11122。 26．气体经绝热自由膨胀后，因Q = 0，W = 0，所以ΔU = 0，气体温度不变。 27．(?U /?V )T = 0 的气体一定是理想气体。 28．因理想气体的热力学能与体积压力无关，所以(?U /?p )V = 0，(?U /?V )p = 0。 29．若规定温度T 时，处于标准态的稳定态单质的标准摩尔生成焓为零，那么该温度下 第十八章 热力学第二定律 一、选择题 18.1、热力学第二定律表明[ ] (A) 不可能从单一热源吸取热量，使之完全变为有用的功而不产生其它影响 (B) 在一个可逆过程中,工作物质净吸热等于对外作的功 (C) 摩擦生热的过程是不可逆的 (D) 热量不可能从低温物体传到高温物体 18.2、功与热的转变过程中，下面的叙述不正确的是[ ] (A) 不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸收热量，使之完全变为有用功而其它物体不发生变化 (B) 可逆卡诺循环的效率最高但恒小于1 (C) 功可以全部变为热量，而热量不能完全转化为功 (D) 绝热过程对外做功，则系统的内能必减少 18.3、在327c ?的高温热源和27c ?的低温热源间工作的热机，理论上的最大效率为[ ] (A) 100% (B) 92% (C) 50% (D) 10% (E) 25% 18.4、1mol 的某种物质由初态（01,P T ）变化到末态（02,P T ），其熵变为[ ] (A) 0 (B) 21T V T C dT T ? (C) 21T P T C dT T ? (D) 21V V P dV T ? 18.5、下列结论正确的是[ ] (A) 不可逆过程就是不能反向进行的过程 (B) 自然界的一切不可逆过程都是相互依存的 (C) 自然界的一切不可逆过程都是相互独立的，没有关联 (D) 自然界所进行的不可逆过程的熵可能增大可能减小 二、填空题 18.6、热力学第二定律的两种表述分别是 (1) ；(2）。 18.7、第二类永动机不可能制成是因为 它违背了。 18.8、任意宏观态所对应的，称为该宏观态的热力学概率。 18.9、对于孤立体系，各个微观状态出现的概率。 18.10、热力学第二定律表明自然界与热现象有关的过程都是。开尔文表述表明了过程是不可逆的，克劳修斯表述表明过程是不可逆的。 三、计算和证明题 18.11、证明：等温线与绝热线不可能有两个交点。 18.12、证明：两条绝热线不可能相交。 18.13、证明开尔文表述与克劳修斯表述的等价性。 18.14、若要实现一密闭绝热的房间冷却，是否可以将电冰箱的门打开由电冰箱的运转实现？ 18.15、νmol的理想气体经绝热自由膨胀后体积由V变到2V，求此过程的熵变。 18.16、将1Kg，20c?的水放到500c?的炉子上加热，最后达到100c?，已知水的比热是3 4.1810/() J Kg K ??，分别求炉子和水的熵变。 18.17、用两种方法将1mol双原子理想气体的体积由V压缩至体积为V/2；（1）等压压缩；（2）等温压缩；试计算两种过程的熵变。 18.18、1mol理想气体由初态（ 1,T 1 V）经某一过程到达末态（ 2 , T 2 V），求熵变。 第八章运动和力 第一节牛顿第一定律 1课时新授课 【教学目标】 （一）．知识与技能： 1、理解力和运动的关系，知道物体的运动不需要力来维持。 2、理解牛顿第一定律，知道它是逻辑推理的结果，不受力的物体是不存在的。 3、理解惯性的概念，通过大量事实认识惯性并了解利用惯性及防止惯性的方法。（二）．过程与方法： 1、培养学生分析问题的能力，要能透过现象了解事物的本质，不能不加研究、分析而只 凭经验，对物理问题决不能主观臆断．正确的认识力和运动的关系。 2、帮助学生养成研究问题要从不同的角度对比研究的习惯。 3、培养学生逻辑推理的能力，知道物体的运动是不需要力来维持的。 （三）．情感态度与价值观： 1、利用一些简单的器材，比如：小车、木块、毛巾、玻璃板等，来对比研究力与物体运 动的关系，现象明显，而且更容易推理。 2、培养科学研究问题的态度。 3、利用生活中的例子来认识惯性，培养学生大胆发言，并学以致用。 【教学重点、难点】 重点：通过对实验探究的参与，强化学生分析与论证的能力，加深对牛顿第一定律和惯性的理解。 难点：转变学生的经验观念，正确理解牛顿第一定律。 【教学媒体】 学生：小车、木块、斜面、木板、毛巾、棉布、烧杯、水、纸条、滑板车、 教师：惯性演示仪、多媒体课件 【教学环节设计】 通过滑板车运动我们知道运动和力有关系，有什么关系呢？这一节我们就开始研究它们之间的关系 板书：牛顿第一定律 师生讨论后，归纳方案如下： 用同一小车在同一斜面，从同一高度由静止释放后滑下（为了让小车到达斜面底端具有相同的初速度）在两种不同粗糙程度的平面上滑行。 板书设计 第一节牛顿第一定律 一、探究阻力对物体运动的影响 二、牛顿第一定律：一切物体在没有受到外力的作用时，总保持 静止状态或匀速直线运动状态。 三、惯性 教学反思： 反思本节课的教学，主要存在以下优点： 1、用滑板车运动“小游戏”引入新课，能够很好地抓住学生的心，激发学生自主学习的兴趣。在对“阻力对物体运动的影响”进行探究时，通过提出问题、猜想假设、设计实验、实验论证、交流评估等一系列活动让学生又一次熟悉探究实验的过程，培养了各种能力，并让学生在学习的过程中体验成功的喜悦。 2、注重了学生对控制变量法、理论推理法等科学方法的掌握。通过渗透物理学史，水到渠成地得出牛顿第一定律。通过观看“杨利伟在太空吃月饼”视频，让学生更容易理解牛顿第一定律，使抽象的问题更直观。 第一章热力学第一定律 一、单选题 1) 如图，在绝热盛水容器中，浸入电阻丝，通电一段时间，通电后水及电阻丝的温度均略有升高，今以电阻丝为体系有：( ) A.W =0，Q <0，?U <0 B.W <0，Q<0，?U >0 C.W<0，Q<0，?U >0 D.W<0，Q=0，?U>0 2) 如图，用隔板将刚性绝热壁容器分成两半，两边充入压力不等的空气(视为理想气体)，已 知p 右> p 左， 将隔板抽去后: ( ) A.Q＝0, W＝0, ?U＝0 B.Q＝0, W <0, ?U >0 C.Q >0, W <0, ?U >0 D.?U＝0, Q＝W≠0 3）对于理想气体，下列关系中哪个是不正确的：( ) A. (?U/?T)V＝0 B. (?U/?V)T＝0 C. (?H/?p)T＝0 D. (?U/?p)T＝0 4）凡是在孤立孤体系中进行的变化，其?U和?H的值一定是：( ) A.?U >0, ?H >0 B.?U＝0, ?H＝0 C.?U <0, ?H <0 D.?U＝0，?H大于、小于或等于零不能确定。 5）在实际气体的节流膨胀过程中，哪一组描述是正确的: ( ) A.Q >0, ?H＝0, ?p < 0 B.Q＝0, ?H <0, ?p >0 C.Q＝0, ?H＝0, ?p <0 D.Q <0, ?H＝0, ?p <0 6）如图，叙述不正确的是：( ) A.曲线上任一点均表示对应浓度时积分溶解热大小 B.?H1表示无限稀释积分溶解热 C.?H2表示两浓度n1和n2之间的积分稀释热 D.曲线上任一点的斜率均表示对应浓度时HCl的微分溶解热 7）?H＝Q p此式适用于哪一个过程: ( ) A.理想气体从101325Pa反抗恒定的10132.5Pa膨胀到10132.5sPa B.在0℃、101325Pa下，冰融化成水 C.电解CuSO4的水溶液 D.气体从(298K，101325Pa)可逆变化到(373K，10132.5Pa ) 8) 一定量的理想气体，从同一初态分别经历等温可逆膨胀、绝热可逆膨胀到具有相同压力的终态，终态体积分别为V1、V2。( ) A.V1 < V2 B.V1 = V2 C.V1> V2 D.无法确定 9) 某化学反应在恒压、绝热和只作体积功的条件下进行，体系温度由T1升高到T2，则此过程的焓变?H:( ) 第一章热力学第一定律 一选择题 1.选出下列性质参数中属于容量性质的量: ( C ) (A)温度T；(B)浓度c；(C)体积V；(D)压力p。 2.若将人作为一个体系，则该体系为: ( C ) (A)孤立体系；(B)封闭体系；(C)敞开体系；(D)无法确定。 3.下列性质属于强度性质的是: ( D ) (A)热力学能和焓；(B)压力与恒压热容； (C)温度与体积差；(D)摩尔体积与摩尔热力学能。 4.气体通用常数R 在国际单位制中为: ( B ) (A)0.082L·atm·mol-1·K-1；(B)8.314 J·mol-1·K-1； (C)1.987cal·mol-1·K-1；(D)8.314×107 erg·mol-1·K-1。 5.关于状态函数的下列说法中，错误的是 ( D ) (A)状态一定，值一定；(B)在数学上有全微分性质； (C)其循环积分等于零；(D)所有状态函数的绝对值都无法确定。 6.下列关系式中为理想气体绝热可逆过程方程式的是 ( C ) (A)p1V1=p2V2；(B)pV=k；(C)pVγ=k；(D)10V=k·T。 7.体系与环境之间的能量传递形式有多少种？ ( C ) (A) 1；(B) 3；(C) 2；(D) 4。 8.下列参数中属于过程量的是 ( C ) (A)H；(B)U；(C)W；(D)V。 9.下列关系式成立的是 ( A ) (A)理想气体(?U/?V)T=0；(B)理想气体(?U/?p)v=0； (C)实际气体(?U/?V)T=0；(D)实际气体(?U/?p)v=0。 10.下列叙述中正确的是 ( D ) (A)作为容量性质的焓具有明确的物理意义； (B)任意条件下，焓的增量都与过程的热相等； (C)作为强度性质的焓没有明确的物理意义； (D)仅在恒压与非体积功为零的条件下，焓的增量才与过程的热相等。 11.下列叙述中正确的是 ( C ) (A)热力学能是一种强度性质的量； (B)热力学能包括了体系外部的动能与位能； (C)焓是一种容量性质的量； 第一节牛顿第一定律 教材要求: 1、理解力和运动的关系，知道物体的运动不需要力来维持。 2、理解牛顿第一定律，知道它是逻辑推理的结果，不受力的物体是不存在的。 3、理解惯性的概念，知道质量是惯性大小的量度． 主要内容: 1. 历史的回顾 2000 多年前，古希腊哲学家亚里斯多德根据当时人们对运动和力的关系的认识提出一个观点：必须有力作用在物体上，物体才能运动。 直到17 世纪，意大利科学家伽利略才指出这种说法是错误的，他分析到：运动的车停下来是由于摩擦力的原因，运动物体减速的原因是摩擦力。伽利略提出了自己的看法，他指出：物体一旦具有某一速度，没有加速和减速的原因，这个速度将保持不变。这里所指的减速的原因就是摩擦力。 法国科学家笛卡尔补充和完善了伽利略的论点，提出了惯性定律：如果没有其它原因，运动的物体将继续以同一速度沿着一条直线运动，既不会停下来，也不会偏离原来的方向。2．牛顿第一定律：一切物体总保持匀速运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 从牛顿第一定律可以看出： (1) 物体在不受力时，总保持匀速运动状态或静止状态。 (2) 物体有保持匀速直线运动状态的性质，叫做惯性。 (3) 物体运动状态的改变需要外力。 3. 介绍惯性参考系 在有些参考系中, 不受力的物体会保持静止或匀速直线运动的状态, 这样的参考系叫做惯性参考系, 简称惯性系. 在研究地面物体的运动时, 一般可以把地面看做惯性系; 相对地面做匀速直线运动的其他参考系, 也可以看作惯性系. 随堂练习: 1．以下说法正确的是 ( ) A. 惯性是物体的固有属性，惯性是一种力． B. 一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止． C. 当有力作用在物体上时，物体的运动状态必定改变． D. 物体惯性的大小只由质量大小决定，所以惯性就是质量. 2．关于力和运动的关系，下列说法正确的是： ( ) A. 物体静止在水平桌面上，它必定不受任何力的作用. B. 物体由静止开始运动，必定是受到了外力的作用. C. 物体向东运动，必定受到向东的力的作用. D. 物体运动越来越慢，必定是受到了外力的作用. 3．在沿水平路面行驶的火车车厢中的水平桌面上放着一个小球，当车厢里的人看到小球突 然在桌面上向右运动，说明( ) A. 火车在向左拐弯. B.火车在向右拐弯. C.火车速率一定在变化. D .火车可能在做匀速运动. 4. 下列说法正确的是： ( ) A. 力是维持物体运动的原因. B. 物体受恒力作用时，运动状态保持不变. C. 物体只有在静止或匀速直线运动时才有惯性. D .惯性越大的物体运动状态越难改变. 第十八单元热力学第一定律 [课本内容]马文蔚，第四版，上册 [6]-[40] [典型例题] 例18-1．一定量的某种理想气体，开始时处于压强、体积、温度分别为P0=×106Pa, V0=×10-3m3,, T0=300K的初态，后经过一等容过程，温度升高到T1=450K，再经过一等温过程，压强降到P=P O末态，已知该理想气体的等压摩尔热容与等容摩与热容之比C P/C V=5/3。求：（1）理想气体的等压摩尔热容C P和等容摩尔热容C V。 （2）气体从始态变到末态的全过程中从外界吸收的热量。 提示：（1） （2） 例18-2．一定量的刚性双原子分子理想气体，开始时处于压强为p0=×106Pa,体积为V0=4×10-3m3温度为T0=300K的初态，后经等压膨胀过程温度上升到T1=450K，再经绝热过程温度回到T2=300K，求气体在整过程中对外界作的功。 提示： 练习十八 一、选择题： 18-1．有两个相同的容器，容积固定不变，一个盛有氨气，另一个盛有氢气（看成刚性分子的理想气体），它们的压强和温度都相等，现将5J的热量传给氢气，使氢气温度升高，如果使氨气也升高同样的温度，则应向氨气传递热量是：［］ (A) 6 J. (B) 5 J. (C) 3 J. (D) 2 J. 18-2．一定量的理想气体分别由初态a经①过程ab和由初态a′经②过程a′cb到达相同的终态b，如p－T图所示，则两个过程中气体从外界吸收的热量Q1，Q2的关系为：［］ (A) Q1<0，Q1> Q2． (B) Q1>0，Q1> Q2． (C) Q1<0，Q1< Q2． (D) Q1>0，Q1< Q2． 18-3．对于室温下的双原子分子理想气体，在等压膨胀的情况下，系统对外所作的功与从外界吸收的热量之比W / Q等于［］ (A) 2/3． (B) 1/2． (C) 2/5． (D) 2/7． 18-4．1 mol理想气体从p－V图上初态a分别经历如图所示的(1) 或(2)过程到达末态b．已知T a 第一节牛顿运动第一定律 教学目标： 一、知识目标 1、知道理想实验是科学研究的重要方法； 2、知道牛顿第一定律的建立过程； 3、理解牛顿第一定律的内容和意义； 4、知道什么是惯性，会正确解释有关现象； 5、正确理解力和运动的关系； 二、能力目标 培养学生的观察能力，抽象思维能力、应用定律解决实际问题的能力及客观公正评价事物的能力。教学重点：牛顿运动第一定律、惯性 教学难点：对牛顿运动第一定律、惯性和理想实验的正确理解 教学用具：多媒体电脑、数据/视频投影仪、实物展台、鸡蛋(生的、熟的各一只)、装满水的瓶子、蜡块、铜块。 教学步骤： 一、导入新课 【演示实验】分别让两只鸡蛋旋转，再迅速按住，使蛋停下又立即松手，一只不动，另一只却能继续旋转。 【提问】猜猜看，两只蛋有何不同？ 【设疑】猜想是否正确？为什么两只蛋会出现两种不同的现象？从这节课开始研究与此有关的内容。这一章我们要学习的就是牛顿运动定律。今天我们学习第一节牛顿运动第一定律。 二、新课教学 【提问】放在讲台上的书，处于静止状态：怎样才能让书运动起来呢？（学生答：要用力去推它） 【师讲】从这个例子很容易得到：物体要运动，需要对它施加力的作用，力是使物体运动的原因吗？ 这是一个运动和力的关系问题．这个问题在2000多年前人们就对它进行了研究，下面我们来回顾一下 历史。 1、历史的回顾： ①请同学们阅读课文有关内容，并回答下列问题。 a、在研究力和运动的关系上有哪些代表人物？ b、每位科学家对力和运动的关系是如何认识的？ c、伽利略是如何证明其观点的？ ②历史上几位代表人物关于力和运动关系的看法。（学生回答） 亚里士多德的观点：必须有力作用在物体上，物体才能运动，没有力的作用，物体就要静止下来。 伽利略的观点：在水平面上运动的物体所以会停下来，是因为受到摩擦阻力的缘故。 笛卡儿的观点：如果没有其他原因，运动的物体将继续以同一速度沿着一条直线运动，既不会停下来，也不会改变原来的方向。 【设问】伽利略是如何得出结论的呢? 【演示】伽利略针和单摆实验及模拟实验。 【结论】改变悬点的高度，摆球仍能上升到原来的高度。 【演示】模拟伽利略的理想试验。 理想实验：以可靠的事实为基础，突出主要因素、忽略次要因素，通过抽象思维深刻揭示自然规律。 伽利略通过以可靠的事实为基础,经过抽象思维的理想实验,从而推翻了亚里士多德的观点！指出了：力不是维持物体运动的原因。伽利略的这种把可靠的事实和深刻的理论思维结合起来的理想实验,是科学研究中的一种重要方法。 第一章 热力学练习题参考答案 一、判断题解答： 1．错。对实际气体不适应。 2．错。数量不同，温度可能不同。 3．错。没有与环境交换能量，无热可言；天气预报的“热”不是热力学概念，它是指温度，天气很热，指气温很高。 4．错。恒压（等压）过程是体系压力不变并与外压相等，恒外压过程是指外压不变化，体系压力并不一定与外压相等。 5．错。一般吸收的热大于功的绝对值，多出部分增加分子势能（内能）。 6．错。例如理想气体绝热压缩，升温但不吸热；理想气体恒温膨胀，温度不变但吸热。 7．第一句话对，第二句话错，如理想气体的等温过程ΔU = 0，ΔH = 0，U 、H 不变。 8．错，两个独立变数可确定系统的状态只对组成一定的均相组成不变系统才成立。 9．错，理想气体U = f (T )，U 与T 不是独立的。描述一定量理想气体要两个独立变量。 10．第一个结论正确，第二个结论错，因Q+W ＝ΔU ，与途径无关。 11．错，Q V 、Q p 是过程变化的量、不是由状态决定的量，该式仅是数值相关而已。在一定条件下，可以利用ΔU ，ΔH 来计算Q V 、Q p ，但不能改变其本性。 12．错，(1)未说明该过程的非体积功W '是否为零； (2)若W ' = 0，该过程的热也只等于系统的焓变，而不是体系的焓。 13．对。因为理想气体热力学能、焓是温度的单值函数。 14．错，这是水的相变过程，不是理想气体的单纯状态变化，ΔU > 0。 15．错，该过程的p 环 = 0，不是恒压过程，也不是可逆相变，吸的热，增加体系的热力学能。吸的热少于30.87 kJ 。 16．错，在25℃到120℃中间，水发生相变，不能直接计算。 17．错，H = f (T ,p )只对组成不变的均相封闭系统成立，该题有相变。 18．错，Δ(pV )是状态函数的增量，与途径无关，不一定等于功。 19．错，环境并没有复原，卡诺循环不是原途径逆向返回的。 20．错，无限小过程不是可逆过程的充分条件。如有摩擦的谆静态过程。 21．错，若有摩擦力(广义)存在，有能量消耗则不可逆过程，只是准静态过程。 22．对。只有每一步都是可逆的才组成可逆过程。 23．对。() ()()12m ,121122n n 1T T C C C C T T R V p V p W V V V p -=--=--= γ。该公式对理想气体可逆、 不可逆过程都适用。 24．错，若是非理想气体的温度会变化的，如范德华气体。 25．错，该条件对服从pV m = RT + bp 的气体(钢球模型气体)也成立。 26．错，(?U /?V )p ≠(?U/?V )T ；(?U /?P )V ≠(?U/?V )T ，因此不等于零。 27．错，U = H －pV 。PV 不可能为零的。 28．错。CO 2在1000K 的标准摩尔生成焓可以由298K 标准摩尔生成焓计算出：由基尔霍夫定律得出的计算公式： 第3章 热力学第一定律 3.1 基本要求 深刻理解热量、储存能、功的概念，深刻理解内能、焓的物理意义 理解膨胀（压缩）功、轴功、技术功、流动功的联系与区别 熟练应用热力学第一定律解决具体问题 3.2 本章重点 1．必须学会并掌握应用热力学第一定律进行解题的方法，步骤如下： 1）根据需要求解的问题，选取热力系统。 2）列出相应系统的能量方程 3）利用已知条件简化方程并求解 4）判断结果的正确性 2．深入理解热力学第一定律的实质，并掌握其各种表达式（能量方程）的使用对象和应用条件。 3．切实理解热力学中功的定义，掌握各种功量的含义和计算，以及它们之间的区别和联系，切实理解热力系能量的概念，掌握各种系统中系统能量增量的具体含义。 4．在本章学习中，要更多注意在稳态稳定流动情况下，适用于理想气体和可逆过程的各种公式的理解与应用。 3.3 例 题 例1．门窗紧闭的房间内有一台电冰箱正在运行,若敞开冰箱的大门就有一股凉气扑面,感到凉爽。于是有人就想通过敞开冰箱大门达到降低室内温度的目的,你认为这种想法可行吗? 解：按题意，以门窗禁闭的房间为分析对象，可看成绝热的闭口系统，与外界无热量交换，Q =0，如图3.1所示，当安置在系统内部的电冰箱运转时，将有电功输入系统，根据热力学规定：W <0，由热力学第一定律W U Q +?=可知， 0>?U ，即系统的内能增加，也就是房间内空气的内能增加。由于空气可视为理 想气体，其内能是温度的单值函数。内能增加温度也增加，可见此种想法不但不能达到降温目的，反而使室内温度有所升高。 若以电冰箱为系统进行分析，其工作原理如图3.1所示。耗功W 后连同从冰室内取出的冷量0Q 一同通过散热片排放到室内，使室内温度升高。 2020年高考物理（选修3-3、3-4） 第一部分热学（选修3-3） 专题1.18 与热力学第一定律相关的计算题 1.(10分) （2019洛阳二模）如图所示，用导热性能良好的气缸和活塞封闭一定质量的理想气体，气体的体积V1=8.0×10－3m3，温度T1=4.0×102K现使外界环境温度缓慢降低至T2，此过程中气体放出热最7.0×102J，内能减少了5.0×102J。不计活塞的质量及活塞与气缸间的摩擦，外界大气压强P0=1.0×105Pa求： ①此过程外界对气体做了多少功； ②T2的值。 【命题意图】本题考查热力学第一定律、气体实验定律及其相关知识点。 【解题思路】 2．（10分）（2019湖北四地七校考试联盟期末）如图所示，导热性能良好的柱形金属容器竖直放置，容器上端的轻质塞子将容器密闭，内有质量为m的活塞将容器分为A、B两个气室，A、B两个气室的体积均为V．活塞与容器内壁间气密性好，且没有摩擦，活塞的截面积为S．已知重力加速度大小为g，大气压强 大小为，A气室内气体的压强大小为。 （i）拔去容器上端的塞子，求活塞稳定后B气室的体积V B； （ii）拔去塞子待活塞稳定后，室温开始缓慢升高，从活塞稳定到其恰好上升到容器顶端的过程中B室气体从外界吸热为Q，求这个过程中B气室气体内能增量△U。 【思路分析】（i）拔去塞子待活塞稳定后，B室中的气体初末状态温度不变，根据玻意耳定律解答；（ii）根据功的公式求出气体对外做功，由热力学第一定律求解。 【名师解析】（i）拔去塞子待活塞稳定后，B室中的气体初末状态温度不变 根据玻意耳定律，（+）?V＝（+）?V B 解得V B＝V （ii）B气室气体吸收的热量，一部分用来对外做功，一部分为其内能增量，室温缓慢升高的过程中，气体对外做功为 W＝（+）?S?＝ 根据热力学第一定律， △U＝Q﹣W＝Q﹣ 答：（i）拔去容器上端的塞子，活塞稳定后B气室的体积为V； （ii）拔去塞子待活塞稳定后，室温开始缓慢升高，从活塞稳定到其恰好上升到容器顶端的过程中B室气体 从外界吸热为Q，这个过程中B气室气体内能增量为Q﹣。 【名师点评】本题考查气体实验定律的应用以及气体压强的计算，要注意正确选择研究对象，分析好对应的状态，再选择正确的物理规律求解即可。 3.（2019年3月山东烟台一模））如图所示，上端带卡环的绝热圆柱形气缸竖直放置在水平地面上，气缸内部的高度为h，气缸内部被厚度不计、质量均为m的活塞A和B分成高度相等的三部分，下边两部分封闭有理想气体M和N，活塞A导热性能良好，活塞B绝热，两活塞均与气缸接触良好，不计一切摩擦，N部分气体内有加热装置，初始状态温度为T0，气缸的横截面积为S，外界大气压强大小为且保持不变。现对N部分气体缓慢加热 （1）当活塞A恰好到达气缸上端卡环时，N部分气体从加热装置中吸收的热量为Q，求该过程中N部分气体内能的变化量； 第18章 热力学第一定律 (The First Law of Thermodynamics) §18.1-18.2 准静态过程 热力学第一定律 一、准静态过程 ·热力学过程：热力学系统从一个状态变化 到另一个状态 ,称为热力学过程。 ·过程进行的任一时刻，系统的状态并非平衡态。 ·热力学中，为能利用平衡态的性质，引入 准静态过程(quasi-static process) 的概 念。 1.准静态过程：系统的每一个状态都无限接近于平衡态的过程(理想化的过程)。 即准静态过程是由一系列平衡态组成的过程。 2.准静态过程是一个理想化的过程， 是实际过程的近似。 只有过程进行得无限缓慢，每个中间态才可看作是平衡态。所以，实际过程仅当进行得无限缓慢时才可看作是准静态过程。 3.怎样算“无限缓慢” 弛豫时间(relaxation time)τ： 系统由非平衡态到平衡态所需时间。 准静态过程 “无限缓慢”： ?t 过程进行 >> τ 例如，实际汽缸的压缩过程可看作准静态 过程， ?t 过程进行 = 0.1秒 τ = 容器线度/分子速度 = 0.1米/100米/秒 = 10-3秒 4.过程曲线 准静态过程可用过程曲线表示。 状态图(P －V 图、P －T 图、V －T 图)上 ·一个点代表一个平衡态； ·一条曲线代表一个准静态过程。 二、功、内能、热量 1.功·通过作功可以改变系统的状态。 ·功：机械功(摩擦功、体积功)电流的功、电力功、磁力功 弹力的功、表面张力的功，… ·机械功的计算(见下) 2.内能 ·内能包含系统内： (1)分子热运动的能量； (2)分子间势能和分子内的势能 (3)分子内部、原子内部运动的能量； (4)电场能、磁场能等。 过程曲线 P （只对准 教学设计 课题：12.5牛顿第一定律 教学目标 一、知识与技能 1. 知道牛顿第一定律的内容； 2. 知道物体的惯性。 二、过程与方法 1. 通过观察和实验的方法，探究阻力对物体运动的影响； 2. 通过活动体验一切物体都有惯性。 三、情感态度与价值观 1. 通过活动和阅读感受科学就在身边，激发学生用身边物体多做小实验，亲身体验、感受探究过程，培养学生探究科学的兴趣； 2. 注重培养学生的自主学习和合作学习的意识。 教学重点 通过观察和实验探究牛顿第一定律的内容。 教学难点 组织学生在实验基础上用推理的方法概括出牛顿第一定律的内容。 教学设施 小车、毛巾、棉布、斜面、象棋子、直尺、水杯、纸条、玻璃球、书、碗、水、多媒体等。 教学方法 探究法、讨论法、实验法、观察法。 教学过程 一、创设问题情景，引入新课 引入1 1. 结合课本，利用多媒体展示运动的物体会停下来： a. 人推箱子，箱子就运动，人撤去推力，箱子运动一会儿就停下来。 b. 用铁锤敲钉子，钉子向下运动陷入木板；停止敲击，钉子就不再下陷。 c. 脚踢足球，足球在草坪上运动起来，过一会儿就停下来。 d. 降落的飞机在跑道上滑行一段距离停下来。 2. 教师：生活中类似的现象还有许多，大家想想有哪些？ 3. 学生活动举例。（教师把学生的例子写在黑板上） 4. 教师：你们的答案是否正确呢？认真学习了这节课就明白了。本节课探究和例子有关 的力和运动的关系。（板书课题：牛顿第一定律） 引入2 结合课本中的三幅插图，请学生分析原因，再举出类似的例子。 二、师生共同活动，进行新课 1. 维持物体运动需要力吗？（板书） （1）古希腊学者亚里士多德的观点：如果一个物体持续运动，就必须对它施加力的作用； 如果这个力被撤消，物体就会停止运动。（力是维持物体运动的原因）（板书）伽利略的观点：物体的运动并不需要力来维持，运动之所以会停下来，是因为受到摩擦 力。（力是改变物体运动状态的原因）（板书） 谁的观点正确呢？让两个同学为一组进行实验设计并分组实验来检验一下你们的观点是否正确。 （2）学生各自准备的器材（毛巾、棉布、斜面、桌面）进行阻力对物体运动的影响实验 得越慢。 注意：该实验应用了控制变量法，让小车从同一高度的斜面上滑下就是让小车进入水平面的速度相同。 在教师的引导下，应用推理的方法，得出结论一一推理：如果运动物体不受力，它将以 恒定不变的速度永远运动下去。（板书）。 2. 牛顿第一定律（板书） 伽利略对类似的实验进行了分析，并进一步通过推理得出：如果表面绝对光滑，物体受到的阻力为零，速度不会减慢，将以恒定不变的速度永远运动下去。 伽利略的理想实验： 第一章 热力学第一定律 一、选择题 1．下述说法中，哪一种正确（ ） (A)热容C 不是状态函数； (B)热容C 与途径无关； (C)恒压热容C p 不是状态函数；(D)恒容热容C V 不是状态函数。 2．对于内能是体系状态的单值函数概念，错误理解是（ ） (A) 体系处于一定的状态，具有一定的内能； (B) 对应于某一状态，内能只能有一数值不能有两个以上的数值； (C) 状态发生变化，内能也一定跟着变化； (D) 对应于一个内能值，可以有多个状态。 3．某高压容器中盛有可能的气体是O 2 ,Ar, CO 2, NH 3中的一种，在298K 时由5dm3绝热可逆膨胀到6dm3，温度降低21K ，则容器中的气体（ ） (A) O 2 (B) Ar (C) CO 2 (D) NH 3 4．戊烷的标准摩尔燃烧焓为-3520kJ·mol -1，CO 2(g)和H 2O(l)标准摩尔生成焓分别为-395 kJ·mol -1和-286 kJ·mol -1，则戊烷的标准摩尔生成焓为（ ） (A) 2839 kJ·mol -1 (B) -2839 kJ·mol -1 (C) 171 kJ·mol -1 (D) -171 kJ·mol -1 5．已知反应)()(2 1)(222g O H g O g H =+的标准摩尔反应焓为)(T H m r θ ?，下列说法中不正确的是（ ）。 (A). )(T H m r θ?是H 2O(g)的标准摩尔生成焓 (B). )(T H m r θ ?是H 2O(g)的标准摩尔燃烧焓 (C). )(T H m r θ?是负值 (D). )(T H m r θ?与反应的θ m r U ?数值相等 6．在指定的条件下与物质数量无关的一组物理量是（ ） (A) T , P, n (B) U m , C p, C V (C) ΔH, ΔU, Δξ (D) V m , ΔH f,m (B), ΔH c,m (B) 7．实际气体的节流膨胀过程中，下列那一组的描述是正确的（ ） (A) Q=0 ΔH=0 ΔP< 0 ΔT≠0 (B) Q=0 ΔH<0 ΔP> 0 ΔT>0 (C) Q>0 ΔH=0 ΔP< 0 ΔT<0 (D) Q<0 ΔH=0 ΔP< 0 ΔT≠0 8．已知反应 H 2(g) + 1/2O 2(g) →H 2O(l)的热效应为ΔH ，下面说法中不正确的是（ ） (A) ΔH 是H 2O(l)的生成热 (B) ΔH 是H 2(g)的燃烧热 (C) ΔH 与反应 的ΔU 的数量不等 (D) ΔH 与ΔH θ数值相等 9．为判断某气体能否液化，需考察在该条件下的（ ） (A) μJ-T > 0 (B) μJ-T < 0 (C) μJ-T = 0 (D) 不必考虑μJ-T 的数值第二章 热力学第一定律-概念题答案
第一节牛顿第一定律
物理化学热力学第一定律总结
第一章热力学第一定律练习题
第18章 热力学第二定律
第一节 牛顿第一定律
第一章 热力学第一定律
第一章热力学第一定律习题
牛顿第一定律
大学物理第十八单元热力学第一定律
高中物理牛顿第一定律
第一章热力学第一定律答案
第3章 热力学第一定律
专题1.18 与热力学第一定律相关的计算题(解析版)
2热学-第18章-热力学第一定律doc
第一节牛顿第一定律
第一章热力学第一定律
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