第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法:
引导—探索法. 学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵2
221
11B AC C B AC C 和有什么关系？
⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?
⑷由此你得出什么结论?
三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗
?
2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到
0.001)
3、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.
5、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)
五、课后练习：
1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.
2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.
3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.
6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=12
5, 求菱形的边长和四
边形AECD 的周长.
7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=
34
,现有一小球从坡底A 处以20cm/s
的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高
?
E D
A
B
8、探究:
⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.
⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.
§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）
学习目标：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.
2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.
4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.
2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点：
用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法：
探索——交流法. 学习过程：
一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图
(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2)
2
1
1122BA C A BA C A 和
有什么关系?
2
1
12
BA BC
BA BC 和
呢?
(3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?
(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.
二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：
三、例题：
例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长
.
B
D
A C E F
B
A
C
例2、做一做：
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝
13
12，AC ＝10，AB 等于多
少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.
四、随堂练习：
1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.
2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝5
4，BC=20，求△ABC 的周长和面积.
3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=
21，则sinA= .
4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
五、课后练习：
1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=
34
,则sinB=_______,tanB=______.
2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941
,则AC=______,BC=_______.
3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=
45
,则BC=_____.
4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( ) A.sinA=
34
B.cosA=
35
C.tanA=
3
4 D.cosB=35
5、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=
35
,则
B C A C
等于( )
A.
34
B.
43
C.
35
D.45
D
B A
6、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=
3
5,那么tanA 等于( ) A.
43
B.
34
C.
4
5
D.
54
7、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是
A ．
13
5
B ．13
12 C ．12
5 D ．5
12
8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan α
9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( ) A.
C D A C
B.
D B C B
C.
C B AB
D.
C D C B
10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A.
100sin β
B.100sin β
C.
100cos β
D. 100cos β
11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.
14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?
15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=45
.求：s △ABD ：s △BCD
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标：
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 学习重点：
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
B
D
A
C
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小. 学习难点：
进一步体会三角函数的意义. 学习方法：
自主探索法 学习过程： 一、问题引入
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
二、新课
[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?
[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 260°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
三、随堂练习 1.计算：
(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；
(3) 2
2sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷
1
3230sin 1+-
?
；
⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(2
1)-1；
⑺sin60°+
?
-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-2
11-
.
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，
3≈1.73)
四、课后练习：
1、Rt △ABC 中，8,60=?=∠c A ，则__________,==b a ；
2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；
3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:
2，则顶角为 （ ）
（A ）600
（B ）900
（C ）1200
（D ）150
5、有一个角是?30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）
cm 4
1 （B ）
cm 2
1 （C ）
cm 4
3 （D ）
cm 2
3
6、在ABC ?中，?=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）
3
3 （C ）
2
3 （D ）
2
1
7、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． （A ）
2
1 （B ）
2
2 （C ）
2
3 （D ）1
8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 9、计算：
⑴、?+?60cos 60sin 2
2 ⑵、??-?30cos 30sin 260sin
⑶、?-?45cos 30sin 2
⑷、3245cos 2-+
?
⑸、0
45cos 360sin 2+ ⑹、
1
30sin 560
cos 30
-
⑺、?30sin 22·?+?60cos 30tan tan60° ⑻、?-?30tan 45sin 2
2
?
15020米30米
10、请设计一种方案计算tan15°的值。
§1.4 船有触礁的危险吗
学习目标：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
学习重点：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
学习难点：
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
学习方法：
探索——发现法
学习过程：
一、问题引入：
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
二、解决问题：
1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)
2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼
梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到
0.0l m)
三、随堂练习
1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?
2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD ＝6m ，坡长CD ＝8m.坡底BC ＝30m ，∠ADC=135°. (1)求∠ABC 的大小：
(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m 3
)
3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈1.4，3 ≈
1.7)
四、课后练习：
1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为
,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.
2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米
).
3.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.
N
4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A 到点E 挂一长为30米的宣传条幅,
在乙建筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为40°,测得条幅底端E 的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC 的长(精确到0.1米).
B
D
A E F
5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D 处测得点A 的仰角为∠ADC=60°,点B 的仰角为∠BDC=45°;在E 处测得A 的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).
6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离
黑匣子B 最近,并求最近距离.
7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶点A 的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°, 如图所示,问距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?
8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空
地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.
9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b 的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm 2,求α的度数.
1.5 测量物体的高度
B 30?
D A
60?
C
E
F 30?北A 60?
1.
2.
3.学习完本节内容后, 某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题,下表是小明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据, 求旗杆高AB(计算过程填在下表计算栏内,用计算器计算).
4.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测
A 点D 处测得点A,点
B 的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)
B
D
A
C
5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索:
实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E 处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算 树AB 的高度(精确到0.1米)
实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题: (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;
(3)
你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____.
(4)写出求树高的算式:AB=___________.
(1)
(2)
6.在1:50000的地图上,查得A 点在300m 的等高线上,B 点在400m 的等高线上, 在地图上量得AB 的长为2.5cm,若要在A 、B 之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少?
(说明:地图上量得的AB 的长,就是A,B 两点间的水平距离AB′,由B 向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A 即是缆索的倾斜角.)
7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB ）8.7米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE =2.7米，观察者目高CD =1.6米，请你计算树（AB ）的高度．（精确到0.1米）
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架。请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： （1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工
具的序号填写） （2）在右图中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a 、b 、c 、α等表示测得
的数据： （4）写出求树高的算式：AB =
第一章回顾与思考
1、等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（ ） A 030 B 060 C 090 D 0120
2、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:
1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为
（ ）A 090 B 060 C 075 D 0105 3、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且5
3cos =
α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）．
（A ）3 （B ）3
16 （C ）3
20 （D ）5
16
4、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其
面积为4502
cm ，则对角线所用的竹条至少需（ ）．
（A ）cm 230 （B ）30cm （C ）60cm （D
）cm 260 5、如果α是锐角，且135cos sin 2
2
=?+α，那么=α o．
6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．
7、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos 8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为米．那么旗杆的有为 米（用含α的三角比表示）．
9、在Rt ABC ?中∠A＜∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM ?沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度．
A
A
B C
D
E
10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为?55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.
11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到，A ?=∠30AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积.
12、如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为?30的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角是?15，求热气球升空点A 与着火点B 的距离．
13、如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为?15的坡面以5千米/时的速度行至D 点，用了12分钟，然后沿坡角为?20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点，用了10分钟.求山高（即AC 的长度）及A 、B 两点的水平距离（即BC 的长度）（精确到0.01千米）.
14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵数AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°（如图）.为距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？
15、如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°. 在M 的南偏东60°方向上有一点A,以A 为圆心、500m 为半径的圆形区域为居民区.取MN 上另一点B,测得BA 的方向为南偏东75°.已知MB = 400m,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?
?
30?
15.A
B
C D
?
15?
20A
B
C
D
E
?
60?
30B
D
C A
A
B
M
东
北
16、如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地的正东方向且距A 地40海里的B 地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时）
17、如图，客轮沿折线A―B―C 从A 出发经B 再到C 匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A―B―C 上的某点E 处．已知AB = BC =200海里，∠ABC =?90，客轮速度是货轮速度的2倍．
（1）选择：两船相遇之处E 点（ ）
A ．在线段A
B 上 B ．在线段B
C 上
C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）
第二章 二次函数 §2.1 二次函数所描述的关系
学习目标:
1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 学习重点:
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数. 学习难点:
经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 学习方法:
讨论探索法. 学习过程:
【例1】 函数y=（m ＋2）x
2
2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．
【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）
?
60?
45B
北北A
B
C
D
.
①y=x ＋
x
1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2
；④y=
2
1x
＋x ．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【例3】正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．
1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．
2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．
3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．
【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式．
【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．
【例6】如图2-1-1，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．
【例7】某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元，进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x （元），年销售量为y （万件），年获利（年获利=年销售额－生产成本－投资）为z （万元）．
（1）试写出y 与x 之间的函数表达式（不必写出x 的取值范围）；（2）试写出z 与x 之间的函数表达式（不必写出x 的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x （元）应确定在什么范围内？
【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n 个图中，第一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数表达式（不要求写出自变量n 的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值； （4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？ （5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？
课后练习:
1．已知函数y=ax 2
＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．
2．当m 时，y=（m －2）x
2
2
-m 是二次函数．
3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．
4．已知：一等腰直角三角形的面积为S ，请写出S 与其斜边长a 的关系表达式，并分别求出a=1，a=2，a=2时三角形的面积．
5．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=2
1mv 2
（m 为定值）．
（1）若物体质量为1，填表表示物体在v 取下列值时，E 的取值：
（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E 扩大为原来的多少倍？
6．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2
＋4 B ．y=－
3
1x 2 C ．y=
5
2
-x
D ．y=（x ＋1）（x －2）
7．函数y=（m －n ）x 2
＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0
D ．m 、n 可以为任何常数
8．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ） A ．S=2π（x ＋3）2 B ．S=9π＋x C ．S=4πx 2＋12x ＋9 D ．S=4πx 2＋12x ＋9π 9．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ） A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D ．圆的周长与圆的半径之间的关系． 10．下列函数中，二次函数是（ ） A ．y=6x 2
＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=
x
6＋1 D ．y=
2
6x
＋1
11．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．
12．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．
13．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x 元，每天所赚利润为y 元，请你写出y 与x 之间的函数表达式？
14．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a （m ），则正方体需要涂漆的表面积S （m 2）如何表示？
15．⑴已知：如图菱形ABCD 中，∠A=60°，边长为a ，求其面积S 与边长a 的函数表达式．
⑵菱形ABCD ，若两对角线长a ：b=1：3，请你用含a 的代数式表示其面积S ．
⑶菱形ABCD ，∠A=60°，对角线BD=a ，求其面积S 与a 的函数表达式．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．
17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．
§2.2 结识抛物线
学习目标:
经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．
学习重点:
利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a ≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好．只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节．
学习难点:
函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．
学习方法:
探索——总结——运用法.
学习过程:
一、作二次函数y=x2的图象。
二、议一议：
1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？
3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？
4.当x取什么值时，y的值最小？
5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。
三、y=x2的图象的性质：
三、例题：
【例1】求出函数y=x ＋2与函数y=x 2的图象的交点坐标．
【例2】已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3
四、练习
1．函数y=x 2的顶点坐标为 ．若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 ． 2．若点A （3，m ）是抛物线y=－x 2上一点，则m= ．
3．函数y=x 2与y=－x 2的图象关于 对称，也可以认为y=－x 2，是函数y=x 2的图象绕 旋转得到． 五、课后练习
1．若二次函数y=ax 2（a ≠0），图象过点P （2，－8），则函数表达式为 ． 2．函数y=x 2
的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点． 3．点A （
2
1，b ）是抛物线y=x 2上的一点，则b= ；点A 关于y 轴的对称点B 是 ，它
在函数 上；点A 关于原点的对称点C 是 ，它在函数 上．
4．求直线y=x 与抛物线y=x 2的交点坐标．
5．若a ＞1，点（－a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，判断y 1、y 2、y 3的大小关系？
6．如图，A 、B 分别为y=x 2上两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB=6，则直线AB 的表达式为（ ） A ．y=3 B ．y=6 C ．y=9 D ．y=36
§2.3 刹车距离与二次函数
学习目标:
1．经历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响． 3．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型． 学习重点:
二次函数y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax 2
＋bx ＋c 的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析． 学习难点:
由函数图象概括出y=ax 2、y=ax 2＋c 的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置． 学习方法: