第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性
透镜作为光学系统的基本光学元件之一，在光学成像系统起着成像补偿像差及调整倍率等作用，在光学信息处理中具有位相变换和傅里叶变换作用。光学成像系统是一种最基本的光学信息处理系统，它将输入图像信息从物面传播到输出面，输出图像信息由光学系统的传递特性决定。光学系统是线性系统，一定条件下为空间不变线性系统，既可在空域中，也可在频域中分析它的成橡规律和特性。这两种描述是完全等价的。对于相干和非相干系统，可分别给出本征函数，把输入信息分解为本征函数的频率分量，考察这些分量在系统传递过程中衰减、相移等变化，研究系统空间频率特性即传递函数。这是一种全面评价光学系统传递信息能力的方法，也是评价其成像质量的方法。与传统方法如星点法、分辨法相比，OTF 法能全面反映光学系统成像能力，有明显的优越性。现有计算机及高性能光电测试技术，使得OTF 的计算和测量日趋完善。同时OIS 的频谱分析作为光学信息处理技术的理论基础，对光学信息处理技术的应用起着极其重要的作用。
本章首先首先研究透镜的位相变换性质，然后讨论透镜的傅里叶变换性质，分分析透镜孔径对傅里叶变换的影响，然后讨论光学成像系统的频率特性。
4.1 透镜的相位变换性质
通常在衍射屏后面的自由空间观察夫琅禾费衍射时，要借助于透镜实现近距离的观察夫琅禾费衍射图。单色平面波垂直照射衍射屏，在夫琅禾费近似下，观察平面上的场分布等于衍射孔径上场分布（屏函数）的傅立叶变换，透镜之所以可实现傅立叶变换，这是因为透镜具有相位变换作用。现研究一个无像差的薄透镜的成像，如图 4.1.1所示，轴上点源S 和透镜的距离为p ，不考虑透镜的孔径造成的衍射影响，由于是薄透镜，这里认为入射光线经过透镜，出射光线在P 2面上的高度同在P 1上高度相等。从几何光学观点看，成像过程是点物S 成点像S ’；从波面变换的观点看，透镜将发散球面波变换成会聚球面波。
为了研究透镜的变换作用，引入透镜的复振幅透过率t(x,y)，定义为
()()()11t x,y U x,y /U x,y '=，其中()()11U x,y ,U x,y '分别是P 1 和P 2面上的复振幅分布，
傍轴条件下，显然，S 单色点光源发出的球面波在P 1上的光场U 1(x,y)为
22()21(,)k j
x y jkp p
U x y Ae e
+= （A 为常数） (4.1.1)
上式表明：P 1上的振幅分布是均匀的，只有位相的变化。透过透镜后，成为会聚于S`的球面波。P 2上的复振幅分布为
22()22(,)k j
x y jkq q
U x y Ae e
-+-= (4.1.2)
jkp e -、jkq e -并不影响P 1和P 2平面上相位的相对分布，分析时可忽略，则
2
211()()
2
21(,)
(,)(,)
k
j x y p q
U x y t x y e U x y -++== (4.1.3)
图4.1.1 透镜的位相变换作用 1O 2
O p q 1P 2P 1U 2U z x-y S
在式中令
111
p q f
+= (4.1.4) 透镜的位相变换因子 22()2(,)k j
x y f
t x y e -+= (4.1.5) 其中(4.1.4)式正式高斯公式。以上结果表明，由于透镜的位相变换作用，发散的球面波变为会聚的球面波。 当单位振幅平面波垂直于P1入射时，
1(,)1U x y = P 2上的复振幅分布是： 22()221(,)(,)(,)k j
x y f
U x y U x y t x y e
-+== (4.1.8)
傍轴条件下这是一个球面波的表达式。对于正透镜，f > 0，上式所表示的是一个向透镜后方f 处的焦点F`会聚的球面波；对于负透镜，f < 0，这是一个由透镜前方-f 处的虚焦点F’发出的发散球面波。
再考虑透镜孔径的有限大小，用P(x,y)表示孔径函数(光瞳函数)，其定义为
1(,)0P x y ?=?
?
，
， (4.1.7) 于是透镜的位相因子可表示为
22()2(,)(,)k
j
x y f
t x y P x y e
-+= (4.1.8)
透镜对光波的位相变换作用是由透镜本身的性质决定的，与入射光波复振幅()1U x,y 的具体形式无关。()1U x,y 可以是平面波、球面波、或者是特定分布的复振幅，但是必须满足傍轴条件。
4.2 透镜的傅立叶变换性质
透镜除成像外，还能实现傅立叶变换。第三章已经讨论过平面波垂直照射衍射屏的夫琅禾费衍射是衍射屏()t x,y 的傅里叶变换（除一因子），此外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，在会聚中心上场分布也是衍射屏函数的的傅里叶变换（除一因子） ，两种途径的傅里叶变换都能通过透镜比较方便的实现。
第一种情况可在透镜的后焦面上观察夫琅禾费衍射；第二种情况可在照明光源的共轭面上观察屏函数的夫琅禾费衍射图样，实际上第二种情况是第一种情况的特例。下面就透明片（物）放在透镜之前和透镜之后两种情况讨论。
4.2.1 物在透镜前的傅立叶变换
设照明点光源S 在透镜前距离为p 处，与输出面轴上点S ′成共轭点，即满足成像关系1/p 1/q 1/f +=，如图4.2.1。要变换的透明物体放在透镜前方0d 处，物的复振幅透过率为()t x,y ，这个位置称为入射面。输出面为x-y 平面。这里认为透镜为无穷大，即不考虑透镜孔径的限制。图中的p,q 和d 0等均取正值。
在傍轴条件下，由单色点光源发出的球面波在物的前表面上造成的成分布为：
1) 照明光束在物平面上的光场复振幅分布为： 220002()
0x y jk
p d A e +- 2)从输入面上出射的光场： 220002()
000(,)x y jk
p d A t x y e
+-
3) 从输入面出射到达透镜平面，按照菲涅耳衍射公式，其复振幅分布： 2222
000000
()()2()
200
000
(.)(,)o
x y x x y y jk
jk
p d d l A U x y t x y e
e
dx dy j d λ''+-+--∑''=
???
透镜内 其他
4) 通过透镜后的场分布：
22
()2(,)(,)(,)x y jk
f
l l U x y U x y P x y e
''+-'''''''=
式中()P x ,y ''是(4.1.7)定义的光瞳函数。
5) 输出面即光源S 的共轭面x-y 平面上的光场是：
2
2
22
()()
220
(,)(,)p
x y x x y y jk jk
f
q
l l A U x y U x y e e
dx dy j q λ''
''+-+--∑''''''=???
p ∑是光瞳函数所确定的区域，将上式逐个代入并整理得：
0()0
2`
0020
(,)(,)x y p
k
j
A
U x y t x y e
dx dy dx dy qd λ?+?∑∑''=-????
()
()2
2
2200
x 0
2
22000000x -x x -x x x D =+
-+p -d d f q
2x x 11111x 2xx =x ++x +-+--p -d d d q f q d q '''????''' ?
?????
()()22
2000000000x q p -d +fd fqx 2x x x 2xx =++--d fq q d q d q p -d +fd '??''??????
()()()2
002
00000000q p -d +fd fq fq =x -x +x d fq d q p -d +fd d q p -d +fd ????????'??????????????
()()()22
000000
f -d x 2fx x +-q p -d +fd q p -d +fd ()()()()()()????????'??
????????????2
002
y 0000000022
000000
q p -d +fd fq fq D =y -y +y d fq d q p -d +fd d q p -d +fd f -d y 2fy y +-q p -d +fd q p -d +fd
进一步整理得：
图4.2.1 物在透镜前方的傅立叶变换
S '
1
P 2
P 00
x y -x y
-p
q
∑p
∑0
d S
x y ''-
220000000
()()()2[()]
()0
00(,)(,)f d x y f xx yy jk
jk
q f d fd q f d fd U x y c e
t x y e
dx dy -++∞--+-+-∞
'=??? (4.2.1)
在上面的化简中，应用了物象共轭关系的高斯公式。
2
-ax -111p
+=,e dx =
p q f
a
∞
∞
? (4.2.1)式是输入面位于透镜前，计算光源共轭面上场分布的一般公式。注意到照明光源同观察面始终保持共轭关系，因此(4.2.1)中q 由照明光源的位置决定。
下面讨论几个特殊位置：
(1) 输入面位于透镜前焦面，即0 d = f ，由(4.2.1)式得
00
0000(,)(,)xx yy jk
f
U x y c t x y e
dx dy +∞
--∞
'=??? (4.2.2)
在这种情况下,衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系。并且只要照明光源和观察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。空间频
率与位置坐标的关系始终为：(),()x y f x f f y f λλ==
(2) 输入面紧贴透镜，即d 0 = 0，由(4.2.1)式得
2200
20
00
(,)(,)xx yy x y jk
jk
q
q
U x y c e
t x y e
dx dy ++∞--∞
'=??? (4.2.3)
在此情况下，衍射物体的傅振幅透过率与观察平面上的场分布，不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。观察平面上的空间坐标与空间频率的关系为(),()x y f x q f y q λλ==随 q 的值而不同。也就是说，频率的空间尺度上能按一定的比例缩放，这对光学信息处理的应用将带来一定的灵活性。也能充分利用透镜孔径。
（3）当光源位于无穷远时，也就是轴上平行光照明的情况，这时q = f , 对应的观察平面位于透镜后焦面上，由(4.2.1)得
()()22000
2
20000(,)(,)f d x y xx yy jk
jk
f f
U x y c e
t x y e
dx dy -++∞--∞
'=???
这种情况下, 物在任一位置，衍射场的复振幅分布与物体的复振幅透过率存在准确的傅
里叶变换关系。
4.2.2 物在透镜后方的傅立叶变换
物在透镜后方的情况如图4.2.2所示，类似上述逐步计算的方法，容易得到入射到透镜前表面P 1上的场为：2220x y jk p
A e
''+，从透镜后表面P 2出射的场为：
S '
1
P 2
P 00
x y -x y
-p
q
∑p
∑0
d S
图4.2.2物在透镜后方的傅立叶变换
2222220x y x y jk jk
p
f
A e
e
''''++-
从透镜后出射到达物的前表面0∑的光场为 22
22
22000
()()2220
000(,)p
x x y y x y x y jk
jk
jk
d p
f
A U x y e e
e
dx dy j q λ''-+-''''++-∑''=??? (4.2.4)
通过物体后出射光场为：
00000(,)(,)(,)U x y t x y U x y '= 在 x-y 平面上：
22
0000
()()2()
00000001
(,)(,)(,)()x x y y jk
q d U x y t x y U x y e
dx dy j q d λ-+--∑=
?-?? (4.2.5)
将(4.2.4) 代入(4.2.5) ，得
0()0
2`0000200(,)(,)()x y p
k
j A U x y t x y e dx dy dx dy d q d λ?+?∑∑''=--???? (4.2.6) 其中
2
22222000000000000()()2()x x x x x q d x x x x q x x x p f d q d d q d q d q d q d ??'''---??
'?=---=-+
-??----????2
2000000002()y q d y y q y y y d q d q d q d q d ??-??
'?=-+-??
---???
? 利用与前面推到相同的方法，可得：
220000
2()
00(,)(,)x x y y x y jk
jk
q d q d U x y c e
t x y e
dx dy ++∞
----∞
'=??? (4.2.7)
由(4.2.3)和(4.2.7) 可以看出，不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面（光源位于无穷远时，共轭面是透镜的焦平面），则物面(输入面)和观察面(输出面)之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是Frauhofer 衍射。显然，当d 0=0，由（4.2.7）也可以得到（4.2.3）式。这就是说物前后紧贴透镜放置，在输出面上的到的衍射场是等价的。
对于物在透镜前，光波从物到透镜之间的传播可以看成直线传播，对于物在透镜之后，投影的衍射物面上孔径做等效代替，也就是说，透镜的孔径效应表现为(4.2.7)的被积函数附加一个因子()()()0
000P qx q d ,qy q d ,--，于是有
()()
220002
200
000000(,)(,),f d x y x x y y
jk
jk
f
f
d d U x y c e
t x y P x x y y e dx dy f f -++∞
--∞
??'=++? ???
??(4.2.8)
4.3 透镜的一般变换特性
如前所述，照明光源和观察面是一对成像关系的共轭面。所以，物透明片无论是放在透镜前或透镜后，除一常数相位因子外，观察面总是物的频谱面。下面讨论物面和观察面位置任意的情况。如图4.3.1所示，正透镜焦距为f ，物位于透镜之前d 1处，像在透镜后d 2处，物像距透镜的距离是任意的。
单色平面波照射，物到透镜前表面，满足菲涅耳 衍射，x y ''-面前的场分布
22
001
1
()()21000001(.)(,)x x y y jkd jk
d e
U x y U x y e dx dy j d λ''-+-∞
-∞
''=
?? (4.3.1)
考虑到透镜的位相变换作用，透镜面后的场分布
22()221(,)(,)k
j
x y f
U x y e U x y ''-+''''= (4.3.2)
观察面x-y 上的场分布
220
02
2
2222220
00
0121
2
()()22
2
()()()()()()2220
00002
12
(,)(,)(,)x x y y jkd jk
d x x y y x x y y x y jk d d jk
jk
jk
d d f
e U x y U
x y e
dx dy j d e U
x y e
e
e
dx dy dx dy d d λλ''-+-∞
-∞
''''-+--+-''+∞
+--∞
''''=
''
=-???????
222200122
1
()()220
000000212
(,)(,)k
x y jk d d j
x y jk
d d e
e
U
x y e
I x y dx dy d d λ+∞
+''+-∞
=-
???上式中 (4.3.3)
()
220012121222001212111222002222100200(,)(,)(,)
x y k x y j x y x y d d f d d d d x y k x k y j x x j y y d d d d I x y e
dx dy e
dx e
dy I x y I x y εε??
??????∞
''''+-+-+-+?? ? ? ???????????
-∞
????
????∞
∞
''''-+-+???? ? ???????????
??
-∞
-∞
''=''
=
=?
??? (4.3.4)
其中
12111
d d f
ε=
+- (4.3.5) 利用积分式
2
2
2Ax Bx C
C B
A
e dx e A
π
∞
-±--+-∞
=
?
(4.3.6)
对于0ε≠的情况，可得
2
012
()2100(,)x k x j
d d j I x y e
ελ
ε
-+=
(4.3.7)
2012
()2200(,)y k y j
d d j I x y e
ελ
ε
-+=
(4.3.8)
将(4.3.7)和(4.3.8)代入(4.3.4)，再将(4.3.4)代入(4.3.3)，得
Σ0
x 0-y 0 x′-y′
x-y Σ1 d 1
d 2
图4.3.1 透镜变换的一般性质
()2
211212221000012()1()
20
0012
1()2200
(,)(,)
d k
jk d d j x
y d d f d k j x y x x y y d d f e U x y e
U
x y j d d e
dx dy εελε?
?
∞
+-+ ???
-∞
??-+-+ ???
=??? (4.3.9)
当2d f =时1
1
d ε=
,后焦面作为观察面时上式化为 ()22110
0()
1()2200000
(,)(,)??+-+ ???
∞
-+-∞
=
???d k jk d f j
x y f
f j
x x y y f e
U x y e
j f
U x y e
dx dy π
λλ (4.3.10)
显然，除一物透明片相位因子外，()U x,y 是()000U x ,y 的傅立叶变换。当1d 、2d 与f 不等时，可以实现所谓分数傅立叶变换。见第八章节。 当12d d f ==时，(4.3.10)中的二次相位因子被消除。
()0
0220
0000(,)(,)j kf
j
x x y y f e U x y U
x y e
dx dy j f
π
λλ∞
-+-∞
=
??? (4.3.11)
()U x,y 是()000U x ,y 的准确傅立叶变换。
当0ε=，即输入和输出满足物象共轭关系12111
d d f
+=时，
()0012
1221()()110x x x
j
x j
x x d d d M
I e
dx e
dx d x x M ππλλλδ∞
∞
''-+---∞
-∞
''=
=
=-?? (4.3.12)
()012
2()210y y j
y d d I e
dy d y y M πλλδ∞
'-+-∞
'=
=-? (4.3.13)
上式应用了δ函数的积分形式，将上两式代入(4.3.3)，得
2
2
12()()0(,)(,)j jk d d x y Mf e x y
U x y e U M M M
π
λ+-+= (4.3.14)
在输出面上得到放大21M d d =-倍的像，同几何光学结果相同。
4.4 光学成像系统的空间变换特性
物面可以看作无数小面元组成，每一小面元都可以看作加权()x δ函数，系统对()x δ函数响应的像场分布称为点扩散函数(或脉冲函数)，用00(,;,)h x y x y 表示 。对于成像系统，知道了00(,;,)h x y x y ，通过线性叠加，可求得像面场的分布。
4.4.1 透镜的线性特性
现在研究在相干照明下，一个消像差的正薄透镜对透明物成实像的情况。如图 4.4.1
所示，物放置在距透镜d 0假定紧靠物后的复振幅分布为00
0(,)U x y ''，00(,)x y ''点发出的单位脉冲为 ()
0000x x ,y y δ''--，沿光的传播方向，逐面计算三个特定平面上的场份布，可以得到一个点源的输入输出关系。
由（4.3.9）式可以得到，x y -面前方
22
000
220
00
()()210
00
0000
()()20
(,;,)(,)x x y y jkd jk
d x x y y jkd jk
d e
dU x y x y x
x y y e dx dy j d e
e j d δλλ-+-∞
-∞''-+-''''=--=
?? (4.4.1) 00(,)x y ''为任意一点，可省去撇号，略去常数相位因子
22
000
()()21000
1
(,;,)x x y y jk
d dU x y x y
e j d λ-+-=
(4.4.2)
经过焦距为f ，孔径函数为P(x,y)的透镜后，即x y -面后方
22
2100100(,;,)(,)(,;,)x y jk
f
dU x y x y P x y e
dU x y x y +'=
(4.4.3)
i i x y -面上的光场是输入光脉冲从透镜后表面、经过菲涅耳衍射到达观察面引起的复振幅分布或点扩散函数，写为
()
22
2222220000
00012()()2001
11122220(,;,)(,;,)1(,)i i i
i
i i i i
i i i x x y y jkd jk
d i i i
k x y x y j x y jk jk
d d f d d i x x y y jk x y d d d d e
h x y x y dU x y x y e
dxdy
j d e e
P x y e
d d e
dxdy
λλ-+-∞
-∞??
++∞
''+-+ ???
-∞
??????-+++??
? ?????????
'=
=???? (4.4.4)
利用物像关系
0111
i d d f
+=得 22220000000
22002
01
(,;,)(,)i i i i i i i
x x y y x y x y jk x y jk
jk
d d d d d d i i i
h x y x y e e
P x y e
dxdy d d λ??????++∞
-+++??
? ????????
?-∞
=
?? (4.4.5)
上式比较复杂，现在来研究如何简化上式：
由于222i i i
x y jk
d e +不影响光强分布，可略去。但22000
2x y jk
d e +不能略去，因为它参与积分，对像
面光场有贡献。
当透镜孔径比较大时，衍射不显著，像斑很小，物象点坐标有关系
00,i i x x M y y M == 0i M d d =-（透镜的横向放大率） 可作如下近似：
22
22
002
0()()22i i x y k k j
x y j
d d M
e e
++≈
近似后的位相因子不会影响不再依赖()00x ,y ，因此也不影响i i x y -面上的强度分布，可略去。
这样，点扩散函数变为
00
x y -i i
x y -x y
-0
d i
d 图4.4.1透镜的点扩散函数
000000201(,;,)(,)i i i i x x y y jk x y d d d d i i i
h x y x y P x y e
dxdy d d λ??????∞
-+++??
? ????????
?-∞
=
??? (4.4.6)
将0i M d d =-代入上式，有
()()00200201(,;,)(,)i
i i j x Mx x y My y d i i i h x y x y P x y e dxdy d d π
λλ∞
??----??-∞=??? (4.4.7) 式中0000,x
Mx y My == ，于是上式写成 ()()0
0200201
(,)(,)i i i j
x x x y y y d i i i
h x x
y y P x y e
dxdy d d π
λλ∞
??--+-??-∞
--=??? (4.4.8)
上式表明，傍轴条件下，透镜成像系统是空间不变的。而且，透镜的脉冲响应就等于透镜孔
径的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点()00,x y 处。透镜衍射作用的大小取决于波长λ和像距i d 的比例。
令 ,i i
x y x y d d λλ== 则(4.4.8)变为
[]00002()()(,)(,)i i i i i
i
j x x
x y x y h x x
y y M P d x
d y e
dxdy
πλλ∞
-∞
--+---=??? (4.4.9)
这就是透镜的点扩散函数的表达式。当孔径比i d λ大得多时，在无限大的区域内
(,)i i P d x d y λλ的值均为一，则
[]002()()0000(,)(,)i i j x x
x y y y i i i i h x x
y y M e
dxdy
M x x
y y πδ∞
--+--∞
--==--?
? (4.4.10)
这时物点成像点，即几何光学理想像。
4.4.2 一般光学成像系统的线性特性
1）一般光学系统的黑箱模型
前面我们讨论光学系统时，忽略了系统的衍射，点物通过系统成一个理想象点。现在
考虑光学系统的衍射限制。所谓衍射受限，是指不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的衍射限制。在考察衍射受限系统时，实际上主要是考察孔径光阑的衍射作用。孔径光阑在物空间所成的像称为入射光瞳，简称入瞳；孔径光阑在像空间所成的像称为出射光瞳，简称出瞳。由入射光瞳限制的物方光束必定能全部通过系统，成为被出射光瞳所限制的像方光束。
如图（4.4.2）所示，任一成像系统都可分为三部分： （1）从物面到入瞳面；（2）从入瞳面到出瞳面；（3）从出瞳面到像面。
图4.4.2 成像系统的黑箱模型
黑箱 0y 0
x 0
d i d i
y i
x （光组）
在(1)、(3)部分传播过程中，可用菲涅耳衍射处理。对于(2)部分的光学系统，在等晕条件下，可把它当作一个“黑箱”来处理， “黑箱”的两个边端为入瞳和出瞳，只要能确定黑箱两个边端的性质，整个光学组的性质便可确定，无需深究内部结构。所谓边端性质是指成像光波在入瞳和出瞳平面上的性质。实际光组的边端性质千差万别，但总体分两类：衍射受限系统和有像差的系统。
当像差很小，系统的孔径和视场都不大时，实际光学系统就可近似看作衍射受限系统。系统的边端性质是，物面上任一点源发出的发散球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上会聚球面波。
对于有像差系统，输入为球面波时，输出偏离理想球面波。偏离程度由波像差决定。 阿贝认为衍射效应是由于有限的入瞳大小引起的，而瑞利则认为衍射来自出瞳。两者看法等价，现采用瑞利的观点。
由物点发出的球面波，在像方得到的将是一个被出瞳所限制的球面波，这个球面波是一理想像点为中心的。由于出射光瞳的限制作用，在像面上将产生以理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅禾费衍射。因此，物平面上物点00(,)x y 经过系统在共轭像面产生的复振幅分布，即点扩散函数为：
()()00200(,;,)(,)i
i i j
x Mx x y My y d i i h x y x y K P x y e
dxdy π
λ∞
??----??-∞
=??
? (4.4.11)
式中K 为常数，P(x,y)出瞳函数，出瞳之内其值为1，之外为零。i d 为出瞳面到像面的距离。在推导（4.4.11）时忽略了关于(,)i i x y 和00(,)x y 的二次项因子。
(4.4.11)式表明，脉冲响应为光瞳函数的傅里叶变换，即衍射受限系统的脉冲响应是
光学系统出瞳的夫琅禾费衍射图样。其中心在几何光学的理想像点()00,Mx My 处。
对物面和光瞳平面上的坐标进行变换，令
0000x Mx y My =??
=? i i
x
x d y y d λλ=??=? 则
[]002
2
002()()(,)(,)i i i i i
i
i
j x x
x y y y h x x
y y K d P d x d y e
dxdy
πλλλ∞
-∞
--+---=??? (4.4.12)
这就是衍射受限系统的点扩散函数的普遍表达式。当光瞳相对于i d λ足够大时，
(,)i i P d x
d y λλ 在无限大区域内都为1 ，上式可写为： 220000(,)(,)i i i i i h x x
y y K d x x y y λδ--=-- (4.4.13) 上式表明，当可以忽略光瞳的衍射时，00(,)x y 点的脉冲通过通过衍射受限系统后在像面上
得到的仍然是点脉冲，这便是几何光学理想成像的情况。
2）相干光照明下一般成像系统的线性特性
现在讨论如何确定某一给定的物复振幅分布通过受限系统后，在像面上形成的像复振幅分布和光强分布。一个确定的物分布总可以很方便的分解成无数δ函数的线性组合，而每一个δ 函数可按(4.4.13)求其响应，但响应结果和物面的照明有关。如果物面上某两个脉冲是相干的则这两个脉冲在像面上的响应便是相干叠加；若这两个脉冲是非相干的，则相应是强度叠加。所以对于不同的照明光源，衍射受限系统的成像特性是不同的。
对于相干照明系统，物面上是完全相干的，输入光场可看作无穷电源的叠加，表示为
000000(,)(,)(,)U x y U x y d d αβδαβαβ∞
-∞
=--?? (4.4.14)
由于光波传播的线性性质，像面上的复振幅分布(,)i i i U x y 可按(4.1.6)，由物的复振幅分布和（4.4.11）或（4.4.12）表示的脉冲响应函数的叠加积分得到，在这个积分中出现了
三组坐标0000(,),(,),(,)i i x y x
y x y ，不是严格意义上的卷积，为了说明系统的空间不变性，进一步做变量代换，减去一组坐标00(,)x y 。
物面上每个点通过系统后在像面上形成脉冲响应，这些相应相干叠加，得到像的复振
幅分布为：
000000000000002
(,)(,)(,)1
(
,)(,)i i i i i i i U x y U x y h x x
y y dx dy x
y U h x x
y y dx dy M M M
∞
-∞
∞
-∞
=--=
--???
? (4.4.15)
下面讨论(4.4.15)式的物理意义，(4.4.13)式代表的是理想成像的脉冲响，将它代入到(4.4.15）得到的像(,)i i i U x y 应该是理想像的振幅分布，用(,)g i i U x y 表示
2200000002
220
21
(,)(,)(,)(,)g i i i i i i
i i
x
y
U x y U K d x x
y y dx dy M
M
M
K d x y U M M M
λδλ∞
-∞=--=
?? (4.4.16)
可见理想像(,)g i i U x y 与物000(,)U x y 的分布是一样的，只是在,i i x y 方向放大了M
倍。由于0000,x
Mx y My == ，因此000(,)U x y 与000(,)x
y U M M
的图形是相同的，把000(,)x
y U M M
称为000(,)U x y 的像。令
0000221(,)(,)i i i i i
h x x y y h x x y y K d λ--=-- (4.4.17) 将(4.4.16)、 (4.4.17)代入 (4.4.15) 得
22
00000002
000000(,)(
,)(,)(
,)(,)(,)(,)i i i i i i g i i g
i
i
i
i
K d x
y U x y U h x x
y y dx dy M M M
x
y U h x x
y y dx dy M M U x y h x y λ∞
-∞
∞
-∞
=
--=--=*?
??? (4.4.18)
上式的物理意义是，物分布000(,)U x y 通过衍射受限系统后的像分布(,)i i i U x y
是000(,)U x y 的理想像(,)g g g U x y 和点扩散函数 (,)i i
h x y 的卷积。这说明，不仅对于薄透镜系统，而且对于更普遍的衍射受限系统由此的光强为：仍然可以看作线性空间不变系统，由
(,)i i i U x y 可得到像的强度
2
(,)(,)i i i i i I x y U x y = (4.4.19)
将(4.4.12)代入(4.4.17)可得到
[] []{}000022002
2
2()()2()()1(,)(,)(,)(,)i i i i i
i i i
i
i
j x x
x y y y j x x
x y y y i i i i h x x y y K d P d x
d y K d
e
d xdy
P d x
d y
e dxdy
P d x
d y ππλλλλλλλλ∞
-∞
--+-∞--+--∞
--=?=?=?
??
?
F (4.4.20)
此式为衍射受限成像系统点扩散函数与光瞳函数的关系式。由于系统为空间不变系统，可用
°±0
00x y ==的脉冲相应表示成像系统的特性，即
(){}2(,)(,)(,)i i j x x
y y i i i i i i h x y P d x
d y
e dxdy
P d x
d y πλλλλ∞
-+-∞
=?=?
?
F (4.4.21)
可见，在相干照明条件下，对于衍射受限成像系统， 表征的点扩散函数 (,)i i
h x y ，仅决定于系统的光瞳函数(,)P x y 。因此(,)P x y 对于衍射受限成像系统非常重要。
4.5 光学成像系统的的频率特性及其传递函数
4.5.1相干成像系统的的频率特性和相干传递函数
由（4.4.18）式可知，相干照明下的衍射受限系统满足i g U U h =*%。由h %表征的响应系统为空间不变系统，此系统在频率描述更为方便。频率中描述系统的成像特性的频谱函
数(,)c x y H f f 成为衍射受限系统的相干传递函数，记作 CTF 。
相干成像系统的物像关系由式(4.4.18) 中的卷积积分描述。该卷积积分把物点看作基元，而像点是物点产生的衍射图样在该点处的相干叠加。从频域来分析成像过程，把复指数函数作为系统的本征函数，考察系统对各种频率成分的传递特性。定义输入频谱(,)gc x y G f f 和输出频谱(,)ic x y G f f 分别为
{}
00(,)(,)gc x y g G f f FT U x x =%% (4.5.1)
{}(,
)(,)ic x y i i i G f f FT U x y = (4.5.2)
相干传递函数CTF 为 {}
(,)(,)c x y i i H f f FT h x y =%
(4.5.3) 将(4.4.21)代入(4.5.3)，得
{}{}{}
(,)(,)(,)(,)
c x y i i i i i x i y H f f FT h x y FT FT P
d x d y P d f d f l l l l ===--%%% (4.5.4)
上式表明，CTF 等于光瞳函数，仅在空域坐标(,)i i x y 和频域坐标(,)x y f f 之间存在着一定的坐标缩放关系，即将光瞳函数中的坐标变量x,y 换成频率变量,i x i y d f d f l l --就可以。
一般光瞳函数总是取 1和0两个值，所以CTF 也是取 1和0两个值。若由(,)x y f f 决定的,i x i y x d f y d f l l =-=-的值在光瞳内 ，则这种频率的指数基元按原样在像分布中出现，既没有振幅的衰减也没有位相的变化，即CTF 对此频率的值为 1 。若由(,)x y f f 决定的(,)x y 的值在光瞳外 ，则系统将完全不能让此种频率的指数基元通过，即CTF 对此频率的值为 0 。这就是说衍射系统是一个低通滤波器 ，只允许最高空间频率为c r 的光波通过，
c r 为系统截至频率。
不考虑孔径大小时,P 恒为 1 ，整个x y f f -面上(,)1c x y H f f =,没有任何信息丢失，像是理想成像。
如果在一个反演坐标中定义 P ，则可以去掉(4.5.4)中的负号，写为
(,)(,)c x y i x i y H f f P d f d f l l = (4.5.5)
对于直径为D 的圆形光瞳，其孔径函数取
()22,2x y P x y circ D 骣+÷?÷?=÷?÷?÷
?桫 由(4.5.5)得到其相干传递函数
22(,)(,)(2)x x c x y i x i y i f f H f f P d f d f circ D d l l l 骣+÷
?÷?==÷?÷?÷?桫
(4.5.6) 由圆柱函数的定义可知，在(2)i D d l 之内，(,)1c x y H f f =，在(2)i D d l 之外，
(,)0c x y H f f =，故截止频率为(2)c i f D d l =
例如，出瞳直径D=60mm ，出瞳与像面距离d i =200mm ，照明光波长λ=600nm ，则系统截至频率为
14
60
2502610200
c f mm /mm --==??? 由于是圆形光瞳，任何方向的截止频率均相等。这里c f 是像面上的截止频率，而物面上的截止频率co c f M f =。
如果光瞳是边长为a 的正方形，光瞳函数是 (),x y
P x y rect rect a a
骣骣鼢珑=鼢珑鼢珑桫桫 则相干传递函数为
(,)(,)i y i x c x y i x i y d f d f H f f P d f d f rect rect a a l l l l 骣骣÷?÷?÷==÷??÷÷??÷桫桫
（4.5.7） 显然，不同方位截至频率c r 不同，在,
x y 轴方向上，系统的截至频率(2)c i a d r l =。系
统的最大截至频率在与x 轴成45o
角方向上，此时截至频率2(2)c i a d r l =
。
例题4.1 用一直径为D 、焦距为f 的理想单透镜对相干照明物体成像。若物方空间截止
频率为c f ，试问当系统的放大率M 为何值时，c f 有最大值？
解：设物距为0d ，像距为i d ，为使系统成实像时M 为正，将像面坐标相对于物面坐标反演，于是M 可表示成
0i i d d f
M d f
-=
=
或 ()1i d M f =+ 此系统的光瞳函数是直径为D 的圆形孔径，其截止频率()2c i f D /d λ=，考虑物、象空间截止频率的关系，则有
1
2c co i D f f d M
λ== 或者
()221co i MD MD
f d M f
λλ=
=+ 为求得当co f 取最大值comax f 时的放大倍数M ，将co f 对M 求导并令其为零，得到
()2
1
021co df D dM f M λ==+ 因此，只有当放大倍数为无穷大时，系统才有最大的空间截止频率，此截止频率为 ()212comax M D
M D
f lim
f M f
λλ→∞==
+ 此时，物置于透镜前焦面，像在像方无穷远，在物空间的通频带为 22D D F f
f
λλ-
<<
例题4.2 如图4.5.1所示，两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统
中光瞳直径为D ，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径a 应等于多大（相对于D 写出关系式）。 解：这两个系统都是横向放大率为1的系统，故不必区分物方截止频率和像方截止频率。对于单透镜系统的截止频率为
4c D f f
λ=
根据相干传递函数的意义，凡是物面上各面元发出的低于空间频率的平面波均能无阻挡地通过此成像系统。
对于双透镜成像系统，其孔径光阑置于频谱面上，故入射光瞳和出射光瞳分别在物方和像方无穷远处，入瞳与孔径光阑保持物象共轭关系，孔径光阑与出瞳也保持物象共轭关系。对于这种放大率为1的系统，能通过光阑的最高空间频率也必定能通过入瞳和出瞳，即系统的截止频率可通过光阑的尺寸来计算。
为保证4f 系统物面上每一面元发出的低于某一空间频率的平面波均能无阻挡地通过此成像系统，则要求光阑直径a 应不小于透镜直径与物面直径之差。于是相应的截止频率为
2c a f f
λ'=
按照题意要求两者相等，即c c f f '=，于是得到
2
D a =
4.5.2非相干成像系统的特性和光学传递函数
非相干照明下，物面上各点的振幅和位相随时间变化是彼此独立的，因此，像面上的场分布是各点的强度分布的叠加（非相干叠加），光传播时，光的非相干叠加对于强度是线性的，非相干成像系统是强度的线性函数。在等晕区光学成像系统是空间不变的，因而，非相
图4.5.1两个相干成像系统
D
2f
2f
a
f
f
f
f
干成像系统是强度的线性空间不变系统。
1）光学传递函数
非相干线性空间不变系统，物、像光强分布之间的关系是线性的，对复振幅分布不是线性的。非相干照明光下，物、象光强之间满足下列卷积
()()(),,,i i i p i i I i i I x y kI x y h x y =* （4.5.8）
式中p I 是几何光学理想成像的强度分布，i I 为强度分布，k 是常数。i h 为强度脉冲响应函
数，是点物产生的像斑强度分布，()()2
,,I i i i i
h x y h x y = 。这表明，在非相干照明下，线性空间不变成像系统的像强度分布是理想像的强度分布与强度点扩散函数的卷积，系统的成
像特性由(),I i i h x y 表示，而(),I i i h x y 又由 (),i i
h x y 决定。 对于非相干照明下的强度线性空间不变系统，在频域中来描述物象关系更为方便，将
（4.5.8））两边进行傅立叶变换，略去常数后得
()()(),,,i
x y g x y I x y A f f A f f H f f = （4.5.9）
其中 ()(){},,,i x y i i i A f f FT I x y =
()(){}()(){}
,,,,,p x y p i i I x y I i i A f f FT I x y H f f FT h x y ==
()(),,,i i i p i i I x y I x y 和(),I i i h x y 为非负实函数，因而，其傅立叶变换必定有一个常数分量
即零频分量。像的清晰与否，取决于光强非0分量相对于零频的比值大小，因此讨论
()(),,,i x y p x y A f f A f f 和(),I x y H f f 相对零频的分量的比值更有意义，这样需要用零频对
它们须归一化
()()()
()()()i A i
i
i
x i
y i
i
i
i x y x y i i
i
i
i
i
I x ,y exp 2f x f y dx dy A f ,f f ,f A 0,0I x ,y dx dy
π∞
-∞
∞
-∞
??-+??=
=
???? （4.5.10）
()
()()
()()()p A p
i
i
x i
y i
i
i
p x y x y p p
i
i
i
i
I x ,y exp 2f x f y dx dy A f ,f f ,f A 0,0I x ,y dx dy
π∞
-∞
∞
-∞
??-+??=
=
????（4.5.11）
()()()
()()()H
I
i
i
x i
y i
i
i
I x y x
y I I
i
i
i
i
h x ,y exp 2f x f y dx dy H f ,f f
,f H 0,0h x ,y dx dy
π∞
-∞
∞
-∞
??-+??=
=
????（4.5.12）
由（4.5.9）和()()()0,00,00,0i p I A A H =，得到归一化的频谱满足
()()(),,,A A H i x y p x y I x y f f f f f f = （4.5.13）
(),H I x y f f 非相干成像系统的光学传递函数（OTF)，OTF 描述了非相干成像系统在频域的响
应能力。
()()(),,,,,i x y p x y I x y f f f f f f A A H 可以用模和辐角表示
()()()
()()()
()()()
,,exp ,,,exp ,,,exp ,A A A A A i x y i x y i x y p x y p x y p x y I x y x y x y f f f f j f f f f f f j f f f f m f f j f f f f f 轾=犏臌轾=犏臌轾=犏臌 （4.5.14） 由（4.5.12）和（4.5.13）可以得到
()()()
()()
,,,=
0,0,A A x y i x y x y p x y f f f f m f f f f =
I I H H （4.5.15）
()()(),,,x y i x y p
x y f f f f f f f
f f
=-
(),x y m f f 称为调制传递函数(MTF), 它描述了系统对频率分量对比度的传递特性， (),x y f f f
称为相位传递函数（PT F ）
，它描述了系统对各频率分量施加的相移。 因为I i
、I g
、h I
是非负的实函数，它们的归一化频谱()(),,,i x y p x y A f f A f f 和()
,I x y H f f 都是厄密函数，余弦函数是这种系统的本证函数，即输入是余弦强度分量在经过系统后输出仍为同频率的余弦变化函数，其对比度和相位的变化决定于系统的传递函数的模和辐角。也就是说，如果把输入物看做强度透过率呈余弦变化的不同频率的光栅的线性组合，在成像过程中，OTF 的唯一影响只是改变这些余弦函数的对比度好位相。 对于强度为余弦变化的输入
()()()000000002p x x g x y I x ,y a bcos yf x f y f ,f πφ??=+++??
经过非相干成像系统成像后得到的输出为
()()()()()00000000002i x y x i x i p x y x y I x ,y a bm f ,f cos yf x f y f ,f f ,f πφφ??=++++??
（4.5.16）
显然，余弦条纹通过线性空间不变成像系统，输出仍然是同频率的余弦条纹，但振幅和位相
变化了。这种变化取决于系统的光学传递函数。
对于强度余弦变化分布，调制度是非常重要的参数，定义为
max min
max min
I I V I I -=+
物和像的调制度为
()()()()pmax pmin p pmax pmin
I I a b a b b V I I a b a b a
-+--==
=+++- ()()()()()x y x y i max i min i x y i max i min x y x y a bm f ,f a bm f ,f I I b
V m f ,f I I a
a bm f ,f a bm f ,f +-+-===+++-
由上两式得
()
i x y p V m f ,f V = （4.5.17）
而的辐角()x y f ,f φ显然是余弦像和余弦物的位相差，即
()(
)()i x y x y x y p f ,f f ,f f ,f φφφ
=+ （4.5.18）
像的对比度等于物的对比度与相应频率的MTF 的乘积，PTF 给出了相应的相移。当
()x y f ,f φ为2π时，表示错开了一个条纹，当()x y f ,f φ为θ，错开了2/θπ个条纹。
由此可见，光学传递函数的模(),x y m f f 表示物分布中频率为,x y f f 的余弦基元通过系统后振幅的衰减（(),1x y m f f ￡），因而把(),x y m f f 叫做调制传递函数。而(),H I x y f f 的
辐角(),x y f f f
表示频率为,x y f f 的余弦像分布相对于物或理想像的横向位移量，所以把(),x y f f f 称为位相传递函数。
调制传递函数曲线是一个随空间频率递减的曲线，如图 4.5.2所示，当增加到使MTF 减小到0时，物的调制度V 无论多大，像的调制度为0，这时光能量接收器感知不到像的结构，与此对应的空间频率称为光学系统的截至频率。
由MTF 曲线还可以看出：无论用一个截至频率还是分变率极限，一个指标是不充分表征光学系统的成像性能，只能用整个曲线评价像质，如图所示，从截至频率f a0, f b0评价就不妥，应根据使用目的来权衡调制度和分本领的响度重要性。如电视摄像机镜头，它不需要很高的分辨本领，却要求对低调制度物和景物得到尽可能的丰富和对比度明显的像，为此以曲线a 代表的镜头为好，因为它对低频的调制传递函数高；相反，如用于光刻镜头，由于它的目标是调制度高的黑白线条或图案，要求是要分辨本领尽可能的高，因此b 曲线代表的镜头为宜。
2）光学传递函数和相干传递函数的关系
相干传递函数和光学传递函数分别描述同一系统采用相干和非相干照明的传递函数，两者都决定于光学系统的本身的物理特性，因此两者之间一定有联系。由（4.5.12）式和自相关定理{(,)(,)}
(,)(,)FT f x y f x y F F x h x h *? 及Parseval 定理(见附录) 得到
()()()
(){}
()(){}
()()()()αβξαηβαβ
αβαβ
*
c
c
2
c I x y I i i x
y I I
i
i
i
i
2
I i i
2
I i i i i
H f ,f FT h x ,y f
,f H 0,0h x ,y dx dy
FT h x H ,y h x ,y dx ,H ,d d H ,d d d y H
∞
∞
--∞
∞
∞∞
-∞
-∞
=
++=
=
=
??????
??
（4.5.19）
因此，对同一系统来说，光学传递函数等于想干传递函数H c 的自相关归一化函数。这一结
论是在()()2,,I i i i i h x y h x y = 的基础上导出的，所以，它对有像差系统和没有像差系统都
完全成立。
对于相干照明的衍射受限系统，由（4.5.4）可知，()()
,,c x y i x i y H f f P d f d f λλ=，把它代人式(4.5.19)，得到
()()()()()λαλβλαλβαβ
λαλβαβ
i
i
c
i x
x i y 2
i y i P d ,d H
d f d f
,f d d P d ,f d d d H
∞
-∞
∞
-∞
+++=
????????
（4.5.20）
MTF
f x
MTF
f x
1
a b
图 4.5.2调制传递函数随空间频率的变化
F ao F ao F bo
令,i i x d y d λαλβ==，积分变量的替换不会影响积分结果，于是得(),H x
y
f f 与()P x,y 的
关系如下:
()()()
()2,,,,λλi
x i y x y P x y P x d
f y d f f f P x y dxdy
∞
-∞
∞
-∞
++=
????H （4.5.21）
对于光瞳函数只有 1和0两个值的情况，分母中的2
P 可以写成P 。公式表明衍射受限系统的OTF 是光瞳函数的自相关归一化函数。
研究式(4.5.21)可得到OTF 的重要几何解释。一般情况下光瞳函数只有 1和0两个值，式中分母是光瞳的总面积 S 0，如图 4.5.3(a)所示，分子代表中心位于()
,i x i y d f d f λλ--的经过平移的光瞳与原光瞳的重叠面积()
,x y S f f ，求衍射受限系统的OTF 只不过是计算归一化重叠面积，即
()()0
,,x y x
y
S f f f f S =
H
（4.5.22）
如图4.5.3(b)所示，重叠面积取决于两个错开的光瞳的相对位置，也就是和频率()
,x y f f 有关。对于简单几何形状的光瞳不难求出归一化重叠面积的数学表达式。对于复杂的光瞳，可用计算机计算在一系列分立频率上的OTF 。
从上述的几何解释，不难了解衍射受限系统OTF 的一些性质。 (1). (),H
x
y
f f 是实的非负函数。因此衍射受限的非相干成像系统只改变各频率余弦分量
的对比，而不改变它们的相位，即只需考虑 MTF ，而不必考虑PTF 。
(2) ()0,01H =。当0x y f f ==时，两个光瞳完全重叠，归一化重叠面积为1，这正是OTF 归一化的结果，这并不意味着物和像的平均(背景)光强相同。由于吸收、反射、散射及光阑挡光等原因，像面平均(背景)光强总要弱于物面光强。
但从对比度考虑，物、像方零频分量的对比度都是单位值，无所谓衰减，所以()0,01H =。
x
y
S 0 0
i x
d f λ(),x y S f f
x
y
i y
d f λ
(a)光瞳总面积S 0 （b ）光瞳重叠面积S
图 4.5.3 衍射受限系统OTF 的集合解释
i y
d f λx
y
()
,x y f f H
(3) ()(),0,0H H x
y
f f ≤。
这一结论很容易从两个光瞳错开后重叠的面积小于完全重叠面积得出。
(4) (),H
x
y
f f 有一截止频率。当,x y
f f 足够大，两光瞳完全分离时，重叠面积为零。此时，
(),H x
y
f f =0，即在截止频率所规定的范围之外，光学传递函数为零，像面上不出现这些
频率成分。
例4.3 方形光瞳。衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长 1的正方形，求其光学传递函数。 解 此时的光瞳函数可表示为
(),x y P x y rect rect l l =????
? ?????
显然光瞳总面积20S l =，当(),P x y 在x 、y 方向分别位移,λλi x i y d f d f --以后，得
(),λλi x i y P x d f y d f ++，从图 4.5.4 (a)可以求出 P(x, y)和(),λλi x i y P x d f y d f ++的
重叠面积()
,x y S f f 。由图可得
()()()
11,
,,0,
λλλλi x
i
y x y i
i
x y l
l
d f d
f f f d d S f f --≤
≤
=?
??
?
?
光学传函数为
()()0
00,,22x y y x x y x y S f f f f f f S f f H
=
=ΛΛ??
??
?
?????
（4.5.23） 式中()001/2λx y cut i f f f d ===是同一系统采用相干照明的截至频率。非相干系统沿
x f 和y f 轴方向截至频率是()21/cut i f d λ=，图4.5.4表示这一结果。
例4.4圆形光瞳。设圆形光瞳的直径为D ，求此系统的光学传递函数。
解 光瞳的面积42
A D /p =。由于圆的对称性，两光瞳沿任意方向错开相同距离的重叠面积都相等，因而光学传递函数也是圆对称的。这样，只要计算出某一方向(例如f x 方向)的光学传递函数，绕垂直轴旋转一周就可得到频率空间内的分布了。如图4.5.5所示，当两个光瞳沿f x 方向错开λi x d f 后，其交叠面积为弓形面积的2倍，由几何公式可得交叠面积为
(a)方形光瞳的重叠面积 (b)方形光瞳的 OTF
图 4.5.4 方形光瞳衍射受限 OTF 的计算
其他
0 A B
x
λd i f x
θ
y H (f x ,f y ) 0
f y f x
()()2
x D S f ,0sin cos q q q p
=
-
其中()i x cos d f /D q l =，在截至频率内
()()
()
()0
2,0,02
,0sin cos /4θθθππ
x x x S f S f f S D =
=
-=
H
截至频率满足i x d f D l =，也就是两个圆中心距离大于止境D 时，重叠面积为。这
种系统的相干传递函数的截至频率()cut i f D /2d l =，显然光学传递函数的截至频率恰好又是cut 2f ，图4.5.5（b ）给出了光瞳函数为圆域函数是(),x y f f H 的示意图。
(),x
y
f f H
在极坐标中的表达式为
()()()2
sin cos ,/0,θθθπρρλi D d -=?≤????
其他H （4.5.24） 式中22x y i x f f ,cos d f /D r q l =+=
4.6 实际光学系统的传递函数
前面讨论衍射受限系统时没有考虑系统像差，但是，任何—个实际光学系统总是存在像
差的。根据波像差理论，像差的存在使得出瞳上的实际波前偏离理想球面波前，这一偏差是位相偏差引起的。因此，像差的存在要影响成像系统的频率特性。本节主要讨论像差对光学成像系统传递函数的影响。
1.广义光瞳函数
对于有像差的光学系统，为了应用衍射受限系统的研究结论，同时又能反映系统像差的影响，引入“广义光瞳函数”的概念。因为光学成像系统的像差使出射光瞳上的波前产生畸变，这相当于再衍射受限系统的出瞳上加了一个相位板，其上的位相分布取决于成像系统的波像差分布。如果用()W x,y 表示出射光瞳上的实际波前与理想波前的光程差，则出射光瞳的复振幅函数可表示为
()()()
jkW x,y x,y P x,y e
=P （4.6.1）
式中()P x,y 是衍射受限成像系统的光瞳函数，()x,y P 就是广义光瞳函数，有了广义光瞳函数，就可以用它代替衍射受限系统的CTF 和OTF 公式中的()P x,y ，处理有像差光学成像系统的成像问题。
2．实际光学成像系统的相干传递函数
前面以讨论过，衍射受限成像系统的相干传递函数是光瞳函数()P x,y 的连续两次傅里叶变换，即等于频城变量的光瞳函数()i x i y P d f ,d f l l 。当系统存在像差时，只要用广义光瞳函数代替光瞳，便可得到实际成像系统的光学传递函数：
()()()
()
i x i y jkW d f ,d f c i x i y i x i y i x i y H d f ,d f d f ,d f P d f ,d f e
l l l l l l l l ==P （4.6.2）
光学显微镜的原理及构造显微镜是人类认识物质微观世界的重要工具，是现代科学研究工作不可缺少的仪器之一。显微镜自1666年问世以来已有300多年的历史了，其间随着科学技术不断发展，显微镜的品种不断增加，结构和性能逐步得到完善和提高。 根据不同的使用用途，光学显微镜可分为普通光学显微镜、暗视野显微镜、相差显微镜、荧光显微镜、倒置显微镜、体视显微镜、偏光显微镜等10多种。目前，世界上许多国家都可以生产光学显微镜，牌名、种类繁杂，其中德国、日本等国制造的显微镜品质、数量占优势，但价格昂贵。 对于现代的光学显微镜，包括各种简单的常规检验用显微镜、万能研究以及万能照相显微镜等，首先要认识其构造及各部件的功能，同时要掌握正确的调试、使用和保养方法，才能在实际应用中面对各种要求时以不同的显微镜检方法，充分发挥显微镜应有的功能，提高常规检验工作效率. 光学显微镜的原理和构造 随着科学技术的发展，显微镜检方法由最传统的明视野、暗视野发展出了相差法、偏光方法；荧光方法也由透射光激发进展为落射光激发，使荧光效率大为提高；微分干涉相衬方法基于偏光方法，而巧妙地利用了微分干涉棱镜，使之能应用于医学与生物学的样品，又能应用于金相样品的分析与检验。 下面以德国ZEISS公司生产的Axioplan万能研究用显微镜，简单介绍万能显微镜的基本组成部件。 1. 显微镜主机体（stand） 显微镜的主机体设计成金字塔形，而底座的截面呈T字形，使显微镜的整体相当稳固。显微镜的光学部件和机构调节部件、光源的灯室、显微照相装置、电源变压稳压器等，都可安装在主机体上或主机体内。 2. 显微镜的底座（base） 底座和主机体通常组成一个稳固的整体。底座内通常装有透射光照明光路系统（聚光、集光和反光）部件，光源的滤光片组，粗/微调焦机构，光源的视场光阑也安装在底座上。 3. 透射光光源（tranilluminator） 透射光光源由灯室（lamp housing）、灯座（lamp socket）、卤素灯（halogen lamp）、集光与聚光系统（lamp collector and lamp condenser）及其调整装置组成。 4. 透射光光源与反射光光源的转换开关（toggle switch） 这是新一代AXIO系列显微镜特有的装置，透射光和反射光可通用。当具有透/反两用的配置时，利用这一转换开关能方便而又迅速的使透射光 和反射光互相转换。在纯透射光的配置中，这一开关就改为电源开关。
品名型号数量供货单价备注 奥林巴斯生物成像系统显微镜CX31 1套30000元见配置清单奥林巴斯生物显微镜CX23 1套25000元见配置清单备注：以上为人民币含税报价单，含运费和包装培训费，壹年保修期。 生物显微镜CX31技术规格： 用途：可观察普通染色的切片观察。 1．工作条件 1.1 适于在气温为摄氏-40℃～＋50℃的环境条件下运输和贮存，在电源220V （ 10%）/50Hz、气温摄氏-5℃～40℃和相对湿度85%的环境条件下运行。 1.2 配置符合中国有关标准要求的插头，或提供适当的转换插座。 2．主要技术指标 2.1 生物显微镜 *2.1.1 光学系统：无限远光学矫正系统，齐焦距离必须为国际标准45mm。 2.1.2 放大倍率：40-1000倍 *2.1.3 载物台：钢丝传动，无齿条结构，尺寸为188mm × 134mm，活动范围为 X轴向76mm × Y轴向50mm，双片标本夹 2.1.4 调焦机构：载物台垂直运动由滚柱（齿条—小齿轮）机构导向，采用粗 微同轴旋钮，粗调行程每一圈为36.8mm，总行程量为25mm，微调行程为每圈 0.2mm，具备粗调限位挡块和张力调整环 2.1.5 聚光镜：带有孔径光阑的阿贝聚光镜，N.A. 1.25，带有蓝色滤色片 *2.1.6 照明系统：内置6V30W卤素灯，内置透射光柯勒照明 *2.1.7 三目观察筒：视场数≥20，瞳距调节范围为48-75mm，铰链式 2.1.8 目镜：10X，带眼罩，视场数≥20带目镜测微尺 *2.1.9 物镜：平场消色差物镜4X（N.A.≥0.1）、10X（N.A.≥0.25）、40X（N.A.≥0.65）、 100X（N.A.≥1.25）
杨拓拓 (苏州大学现代光学技术研究所，江苏苏州215000) 1基本原理 显微镜成像原理及视角放大率 显微镜由物镜和目镜组成。物体AB 在物镜前焦面稍前处，经物镜成放大、倒立的实像A'B'，它位于目镜前焦面或稍后处，经目镜成放大的虚像，该像位于无穷远或明视距离处。 图1-1显微镜系统光路图 牛顿放大率公式： f f x x ''= 'x 是像点到像方焦点的距离，x 是物点到物方焦点的距离。 根据牛顿放大率公式可得物镜的垂轴放大率为 '1'1'11--f f x ?== β 目镜的视觉放大率为： '22250 f =Γ 组合系统的放大率为 '2'121250f f ? -=Γ=Γβ 显微镜系统的像方焦距 ?-=/'2'1'f f f '250 f = Γ 显微镜系统成倒像轴向放大率 ' 1 f
'2'1'2'1/f f x x =β 若物点A 沿光轴移动很小的距离，则通过显微镜系统的像点'2A 将移动很大的距离，且移动 方向相同。 显微系统的角放大率 '2'1'2'1/x x f f =γ 即入射于物镜为大孔径光束，而由目镜射出为小孔径光束。 显微镜的孔径光阑 单组低倍显微物镜，镜框是孔径光阑。 复杂物镜一般以最后一组透镜的镜框作为孔径光阑。 对于测量显微镜，孔阑在物镜的象方焦面上，构成物方远心光路。 显微镜的视场光阑和视场 在显微物镜的象平面上设置了视场光阑来限制视场。由于显微物镜的视场很小，而且要求象面上有均匀的照度，故不设渐晕光阑。 显微镜是小视场大孔径成像，为获得大孔径并保证轴上点成像质量，显微镜线视场不超过物镜的1/20,线视场要求： 1 '120202β?=≤f y 显微镜的分辨率和有效放大率 光学仪器分辨率 瑞利判据：两个相邻的“点”光源所成的像是两个衍射斑，若两个等光强的非相干点像之间的间隔等于艾里圆的半径，即一个像斑的中心恰好落在另一个像斑的第一暗环处，则这两个点就是可分辨的点。当物面在无穷远时，以两点对光学系统的张角可表示两分辨点的距离，其值为：
2007机械工程控制基础第四章习题答案 第4章 频率特性分析 4.1什么是系统的频率特性？ 答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。 4.4若系统输入为不同频率ω的正弦t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(?ω+t B 。求该系统的频率特性。 解：由系统频率特性的定义知：?ωj e A B j G = )( 4.5已知系统的单位阶跃响应为)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t x t t o ，试求系统的幅频特性与 相频特性。 解：由已知条件得：s s X i 1)(=，9 8 .048.11)(+++-=s s s s X o 得系统传函为：) 9)(4(36)()()(++== s s s X s X s G i o 得系统频率特性：) 9)(4(36 )(ωωωj j j G ++= ，其中 幅频特性为：2 2 811636 )()(ω ωωω+?+= =j G A 相频特性为：9 arctan 4 arctan )(ω ω ω?--=4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。已知m=1kg ，k 为弹簧刚度，c 为阻尼系数。若外力tN t f 2sin 2)(=，由实验得到系统稳态响应为)2 2sin(π -=t x oss 。试确定k 和c 。 解：由系统结构知系统的动力学方程为： 当m=1时，得系统传函为： k cs s s G ++= 2 1 )(，得系统频率特性为： ω ωωjc k j G +-= 21 )(。 图（题4.6）
第四章：控制系统的频率特性 4．1 解： (1) 2 ) 30(15)(ωω+=A ωω?30)(arctg -= 2)30(15)(ωω+= U 2 ) 30(130)(ωω ω+-=V (2) 2 ) 1.0(11 )(ωωω+= A ωω?1.090)(arctg -?-= 201.011)(ωω+- =U 3 01.01 )(ωωω+-=V 4．3 下面的各传递函数能否在图中找到相应的奈氏曲线 (1) ) 14.0() 14(2.0)(2 1++= s s s s G (c) 2 22)4.0(1)4(12.0)(w w w w A ++= w a r c t g w a r c t g w 4.04180)(-+-= ? f e d c b a
(2) ) 13.0() 159(14.0)(2 22+++=s s s s s G 2 22 22)3.0(1)5(])3(1[14.0)(w w w w w A ++-= w a r c t g w w a r c t g w 3.0) 3(15180)(2 --+-= ? (3) ) 1() 11.0()(3++= s s s K s G (e) 2 2 1)1.0(1)(w w w K w A ++= arctgw w arctg w -+-=1.090)( ? (4) ) 3)(2)(1()(4+++= s s s K s G (a) 2 22)3 1(1)5.0(116 )(w w w K w A +++= w arctg w arctg arctgw w 3 15.0)(---=? (5) ) 15.0)(1()(5++= s s s K s G 2 2)5.0(11)(w w w K w A ++= w a r c t g a r c t g w w 5.090)(---= ? (6) ) 2)(1()(6++= s s K s G 2 2 ) 5.0(112)(w w K w A ++= w a r c t g a r c t g w w 5.0)(--=? (2)
正置显微成像系统 1.主机 （1）光学系统：无限远校正光学系统，保证光通过目镜到物镜整个光路中的所有棱镜及镜片时的绝对平行； （2）具有明场具有顶部摄像出口； （3）五位物镜转换器； （4）放大倍数：40X-400X； （5）透射光照明：卤素灯光源； （6）调焦：带有同轴粗、微调焦装置；调焦旋钮高度可调节、操作舒适； （7）宽视野三目镜筒，倾角30度 （8）载物台：低位置同轴驱动旋钮的高抗磨损性陶瓷覆盖层载物台； 2. 光学部件 （1）万能聚光镜：带有孔径光阑的聚光镜 （2）物镜：4X或5X（NA=0.12）工作距离≥12mm 10X（NA=0.25）工作距离≥6mm 40X（NA=0.65）工作距离≥0.36mm 100X（NA=1.25）工作距离≥0.17mm （3）目镜：10X宽视野目镜 3. 图像捕捉及分析系统 摄录系统：与显微镜同品牌高分辨率显微成像系统 有效像素≥1000万像素
像素面积：3.4u x 3.4u 彩色深度：36位RGB色彩深度 4. 软件：图像分析系统基本平台： （1）用户界面，工作流程导向用户界面，操作容易和符合人工学要求。优化的数据处理为快速采集图像和大量数据集显示，直观的设定实验条件给快速设置和采集单色通道图像，多次采集后做图像叠加。（2）采图，高速图象采集。完全控制照相机性能如曝光，增益，binning，黑的，白的和伽马值，局部图象采集。图象显示和管理，大图象视窗在采集中或后复览显示单通道，多通道图像。 （3）图象滑动杆作快速地在大量数据集中滚动，实验树结构管理数据如储存、重新命名、拷贝、删除、输出为tif,avi,jpeg.接触实验条件来输出为XML或使用在另外的实验中。
■光学显微镜成像原理 光学显微镜成像原理 使用无限远光学系统的显微镜主要由物镜、管镜和目镜组成。标本经物镜和管镜放大后，形成放大倒立的实象；实象经目镜再次放大后，形成放大的虚象。 标本（AB）在物镜（Lo）焦点上，通过物镜（Lo）和管镜（Le）在象方形成放大倒立的实象（A’B’）；靠近人眼一方的目镜（Le）对中间象（A’B’）再次放大，在明视距离（对人眼来说约为250mm）处形成一个虚象(A”B”)。 人眼通过显微镜所观察到的象就是一个被放大了的虚象A”B”。 ■电子显微镜成像原理 电子显微镜是根据电子光学原理，用电子束和电子透镜代替光束和光学透镜，使物质的细微结构在非常高的放大倍数下成像的仪器。 电子显微镜的分辨能力以它所能分辨的相邻两点的最小间距来表示。20世纪70年代，透射式电子显微镜的分辨率约为0.3纳米(人眼的分辨本领约为0.1毫米)。现在电子显微镜最大放大倍率超过300万倍，而光学显微镜的最大放大倍率约为2000倍，所以通过电子显微镜就能直接观察到某些重金属的原子和晶体中排列整齐的原子点阵 一、折射望远镜用透镜作物镜的望远镜。分为两种类型：由凹透镜作目镜的称伽利略望远镜；由凸透镜作目镜的称开普勒望远镜。因单透镜物镜色差和球差都相当严重，现代的折射望远镜常用两块或两块以上的透镜组作物镜。其中以双透镜物镜应用最普遍。它由相距很近的一块冕牌玻璃制成的凸透镜和一块火石玻璃制成的凹透镜组成，对两个特定的波长完全消除位置色差，对其余波长的位置色差也可相应减弱。在满足一定设计条件时，还可消去球差和彗差。由于剩余色差和其他像差的影响，双透镜物镜的相对口径较小，一般为1/15-1/20，很少大于1/7，可用视场也不大。口径小于8厘米的双透镜物镜可将两块透镜胶合在一起，称双胶合物镜，留有一定间隙未胶合的称双分离物镜。为了增大相对口径和视场，可采用多透镜物镜组。折射望远镜的成像质量比反射望远镜好，视场大，使用方便，易于维护，中小型天文望远镜及许多专用仪器多采用折射系统，但大型折射望远镜制造起来比反射望远镜困难得多。
显微红外光学成像系统的设计 郭世苗，魏 臻，吴建东 （天津理工大学 电子信息工程学院，天津 ３００３８４） 引言 电子设备一旦出现故障，只有进行有效的元件级维修，才能使其正常运行。随着电子技术的迅速发展，被测试系统规模的不断扩大，大规模和超大规模集成电路的广泛使用，电路板上的元器件越来越密集；并且由于电路复杂，使电路板上集成芯片（ＩＣ）级故障的实时检测越来越困难。红外热像作为新兴的非接触式测试技术，用于电路板热故障实时检测时，不会因检测不慎而使元件受损，是一种有效的检测手段。同时，对电路板的可测性设计和测试连接设备均无需提出额外要求，能在一次测试中提取电路板上所有元器件的热像，并可进行多重故障诊断［１］。 红外显微系统是利用被测物体发出的红外射线对微小物体，如大规模集成电路板进行热成像，通过对所提取热像的分析，达到检测被观察物体工作状况的目的。红外显微镜作为一种先进的测试仪器，已被广泛的应用于各种领域。目前，红外显微镜仅在部分发达国家生产，且价格昂贵。国内的红外显微检测系统起步较晚，尚无生产红外显微镜的厂家，拥有进口红外显微镜的单位也很少。 １ 红外热成像技术 背景 红外热成像技术是现代影像学的一支新军。该技术与 Ｘ射线、Ｂ超、ＣＴ、核磁共振等显像技术的成像原理不同，它不主动发射任何射线，只是被动地接收热源的红外辐射，形成热源的热影像，是热源的表面温度分布图像。 红外热成像技术的主要特点是能采样分布很广的温度值，经过分析处理，最后用伪彩色的形式在显示器上显示出被测物体表面的温度分布图像。通过对该图像的分析，可直观地得到被测物的形状、大小、热分布及热稳定等特性。 电路板在通电时，各元器件相对于室温有一个比较稳定的温度，因此，通过红外测温传感器对电路板上各元器件的分布温度进行有效的非接触测量，并将其数据输入计算机。然后，借助于处理软件把这些元器件上的温度信息转换成伪彩色图像信息，通过显示器提供给观察者。同时，建立同一电路板工作时的标准热模式，并对电路板芯片若干故障现象进行试验。通过对实验结果的比较分析，确定传感器测量值对各诊断元件的隶属度函数，并根据隶属度来确定故障元件。 标准化的制定 实际应用时，红外在线监测结果将受到设备运行情况和测试条件的影响而呈现不同的结果，所以，必须把多个在任意条件下得到的结果进行标准化处理，进行一定程度的统一，只有这样，才有可能做到结果的唯一化。 故障的判断 为了克服目前电路板故障红外诊断中对故障判定的人为性和经验性的影响，应深入开展红外诊断中的模式识别等逻辑诊断方法的研究，以便实现故障判别的人工智能化。虽然目前已经有人研制了一些检测用软件，但是这些软件设计基础还仅仅是己知设备故障的典型红外图谱，而且其数据文件尚未进行标准化处理，其智能化程度还很低。对于热源辨识、辐射率校准、环境温度校准、热像配准和温度信息等因素的处理还不是很理想。因此，这方面的研究工作还应进一步深入开展［２］。 ２ 红外热像仪 随着半导体技术的迅速发展，被测试系统规模的不断扩大，大规模和超大规模集成电路被广泛安装在印刷电路板（ＰＣＢ）上。由于电路板上元器件密集，电路原理复杂，使得对数模混合电路板上集成 摘要 红外热成像技术是现代影像学中的一门新兴技术。它与ｘ射线、Ｂ超、ＣＴ、核磁共振等显像技术的成像原理不同，它不主动发射任何射线，只是被动接受热源所发射出的红外线，经过处理后得到热源的影像。该技术的最大特点是不用接触待测物体。因此，对于一些高危行业，如核工业中元器件的检测将变得非常容易。 本文所叙述的就是利用红外热像技术与显微技术的结合，制作一种红外显微镜。红外显微镜可以将出现故障的大规模集成电路板中数以万计的微小元器件的影像传输到计算机中，经过计算机的分析，可以很容易地分析出具体故障所在。因此，大范围电子元器件故障的快速检测将变得简单、快捷。 关键词 红外热像；显微技术；红外显微镜 ２８