14.2.1平方差公式
二、学情分析
了单项式与多项式、而且八年级的学生已具备了一定的观察能力、探究能力
。你认为老王吃亏了吗？
) (m-2)=__________;
(2x+3) (2x-3)=_______
公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础。并且归纳平方
a+b）方法二：通过图形变换，进行几何验证
生运用几何直观理解、解决有
方差公式的特征，学生巩固法则，充分发挥学生主体性。
－
平方差公式 教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理水平。 2．会推导平方差公式，并能使用公式实行简单计算。 3．理解平方差及其几何背景，使学生明白数形结合的思想。 4．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。 5．培养学生灵活使用知识、勇于探求科学规律的意识。 教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会使用公式实行简单的计算。 教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会使用公式实行计算。 教学准备 1．为每位学习准备一张正方形纸片（边长为15c m）。 2．教师准备两张正方形（一大一小）纸板和三块矩形纸板。 3．多媒体课件。 教学流程 一、创设问题情境，引导学生观察、设想。 教师发给每个学生一张正方形纸片（边长15c m），并用多媒体课件与正方形纸板显示正方形。 师：在一块45c m的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15c m的正方形（如图），请问剩下部分的面积有多少平方厘米？ 师：计算剩下部分的面积能够有哪些方法？ 小组讨论： 1．能够用大正方形面积减去小正方形面积得到。 2．能够把剩下的部分切割成几个矩形来计算。 师：从今天的问题来看，用哪一种方法比较好？你们小组能列出算式吗？ 或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。 师：为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方
形 的角落（如图）。 师 ：刚才我们说过计算面积的方法不止一种，我们现在试 着用分割的方法来计算面积。请参照老师的做法，先在 你们的纸上画一条虚线，然后把刚才画的小正方形剪下 来（或撕去），就像要挖去这部分一样，再沿虚线把小长 方形剪下来，并把小长方形拼到大长方形的一边，刚好又变成一个新的长方形（如图）。 师：若按照我们刚开始的题目要求，现在新的大长方形的长、宽各是多少？它的面积又是多少呢？ 生：大长方形的长是(45+15)c m ，宽是(45-15)c m 。 长方形的面积=(45+15)×(45-15)=60×30=1800（平方厘米）。 师：还记得两种方式的列式吗？ 生：第一种方法的式子是 452-152， 第二种方法的式子是(45+15)×(45-15)。 师：两个式子都能求出剩下的面积，它们之间有什么关系呢？ 生：相等。 二、交流对话，探求新知。 看谁算得快： （1）（x +2）（x -2） （2）（1+3a ）（1-3a ） （3）（x +5y ）（x -5y ） （4）（-m +n ）（-m -n ） 师：你们能发现什么规律？ 师：再想想看，如果今天的题目换成：“在一块边长为a 厘米的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为b 厘米的小正方形，请问剩下的面积有多少？”我们该怎样列代数式来表示？ 生：我们能够用a 2-b 2来表示剩下的面积。 师：还有没有别的方法？ 生：也能够用（a +b ）（a -b ）来表示剩下的面积。 师：今天我们除了要找一个比较方便的方法来求面积外，更重要的是我们能从图形中了解到（a +b ）（a -b ） = a 2-b 2这个性质。上一节课我们已经学过多项式的乘法，你能利用计算多项式乘法的方法，把（a +b ）（a -b ）的答案计算出来吗？ 5 30 15 30
乘法分式 ——平方差公式 一、内容及内容解析 《平方差公式》是人教版新教材八年级上册第十五章第二节的内容，本节内容只需一课时完成，主要内容是平方差公式的推导及使用。 平方差公式是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再次应用乘法公式对多项式乘法实行简便运算的知识。平方差公式不但是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础。 所以本节课的教学重点是：平方差公式的推导及应用 二、目标和目标解析： 目标： 1、经历探索平方差公式的全过程 2、能使用公式实行简单的运算 3、在探索平方公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的水平。 目标解析： （1）学生通过对几道特殊的多项式乘法的观察、计算、猜想、验证，归纳出平方差公式。 （2）通过图形让学生找出平方差公式与面积之间的内在联系，进而感受到数与形的统一。 （3）通过剖析平方差公式的结构和分类练习，让学生熟练掌握平方差公式。
三、教学问题诊断分析 学生刚学过多项式乘法已有一定基础，但本节课是特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握，在乘法公式的灵活使用时常发生多种错误，常见的错误有：①学生难于跳出原有的定式思维；②符号错误；③混淆公式；④变式应用难以掌握。所以，本节课的难点定为：理解平方差公式的结构特征，并能灵活使用平方差公式。 鉴于此，本节的教学难点是：揭示平方差公式的结构特征和公式的灵活使用。 四教学支持条件： 利用多媒体展示教学的部分环节 五、教学过程分析 教学流程图： 创设情境、导入新课 自主探索、获取新知 应用新知、形成技能 变式训练、巩固提升 总结归纳、上升理性 即时反馈、查漏补缺 教学情景： （一）创设情景，导入新课 王力同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖10.2千克，售货员刚拿
七年级数学第一章平方差公式与完全平方公式习题 A：基础题（3）姓名：_________ 平方差公式 公式： 语言叙述： 两数的，。 公式结构特点： 左边： 右边： 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b. (5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b. (x-2y)(x+2y)中是公式中的a，是公式中的b. (-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的b. （a+b+c）(a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b. （a-b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b. （a+b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b. 一.直接运用公式 (1).（a+3）(a-3) (2).( 2a+3b)(2a-3b) (3). (1+2c)(1-2c) (4). (-x+2)(-x-2) 二.运用公式使计算简便 (1) 1998×2002 (2) 999×1001 (3) 1.01×0.99 (4) （100-1 3 ）×（99- 2 3 ） 三.两次运用平方差公式 (1) （a+b）(a-b)(a2+b2) (2) (a+2)(a-2)(a2+4) 四.需要先变形再用平方差公式 1.（-2x-y）(2x-y) 2.(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)
五．计算(a+1)(a-1)(2a +1)(4a +1)(8a +1). 完全平方公式 公式： 语言叙述：两数的 ， . 。 公式结构特点： 左边： 右边： 熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。 公式变形 1.a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)2 2.（a-b ）2=(a+b)2 ； (a+b)2=(a-b)2 3.(a+b)2 +（a-b ）2= 4.(a+b)2 --（a-b ）2= 一、计算下列各题： ①2)(y x + ②2)21 (b a + ③2)12(--t ④2)3 13(c ab +- 二、利用完全平方公式计算： ①1022 ②1972 ③982 ④2032 三、计算： （1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +- （3）()()2 ()x y x y x y --+- 四、计算： （1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy （3）)4)(12(3)32(2 +--+a a a
For personal use only in study and research; not for commercial use 平方差公式 1、利用平方差公式计算： （1）(m+2) (m-2) (2)(1+3a) (1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4)(y+3z) (y-3z) 2、利用平方差公式计算 （1）(5+6x)(5-6x) (2)(x-2y)(x+2y) (3)(-m+n)(-m-n) 3利用平方差公式计算 （1）(1)(-41x-y)(-4 1x+y) (2)(ab+8)(ab-8) (3)(m+n)(m-n)+3n 2 4、利用平方差公式计算 (1)(a+2)(a-2) (2)(3a+2b)(3a-2b) (3)(-x+1)(-x-1) (4)(-4k+3)(-4k-3) 5、利用平方差公式计算 （1）803×797 （2）398×402 7．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．（a+b ）（b+a ） B ．（－a+b ）（a －b ） C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ） 8．下列计算中，错误的有（ ） ①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；
③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）= －x 2－y 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．－6 D ．－5 10．（－2x+y ）（－2x －y ）=______． 11．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4． 12．（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2． 13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减 去较小的正方形的面积，差是_____． 14．计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）． 完全平方公式 1利用完全平方公式计算： （1）（21x+3 2y)2 (2)(-2m+5n)2 (3)（2a+5b)2 (4)(4p-2q)2 2利用完全平方公式计算： （1）(21x-3 2y 2)2 (2)(1.2m-3n)2 (3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-3 2y)2 3 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2 (a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2 (5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2— （mn-1)(mn+1) 4先化简，再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9。 5已知x ≠0且x+1x =5,求441x x 的值. 平方差公式练习题精选(含答案) 一、基础训练 1．下列运算中，正确的是（ ）
整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法 一、请准确填空 1、若a 2+b 2－2a+2b+2=0,则a 2004+b 2005=________. 2、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a －3b),则长方形的面积为________. 3、5－(a －b)2的最大值是____，当5－(a －b)2取最大值时，a 与b 的关系是___. 4.要使式子0.36x 2+41 y 2成为一个完全平方式，则应加上________. 5.(4a m+1－6a m )÷2a m －1=________. 6.29×31×(302+1)=________. 7.已知x 2－5x+1=0,则x 2+21 x =________. 8.已知(2005－a)(2003－a)=1000,请你猜想(2005－a)2+(2003－a)2=________. 二、相信你的选择 9.若x 2－x －m=(x －m)(x+1)且x ≠0,则m 等于A.－1 B.0 C.1 D.2 10.(x+q)与(x+51)的积不含x 的一次项，猜测q 应是A.5 B.51 C.－51 D.－5 11.下列四个算式:①4x 2y 4÷41 xy=xy 3;②16a 6b 4c ÷8a 3b 2=2a 2b 2c;③9x 8y 2÷3x 3y=3x 5y; ④(12m 3+8m 2－4m)÷(－2m)=－6m 2+4m+2，其中正确的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.设(x m －1y n+2)·(x 5m y －2)=x 5y 3,则m n 的值为A.1 B.－1 C.3 D.－3 13.计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于 A.a 4－2a 2b 2+b 4 B.a 6+2a 4b 4+b 6 C.a 6－2a 4b 4+b 6 D.a 8－2a 4b 4+b 8 14.已知(a+b)2=11,ab=2,则(a －b)2的值是A.11 B.3 C.5 D.19 15.若x 2－7xy+M 是一完全平方式，那么M 是 A.27y 2 B.249y 2 C.449 y 2 D.49y 2
A卷：基础题 一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4； ②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9； ④（-x+y）·（x+y）=-(x-y)(x+y)=-x2-y2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___________。 三、计算题 9．利用平方差公式计算：202 3 ×19 1 3 ． 10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）． B卷：提高题一、七彩题 1．（多题－思路题）计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变：利用平方差公式计算： 22007 200720082006 -? ． （2）二变：利用平方差公式计算： 2 2007 200820061 ?+ ． 二、知识交叉题 3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．
平方差公式 教学目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算． 教学重点：平方差公式的推导和应用． 教学难点：灵活运用平方差公式解决实际问题． 过程： 一．创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1 知识复习 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？ （1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）； （3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m －n）． 再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2． 得出平方差公式 （a+b）（a－b）= a2－b2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差． 活动3 请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积
说明平方差公式吗？ 图1 图2 图1中剪去一个边长为b 的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为 （a 2－b 2）． 在图2中，长方形的长和宽分别为（a +b ）、（a －b ），所以面积为 （a +b ）（a －b ）． 这两部分面积应该是相等的，即（a +b ）（a －b ）= a 2－b 2． 二、知识应用，巩固提高 例1 计算： （1）（3x ＋2）（3 x －2）； （2）（－x+2y ）（－x －2y ） （3）（b +2a ）（2a －b ）； （4）(3+2a ) (－3+2a ) 练习：加深对平方差公式的理解 （课本 70页练习1有同种题型） 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） （1）（x +1）（1+x ）； （2）（a +b ）（b －a ）； （3）（－a +b ）（a －b ）； （4）（x 2－y ） 2121
平方差公式 1.计算 （1） （2） （3） (4）（-1+3x ）（-1-3x ） （5） （6） (7)（a+2）（a 2+4）（a 4 +16）（a －2） (8) )1)(1)(1)(124-+++x x x x （ （9） 19982-1997×1999 （10） 2003×2001－2002 2 (11) 2009×2007-2008 2 (12)201220102011 2?- 2. 计算 ⑴)13)(13()3)(3(----+-+n n n n ⑵）（1()1)(1)(142+--++m m m m ⑶)43)(34()23)(32(y x x y x y y x +--+- ⑷ a 4 +(1－a)(1+a)(1+a 2) ⑸()()()()x x x x 3223113-+--+- ⑹)4)(1()3)(3(+---+a a a a 3. 先化简，再求值： ⑴ )2)(32()34)(43(n m n m m n n m -+-+-，其中1,1-==n m . ⑵ (3x+2)(3x-2) -(x+1)(x-1),其中x=-1 4. 解方程： (1)x （x+2）+（2x+1）（2x －1）=5（x 2 +3）． ⑵x x x x x x 2)1)(1()3)(322++-+=-+（ 5. 计算: )52)(52(22--+-x x )4)(4(-+ab ab )14)(14(---a a )49)(23)(23(22b a b a b a ++-)1)(1)(1)(1(42a a a a +++-
⑴ ⑵ ⑵ 22007200720082006-? ⑷ 22007200820061 ?+ 6.广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？ )12()12)(12)(12(42++++n 2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++
1．5平方差公式 1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点) 2．掌握平方差公式的应用．(重点) 一、情境导入 1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则． 学生积极举手回答． 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式． 二、合作探究 探究点：平方差公式 【类型一】直接运用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算： (1)(3x －5)(3x ＋5)； (2)(－2a －b )(b －2a )； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)． 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25； (2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 【类型二】 利用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式计算： (1)2013×1923 ； (2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13 )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989 ； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．
平方差公式(一) 一、教学目标 (一)知识目标 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. (二)能力目标 1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感目标 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. 二、教学重难点 （一）教学重点 平方差公式的推导和应用. （二）教学难点 用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. 三、教具准备 投影片四张 第一张：做一做，记作(§1.7.1 A) 第二张：例1，记作(§1.7.1 B) 第三张：例2，记作(§1.7.1 C) 第四张：练一练，记作(§1.7.1 D) 四、教学过程 Ⅰ.创设情景，引入新课 ［师］你能用简便方法计算下列各题吗？ (1)2001×1999；(2)992－1 ［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1 =20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，19 99，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+ 1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－
平方差公式练习题 一、选择题 1、下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x+y)(－x －y) B.(2x+3y)(2x －3z) C.(－a －b)(a －b) D.(m －n)(n －m) 2、下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b )(－b+a) B.(xy+z) (xy －z) C.(－2a －b) (2a+b) D.(0.5x －y) (－y －0.5x) 4、(42x －5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( ) A.－42x －5y B.－42x +5y C.(42x －5y ） D.(4x+5y) 5、4a +(1－a)(1+a)(1+2a )的计算结果是( ) A.－1 B.1 C.24a －1 D.1－24a 6.下列计算正确的是( ) A.(2x+3)(2x －3)=22x －9 B.(x+4)(x －4)=2x －4 C.(5+x)(x －6)=2x －30 D.(－1+4b)(－1－4b)=1－162b 7.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( ) A.(x+5y)(－x+5y) B.(－x －5y)(－x+5y) C.(x －y)(x+25y) D.(x －5y)(5y －x) 8.下列式中能用平方差公式计算的有( ) ①(x-1 2y)(x+1 2y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.下列式中,运算正确的是( ) ①222(2)4a a =, ②21 1 1 (1)(1)1339x x x -++=-, ③235(1)(1)(1)m m m --=-, ④232482a b a b ++??=. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 10.乘法等式中的字母a 、b 表示( ) A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.单项式、?多项式都可以 11．（－a ＋1）（a ＋1）（a 2＋1）等于………………（ ） （A ）a 4－1 （B ）a 4＋1（C ）a 4＋2a 2＋1 （D ）1－a 4 二．填空题 1、(x －1)(x +1)=_____, (2a +b )(2a －b )=_____, (31 x －y )(31 x +y )=_____. 2、(x +4)(－x +4)=_____, (x +3y )(_____)=9y 2－x 2, (－m －n )(_____)=m 2－n 2 3、98×102=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____. 4、－(2x 2+3y )(3y －2x 2)=_____. 5、(a －b )(a +b )(a 2+b 2)=_____. 6、(_____－4b )(_____+4b )=9a 2－16b 2 ,(_____－2x )(_____－2x )=4x 2－25y 2 7、(xy －z )(z +xy )=_____, (65x －0.7y )(65x +0.7y )=_____. 8、(41x +y 2)(_____)=y 4－161 x 2
数学计划总结之《乘法公式——平方差公式》教学反思 我参与了学校组织的“同课异构”活动，授课内容是《乘法公式——平方差公式（一课时）》。 上学期末我恰好在任县二中参加了一次关于教材研究的会议，当时河南一位从教三十多年且参与教材编写的专家指出：关于概念、公式、法则的教学一般有六个环节：①引入；②形成；③明确表述；④辨析；⑤巩固应用；⑥归纳提升。新课标也要求我们在教学中不只是传授学生基本的知识技能，还要以培养学生的数学能力及合作探究的意识为目标。为此，我在设计本节课的教学环节时充分考虑学生的认知规律，并以培养学生的数学素质，了解运用数学思想方法，增强学生的合作探究意识为宗旨。 我的教学流程是按照“引入——猜想——证明——辨析——应用——归纳——检测”的顺序进行的，非常符合学生的认知规律。我觉得本节课比较好的方面有以下几点：1.在利用图形面积证明平方差公式时，我没有采用教材上直接给出剪接方法再证明的过程，只给出了原图让学生们自己去探究不同的方法。事实证明，学生们不只拼出了书上的方法，还从对角线剪开拼出了梯形，平行四边形和长方形三种方法，思维一下就开阔了。这里我并没有为了证明而证明，也没有怕浪费时间匆匆而过，而是给学生留下了充足的思考和讨论时间，真正激发了学生的
思维。2.通过设置一个“找朋友”的小游戏来辨析公式，调动了学生的积极性，活跃了课堂气氛，因此，游戏过后学生对公式的结构特征也有了更深刻的了解。3.共享收获环节，我采用的是制作微课的方式，形式比较新颖，从认识公式到知道公式的特征，再到感悟数形结合的数学思想，最后是感受到数学运算的一种简捷美，将本节课升华到了一个新的高度。 当然，本节课也有一些遗憾和不足之处。比如，由于紧张，在授课过程中遗漏了两点，通过播放幻灯片才慌忙补充上；在处理学生练习时，为了抓紧时间完 成进度没有把学生的出错点讲透讲细；游戏环节参与学生有些少，应让更多的同学动起来；当堂检测的题目应该设置上分值和检测时间，让学生限时完成，然后可以根据学生得分了解本节课的学习效果，以便下节课再有针对性的进行讲解和练习查漏补缺。 通过这次“同课异构”活动，我感觉自己在教学环节设计、课件制作和使用、导学案的规范书写等各方面都有了提高，通过各位领导和老师的点评，我也有了更多的收获，相信可以为我今后的教学所用。
初中数学试卷 灿若寒星整理制作 平方差公式练习题 1．下列运算中，正确的是（） A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4 C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-6 2．可以用平方差公式计算的是（） A．（x+1）（1+x）B．（1 2 a+b）（b- 1 2 a）C．（-a+b）（a-b） D．（x2-y）（x+y2） 3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（） A．3 B．6 C．10 D．9 4．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（） A．5 B．-5 C．10 D．-10 5．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（） A．4 B．2 C．-2 D．±2 6．已知a+1 a =3，则a2+ 2 1 a ，则a+的值是（） A．1 B．7 C．9 D．11 7．若a-b=2，a-c=1，则（2a-b-c）2+（c-a）2的值为（） A．10 B．9 C．2 D．1 8．│5x-2y│·│2y-5x│的结果是（） A．25x2-4y2 B．25x2-20xy+4y2 C．25x2+20xy+4y2 D．-25x2+20xy-4y2 9．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以 10．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a）D．（a2－b）（b2+a） 11．下列计算中，错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． 12．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题1．（－2x+y）（－2x－y）=______．（－3x2+2y2）（）=9x4－4y4．2．（a+b－1）（a－b+1）=（）2－（）2． 3．已知x2－5x+1=0,则x2+ 2 1 x =________. 4．9.8×10.2=________; a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．5．（x-y+z）（x+y+z）=________; （a+b+c）2=_______． 6．（ 1 2 x+3）2-（ 1 2 x-3）2=________．若a2+2a=1，则（a+1）2=_________． 7、（2a-3b）（2a+3b）②（-p2+q）（-p2-q）③（x-2y）2④（-2x- 1 2 y）2． ①（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）②（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）． ①20 2 3 ×21 1 3 ②2009×2007－20082 ③ 2 2007 200720082006 -? ④ 2 2007 200820061 ?+ ①（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）②x（x+2）+（2x+1）（2x－1） （3） (2x－1) (2x + 1)－2(x－2) (x + 2) （4） (-2x+3y)(-2x-3y)
平方差公式计算 一、选择题 1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x+y)(－x －y) B.(2x+3y)(2x －3z) C.(－a －b)(a －b) D.(m －n)(n －m) 2.下列计算正确的是( ) A ． ()()()()222 2425252525y x y x y x y x -=-=-+ B ．22291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+- C ．()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=--- D ． ()()8242-=-+x x x 3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b)(－b+a) B.(xy+z)(xy －z) C.(－2a －b)(2a+b) D.(0.5x －y)(－y －0.5x) 4.( 245x y -)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( ) A. 245x y - B.－245x y - C. ( ) 2 2 45x y - D. ( ) 2 2 45x y + 5. 4 a +(1－a)(1+a)(1+2 a )的计算结果是( ) A.－1 B.1 C.24 a －1 D.1－24 a 6.下列各式运算结果是2 x －2 25y 的是( ) A.(x+5y)(－x+5y) B.(－x －5y)(－x+5y) C.(x －y)(x+25y) D.(x －5y)(5y －x) 7.下列式中能用平方差公式计算的有( ) ①(x-12y)(x+1 2 y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列式中,运算正确的是( ) ①222 (2)4a a =, ②2111 (1)(1)1339 x x x - ++=-, ③235 (1)(1)(1)m m m --=-, ④23 2482 a b a b ++??=. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 9.乘法等式中的字母a 、b 表示( ) A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.单项式、?多项式都可以 二、计算： （a+3）(a-3) ( 2a+3b)(2a-3b) (1+2c)(1-2c)
乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
课题：14.2.1平方差公式 教学目标： 理解乘法的平方差公式，并能运用平方差公式进行简单的运算． 重点： 平方差公式的推导和应用． 难点： 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 教学流程： 一、情境引入 灰太狼开了一家租地公司，一天他把一边长为a米的正方形土地，租给慢羊羊种植，有一年，他对慢羊羊说，我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，再继续租给你，租金不变，这样你也没吃亏，你看如何，慢羊羊一听觉得没有吃亏，就答应了. 慢羊羊回到羊村，就把这件事对喜羊羊他们讲了，喜羊羊一听马上说，“村长，您吃亏了！”慢羊羊村长很吃惊的问道：“啊，那我吃亏了多少？”沸羊羊说道：“我来帮您算算，”喜羊羊还没等沸羊羊开始算就说到：“不用算啦，村长亏了25平方米！”沸羊羊不解道：“你怎么算的这么快呀？”。 二、知识回顾 1.说一说多项式乘以多项式的计算法则？ 答案：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.填空
(1)(1)(1)________; (2)(2)(2)________; (3)(21)(21)________. x x m m x x +-= +-= +-= 答案：（1）21 x-；（2）24 m-；（3）2 41 x- 三、探究 问题：观察下面等式，你能发现什么规律？ 2 2 2 11 22 22 (1)()()1; (2)()()4; (3)()( 1. 1)41 x m x x m m x x x +-=- +-=- +-=- 归纳：乘法的平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．22 ()() b b a a b a +-=- 图形演示： 尝试计算： (1).(32)(32) x x +-，(2).(2)(2) x y x y -+-- 解：222 (1).(32)(32)(3)294 x x x x +-=-=- 2222 (2).(2)(2)()(2)4 x y x y x y x y -+--=--=- 练习： 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是( ) A．(2x－3y)(－2x＋3y) B．(－3x＋4y)(－4y－3x) C．(x－y)(x＋2y) D．(x＋y)(－x－y) 答案：B 2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
14.2.1平方差公式 教学目标 1、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算； 2、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。 重点难点 重点：平方差公式的推导及应用． 难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式． 教学设计 一、板书标题，揭示教学目标 教学目标 1、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算； 2、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。 二、指导学生自学 自学内容与要求 看教材：课本第151页------第153页，把你认为重要部分打上记号，完成第153页练习题。想一想：1、平方差公式实质是什么？ 2、满足什么条件的两个多项才能运用平方差公式？ 3、你对152页思考中的图形理解吗？ 8分钟后，检查自学效果 三、学生自学，教师巡视 学生认真自学，并完成P153练习，老师巡视，并指导学生完成练习。 四、检查自学效果 1、学生回答老师所提出的问题； 2、你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗? 3、学生抢答P153练习结果，并要求学生是否有不同意见。 4、学生板演： 计算： (1)x2+(y-x)(y+x) (2)20082-2009×2007
(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y) (4)(a+1 2 b)(a- 1 2 b)-(3a-2b)(3a+2b) 五、归纳，矫正，指导运用 1、概念归纳：平方差公式的字母表示形式 （a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式。 即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2、应用： 下列计算是否正确?如不正确，应怎样改正? (1)(a-4)(a+4)=a2-4 (2)(2x+5)(2x-5)=2x2-25 (3)(-a-b)(a+b)=a2-b2 (4)(mn-1)(mn+1)=mn2-1 计算： （1）（a+b）（-b+a）（2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b）（4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2） 六、随堂练习 1、用简便方法计算 （1）2001×1999 （2）998×1002 2、计算： （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 七、布置作业 课本第156页 1 设计思想: 《新课程标准》中明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新。”在教学设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用。自主探究、举一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习。 在教学活动的组织中始终注意：(1)以问题为活动的核心。在组织活动前，结合学习内容和学生实际，更好地使用教科书(如对平方差公式进行几何解释时，将书中图形一分为二)，创设问题情境．(2)促进学生发展是活动的目的。数学教育要以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，这是义务教育阶段数学课程的基本理念和基本出发点．因此，本节课我组织活动的目的，不是为了单纯地传授知识，而是注意让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、与人合作意识、数学思想方法等各方面的进一步发展。
平方差公式专项练习题 一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9； ④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 5．计算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2． 6．利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变： 22007 200720082006 -?．（2）二变： 2 2007 200820061 ?+． 7．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4 …… （1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+……+x n）=______．（n为正整数） （2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ② 2+22+23+……+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+……+x2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______． ③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．