2017年八年级秋季培优讲义
一次函数综合专题
一、知识要点
1．理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系，掌握一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的性质； 2．能较熟悉作出一次函数的图象；
3．结合图象体会一次函数k 、b 的取值和直线位置的关系，提高数形结合能力；
4．理解一次函数图象上的点与二元一次方程组解的关系，会用图象法解二元一次方程组； 5．从函数的观点明确一元一次方程、二元一次方程组、不等式之间的关系． 二、基础能力测试
1．下列图象不能表示y 是x 的函数关系的是( )
2．下列函数中，自变量x 的取值围是x ≥2的是( )
A ．y ＝2－x
B ．y ＝1x －2
C ．y ＝4－x 2
D ．y ＝x ＋2·x －2
3．下面哪个点在函数y ＝1
2x ＋1的图象上( )
A ．y ＝2x －1
B ．y ＝x
3
C ．y ＝2x 2
D ．y ＝－2x ＋1
5．一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(2，－1)和(0，3)，那么这个一次函数的解析式是( ) A ．y ＝－2x ＋3 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝3x －2 D ．y ＝1
2
x －3
6．若一次函数y ＝(3－k )x －k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值围是( ) A ．k ＞3 B ．0＜k ≤3 C ．0≤k ＜3 D ．0＜k ＜3
7．已知一次函数的图象与直线y ＝－x ＋1平行，且过点(8，2)，那么这个一次函数的解析式为( ) A ．y ＝－x －2 B ．y ＝x －6 C ．y ＝－x ＋10 D ．y ＝－x －1
8．已知一次函数y ＝－x ＋a 与y ＝x ＋b 的图象相交于点(m ，8)，则－a －b ＝_____ 9．如果直线y ＝－2x ＋k 与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k 的值为_______．
10．已知两点A (－1，2)，B (2，3)，若x 轴上存在一点，能使得PA ＋PB 的值最小，则P 点的坐标为_____． 11．如图，A (0，1)，M (3，2)，N (4，4)．动点P 从点一出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，设移动时间为t 秒． ⑴当t ＝3时，求l 的解析式；
⑵若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 取值围；
⑶直接写出t 为何值时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上．
12．在平面直角坐标系中有三点A (0，1)，B (1，3)，C (2，6)，已知直线y ＝ax ＋b 的横坐标为0，1，2的点分别是D ，E ，F ，试求a ，b 之值使得DA 2＋EB 2＋FC 2取得最小值．(已知点的横坐标可代入y ＝ax ＋b 求纵坐标)．
三、典型例题
※函数的图像及其性质
【例1】已知：已知函数y ＝(1－3k )x ＋2k －1． ⑴当k ______时，此函数为一次函数；
⑵当k ______时，此函数为正比例函数，当k ______时，函数图象经过原点； ⑶当k ______时，y 随x 的增大而减；当k ______时，函数图象不经过第三象限；
⑷当k ______时，函数图象过(1，2)点，当k ______时，函数图象与y ＝x ＋2的交点在x 轴上； ⑸当k ______时，函数图象平行于直线y ＝－x ＋1；
⑹当k ______时，与y 轴的交点在x 轴下方；当k ______时，函数图象交x 轴于正半轴．
※函数与方程
【例2】⑴直线y ＝kx ＋b 经过点(－32，0)且与坐标轴所围成的直角三角形的面积为15
4
，求直线的解析式．
⑵已知直线l 1经过点A (2，3)和B (－1，－3)，直线l 2与l 1相交于点C (－2，m )，与y 轴交点的纵
坐标为1．
①试求直线l 1和l 2的解析式；②求出l 1、l 2与x 轴围成的三角形面积。
【例3】⑴点(0，1)向下平移2个单位后的坐标是______，直线y ＝2x ＋1向下平移2个单位后的解析式是
_________．
⑵直线y ＝2x ＋1向右平移2个单位后的解析式是_________；
⑶如图，已知点C 为直线y ＝x 上在第一象限一点，直线y ＝2x ＋1交y 轴于点A ，交x 轴于B ，
将直线AB 沿射线OC 方向平移32个单位，求平移后的直线的解析式．
例3⑶图
※函数与不等式
【例4】⑴如图，直线y ＝kx 与y ＝ax ＋b 交于点P (－3，2)，那么关于x 的不等式组0＜kx ＜ax ＋b 的解
集是____________．
⑵如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (2，1)，B (－1，－2)两点，则不等式1
2x ＞kx ＋b ＞－2的解集为
________．
⑶如图，函数y 1＝kx ＋m 与y 2＝ax ＋b (a ＜0)的图象交于P ，则根据图象可得不等???kx ＋m ＞0ax ＋b ＞kx ＋m
的解集为______________．
※函数与实际生活
【例5】⑴一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y 1千米，出租车离甲地的距离为y 2千米，两车行驶的时间为x 小时，y 1、y 2关于x 的函数图像如5图所示：
①根据图像，直接写出y 1、y 2关于x 的函数关系式；
②若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式；
③甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入B 油站，求A 加油离甲地的距离．
b
例4⑴图
例4⑶图
b
例5图
)
⑵今年我省干旱灾情严重，甲地急需抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有两水库决定各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱，从A 地到甲地50千米，到乙地30千米；从B 地到甲地60千米，到乙地45千米．
①设从A 水库调往甲地的水量为x 万吨，完成下表；
②请设计一个调运方案，使水的调运总量尽可能小．(调运量＝调运水的重量×调运的距离，单位：万吨·千米)
※函教与几何综合
【例6】如图，已知两条直线l 1:y ＝x ，l 2:y ＝－1
2x ＋2，设P 是y 轴的一个动点，是否存在平行于y 轴的直
线x ＝t ，使得它与直线l 1，l 2分别交于点D 、E (E 在D 的上方)，且△PDE
是等腰直角三角形？若存在，求t 的值及点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【例7】⑴已知直线y ＝－3
3
x ＋1与
x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限作等腰
Rt △ABC ，∠BAC ＝90°
，且点P (1，a )为坐标系中的一个动点。 ⑴求三角形ABC 的面积S △ABC ；
⑵要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，数a 的值。
例6图
+2
+2
（2）如图，1
2
y kx k =+与x 轴交于点A ，且绕A 点顺时针旋转90°后与y 轴交于点B （0，－4）
1）求k 的值；
2）求该直线绕A 点顺时针旋转45°后的解析式；
3）在该直线上是否存在点C ，使S △ABC =2S △ABO ，若存在，试求出C 点，若不存在试说明理由．
y=
（3）如图，在平面直角坐标系中，A （
a ，0），B （0，
b ），且a 、b 满足2(2)0a -+．
1）求直线AB 的解析式；
2）若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 的值． 3过点A 的直线y =kx －2k 交y 轴负半轴于点P ，N 点的很坐标为－1，过N 点的直线22
k k y x =
-交AP 于点M ，试证明：
PM PN
AM
-的值是定值．
拓展：已知两点A （－2,0）和B （4,0），点P 在一次函数1
22
y x =+的图象上，它的横坐标为m ． （1）当m 取什么值时，△PAB
是直角三角形． （2）当m 取什么值时，△PAB 是钝角三角形．
四、反馈练习
1．若直线y =－x －4与x 轴交于点A ，直线上有一点M ，且△AOM 的面积为8，求点M 的坐标．
2．一次函数y =kx ＋b 的图象经过点（－1，－5）与正比例函数1
2
y x =
的图象相交于点（2，a ）
， 求：（1）a 的值；（2）k ，b 的值；（3）这两个函数与x 轴所围成的三角形面积． 3．（1）如图，直线AB 的解析式为y 1=k 1x ＋b 1，直线AC 解析式为y 2=k 2x ＋b 2，他们分别与x 轴交于点B 、
C ，且B 、A 、C 三点的横坐标分别为－1、－1、2，且满足y 1＞y 2＞0的x 的取值围是_______________． （2）如图，已知函数y =3x ＋b 和y =ax －3的图象交于点P （－2，－5），则根据图象可得不等式3x
＋b ＞ax －3的解集是________________．
（3）如图，直线y =kx ＋b 经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，则不等式组1
2
x ＜kx ＋b ＜0的解
集为_______________．
-3
（4）如图，函数y =kx ＋m 与y =
ax ＋b （a ＜0）的图象交于P ，则根据图象可得不等式0
kx m ax b kx m +>??+>+?
的
解集为_________________．
4．市移动通讯公司开设两种通讯业务：全球通使用者先缴50元月基础费，然后每通话1min 付话费0．4元，神州行不交月基础费，每通话1min 付话费0．6元，若设一个月通话x min ，两种通讯方式的费用分别为y 1和y 2元，求：
（1）写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；
（2）在同一只脚坐标系中画出两函数的图象；
5．如图1，在A ，B 两地之间有汽车站C 站，客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地两车同时出发，匀速行驶图2时客车、货车离C 站的路程y 1，y 2（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象． （1）填空：A ，B 两地相距__________千米；
（2）求两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式； （3）客、货两车何时相遇？
)
C
图1
图2
6．如图，直线y =kx ＋6与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F ．点E 的坐标为（－8，0），点A 的坐 标为（－6，0）．点P （x ，y ）是直线上第二象限的一个动点． （1）求k 的值；
（2）当点P 运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围；
（3）探究：当P 运动到什么位置（求P 的坐标）时，△OPA 的面积为
27
8
，并说明理由．
7．如图，直线1y x =+和x 、y 轴分别交于点A 、B ，∠BAO =30°
，以线段AB 为边在第一象限作等边三角形ABC ，如果在第一象限有一点P （m
，1），且△ABP 的面积
与△ABC 的面积相等，求m 的值．
8．已知点A（4，0），B（0，3），C在x轴的正半轴上，且BC
=
（1）求点C的坐标及直线BC的解析式；
（2）设点P在第一象限且在直线BC上，它的坐标为（m，n）．
①把△OAP的面积S表示成m的函数，并写出自变量m的取值围；
②若OP把△OBC的面积分成的两个三角形的面积之比为1:2，求直线OP的解析式．
9．如图1，直线y=kx＋4k（k≠0）交x轴于点A，交y轴于点C，点M（2，m）为直线AC上一点，过点M的直线BD交x轴于点B，交y轴于点D．
（1）求OC
OA
的值（用含有k的式子表示）；
（2）若S△BOM=3S△DOM，且k为方程（k＋7）（k＋5）－（k＋6）（k＋5）=9
2
的跟，求直线BD的解析
式；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为线段OD之间的动点（点P不与点O和点D重合），OE⊥AP于E，
DF⊥AP于F，下列两个结论：①AE OE
DF
+
值不变；②
AE OE
DF
-
值不变，请你判断其中哪一个结论
是正确的，并说明理由并求出其值．
10．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，－1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式；
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．