平面向量
第一课时 平面向量的概念
【重要知识】
知识点一：向量的概念
既有大小又有方向的量叫向量。
注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 知识点二：向量的表示法 ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
知识点三：有向线段
（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. （2）向量与有向线段的区别：
①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
知识点四：两个特殊的向量
（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0r . 0r
的方向是任意的. 注意0r
与0的含义与书写区别.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 知识点五：平行向量、共线向量
（1） 定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
（2） 规定：规定0r
与任一向量平行.
（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;
②向量,,a b c r r r
平行，记作a r ∥b r ∥c r
③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 知识点六：相等向量
（1） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（2）向量a r 与b r 相等，记作a b =r r
；
（3）零向量与零向量相等；
（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
【典型例题】
1．下列命题正确的是 （ ） A ．向量AB 与BA 是两平行向量
B ．若b a 、
都是单位向量,则a b =r r
C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、
D 四点构成平行四边形
D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
2．若都是单位向量，则||-的取值范围是 （ ） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］
D ．［0，2］
3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++uu r uu u r uu u r uu u r
等于（ ）
A ．FE uur
B.AC uuu r C DC uuu r D FC uu u r
4. 如图，在△ABC 中，AB = a r , = b r
，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，
求：向量．
5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的 充要条件是.=++
D
A
B
C
a b
G
·
6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====u u r r u u u r r u u u r r u u u r u r ，若a c b d +=+r r r u r
，
则四边形ABCD 的形状为 。
【同步练习】
1．在四边形ABCD 中，AB =a+2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则
四边形ABCD 为（ ）
A.平行四边形
B.矩形
C.梯形
D.菱形
2.已知菱形ABCD ，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则等于（ ） A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1) B.λ(AB +),λ∈(0,
22) C.λ(－),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,2
2
)
3.已知两点()3,2M ，()5,5N --12
MP MN =uuu r uuu r
，则P 点坐标是 （ ）
4.已知△ABC 中，===,,，若?=?=?，求证：△ABC 为正三角
形.
5.已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证
4=+++.
第二课时 平面向量的线性运算
【重要知识】
知识点一：向量的加法
（1）定义已知非零向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a r ，BC ＝b r ，则向量AC
叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b +r r
＝AB ＋BC ＝AC ．
求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.
②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则
以点O 为起点作向量a OA =，OB b =uu u r r
，以OA,OB 为
邻边作OACB Y ，则以O 为起点的对角线所在向量OC uuu r
就
是,a b r r 的和，记作a b +r r =OC uuu r 。
说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=r r r r r r ，
（3）特殊位置关系的两向量的和
①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； ②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，
③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.
（4）向量加法的运算律
①向量加法的交换律：a +b =b +a
②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 知识点二：向量的减法
（1）相反向量：与a r 长度相同、方向相反的向量.记作-a r
。 （2）①向量a r 和-a r 互为相反向量，即 –(-a r
).
②零向量的相反向量仍是零向量．
③任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a r ＋(-a r )＝(-a r )＋a r ＝0r
．
④如果向量,a b r r 互为相反向量，那么a r ＝-b r ，b r ＝-a r ，a r ＋b r ＝0r
． （3）向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r
的差. 即：a r -b r = a r + (-b r
) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
（4）向量减法的几何作法
在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==uu r r uu u r r ，则BA a b =-uu r r r ．即a b -r r
可以表示为从向量
b r 的终点指向向量a r
的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
说明：①表示a b -r r
.强调：差向量“箭头”指向被减数
②用“相反向量”定义法作差向量，a r -b r = a r + (-b r
)， 显然，此法作图较繁，但最
后作图可统一.
知识点三：向量数乘的定义
（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a r
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，
记作λa r
，它的长度与方向规定如下：
⑴|λa r |＝|λ||a r |
⑵当0λ>时，λa r 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，λa r 的方向与a r
的方向相反．
当0λ=时，λa r ＝0r
（2） 向量数乘的运算律
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律： 设λ、μ为实数，那么
知识点四：向量共线的条件
向量a r (a r ≠0r )与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b r ＝λa r ．
【典型例题】
1. 下列各式正确的是（ ）
A ．若a r ，b r
同向，则|a +b |=|a |+|b |
B ．a b +r r
与|a |+|b |表示的意义是相同的 C ．若a r ，b r
不共线，则|a +b |＞|a |+|b |
D ．
a a b
<+r r r 永远成立
2．AO OB OC CA BO ++++uuu r uu u r uuu r uu r uu u r
等于（ ）
A ．
B ． 0r
C ．
D ．
3．下列命题
①如果a r ，b r 的方向相同或相反，那么a b +r r 的方向必与a r ，b r
之一的方向相同。
②△ABC 中，必有0r
③若
0r
，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点。
④若a r ，b r
均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等。
其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
4．已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a r ，b r ，c r
，则向
量
等于（ ）
A ．a b c ++r r r
B ．a b c -+r r r
C ．a b c +-r r r
D ．a b c --r r r
5．在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===u u u r r u u u r r u u u r r
，则
等于（ ）
A ． a b c -+r r r
B ．()b a c -+r r r
C ．a b c ++r r r
D ．b a c -+r r r
6．设b r 是a r
的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ．a r 与b r 的长度必相等 B ．a r ∥b r
C ．a r 与b r 一定不相等
D ．a r 是b r
的相反向量
7．AC uuu r
可以写成：①
；②；③；④，其中正确的
是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④ 8.如图所示，在
ABCD 中，已知,AB a DB b ==u u u r r u u u r r ，用a r 与b r 表示向量AD uuu r 、
。
【同步练习】
1.在以下各命题中，不正确的命题个数为（ ） ①|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件； ②任一非零向量的方向都是惟一的；
③|a -b |＜|a |+|b | ④若|a -b |=|a |+|b |，则0b =r r
；
⑤已知A 、B 、C 是平面上的任意三点，则
0r 。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．某人先位移向量a r ：“向东走3km”，接着再位移向量b r ：“向北走3km”，则a b +r r
（ ）
A．向东南走km B．向东北走km C．向东南走km D．向东北走km
3．若，则BC
uu u r
的取值范围是（）
A．B．（3，8）C．D．（3，13）
4．设ABCDEF为一正六边形，
,
AB m AE n
==
u u u r u r u u u r r
，则
5．化简：
第三课时平面向量的基本定理
【重要知识】
知识点一：平面向量基本定理
⑴平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量a r ，有且只有一对实数12,λλ使a r
=11
22e e λλ+u r u r 。我们把不共线向量1e ，2e 叫做
表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)运用定理时需注意：①1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量。 ②该平面内的任一向量都可用1e ，2e 线性表示，且这种表示是唯一的。 ③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。 知识点二：两向量的夹角与垂直
（1） 定义：已知两个非零向量,a b r r ，作,OA a OB b ==uu r r uu u r r ,则∠AOB=θ叫做向量a b r r
与的夹
角。
（2）如果a b r r 与的夹角是90°，就说a b r r 与垂直，记作a b ⊥r r 。
（3）注意：向量a b r r 与的夹角的范围是0180θ?≤≤?，当0θ=?时，a b r r
与同向；当90θ=?时，a b ⊥r r
；当180θ=?，a b r r 与反向。
知识点三：平面向量的坐标表示
（1）如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r
作为
基底.任作一个向量a r
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
a xi y j =+r r r
…………○
1 我们把),(y x 叫做向量a r
的（直角）坐标，记作
(,)a x y =r
…………○
2 其中x 叫做a r 在x 轴上的坐标，y 叫做a r
在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与a r
相等的向量的坐标也为),(y x .
特别地，(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===r r r
，
如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a =uu r r
，则点A 的位置由a r
唯一确定.
设OA xi y j =+u u r r r
，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也
就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
（2）平面向量的坐标运算
① 若1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则a b
+r r ),(2121y y x x ++=，a b -r r ),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. ② 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
（3）若(,)a x y =r 和实数λ，则.(,)a x y λλλ=r
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点四：平面向量共线的坐标表示
（1） 设1122(,),(,)a x y b x y ==r r
，其中0b ≠r r ，当且仅当12210x y x y -=时，向量a b r r 与共
线。
（2） 注意:①遇到与共线有关的问题时，一般要考虑运用两向量共线的条件。
②运用两向量共线的条件，可求点的坐标，可证明三点共线等问题。 学习结论
（1） 在解具体问题时，要适当的选取基底。把几何问题转化为代数问题。
（2） 向量共线的充要条件有两种形式：a r ∥b r （b r 0≠r
）
01221=-=?
y x y x λ
（3） 注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤θ≤180?。
【典型例题】
1. 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这
四点构成平行四边形四个顶点.
2．已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的
坐标.
3．若向量a r =(-1，x)与b r
=(-x ， 2)共线且方向相同，求x
4．已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5) ，D(2，7) ，向量与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？
【同步练习】
基础练习
1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A.1
2(0,0),(1,2)e e ==-u r u r B .12(5,7),(1,2)e e ==-u r u r
C.1
2(3,5),(6,10)e e ==u r u r D 1213(2,3),(,)
24e e =-=-u r u r 2. .已知a r =(2，3），b r =(－1，2），则2a r －3b r 等于
A.（5，1）
B.（5，－3）
C.（7，0）
D.（－7，0）
3.已知a r =（－1，3），b r =（x,－1），且a r ∥b r ,则x 等于 （ ）
A.3
B.31
C.－3
D.－31
4.下列各组向量是相互平行的是 （ ） A.a=(－2，3），b=(3，5） B.a=（3，2），b=（2，3） C.a=（2，－1），b=（1，4） D.a=（－2，1），b=(4，－2）
5.已知A （x ，2），B （5，y －2)，若AB =（4，6），则x 、y 的值为 （ ） A.x=－1，y=0 B.x=1，y=10 C.x=1，y=－10 D.x=－1，y=－10
6.已知M （3，－2），N （－5，－1），MP =21
，则P 点的坐标为 （ ） A.（－8，1）B.（－1，－23
） C.（1，23
）D.（8，－1）
7..若a r －21b r =（1，2），a r +b r =(4，－10），则a r 等于 （ ）
A.（－2，－2）
B.（2，2）
C.（－2，2）
D.（2，－2）
8. 已知a r 21=，b r 22=，(a r －b r )·a r =0，则a r 与b r
的夹角是 （ ）
A ．60?
B ．90?
C ．45?
D ．30?
提高练习
1. 已知向量(3,2),(2,1),(7,4)a b c =-=-=-r r r ，试用,a b r r 来表示c r
。
2. 向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===u u r u u u r u u u r
，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线。
3.已知中A(7,8),B(3,5),C(4,3)，M、N是AB、CD的中点，D是BC的中点，MN与
AD交于F 。求
4. 已知点及
11
,
33
AC AB DA BA
==-
uuu r uu u r uu u r uu r
。求点C、D和的坐标。
第四课时平面向量的数量积【重要知识】
知识点一：平面向量的数量积
（1） 定义：：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角是θ，则数量|a r ||b r |cos θ叫a r 与b
r
的数量积，记作a r ?b r ，即有a r ?b r = |a r ||b r
|cos θ，（０≤θ≤π） （2） .并规定0r
与任何向量的数量积为0.
（3） 投影：“投影”的概念：作图
①定义：|b r |cos θ叫做向量b r 在a r
方向上的投影.
②投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；
当θ为直角时投影为0；当θ = 0?时投影为 |b r |；当θ = 180?时投影为-|b r
|.
（4） 两个向量的数量积与向量同实数积的区别
①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.当0°≤θ＜
90°时，a r ?b r ＞0；当θ=90°时，a r ?b r =0；当90°＜θ≤180°时，a r ?b r
＜0. ②两个向量的数量积称为内积，写成a r ?b r
；.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不
能省略，也不能用“×”代替.
③在实数中，若a ≠0，且a ?b=0，则b=0；但是在数量积中，若0a ≠r r ，且a r ?b r
=0，不能推出0b =r r
.因为其中cos θ有可能为0.
（5）平面向量的数量积的几何意义：
数量积a r ?b r 等于a r 的长度与b r 在a r 方向上投影|b r
|cos θ的乘积.
注意：b r 在a r
方向上投影可以写成
a b a
?r r r
（6）平面向量的数量积的性质：
设a r 、b r
为两个非零向量， ①a r ⊥b r ?a r ?b r
= 0
② 当a r 与b r 同向时，a r ?b r = |a r ||b r |；当a r 与b r 反向时，a r ?b r = -|a r ||b r |. 特别的a r ?a r
= |a r |2或a a a =?r r r ③
a b a b
?≤r r r r
④cos θ =
a b a b
?r r r r ，利用这一关系，可求两个向量的夹角。
（7）平面向量数量积的运算律
①．交换律：a b b a ?=?r r r r
②．数乘结合律：(λa r )?b r =λ(a r ?b r ) = a r ?(λb r
) ③．分配律：(a r +b r )?c r = a r ?c r + b r ?c r
说明：①一般地，(a r ·b r )·c r ≠a r ·（b r ·c r
） ②a r ·c r ＝b r ·c r ，c r ≠0
a r ＝
b r
③有如下常用性质：2
2a a =r r
（a r ＋b r ）（c r ＋d u r ）＝a r ·c r ＋a r ·d u r ＋b r ·c r ＋b r ·d u r
222)2a b a a b b +=+?+r r r r r r （
知识点二：平面两向量数量积的坐标表示
（1） 已知两个非零向量
1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则a r ·b r
2121y y x x +=，即两个向量
的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
（2） 向量模的坐标表示
①设(,)a x y =r ，则22222,a x y a x y
=+=+r r 即.
②如果表示向量a r
的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么
22
21212121(,),()()a x x y y a x x y y =--=-+-r r
（3） 注
意
：
若
A
),(11y x 、
B ),(22y x ，则
22
21212121(,),()()AB x x y y AB x x y y =--=-+-uu u r uu u r
,所以
AB
uu u r 的实质是A,B 的
两点的距离或是线段的长度，这也是模的几何意义。
（4） 两个向量垂直的条件
设1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则a r ⊥b r ?1212
0x x y y += （5） 两向量夹角的余弦公式
（6） 设两个非零向量1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，θ是a r 与b r
的夹角，则有
cos θ=
a b a b
?r r
r r
学习结论
（1） 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.
（2） 数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题，均可转化为向量问题。 两向量垂直的充要条件有时与向量共线条件结合在一起，要注意两者的联系。
【典型例题】
1. 已知a r 与b r 都是非零向量，且a r + 3b r 与7a r - 5b r 垂直，a r - 4b r 与7a r - 2b r 垂直，求a
r
与b r
的夹角.
2. 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
3. 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90?，求点B 和向量的
坐标.
4. 在△ABC 中，AB =(2， 3)，=(1， k)，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值.
【同步练习】
1.已知平面向量)3,(),1,3(-==t b a , 且b a ⊥, 则=t （ ） A ．－1 B ．1 C ． 3 D ．－3
2．已知a r =(2,3), b r =(-4,7),则a r 在b r
方向上的投影为（ ）
A ．13
B ．513
C ．5
65 D ．65
3．给定两个向量a r =(3,4), b r =(2,-1)且(a r +x b r )⊥(a r -b r
),则x 等于（ ）
A ．23
B ．223
C ．323
D ．4
23
4． 已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =?=? （ ）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．已知向量)1,(-=a a OA 的模为5，则实数a 的值是 （ ）
A ．－１
B ．2
C ．－１或2
D ．１或－2
6．已知a r =(4,3),向量b r 是垂直a r 的单位向量，则b r
等于 （ ）
A ．)54,53(或)5
3
,54(
B ．)54,53(或)5
4,53(--
C ．)54,53(-或)5
3,54(-
D ．)54,53(-或)5
4,53(-
7．已知(,2)a λ=r ，(3,5b =-r )且,a b r r
的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （ ）
A ．λ＞3
10 B ．λ≥310
C ．λ＜3
10
D ．λ≤3
10
8.在
中，若,,BC a CA b AB c ===u u u r r u u r r u u u r r ，且a b a c b c ?=?=?r r r r r r ，则ABC V 的形状是
（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．ABC 均不正确 9.若
为
所在平面内一点，且满足
，则
的
形状为（ ）
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．A 、B 、C 均不是
10.已知a r 、b r 都是非零向量，且a r + 3 b r 与7 a r - 5 b r 垂直，a r - 4 b r 与7 a r - 2 b r
垂
直，则a r 与b r
的夹角为 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
平面向量 一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图： 例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。 例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算： 例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿
仁爱/诚信/勤奋/创新 授课教师：蒋金凤 课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班
授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时 教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重 点 平面向量基本定理 难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证 突破 方法 通过实例画图和类比平面直角 坐标系的象限归纳总结 教学模式讲授式、探究式 板书设计 平面向量基本定理 平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影 小结： 教学过程 教学活动学生活动设计意图一、情景引入 两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同 的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？ 二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算 （1）作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量 2 1 e,e和 1 OC，你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗？ 看图观察并 思考，说出自己 的判断和依据 学生口述，作图 过程得结果 独立完成，个别 展示 从实际生活 问题入手，贴近 学生的日常生 活，能很好地激 发学生的求知欲 望 复习向量的 线性运算和共线 向量定理，为后 续的向量的分解 和唯一性作铺垫 进入向量分解的 探究，刚刚作图 的过程还记忆犹 新，按照来的痕 迹寻找构造平行 四边形的方法
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
数学思维与训练 高中（三） ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1． 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1．(北京卷) | a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．(江西卷·理6文6) 已知向量 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．(重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向 量与 的夹角为 （ C ） A ． B ． C ． D ．－ 4．(浙江卷)已知向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有| －t |≥| －|，则 （ ） 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用
2.3平面向量的基本定理及坐标表示 第4课时 §2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时 λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ 2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例： 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任 意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用， 表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实 数,d a b λμλμ=+ 、使与c 共线. 四、课堂练习： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R ) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系 A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填 共线或不共线). 五、小结（略）
知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++= ，但这时必须“首尾相连” ． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的 方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ 6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥ ，则02121=?+?y y x x
平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为
高三复习提纲——《平面向量》 一、常用结论 （一）向量的几何运算 1、,,2OA OB BA OA AB OB OA OB OM -=+=+=（M 为AB 中点） 2、数量积：cos a b a b θ?=，a 在b 方向上的投影=cos a b a b θ?= 3、不等关系：a b a b ?≤；a b a b a b -≤±≤+ （二）平面向量的坐标运算 1、(),a x y a xi y j =?=+；2、()(),,OA x y A x y =?； 3、()()()11222121,,,,A x y B x y AB x x y y ?=--；(AB x = 4、若()()1122,,,,a x y b x y R λ==∈，则 （1）()1212,a b x x y y ±=±±；（2）()11,a x y λλλ=；（3）21a x =+ （4）1212a b x x y y ?=+； （5）2 1 cos x y θ= +； （6）1221//a b x y x y ?=； （7）12120a b x x y y ⊥?+=； 二、对向量夹角的考查（cos a b a b θ?= ） 1、记号：θ=,a b <>； 2、范围：[]0,θπ∈，02 π θθπθ=??= ?同向；=反向；垂直； 3、只有非零向量才有夹角概念；作角时两向量必须共起点； 4、,;,;,OA OB AOB AO BO AOB OA AB AOB π<>=∠<>=∠<>=-∠. 5、,a b <>为直角：() 0,0a b a b ?=≠其中； 6、,a b <>为锐角：() 00a b a b λλ?>≠>且； 7、,a b <>为钝角：()00a b a b λλ?<≠<且 [范例解析] 1、已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 和c ； (2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小． 2、已知a ＝(1,3)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋λb ，若a 和c 的夹角是锐角，则λ的取值范围是( ) A.? ????－52，＋∞ B.? ????－∞，－52 C ．{0} D.? ???? －52，0∪(0，＋∞) 3、已知a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，当k 为整数时，向量m ＝ka ＋b 与n ＝a ＋kb 的夹角能否为60°？证明你的结论． O A B a b
2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得
2017高考英语北师大版一轮复习Unit 4夯实训练含答案 高考题型提能练(四)Unit 4 阅读下面材料，在空白处填入适当的内容(1个单词)或括号内单词的正确形式。 The giant panda__1__(love) by people throughout the world.Chinese scientists __2__(recent) had a chance to study a wild female panda with a newborn baby.She was a very __3__(care)mother.For 25 days，she never left her baby，not even to find something __4__(eat)！She would not let any other pandas come near.She licked the baby constantly to keep it clean.Any smell might attract natural __5__(enemy)that would try to eat the little panda.The mother held the baby in her front paws much the way a human does.__6__it cried，she rocked it back and forth and gave it little comforting pats.The mother continued to care for the young panda __7__more than two years.By that time，the panda no longer needed __8__(it)mother for food.However，it stayed with her and learned about the ways of the forest.Then，after two and a half years，the mother __9__(drive)the young panda away.It was time for her to have a new baby，__10__it was also time for the young panda to be independent. 【语篇导读】本文介绍了大熊猫是怎样养育小宝宝的。 1．is loved[全世界的人都喜欢大熊猫。这里用一般现在时表示现状，panda与love之间为被动关系。] 2．recently[修饰动词应用副词形式。] 3．caring/careful[作定语应用形容词形式。caring体贴人的，careful细心的。] 4．to eat[不定式作定语。] 5．enemies[前没有限定词，因此本空应填名词复数形式。] 6．When/If[如果小熊猫哭了，她来回摇晃它，给它安慰。when既可表示时间也可表示条件。] 7．for[妈妈继续照顾年轻的熊猫两年多的时间。for＋一段时间。] 8．its[这里指熊猫的妈妈，作定语，用物主代词形式。] 9．drove[文章主要时态为一般过去时。两年半之后，母亲把小熊猫赶走。] 10．and[上下句之间为并列关系。是她有一个新宝宝的时候了，也是小熊猫独立的时候了。]
平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为
高三数学复习专题平面向量 一、考点透视 本章考试内容及要求： 平面向量的有关概念B级 平面向量的线性运算（即平面向量的加法与减法，实数与平面向量的积）C级 平面向量的数量积C级（老教材为D级） 向量的坐标表示C级 向量运算的坐标表示C级 平行向量及垂直向量的坐标关系C级 向量的度量计算C级 注： B水平：对所学数学知识有理性的认识，能用自已的语言进行叙述和解释，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。 C水平：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握其内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。 二、复习要求 1．理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念； 2．掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式； 3．掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式； 4．能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角，并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。 概括地说，即理解向量有关概念，掌握向量基本形式（3种）及基本运算（4种），关注向量简单应用。 三、复习建议 向量是近代数学中的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。从数学发展史来看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。 向量是高中数学的必修内容，也是研究其它数学问题的重要工具，利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系，计算角度和距离问题将变得简单易行，其特点兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性，因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考，除了以小题形式考查一些简单的概念之外，还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查，试题的难度一般在中、低档题水平，复习时应重视向量基本知识的掌握和运用，难度不要拔高。
2.3.1 平面向量的基本定理 教学目的： 要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量． 教学重点： 平面向量的基本定理及其应用． 教学难点： 平面向量的基本定理． 教学过程： 一、复习提问： 1．向量的加法运算（平行四边形法则）； 2．向量的减法运算； 3．实数与向量的积； 4．向量共线定理。 二、新课： 1．提出问题：由平行四边形想到： （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．新课 1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量， =1e ，=λ1 2e ，=a =+=λ1 1e +λ2 2e ， =2e ，=λ 2 2e ． 1e 2e a C
得平面向量基本定理： 如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ 1 1e +λ2 2e ． 注意几个问题： （1）1e ,2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底； （2）这个定理也叫共面向量定理； （3）λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量． 例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e +32e ． 作法：（1）取点O ，作=-2.51e ，=32e ， （2）作平行四边形OACB ，即为所求． 已知两个非零向量a 、b ，作OA = a ，OB = b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a 与b 的夹角． 当θ＝0°，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向，如果a 与b 的夹角为90°，我们说a 与b 垂直，记作：a ⊥b ． 三、小结： 平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合． 1 e 2e
第四部分：平面向量公式和基本方法 平面向量是高一所学内容，这是一个比较有特点的知识，其在物理的“力的分解”上也有所涉及，高中数学 对于平面向量的考察形式主要有两方面：1）向量知识、公式相关题型的考察；2）结合三角函数出题或者出现在解析几何的条件中。 1、平面向量相关主要知识点 1）单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =| |a 同向的单位向量。 零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】。 相等向量：长度和方向都相同的向量。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 2）向量的加减法： 三角形法则 AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） ()()()12122211,,,,,y y x x AB y x B y x A --=? 平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那 条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段 就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法 的三角形法则可推广至多个向量相加： 3）共线（平行）定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 4）向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+2 2||a a =，2||()a b a b +=+ 5）设()()2211,,,y x b y x a ==则： 数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?2121y y x x +=； cos |||| a b a b θ?= ?
Unit 22Environmental Protection 需写准记牢的单词——记其形、明其义 1．reserve n．保护区 2．principle n. 原则，道德准则 3．beyond prep. 超出 4．advocate vt. 主张，提倡 5．recycle vt. 回收利用 6．threaten vt. 威胁 7．seize vt. 依法没收；(用武力)夺取8．behalf n. 代表 9．means n. 方法 10．dust n. 尘土，灰尘 11．adopt vt. 采用 需举一反三的单词——知其性、通其变 1．extinct adj.灭绝的，绝种的→extinction n．灭绝，绝种2．fashionable adj.流行的，时髦的→fashion n．流行，时尚
3．separation n．分离，分开→separate adj.分开的v.分离，分开 4．construct vt.建造→construction n．建造 5．considerate adj.想得周到的，体贴的→consider vt.考虑→consideration n．考虑 需会读明义的单词——识其形、知其义 1．endanger vt. 危害 2．trap vt. 使困住 3．ecology n. 生态 4．botanical adj. 植物的 5．corrupt adj. 贪污受贿的，腐败的 6．conservation n. 保护 7．consensus n. 一致的意见 8．claim vt. 声称 9．relevant adj. 有关的 10．agriculture n. 农业 11．coincidence n. 巧合 12．condemn vt. 迫使(某人)陷于不幸的境地 13．sacrifice vt.&vi. 牺牲；献出 14．substitute n. 代替品，代用品 15．mainland n. 大陆 16．grand adj. 巨大的 17．changeable adj. 多变的
《平面向量基本定理》教学教案 ----新余一中蒋小林 一、背景分析 1．教材分析 函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。 2．学情分析 从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。 从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。 教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点． 二.学习目标 1）知识与技能目标 1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。 2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。 2）过程与方法目标 1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培
养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。 2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。 3）情感、态度与价值观目标 1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识； 2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活 动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 [设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现 了培养学生核心素养的要求． 三．教学过程设计 教学过程 1．创设问题、引出新课 （一）通过击鼓传花游戏复习的向量的运算及平行向量基本定理，我们知道可以用(0)a a λ≠表示任意和a 共线的向量，那么再随便画一个方向的向量b ，你还可以用a 表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？za 此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G ，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。 [设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程，培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活化，生活学科化。体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。 2.问题驱动、探究新知 问题（1）给定平面内任意两个向量21,e e 请你做出2121223e e e e -+和两个向量。 [设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示
平面向量 【知识点】 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式 ： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设 ()11,a x y =，()22,b x y =，则()121 2,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设 ()11,a x y =，()22,b x y =，则()121 2,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． b a C B A a b C C -=A -AB =B