高等数学第一章习题
一、填空
1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=?，则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e
2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1
1
(
+x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设??
?≤<-≤≤=2
11
101
)(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。
5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+
∈,)4
,(π
ππ
6. 已知2
1)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。
7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x
f e 的定义域(,0]-∞
8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22
2k k π
πππ??
-+
???
?
9. x
x
sin lim
x ∞→＝ 0
(
10.()()()=+-+∞→17
6
1125632lim x x x x 176
5
3。
11.x x x
)2
1(lim -∞
→＝ 2
e -
12.当∞→x 时，
x
1
是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2
3-
14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。 15.若A x f x x =→)(lim 0
（A 为有限数），而)(lim 0
x g x x →不存在，
则)]()([lim 0
x g x f x x +→ 不存在 。
16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（ 不一定 ） 17.函数2
31
22
++-=
x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。
、
19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数连续的 必要 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要） 21.函数x
y 1
=
在区间[)2,1内的最小值是 不存在 22.已知??
???≥+-<+=0,230
,)1ln(2sin )(2x k x x x x x
x f 在x ＝0处连续，则k ＝ 2 。
23.设)(x f 处处连续，且3)2(=f ，则 )2sin (3sin lim
0x
x
f x x x →＝ 9
24.a x =是a
x a x y --=
的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点.
25.0=x 是x
y 1
cos
2
=的第 2 类间断点，且为 振荡 间断点. 26．设函数????
?
????<+=>+=--1 ,1b 1
,1,)1(1)(2
)1(1
2
x x x a x e x x f x ,当=a 0 ，=b －1 时，函数)(x f 在点x=1处连续.
27.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：
（1）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的 必要 条件。数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的 充分 条件。
（2）()f x 在0x 的某一去心邻域内有界是0
lim ()x x f x →存在的 必要 条件。0
lim ()x x f x →存在是()f x 在
0x 的某一去心邻域内有界的 充分 条件。
~
（3）()f x 在0x 的某一去心邻域内无界是0
lim ()x x f x →=∞存在的 必要 条件。0
lim ()x x f x →=∞存在是
()f x 在0x 的某一去心邻域内无界的 充分 条件。
二、选择
1.如果0
lim ()x x f x →+
与0
lim ()x x f x →-
存在，则（ C ）.
（A ）0
lim ()x x
f x →存在且00
lim ()()x x
f x f x →=
（B ）0
lim ()x x
f x →存在但不一定有00
lim ()()x x
f x f x →=
（C ）0
lim ()x x
f x →不一定存在
（D ）0
lim ()x x
f x →一定不存在
2.如果()∞=→x f x x 0
lim ，()∞=→x g x x 0
lim ，则必有（ D ）。
A 、()()[]∞=+→x g x f x x 0
lim B 、()()[]0lim 0
=-→x g x f x x
C 、()()
01
lim
=+→x g x f x x D 、()∞=→x kf x x 0lim （k 为非零常数）
、
3.当∞→x 时，arctgx 的极限（ D ）。
A 、2
π
=
B 、2
π
-
= C 、∞= D 、不存在，但有界
4.1
1lim
1
--→x x x （ D ）。
A 、1-=
B 、1=
C 、=0
D 、不存在
5.当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ C ）。 A 、x 1sin
B 、x
x sin C 、12--x
D 、x ln 6. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（ A ）。
A 、()+
→0lg x x B 、()1lg →x x C 、1
3
2+x x ()+∞→x D 、()-→01
x e x 7.无穷小量是（ C ）.
（A ）比0稍大一点的一个数 （B ）一个很小很小的数 】
（C ）以0为极限的一个变量 （D ）常数0
8. 如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么（ D ）
（A ）)()(x g x f +在0x 点处间断 （B ）)()(x g x f -在0x 点处间断 （C ）)()(x g x f +在0x 点处连续 （D ）)()(x g x f +在0x 点处可能连续。 9.已知0
()
lim
0x f x x
→=，且(0)1f =，那么（ A ） （A ）()f x 在0x =处不连续。 （B ）()f x 在0x =处连续。 （C ）0
lim ()x f x →不存在。 （D ）0
lim ()1x f x →=
10.设2()43x x
f x x x
+=
- ，则0lim ()x f x →为（ D ）
（A ）
12 (B)1
3 (C) 1
4
(D)不存在
~
11.设 ???
??=≠=0
,
00,|
|)(x x x x
x f 则（ C ）
（A ） )(x f 在0=x 的极限存在且连续； （B ）)(x f 在0=x 的极限存在但不连续；
(C))(x f 在0=x 的左、右极限存在但不相等； （D ）)(x f 在0=x 的左、右极限不存在。 12. 设232)(-+=x
x
x f ，则当0→x 时，有（ B ）
（A ）)(x f 与x 是等价无穷小； （B ）)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小； （C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比x 低阶的无穷小。
13.当0→x 时，下列四个无穷小量中 ，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（ D ） （A ） 2
x ； （B ） x cos 1-； （C ）112--x ；（D ） x x tan -。
14. 当0→x 时，x
ax
x cos 3arctan 与 是等价无穷小，则：a ＝（ C ） （A ） 1 ； （B ） 2； （C ） 3； （D ）1/2
￥
15下列运算正确的是（ C ）
（A ）01cos lim 01cos lim sin lim 1cos sin lim 0000=?=?=→→→→x x x x x x x x x
（B ）00lim lim sin tan lim 03030==-=-→→→x x x x
x
x x x x (C) )100sin (lim +∞→x x x =100lim sin lim ∞→∞→+x x x
x
=0 + 100=100
(D) 5
3
53lim 5sin 3tan lim ==→→x x x x x x ππ
三、基本计算题
（一．求极限） 1. (
)
x x x x x --+-∞
→22lim
1.解：－1
2. lim
x →+∞
《
2.解：1
3.2
529lim
3
8
--+→x x x
3. 解：
5
12
4.)
cos 1(cos 1lim
x x x x --→
4.解：
2
1 5.)2(sin lim 2
n n n n -++∞
→π
5. 解：π
6.x
x x x cos 1sin )11(lim
0--+→
6.解：1
7.3032sin sin 2lim
x
x
x x -→ ：
7.解： 3
1
8.)
1ln(sin tan lim
30x x
x x +-→
8.解：
2
1 9.x
x e e x
x x sin lim sin 0--→ 9.解：1
10.设0→x 时，1cos 1)1(3
12
--+x ax 与 是等价无穷小，求a 的值 10.解：2
3-=a 11
x →
11 解：－3
12.2
1
2
)(sec lim x x x →
、
12.解：e
13. n
n n n ??
?
??+∞→1lim
13.解1
-e
14. 1
21)1
2(
lim -→+x x
x x x 14解：e 15.()10lim 0,0,03x x x
x
x a b c a b c →??
++>>>
???
15.
16. x
x x x
)21(lim 1
+∞→
16.解 ：2
ln 1+e
17.11
1lim
21arctan
t
t t te
te t
π→+- ,
17. 解：1 18.)2222
(lim 284
n
n ∞
→
18.解：2
19.设 ),1,0)(≠>=a a a x f x
（求 )]()2()1(ln[1
lim 2
n f f f n n ∞→
19. 解a ln
20. ．??
?
???--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n 20. 解： 2
1
-
21.
lim n →∞
21.解： 1 22.)2211(
lim 222n
n n
n n n ++++++∞
→ >
22.解： 21
23.]1
[lim 0x
x x +→ 23.解：1
24.x
x x
x
x 1)
532(lim +++∞
→
24.解：5
25.?
???
? ??+++→||sin 12lim 41
0x x e e x x x 25.解： 1
（二．连续与间断）
26.处连续．
在之值，使补充定义 0)()0()0()2tan arcsin(
)(=≠=x x f f x x
x
x f $
26.解,6
)(lim 0
π
=
→x f x
处连续．
在，则补充定义0)(6
)0(==
∴x x f f π
27.指出函数1
2121
1+-=
x
x
y 的间断点，并判定其类型.
27.解0=x 是函数的第一类间断点（跳跃间断点）。
四、综合计算题
（一．连续与间断） 1．设21()lim
1n
n x
f x x →∞-=+，讨论()f x 在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。
1. 解????
???≥<<---=-<=10
1111110
)(x x x x x x f x =－1 是第一类跳跃间断点。
2．设???
????<--≥+=0,0,2
cos )(x x x a a x x x
x f ，试问：a 为何值时，使)(x f 在x ＝0处连续
~
2. 解：a ＝1。
3．已知11lim
21=-++→x
b
ax x x ，求a 与b 的值， 3.解：b ＝2，a ＝－3。
4．讨论函数x
x x x y sin )4(2
2--=的连续性，并指明间断点的种类。
4.解 当x ＝－2或0或2时函数无定义故，－2、0、2为间断点
x ＝－2为函数的第二类间断点。 x ＝0为函数的可去间断点。 x ＝2为函数的跳跃间断点。
5．设???
?
???≤<-+-=-<-=11,arccos 1,
1,1)(2x x a x b x x x f ，应怎样选取数a ，b ，才能使)(x f 在x ＝－1处连续 5.解 π-=a ，b ＝0。
。
6．讨论函数2
31
22+--=x x x y 的连续性，并指明间断点的种类
6.解 当x ＝1或2时函数无定义，故x ＝1和2为函数的间断点， x ＝1为函数的可去间断点。 x ＝2为函数的第二类间断点。 7．求极限 x
t x x t x t sin sin sin sin lim -→??
?
??， 记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型。
7. 解：x
x
e
x f sin )(=
当
2,1,0,±±==k k x π时，函数无定义，所以，是函数)(x f 的间断点，
0=x 是可去间断点；
2,1,±±==k k x π，是第二类间断点。
8．设 ?????<<-+≥=-0
1,)1ln(0,)(11
x x x e x f x ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型。 …
8. 解1=x 是第二类间断点；0=x 是跳跃间断点。
9．1,0)
1)(()(,==---=
x x x a x b
x x f b a ，有可去间断点有无穷间断点的值，使确定
9.解,0=a 1=b
（二．已知某些极限，求另外的极限或常数）
10．若22
2lim 22
x x ax b
x x →++=--， 求a ，b 的值 10.解4-=c ， 8,2-==b a 11．已知 4cos 1)(lim 0=-→x x f x ，求x
x x x f 1
0)(1lim ??
? ??
+→。
11. 解：2
e
12． 设 2)13(lim 2
=++-+∞
→bx ax x x ，试确定a 与b 的值。
12. 解： 12,9-==b a
]
13． ).(,1)
(lim ,2)(lim ,)(023x p x
x p x x x p x p x x 求且是多项式设==-→∞→ 13.解：x x x x p ++=2
32)(
（三．零点定理、介值定理）
14． 设)(x f 在]1,0[上连续。且1)(0< 15.设函数)(x f 在],[b a 上连续，.0,0),,(,>>∈g q b a d c 证明：在],[b a 上至少存在一点ξ，使得 ).()()()(ξf g q d gf c qf +=+ 15.解：利用最值、介值定理 16．设)(x f 在]3,1[上连续，且3)3()2()1(=++f f f ，则]3,1[∈?ξ，使得1)(=ξf 。 16.解：利用最值、介值定理 ) 六、提高题 （一．求极限） 1．当 1|| 2 n x x x x n ++++∞ ← 1. 解 原式＝x x x x x x x x x x n n n n n -=-+-=-++++-∞←∞←11 1)1)(1(lim 1)1()1)(1)(1)(1(lim 22242 2．设n x n ++++ ++++++ = 211 32112111 求n n x ∞→lim 2.解))1(1321211(lim 2)1(2lim lim 1 +++?+?=+=∞ →=∞ →∞ →∑n n k k x n n k n n n ＝2)11 1(lim 2=+-∞ →n n 3. x x x x x sin tan ) sin(tan )tan(sin lim 0--→ 3.解x x x x x x x x x x x x sin tan ) sin(tan )sin(sin )sin(sin )tan(sin lim sin tan )sin(tan )tan(sin lim 00--+-=--→→ x x x x x x x x x x sin tan )sin(tan )sin(sin lim sin tan )sin(sin )tan(sin lim 00--+--=→→0tan sin lim 212 12tan sin sin 2tan sin cos 2lim 21)(sin 21lim 3030330=-+=-++=→→→x x x x x x x x x x x x x （二．零点定理、介值定理） 4．设)(x f 在[0,n ](n 为自然数，n ≥2)上连续，)()0(n f f =，证明：存在],0[1,n ∈+ξξ使)1()(+=ξξf f 。 4.解 设)()1()(x f x f x F -+=，]1,0[-∈n x 且连续， 则：).1()()1(,,)2()3()2(,)1()2()1(,)0()1()0(--=--=-=-=n f n f n F f f F f f F f f F 将以上各式相加得 0)0()()(1 =-=∑-=f n f i F n i ， 另一方面，因为)(x f 连续，所以有，1,,1,0)(-=≤≤n i M i F m M i F n m M n i F m n n i n i ≤≤≤≤∑∑-=-=1 01 )(1,)(由介值定理知 ],0[]1,0[n n ?-∈?ξ 使 0)(1)(1 ==∑-=n i i F n F ξ 即)1()(+=ξξf f 5．证明：奇次方程0122211 20=++++++n n n n a x a x a x a 至少有一个实根00≠a 。 5. 证 不妨设 00>a ，令122211 20)(++++++=n n n n a x a x a x a x f 则)()(121 222101 2+++++++ =n n n n n x a x a x a a x x f ，-∞=+∞=-∞→+∞→)(lim )(lim x f x f x x ， 0)(,0)(2211>? 012221120=++++++n n n n a x a x a x a 至少有一个实根。 6． 设)(x f 在),(b a 内为非负连续函数，b x x x a n <<<<< 21，证明：在),(b a 内存在点ξ，使得 n n x f x f x f f )()()()(21 =ξ 6. 证设)(ln )(x f x F =，)(x F 在],[1n x x 上连续且有最小值m 和最大值M ，即有 M x F m M x F m M x F m n ≤≤≤≤≤≤)(,,)(,)(21 M n x F x F x F m n ≤+++≤ ) ()()(21 由介值定 理知，存在),(],[21b a x x ?∈ξ，使得n x F x F x F F n ) ()()()(21+++= ξ，即 n n x f x f x f f )()()(ln )](ln[21 =ξ，从而n n x f x f x f f )()()()(21 =ξ成立。,
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