泰勒公式的应用

摘要

泰勒公式是微积分中一个重点和难点内容，它能将某些复杂函数近似地表示成简单的多项式函数，体现了微积分“逼近法”的思想精髓，成为解决数学问题的有力工具.基于此，本论文探讨了泰勒公式在诸多数学问题中的应用.为此，首先阐述了泰勒公式的基本思想理论；其次，重点总结介绍了泰勒公式在求解极限、证明不等式与等式、计算行列式，研究函数性态和近似计算与误差估计等方面的应用；同时,每种应用下都给予了相应的典型例题加以具体说明.通过本文的探讨介绍，充分显示出泰勒公式在解题中所发挥出的重要作用.

关键词：泰勒公式，高阶导数，行列式，误差估计

ABSTRACT

Taylor formula is an important and difficult content in the Calculus,it can take some complex functions approximately expressed as the simple polynomial functions, and it reflects the essence of "approximation method" of the calculus, so it is a powerful tool to solve many mathematical problems. Based on this, this paper discussed the application of Taylor formula in solving many mathematical problems. For this reason, firstly , described the basic idea and theory of Taylor formula; Secondly, summaried and described the application of Taylor formula in solving problems like limit calculation, proving the inequalities and the equation s, studying the state of function, approximate calculation and error estimation and so on; At the same time, the corresponding typical examples are given under each application for the specific descriptions. Through the introduction of this paper, demonstrated fully the significant role of Taylor formula in solving a lot of mathematical problems.

Key words：Taylor formula，Higher derivative，Determinant，Error estimation

目录

摘要 .................................................................................................................................................. I ABSTRACT ............................................................................................................................................ I I 引言 .. (1)

1 泰勒公式 (2)

1.1 泰勒公式的引入 (2)

1.2 常见函数的泰勒展开式 (4)

2 泰勒公式的应用 (6)

2.1 证明不等式与等式 (6)

2.2 求解极限 (9)

2.3 计算有理函数的不定积分 (11)

2.4 判别级数敛散性 (12)

2.5 研究函数性态 (15)

2.5.1 判断函数的极值 (15)

2.5.2 求函数的拐点 (17)

2.5.3 判别函数的凹凸性 (19)

2.6 求高阶导数 (20)

2.7 计算行列式 (21)

2.8 证明中值定理 (23)

2.9 近似计算与误差估计 (27)

3 结束语 (31)

参考文献 (32)

致谢 (33)

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引言

多项式函数是各类函数中最简单的一种，对于一些比较复杂的函数，为了便于数值计算和理论分析，可以用多项式逼近函数，为了更好更方便地研究一些函数，则需要寻求更广泛，更高精度的近似公式来表示函数，这就引入了泰勒公式.泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓.泰勒公式在微分学中占有很重要的位置，尤其在解决一些计算和证明问题中有十分重要的作用.泰勒公式适用于函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题，它的一般应用多见于近似计算.而在诸多数学分析教材中，对泰勒公式的介绍仅局限在如何进行函数的泰勒展开，并未对其展开深入的阐述说明.

实际上，泰勒公式除应用于近似计算外，还在其他方面有着广泛且重要的应用.如用泰勒公式来求函数极限，用泰勒公式证明不等式，讨论级数收敛等等.本文详细介绍几种泰勒公式的应用，以典型例题进行具体说明，以期举一反三，拓宽思路，从而加深对泰勒公式的认识和理解.

泰勒公式的应用

1

泰勒公式

1.1 泰勒公式的引入 在初等函数中，最简单的函数就是多项式，这类函数对于数值计算和理论分析都很方便.如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求，那么就可以用多项式表示出此函数.若函数()p x 是n 次多项式

2012()n n p x a a x a x a x =++++

将它改写为

01()()()n n p x b b x a b x a =+-++-

则 ()()!

k k p a b k =，0k =，1，2， ，n (0)()()p a p a =

于是 ()2()()()()()()()()1!2!!

n n p a p a p a p x p a x a x a x a n '''=+-+-++- 对任意一个函数f (x )，只要函数f (x )在a 点存在n 阶导数，就可以写出一个相应的多项式

()2()()()()()()()()1!2!!

n n n f a f a f a T x f a x a x a x a n '''=+-+-++- ()n T x 称为函数f (x )在a 点的n 次泰勒多项式，那么n 次泰勒多项式()n T x 与函数f (x )在a 点的邻域上有何种联系呢？下面的定理回答了这个问题.

定理1 若函数f (x )在a 点存在n 阶导数()()n f a ，则

()2()()()()()()()()()1!2!!

n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R x n '''=+-+-++-+ （1-1） 其中

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()n R x 0(())n x a =- ()x a →

则（1-1）式称为f (x )在a 点的泰勒公式，其中()n R x 为泰勒公式的余项.

综上，得出泰勒公式的一般形式是

f (x )=f (0x )+f '(0x )(x -0x )+0()2!f x ''20()x x -+…+()0()!

n f x n 0()n x x -+()n R x （1-2） 其中()n R x 为泰勒公式的余项，有以下两种类型:

(i) 拉格朗日余项 (1)()(1)!

n f n ξ++10()n x x +-（0x <ξ

根据所带余项类型的不同，可以将泰勒公式分为以下两种类型：

(a ) 带有佩亚诺余项的泰勒公式

函数f (x )在[,]a b 上具有n 阶导数，则对任意[,]x a b ∈,有

()f x =()()()f a f a x a '+-+(2)()2!f a ()2x a -+…+()()!

n f a n ()0(())n n x a x a -+- 即 00

()lim 0()n n

x x R x x x →=-，()0(())n n R x x a =-. (b ) 带有拉格朗日余项的泰勒公式

函数f (x )在含有0x 的某个开区间（,a b ）内具有直到1n +阶导数，则对任意 (,)x a b ∈，有

000()()()()f x f x f x x x =+-+…+()0()!

n f x n 0()()n n x x R x -+ （1-3） 其中 (1)00(())()!

n n f x x x R x n θ++-=10()n x x +- (01)θ<< 形如 ()n R x =(1)00(())!

n f x x x n θ++-10()n x x +-的余项称为拉格朗日型余项. 在式（1-3）中，令 0x =0，得到f (x )在0x =点的泰勒公式

泰勒公式的应用

()(0)()()f x f f x x '=++…+()()!

n f x n ()()n n x R x + 上式称为麦克劳林公式.

1.2 常见函数的泰勒展开式

根据函数f (x )在任一点0x 点的泰勒公式

()20000000()()()()()()()()1!2!!

n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+ 可得到几个常见函数在任一点0x 点处的泰勒公式，如下：

0000

2000()()()1!2!!x x x x x n e e e e e x x x x x x n =+-+-++-+ ； 02000000sin()cos sin 2sin sin ()()()1!2!!

n k x x x x x x x x x x x n π+-=+-+-++-+ ； 0000cos()sin 2cos cos ()()1!!

n k x x x x x x x x n π+-=+-+?+-+?； 1

2

200000(1)(1)(1)(1)(1)()()1!2!x x x x x x x x ααααααα--+-++=++-+-+

00(1)(2)(1)(1)()!n

n n x x x n ααααα----+++-+ ；

212

00000(1)(1)ln(1)ln(1)()()1!2!x x x x x x x x --+-++=++-+-+

100(1)!(1)(1)()!

n

n n n x x x n ---+?+--+?； 23210000000(1)11()(1)()(1)()111!

n n x x x x x x x x x x x -----=+-+--+?+--+?--； 令00x =，就得到了上述函数在0点处的泰勒公式，也就是上述的麦克劳林公式.

212!x

x e x =+++…+!n

x n +…； 35sin 3!5!x x x x =-+-…+21

1(1)(21)!

n n x n -+-+-…；

榆林学院本科毕业论文 24

cos 12!4!x x x =-+-…+2(1)(2)!

n n x n -+…； (1)

(1)12!x x αααα-+=++2x +(1)(2)

3!ααα--3x +…；

23

ln(1)23x x x x +=-+-…+1(1)n n x n

--+…； 1

11x x =++-2x +…+n x +….

泰勒公式的应用

2 泰勒公式的应用

2.1 证明不等式与等式

利用泰勒公式证明不等式或等式，主要有下面两步：

(i ) 构造一个函数()f x ，选一个展开点0x ，0()f x x 然后写出在处的带有拉格朗

日余项的泰勒公式，接下来需要选择在哪一点处把函数展开为泰勒公式.

函数在一个区间的性质常常可由该区间中的一些特殊点来反映，如：端点、分点（中点，三等分点，四等分点等）、零点、驻点、极值点和最值点，拐点.此外，区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点.

运用泰勒公式时，就是将以上这些点中导数信息相对较充分的点选作展开中心.如果函数在区间中的任意点处的导数信息较为充分，那么这个任意点也可作为展开中心.

(ii ) 根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或三角形不等式等对(,)a b ξ∈进行放缩.如设函数0()y f x x =在点附近二阶可导，由泰勒公式得出以下结论 （a ）若()0f x ''>，000()()()()f x f x f x x x '≥+-则有；

（b ）若()0f x ''<，000()()()()f x f x f x x x '≤+-则有，等号在0x x =时成立. 当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式替代，往往可使证明方便简捷一些.

例1 设(0,1),(1)x x ∈+试证明22ln (1)x x +<.

证明 设辅助函数

()(1)f x x =+2ln (1)x +-2x ?(0)0f =

2()ln (1)2ln(1)2f x x x x '=+++-?(0)0f '=

2()[ln(1)]1f x x x x

''=+-+?(0)0f ''= 2

2ln(1)()0(1)x f x x +'''=-<+ (0,1)x ∈

榆林学院本科毕业论文

则()0f x =的二阶泰勒公式（带有拉格朗日余项）为 (0)()(0)(0)2!f f x f f x '''=++

2()3!f x ξ'''+3()3!f x ξ'''=30x < 即 ()0f x < 01x <<.

如果函数()f x 的二阶及二阶以上导数存在且有界，利用泰勒公式来证明这类不等式的一般思路是：

（A ）写出比最高阶导数低一阶的泰勒展式；

（B ）恰当选择等式两边的0x x 与；

（C ）根据最高阶导数的大小对展开式进行放缩.

例2 设()f x 在[,]a b 上有二阶导数，且()()0,f a f b ''==试证：在(,)a b 内至少存在一点24()()

,()()f b f a f b a ηη-''≥-使.

证明 由于()f x 在[,]a b 上具有二阶导数，故()f x 在0x 处一阶泰勒公式成立

000()()()()()2!

f f x f x f x x x ξ'''=+-+20()x x - （2-1） 其中ξ在0x x 与之间,0x [,]a b ∈

在（2-1）中,令 0x =a ，2

a b x +=，则 11()()()222!a b a b f f a f a a f ξ++'''=+-+22

a b a +- 又 ()0f a '=

故

11()()22!a b f f a f ξ+''=+2

2b a - 12a b a ξ+≤≤ （2-2） 在（2-2）中,令

0x b =，2

a b x +=

又 ()0f b '=

故

泰勒公式的应用 21()()22!a b f f a f ξ+''=+22

b a - 22a b b ξ+≤≤ （2-3） （2-3）减（2-1）,并取绝对值，得

1()()8

f b f a -=221()(()())b a f f ξξ''''-+ 取

12()max{(),()}f f f ηξξ''''''= a b η≤≤

则 24()()

()()f b f a f b a η-''≥-.

例3 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 具有二阶导数，且存在相等的最大值()()f a g a =，()()f b g b =，证明：存在(,)a b ξ∈,()()f g ξξ''''=使得.

分析 本题考查的知识点是连续函数介值定理与罗尔定理的应用，在参考答案中运用了两次罗尔定理来证明，此题也可用泰勒公式证明.

令()()()x f x g x ?=-，就成为证明存在1,212(,),a b ξξ?ξ?ξ''''∈使得()与()异号，从而证明存在(,),()0a b ξ?ξ''∈=使得.

证明 令()()()x f x g x ?=-，由已知条件，可得

()0a ?=，()0b ?=

设 12(,),(,)x a b x a b ∈∈

设 12x x <

使得

12[,][,]

()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x === 那么

111()()()0x f x g x ?=->；222()()()0x f x g x ?=-<

根据连续函数介值定理，存在0(,)x a b ∈，使得0()0x ?=.

将()x ?在点0x 处展开为泰勒公式，则

榆林学院本科毕业论文 0001()()()()2

a x x a x ???'=+-+

1()?ξ''20()0a x -= 10(,)a x ξ∈ 00021()()()()()2b x x b x ????ξ'''=+-+20()0b x -= 20(,)x b ξ∈ 注意到0()x ?，由以上两式可得

1020()()()()x a x b ?ξ?ξ''''-=-

因

00x a ->，00x b -<

故

12()()?ξ?ξ''''与异号

设

1()0?ξ''>，2()0?ξ''<

则存在3412,(,),x x ξξ∈使得

31()()x ??ξ''>，42()()x ??ξ''>

说明12()[,]x ?ξξ'在上必取得最大值，从而存在

12[,](,)a b ξξξ∈?

使得 ()0?ξ''=.

2.2 求解极限

目前为止，在求解极限问题中，除个别函数极限如0sin lim 1x x x

→=用特殊方法外，很大一类函数极限是利用初等函数的性质（连续性，极限性质）及极限运算法则求出的.例如,216(5)arctan 34lim 2x x x x e e e π

π→+==，这类极限都是可以直接确定的. 此外，还有一些“不定型”，即以下几种形式：“0/0”、“/∞∞”、“ 0∞?”、“∞-∞”、“ 0∞?”、“ 0?∞”，“ 1?∞”.其中“0/0”、“/∞∞”是基本的两类，其它类型可化为这两类.

泰勒公式的应用

确定待定型的极限，有两种基本方法

(i )用洛比达法则；

(ii )将原式中某些（较复杂的）函数换作它的泰勒展式（带佩亚诺余项），经过化简后求极限.

现在来举例说明利用泰勒公式求上述不定型的极限的技巧，以体现数学以简驭繁的精神.

例4 求极限2

6

0tan arctan lim x x x x x →-. 解 由2600

lim(tan arctan )lim 0x x x x x x →→-==知这是0/0型，若用洛比达法则求极限，计算会非常繁琐，现利用泰勒公式展开求其极限.

260tan arctan lim x x x x x →-=3355662602[0()][0()]31535lim x x x x x x x x x x x

→+++-++- 666020()29lim 9

x x x x →+==. 在计算过程中应注意，无穷小的计算和泰勒展开式的项数，本题极限分子中的tan x ，arctan x 只要展开到5x 就够了，因为分母是6x ，这就要求分子的裴亚诺余项是比6x 的无穷小.

由上述例子能够发现,可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题，因此，满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:

(a)用洛比达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁琐.

(b)分子或分母中有无穷小的差，且此差不易转化为等价无穷小替代形式. (c)所遇到的函数容易展开为泰勒公式.

当确定了要用泰勒公式求极限时，关键是确定展开的阶数.如果分母（或分子）是n 阶，就将分子或分母展开为n 阶麦克劳林公式.如果分子分母都需要展开，可分别展开到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数.

例5 计算0tan(tan )sin(sin )lim tan sin x x x x x

→--.

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解 此题是0/0型，但用洛比达法则很难求出.不难验证出分子的两项

tan(tan )sin(sin )(0,)x x δ和都在0内三阶可微，因为 331sin 0()3!x x x x =-+，331tan 0()3!

x x x x =++ 3333111tan sin 0()0()3!3!3

x x x x x x -=++=+ 从而可见分母tan sin x x -是3的三阶无穷小，故写出的分子上各函数三阶泰勒展开式关于3x 较高阶无穷小可省略去,又 331sin(sin )sin 0()3!x x x x x =-+=-13!313!x -3

33330()0()3!3x x x x x x -+=-+ 33

332tan(tan )tan 0()0()3!3

x x x x x x x =++=++ 故

33tan(tan )sin(sin )0()x x x x -=+

所以，原式结果为3.

2.3 计算有理函数的不定积分

泰勒公式对0()()

n m P x dx x x -?（其中()n P x 是关于x 的n 次多项式）类型的有理函数不定积分的计算很简便，此时将()n P x 展成在0x 点的泰勒公式级数共有1n +项. 0000()()()()()1!2!n n n n p x p x p x p x x x '''=+-+20()x x -+…+()0()!

n n p x n 0()n x x - 则 000120000()()()()()()()2!()n n n n m m m m p x p x p x p x x x x x x x x x --'''=+++----…+()00()!()

n n m n p x n x x -- 此时，等式右端的每一项积分都很容易求得.

例6 计算4324

6541(2)x x x dx x -++-?.

泰勒公式的应用

解 设432()6541,2f x x x x x =-++=将其在点展开，有

234

148(2)236(2)258(2)144(2)()731!2!3!4!

x x x x f x ----=++++ 故 4432()73148118436(2)(2)(2)(2)2

f x dx dx dx dx dx dx x x x x x =++++-----?????? =32737411843ln 263(2)(2)2

x x c x x x -

--+-++---. 2.4 判别级数敛散性

关于级数收敛的判别方法有很多，对于正项级数的收敛判别法常见的有比较判别法，柯西判别法，达朗贝尔判别法等.而当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便于利用判敛法则.

下面利用泰勒公式把一些级数1n n u ∞

=∑的通项n u 近似表示成幂函数1(1)n

n n αβ-和的线性组合，误差为高阶无穷小，根据级数111(1)n

n n n n αβ∞

∞==-∑∑和的收敛情况比较容易地判别级数1

n n u ∞

=∑的敛散性，下面引用级数收敛得一些[]1

性质. 性质1 正项级数11n n α∞=∑

，1α≤当时，级数发散；当1α>时，级数收敛. 性质2 交错级数1(1)n

n n

α∞=-∑，当0α≤时，级数发散；当01α<≤时，级数条件收敛；当1α>时，级数绝对收敛.

性质3 若级数1n n u ∞=∑和级数1n n v ∞=∑都收敛，则级数1()(,)n n n ku lv k l ∞

=+∑为常数收敛.

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性质4 级数1n n u ∞=∑和级数1

n n v ∞

=∑都是正项级数，且

lim (0,0),n n n n

u l u l v →∞=≠<<+∞则级数1n n u ∞=∑和级数1n n v ∞=∑同敛散. 性质5 若级数级数1n n u ∞=∑和级数1n n v ∞=∑都绝对收敛，则级数1

()n n n u v ∞

=±∑绝对收

敛.

性质6 若级数1n n u ∞=∑绝对收敛，级数1n n v ∞=∑条件收敛，则级数1()n n n u v ∞

=±∑条件

收敛.

性质7 若级数1n n u ∞=∑绝对收敛，则对1n n u ∞=∑进行任意重排，得到的级数1n n v ∞

=∑也

绝对收敛.

例7 设()0f x x =在的某一邻域内具有二阶连续导数，且0()lim 0x f x x

→=，证明级数11()n f n ∞

=∑绝对收敛. 分析 由题设条件“()0f x x =在的某一邻域内具有二阶连续导数”这一信息可知能够使用泰勒公式，又根据条件0()lim 0x f x x

→=易推得(0)(0)0f f '==，这使得()0f x x =在点的展开式更加简单，便于利用比较判别法判断敛散性.

证明 由 0()lim 0x f x x

→=，并且()0f x x =在的某一邻域内具有二阶连续导数，可得

(0)0f =，(0)0f '=

将()0f x x =在的邻域内展成一阶泰勒公式

22

()()()(0)(0)2!2!

f x f x f x f f x ξξ'''''=++= (0)x ξ<< 根据题设条件，()f x ''在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续,故存在M ，且 0M >

泰勒公式的应用

使得

()f x M ''≤

于是 221()()22

M f x f x x ξ''=

≤ 令 1x n =

则 211()2M f n n

≤? 因为211n n ∞

=∑收敛，所以11()n f n ∞=∑绝对收敛. 例8

讨论级数1n ∞=∑的敛散性. 分析 直接由通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而无法适当地选择判敛方法，但注意到11ln

ln(1)n n n +=+，若将其泰勒展开为1n 的幂的

. 解 因为

2341111111ln ln(1)234n n n n n n n n +=+=-+-+< 因此

故

0n u => 故该级数是正项级数.

因为

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)

=

>

=

3/2

1

2n

=-

所以

3/23/2

11

)

22

n

u

n n

=<-=

由于级数

3/2

1

1

2

n

n

∞

=

∑收敛，故由正项级数比较判别法知原级数收敛.

本题利用泰勒公式后还结合运用了放缩等技巧，这是应用比较判别法时经常会用到的技巧.

2.5 研究函数性态

2.5.1 判断函数的极值

应用带有佩亚诺型余项的泰勒公式，将函数极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可得到函数极值的另外一种判别法.

定理2 若()

f x在点

x及邻域

()

U x内具有n阶连续导数，且

(1)()

0000

()()()0,()0

n n

f x f x f x f x

-

'''

====≠

（i）若n为奇数，则

x不是极值点；

（ii）若n为偶数，则当()

()0

n

f x<时，

()

f x为极大值；

当()

()0

n

f x>时，

()

f x为极小值.

证明由已知条件及泰勒公式有

()

()

()()

!

n

f x

f x f x

n

=+

00

()0[()]

n n

x x x x

-+-

则

泰勒公式的应用

()00()()()!

n f x f x f x n -=00()0[()]n n x x x x -+- （2-4） 因()0()0n f x ≠，则存在点0x 的某一邻域0()U x ，使得当0()x U x ∈时，式（2-4）等号右端由第一项决定符号.

当n 为奇数，在点0x 的某一邻域0()U x 内，当00()0n x x x x <-<时，；

当n 为偶数，且当()0()0n f x <时，有0()()0f x f x -<.即对一切0()x U x ∈，有0()()f x f x <，故0()f x 为极大值.

同理可证()0()0n f x >时，0()f x 为极小值.当0x x >时，0()0,n x x ->即在点0x 的左右侧，式（2-4）右端变号，因此0x 不是极值点.

例9 已知函数()f x 在x a =邻域内二阶可导，()0f x ''≠且当x a =时取得极小值()0f a =，问2()3()()1g x x a f x =--+在x a =能否取得极值，如有极值，求出极值.

解 ()f x 在x a =处的泰勒公式 2

2()()()()()()0(())2!

f a x a f x f a f a x a x a ''-'=+-+++- 由于()f x 在x a =时取得极小值()0f a =，因此

()0f a '=，()0f a ''>.

此时 2

2()()()0(())2!

f a x a f x x a ''-=++- ()

g x 可以表示为

4

43()()()10(())22!

f a x a

g x x a ''-=-?++- 因为

()1g a =