专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷）
一、单选题
1．（2020·江苏如东 高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）
A ．
6
B ．
102
C ．
155
D ．
105
【答案】D 【解析】
以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),
1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110
cos ,558
BC AC ∴<>=
=?． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10
故选：D ．
2．（2020·河北新华 石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( )
A．1
6
B．
1
4
C．
1
6
-D．
1
4
-
【答案】A
【解析】
如图，以D为坐标原点，分别以1
,,
DA DC DD所在直线为,,
x y z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()(
)()()
1
100,012,121,002
M N O D
，，，，，，，，，∴()()
1
1,1,2,1,2,1
MN OD
=-=--．则
1
1
1
1
cos,
6
66
MN OD
MN OD
MN OD
?
===
?．∴异面直线
MN与
1
OD所成角的余弦值为
1
6
,故选A．
3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）
A
6
B
26
C
15
D
10
【答案】D
【解析】
以D点为坐标原点，以DA、DC、1
DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，
0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）
∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴110cos ,558
BC AC
??=
=
?．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为10
5 4．（2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，
2BC BD ==
，AB 与平面ACD 所成角的正切值为
1
2
，则点B 到平面ACD 的距离为（ ） A ．
3 B ．
23
3
C ．
5 D ．
25
【答案】D 【解析】
以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设BA
t ，0t >，()0,0,0B ，)
2,0,0C ，()
2,0D ，0,0,A t .
0,0,AB t ，2,0,CA
t ，2,2,0CD
.
设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，
则20220n CA tz n CD x y ??=-+=???=-=??，令1x =，得1y =，2z =
故21,1,n t ??
= ? ???
.
因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为1
2
， 所以直线AB 与平面ACD 5.
即
2
25
5
2
11
AB n
AB n
t
t
?
=
=
?
?++
，解得2
t=.
所以平面ACD的法向量
2
1,1,
2
n
??
= ?
?
??
，
故B到平面ACD的距离为
225
5
1
11
2
AB n
d
n
?
===
++
.
故选：D
5．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111
ABCD A B C D
-中，点M为棱
1
CC 的中点，则直线1B M与平面11
A D M所成角的正弦值是（）
A．
21
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
【答案】B
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
111
1
(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)
2
A D M B
11
(1,0,0) =-
A D，
1
1 (0,1,)
2 =
-
D M，
1
1
(1,0,)
2
=
MB
设平面11
A D M的法向量为(,,)
m x y z
=
则11
1
=0
1
2
x
A D m
y z
D M m
-=
?
??
??
?
??
-=
?=
???
?
令1
y=可得2
z=，所以(0,1,2)
=
m
设直线1B M与平面11
A D M所成角为θ，
1
1
2
sin
5
5
5
2
θ
?
===
?
?
m MB
m MB
故选：B
6．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222
A B C D A B C D
-中，
121111
22
A A A
B B C
==，A，B，C 分别是12
A A，
12
B B，
12
C C的中点，记直线
2
D C与
1
AD所成的角为α，平面
22
A BCD与平面
11
ABC D所成二面角为β，则（）
A．cos cos
αβ
=B．sin sin
αβ
=
C．cos cos t
αβ
>D．sin sin
αβ
<
【答案】B
【解析】
连接111
,
AB B D,如图，
在长方体内知12//AB D C ,
所以11B AD ∠为异面直线2D C 与1AD 所成的角为α， 易知11AB D 为等边三角形， 所以60α?=，
因为22A D ⊥平面22ABB A ,2AB ?平面22ABB A ， 所以22A D ⊥2AB 又22AB A B ⊥，22
22A D A B A =
所以2AB ⊥平面22A BCD ， 同理可得1B C ⊥平面11ABC D ，
则2AB →，1B C →
可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，
又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB ∠=? 故2AB →与1
B C →
的夹角为60?， 所以60β?
=或120β?=，
即sin sin αβ=， 故选：B
7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线
1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为
3θ，则（ ）
A ．123θθθ<<
B ．213θθθ<<
C ．321θθθ<<
D ．231θθθ<<
【答案】D 【解析】
设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，D 是棱BC 的中点， 以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，
AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则()10,0,2A ，(
)
1
3,1,2B ，()0,2,0C ，33,022D ??
? ???
，()0,0,0A ，
()0,2,0AC =，131
,22B D ??=- ? ???
，(
)
113,1,0=A B ，
直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，
111cos 25
B D A
C B
D AC
θ?∴=
=
?直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，
121sin 5
BD n BD n
θ?∴=
=
?
2cos θ∴== 设平面11A B D 的法向量(),,m a b c =，
则11130
312022m A
B a b m B D a b c ??=+=???=-
+-=??
，取a =33,3,2m ?
?=-- ??，
二面角111C A B D --的平面角为3θ，
33
2cos 57m n m n
θ?∴=
=
=?
231cos cos cos θθθ>>， ∴231θθθ<<
故选：D
8．（2020·浙江衢州 高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为
3θ，则（ ）
A ．2123,θθθθ<<
B ．2123,θθθθ><
C ．2123,θθθθ<>
D ．2123,θθθθ>>
【答案】A 【解析】
由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，
以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，
AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则()10,0,2A ，(
)
1
3,1,2B ，()0,2,0C ，33,02D ?
????
，()0,0,0A ，
()0,2,0AC →
=，131
,222B D →
??=-- ? ???
，)
113,1,0A B →=
，
直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ??
∈ ???
，
111cos 25
B D AC
B D AC
θ→→
→
→
?∴=
=
?
直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ??
∈????
， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n →
=，
121sin 5
B D n
B D n
θ→→
→
→
?∴=
=
?， 2
22cos 155θ??
∴=-= ?
??
设平面11A B D 的法向量(),,m a b c →
=，
则1113031
2022m A B a
b m B D a b
c ??
=+=???=-+-=??
， 取a =
33,2m →
?=--
??
， 二面角111C A B D --的平面角为3
θ， 由图可知，3θ
为锐角，即30,
2πθ??
∈ ??
?
， 33
cos m n
m n
θ→→
→
→
?∴=
=
=? 231cos cos cos θθθ>>，
由于cos y θ=在区间()0,π上单调递减，
∴231θθθ<<，则2123,θθθθ<<.
故选：A.
9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2
γ
βα≤≤
B ．2
γ
βα≤
≤ C ．2
γ
αβ≤≤
D ．2
γ
αβ≤
≤
【答案】A 【解析】
因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥， 所以可将其放在矩形中进行研究，
如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：
因为::1:3:1AC AB BD =，
所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，
则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，
,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CB x x ，
故CD 与AB 所成的角α的余弦值22311
cos α
11
113CD AB CD AB
x x
， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ， 所以二面角C AB D --的平面角为γ
90，
γ452
，γ2cos
2， 所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β， 故110
cos β
11CD CB CD CB ， 110311211
2
， 所以2
γ
βα≤≤，
故选：A.
10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为2
3
，则该几何体的体积为（ ）
A ．16+8π
B ．32+16π
C ．32+8π
D ．16+16π
【答案】A 【解析】
设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ?=. 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=?，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，
以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则
()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，
所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-， 由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为
23
， 所以
2
122
1
23
88BD AB h BD AB h h ?=
=
?+?+， 即22
2
2,16,483
h h h h ===+. 所以几何体的体积为211
2442416822
ππ???+???=+. 故选：A
二、多选题
11．（2019·江苏徐州 高二期末）下列命题中正确的是（ ）
A ．,,,A
B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{}
,,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3
n =-，则直线//l α
D ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦5
【答案】ABD 【解析】
对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则
,,,A B M N 共面，故A 对；
对于B ，已知{}
,,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{}
,,a b m 也是空间的基底，故B 对；
对于C ，因为2
1(2)+00+3=03
e n ?=?-??，则e n ⊥，若l α?，则//l α，但选项中没有条件l α?，有可能会出现l α?，故C 错； 对于D ，∵cos ,e n e n e n =51022
==
?l 与平面α5
，故D 对； 故选：ABD ．
12．（2020·山东平邑 高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A ．()
()
2
2
12AA AB AD
AC ++=
B ．()
10AC AB AD ?-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6
【答案】AB 【解析】
以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则111
11cos602
AA AB AA AD AD AB ?=?=?=???=
(
)
2222
1111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++???
1
1113262
=+++??=
而()
()
(
)
2
2
22
2222AC
AB AD AB AD AB AD =+=++?
121122362?
?=++?=?= ??
?， 所以A 正确.
()()()
11AC AB AD AA AB AD AB AD ?-?=++-
22
11AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =?-?+-?+?- =0,所以B 正确.
向量11B C A D
=, 显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=?.
所以向量1A D 与1AA 的夹角是120? ,向量1B C 与1AA 的夹角是120?,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()2
1
1||=2AD AA A B B D =
+-，()2
||=
3AC AB AD =
+
()()1
1
1AD AA AB BD AC AB AD ?=+-=+?
所以111
6
cos ===6
||||23BD AC BD AC BD AC ???，
，所以D 不正确.
故选：AB
13．（2020·福建厦门 高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、
1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．1
B G B
C ⊥ B ．平面AEF 平面111AA
D D AD =
C ．1//A H 面AEF
D ．二面角
E A
F C --的大小为
4
π
【答案】BC 【解析】
由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；
连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ??平面1AD EF ， 则平面AEF
平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；
由题知，可设正方体的棱长为2，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：
()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，
设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，
则00
n AF n EF ??=?
?=?，即20
x y x z -+=??
-=?，令1y =，得2,2x z ==，
得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，
所以10A H n ?=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量， 则111
2
cos ,3
AA n AA n AA n
?<>=
==
?. 得知二面角E AF C --的大小不是4
π
，所以D 不正确. 故选：BC.
14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为1
2 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为
32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134
【答案】BC 【解析】
如图，取11A C 中点E ，AC 中点F ，并连接EF ， 则1EB ，1EC ，EF 三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 设2AB =； 则123
AA =； 1(0A ∴，1-，0)，1(0C ，
1，0)，(0A ，1-，23)，(0C ，1，23)；1(3B ，0，0)， ∴()
10,2,23AC =-．
底面ABC 的其中一个法向量为：()
0,0,23m =，
1AC ∴与底面ABC 的成角的正弦值为111
123
cos ,423
m AC m AC m AC -<>=
=
=??，； A ∴错B 对．
11A B 的中点K 的坐标为3(，1
2-，0)；
∴侧面11AA B B 的其中一个法向量为：133,,02KC ??
=- ? ???；
1AC ∴与侧面11AA B B 的成角的正弦值为：111111
3
cos 4,43
AC KC AC KC AC KC <>=
=
=??，； 故C 对D 错； 故选：BC ．
三、单空题
15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量
1
0,,2
2
n
??
=--
?
??
，
Aα
∈，Pα
?，且
31
,,2
22
PA
??
=- ?
?
?
，则直线PA与平面α所成的角为______．
【答案】
π
3
【解析】
设直线PA与平面α所成的角为θ，
则s
1
02
3
4
2
131
022
444
in cos
n PA
n PA
θθ
===
--
?
=
?
++++
，
∴直线PA与平面α所成的角为
π
3
．
故答案为：
π
3
．
16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C AB D
--的余弦值为
3
，M N
，分别是AC BC
，的中点，则EM AN
，所成角的余弦值等于．
【答案】
1
6
【解析】
设AB=2,作CO⊥面ABDE
OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C?AB?D的平面角，
CH =OH =CH cos ∠CHO =1，
结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，
3,11
(),22
1
2AN EM CH AN AC AB EM AC AE AN
EM ====+=-∴?=
故EM ,AN 1
16
=
。
17．（2019·安徽埇桥 北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，
(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.
【答案】5
【解析】
两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →
=
-， 则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，
2cos
a b
a b
θ→→
→→
=
=
=
=
这两个平面所成的锐二面角的余弦值为
5
. 故答案为：
5
. 四、双空题
18．（2020·浙江宁波 高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，
AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =______，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______.
【答案】
()
1
22
a b c +-. 16.
【解析】
画出对应的正四面体,设棱长均为1则
(1) ()()
11
222
DM DA
AM c a b a b c =+=-+
+=+-. (2)由(1) ()1
22DM a b c =+-,又()
11222
CN AN AC a b a b =-=-=-. 又1
2
a b a c b c ?=?=?=.
设异面直线DM 与CN 所成角为θ则()()2222cos 33
22a b c a b DM CN DM CN
θ+-?-?=
=
?? 22
1
11212
222412
=
3
36
a a
b a b b a
c b c -+--+-?+?--?+?=
=
. 故答案为：(1).
()
1
22
a b c +-. (2). 16
19．（2018·北京海淀 高二期末（理））已知棱长为1的正四面体ABCD ，O 为A 在底面BCD 上的正射影，如图建立空间直角坐标系，M 为线段AB 的中点，则M 点坐标是__________，直线DM 与平面BCD 所成角的正弦值是__________．
【答案】136,4?- ??
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