随州市高一升高二教学检测（2020.8）
数学试题
（本卷满分150分，考试时间120分钟；在答题卡相应处作答方才有效）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}
2|1B x x =≤，则A B =（ ）
A. {}1,0,1-
B. {}0,1
C. {}1,1-
D. {}0,1,2
2. i 为虚数单位，若复数()()11mi i ++是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A. -1
B. 0
C. 1
D. 0或1
3. 若a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A.
11
a b
> B. 22a b > C. sin sin a b < D. 22a b <
4. sin 0x =是cos 1x =的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则BE =（ ）
A. 31
44AB AC - B.
13
44AB AC - C. 31
44
AB AC -+
D. 31
44
AB AC +
6. 若正数a 、b 满足2a b ab +=，则（ ）
A. 1ab ≤
B. 2a b +≥
C. 2a b +≤
D. 1ab >
7. 下列说法正确的有（ ）个
①三个不同的平面可以把空间分成7个部分；
②若直线l 平行于平面α，则l 平行于α内的无数条直线； ③如果空间中的两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等； ④若一个四面体有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互相垂直. A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是
3
5
.用计算
机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 A.
35
B.
12
C.
1320
D.
25
9. 设棱长为a 的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（ ） A. h R r =+
B. 3R r =
C. r =
D. R =
10. 已知O 是平面上一点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，点O 满足
0AB AC BA BC OA OB AB AC BA BC ????
? ??-=?-
= ? ?????
，则O 点一定是ABC △的（ ） A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
11. 今年从6月2日至7月18日6时，中央气象台连续40余天发布暴雨预警，成为自2007年开展暴雨预警业务以来历时最长的一次.通常说的小雨、中雨、大雨、暴雨等，一般以日降雨量衡量，降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少.其中小雨指日降雨量在10毫米以下；中雨日降雨量为10~24.9毫米；大雨降雨量为25～49.9毫米；暴雨降雨量为50~99.9毫米；大暴雨降雨量为100~250毫米；特大暴雨降雨量在250毫米以上.我国古代很早就有关于降雨量的记载，古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是几寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸，1寸133
=厘米），设该次测得的降雨量为日降雨量，则按照现在的标准，这次降雨的级别为（ ） A. 中雨
B. 大雨
C. 暴雨
D. 大暴雨
12. 若奇函数()f x 在[]1,0-上为单调递减函数，又α，β，γ为某钝角三角形的三内角（其中γ为钝角），则下列结论正确的为（ ） ①()()sin cos f f αβ> ②()()cos sin f f αγ< ③()()cos cos f f αγ< ④()()sin sin f f βγ> A. ①③④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①②④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上） 13. 已知向量a ，b 满足2a =
，1b =，()()
31a b a b +?-=，则向量a 与向量b 的夹角为______.
14. 设角α，β满足()()2tan 112tan 5αβ+-=，则()tan αβ-的值为______.
15. 瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V 、棱数E 及面数F 满足等式2V E F -+=，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，共有32个面，是由m 块白色正六边形面料和32m -块黑色正五边形面料构成的.则m 的值为______.
16. 函数()cos2sin f x x x λ=-在()0,n π上有101个零点，则λ=______，n =______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知函数2
()cos cos f x x x x =+.
（1）求4f π??
???
的值； （2）求()f x 在区间,63ππ??
-
???
上的值域. 18. 新冠病毒怕什么？怕我们身体的抵抗力和免疫力！适当锻炼，合理休息，能够提高我们身体的免疫力，抵抗各种病毒.某小区为了调查居民的锻炼身体情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的平均锻炼时间，其频率分布直方图如下：
（1）求图中a 的值和平均锻炼时间超过40分钟的人数；
（2）估计这100位居民锻炼时间的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAB 是正三角形，且侧面PAB ⊥底面
ABCD ，M 是PA 的中点.
（1）求异面直线BM 与PD 所成角的大小；
（2）求侧面PCD 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.
20. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1
日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：()()()
1
1
2
2
21
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-）
21. 在平面四边形ABCD 中，已知34
ABC π
∠=
，AB AD ⊥，1AB =.
（1）若AC =
ABC △的面积；
（2）若4
sin 5
CAD ∠=
，7AD =，求CD 的长.
22. 在正三棱锥S ABC -中，侧棱SA =6AB =，设点A 在平面SBD 上的正投影为E .连
接SE 并延长交BC 于点D .
（1）求证：D 为BC 的中点；
（2）若过点E 且平行于底面ABC 的平面与SA 、SB 、SC 分别交于点P 、M 、N ，求三棱锥D PMN -的体积.
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数学参考答案
一、选择题 1-5：ACDBC 6-10：BCBDB
11-12：DA
二、填空题 13.
3
4
π 14. 2 15. 20 16. 1 67 三、解答题
17.（1）2cos cos 4444f ππππ??=+=
?
??
；
（2）cos 211()2sin 22262x f x x x π+?
?=
+=++ ??
?，
当,63x ππ??
∈-
???
时，52,666x πππ??+∈- ???，
结合图象易知1sin 2,162x π?
???
+
∈- ? ??
???
， 故3()0,2
f x ??∈ ??
?
.
18.（1）由(0.0050.0120.0350.0150.003)101a +++++?=， 解得0.03a =.
平均锻炼时间超过40分钟的人数频率为(0.0150.003)100.18+?=， 故人数为1000.1818?=（人）.
（2）根据该频率分布直方图可知，众数为35， 平均数为：
50.00510150.01210250.0310350.03510??+??+??+??0.01510550.004531030.2?+??=+?.
19.（1）在PAB △中，易知BM PA ⊥，
由平面PAB ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，且AD AB ⊥可知
AD ⊥平面PAB ，又BM ?平面PAB ，故AD BM ⊥.
故BM ⊥平面PAD ，又PD ?平面PAD ，
故BM PD ⊥，故异面直线BM 与PD 所成角的大小为90?. （2）取AB 、CD 中点E 、F ，连接PE 、EF 、PF . 易知EF CD ⊥，PF CD ⊥.
故EFP ∠为侧面PCD 与底面ABCD 所成二面角的平面角，
设AB PB a ==，则PE =
，EF a =，PF =，故cos EF EFP PF ∠==，
故侧面PCD 与底面ABCD .
20.（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种等可能出现的情况，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种， 所以()431105
P A =-
=. （2）由表中12月2日至12月4日数据，求得12x =，28y =， 由公式求得
()()
()
1
2222
1(1)(2)130(1)5
(1)102
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==-?-+?+?-=
=-++--=
-∑∑，
（或1
2
2222
21
1126133111227312285
1113123122
n
i i
i n
i i x y nx y
b x nx
==?+?+??-??=
=++-?-=
-∑∑.） 3a y bx =-=-.
所以y 关于x 的线性回归方程5
32
y x =-. （3）当10x =时，5
3222
y x =
-=，22232
-<，同样地，当8x
=时， 5
83172
y =?-=，17162-<，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的.
21.（1）在ABC △中，由余弦定理可得2222cos
AC AB BC AB BC ABC
=+-??∠， 即2
2
5140BC BC =+?-=，解得BC =
所以111sin 12
22
ABC S
AB BC ABC =
??∠=?=△. （2）因为90BAD ∠=?，4sin 5CAD ∠=
，所以4cos 5BAC ∠=，3
sin 5
BAC ∠=， 所以sin sin sin )4BCA BAC BAC BAC π??
∠=-∠=∠-∠=
???
. 在ABC △中，由正弦定理可得sin sin AC AB
ABC BCA
=
∠∠， ∴sin 5sin AB ABC
AC BCA
?∠=
=∠.
所以2223
2cos 2549257325
CD AC AD AC AD CAD =+-??∠=+-???=. 所以CD =
22.（1）证明：设BC 的中点为'D ，连接'AD ，'SD ， 易知'BC AD ⊥，'BC SD ⊥， 可得BC ⊥平面'SAD ，故BC SA ⊥. 又依题意可知AE ⊥平面SBC AE BC ?⊥， 故BC ⊥平面SAE BC SE ?⊥. 即BC SD ⊥，又SB SC =. 故D 与'D 重合，为BC 的中点.
（2）连接AD ，过S 作SO ⊥底面ABC ，垂足为O ，易知点O 在AD 上，且2
3
AO AD =. 由6AB =
，可知AD =
，故AO =
又SA =
3SO =
，OD AD AO =-=
SD =
由cos DE DO AOS AD SD ∠==
，可得DE =
SE SD DE =-=
. 故
1
4
SE SD =. 由平面//PMN 平面ABC ，可得2
116
PMN ABC S SE S SD ??
== ?
??△△，
故11166sin 6016162PMN ABC S S =
=?????=△△ 设D 到平面PMN 的距离为h ， 易知
34h ED SO SD ==，故3944
h SO ==. 故三棱锥D PMN -
的体积为1
193
34PMN S h ??=
=△.