3.4.1基本不等式
教材分析
本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。
课程目标分析
依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：
1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解
决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几
何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等
式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的
能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几
何解释→应用（最值的求法、实际问题的解决）
的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽
象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会
数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手
段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学
习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从
实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过
数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤
于动手的良好品质。
教学重、难点分析
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本
不等式
2b
a a
b +
≤的证明过程及应用。
难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
教法分析
本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
教学准备
多媒体课件、板书
教学过程
教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：
一、 创设情景，提出问题；
设计意图：数学教育必须基于学生的“数
学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，
数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学
现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基
于此,设置如下情境:
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。在此基础上，引导学生认识基本不等式。
二、抽象归纳：
一般地，对于任意实数a,b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a ＝b 时，等号成立。
[问] 你能给出它的证明吗？
学生在黑板上板书。
特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？
设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.
答案： ),(02
>+≤
b a b a ab 。 【归纳总结】
如果a,b 都是正数，那么2b a ab +≤
，当且仅当a=b 时，等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。 其中
2b a +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数。
三、理解升华：
1、文字语言叙述：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式
已知a,b 是正数，A 是a,b 的等差中项，G 是a,b 的正的等比中项，A 与G 有无确定的大小关系？
两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
3、符号语言叙述：
若0,0>>b a ，则有2b a ab +≤，当且仅当a=b 时，2
b a ab +=。 [问] 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）
“当且仅当a=b 时，等号成立”的含义是：
当a=b 时，取等号，即2b a ab b a +=
?=； 仅当a=b 时，取等号，即b a b a ab =?+=
2
。 4、探究基本不等式证明方法：
[问] 如何证明基本不等式？
（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。）
方法一：作差比较或由0)(2≥-b a 展开证明。 方法二：分析法（完成课本填空）
设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。 要证ab b a ≥+2
① 只要证≥+b a ②
要证②,只要证-+b a 0≥ ③
要证③,只要证0
)
(2≥
-④
显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立。
点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.
5、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，
引导学生探究不等式
)0
,
(
2
>
+
≤b
a
b
a
ab
的几何解释，通过数形结合，
赋予不等式
)0
,
(
2
>
+
≤b
a
b
a
ab
几何直观。进一步领悟不等式中等号成
立的条件。
如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，ab
CD=
几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。
四、探究归纳
例1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
例2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的
积最大？
结论：
若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值； 若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等”。
五、领悟练习：
公式应用
(1)若x
,x x 10+>的最小值为________,此时._________=x (1) 若a>0,b>0,且a+b=2,则ab 的最大值为_______,此时
a =_____,
b =_____。
六、反思总结，整合新知：
设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.
老师根据情况完善如下：
一个不等式：若0,0>>b a ，则有2
b a ab +≤
，当且仅当a=b 时，2b a ab +=。 两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。
三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”
七、布置作业：
不等式及其解集 [教学目标] 1、了解不等式和一元一次不等式的概念； 2、理解不等式的解和解集，能正确表示不等式的解集。 [重点难点] 不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重点；不等式解集的 理解与表示是难点 一、课前预习： （1）如图，小明与小聪玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低右高。小明的身体质量 为 p(kg),小聪的身体质量为q(kg)，书包的质量为2kg ，怎样表示p 、q 之间的关系? （2）如图，天平左盘放三个乒乓球，右盘放5g 砝码，天平倾斜。设每个乒乓球的质量为 x （g ），则根据图形可列出怎样的关系式？ （3）公路上常有这样的标志：限速100km/h ，速度记作a ，则可以写出不等式是 （4）（x+1）0=1，x 必须满足的条件是 二、不等式的概念 1、不等式 “>”、“<”、 “ ≠”叫做不等号，不等号也可以写成“≤”、“≥” 的 形式。 总之，用不等号连接起来的式子叫做不等式。 2、一元一次不等式 类似于一元一次方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元 一次不等式。 注意：分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式，这一点与一元一次方程类似。 三、典型例题 1、用不等式表示： （1）x 的一半小于－1 ； （2）y 与4的和大于0.5； （3）a 是负数； （4）b 是非负数； 模仿练习：用不等式表示 （1）a 是正数； （2）a 是非负数； （3）a 与6的和小于5； （4）x 与2的差大于－1； （5）x 的4倍不大于7； （6）y 的一半不小于3. （7）x 2与1的和是非负数 （8）3与x 的差的一半是非正数 2、一辆48座的旅游车载有游客x 人，到一个站上又上来2个人，车上仍有空位，有数学 式子表示上述数量关系 3、某一天的最低气温是-2℃，最高气温 是6℃，该市这一天某一时刻的气温t ℃。
《基本不等式》教案 教学三维目标： 1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神. 教学重点、难点： 重点：基本不等式在解决最值问题中的应用. 难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导： 基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习. 教学过程： 一、基础梳理 基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b + （当且仅当a b 时取""=号 ） 代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思 想得到基本不等式） 几何背景：半径不小于半弦。 常见变形： （1）ab 22 2a b + （2）222a b + 2 2a b +?? ??? （3）b a a b + 2（a ，b 同号且不为0） 3、算术平均数与几何平均数
如果a 、b 是正数，我们称 为a 、b 的算术平均数，称 的a 、b 几何平均数. 4、利用基本不等式求最值问题（建构策略） 问题： （1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式： 已知x ，y 都大于0则 （1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ； （2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 . 二、课前热身 1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ） A. 22a b + B. C. 2ab D. a b + 2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若x x x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=?≥+ x x x x 21的最小值是x x +∴ （2）2121,2=?≥+ ≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+ >a a a 三、课堂探究 1、答疑解惑 方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。 2、典例分析 例1、设02,x <<求函数y =. 例2、41,3lg lg x y x x >=++ 设求函数的最值. 变式1：将条件改为01x << 变式2：去掉条件1x > 变式3：将条件改为1000≥x 例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式：求a b +的取值范围.
不等式组方案设计【不等式组型方案设计题例析】 方案设计题大多是联系实际生活的开放题，往往以立意活泼、设计新颖、富有创新意识的实际生活应用题为载体，通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用掌握的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决.这就要求从多角度、多层次进行探索，展示思维的灵活性、发散性、创新性.它分为：1.设计图形题；2.设计测量方案题；3.设计最佳方案题.本文就举例对第3种：设计最佳方案题进行分析，此类题目往往要求回答出现的运费最少、利润最少、成本最低、效率最高等，解题时常常与函数、方程、一元一次不等式及不等式组等联系在一起，最主要是与不等式组联系在一起，是现在中考题的热点、难点. 解决方案设计这类问题时，首先要弄清题意，根据题意准确地写出表达各种量的代数式，建构恰当的不等式组模型，求出数的取值范围，利用数的整数解,结合实际问题确定方案设计的种数，从而得出方案.此类题目常常需要用到数形结合和分类讨论等数学思想方法. 例 1：（xx年湖南省怀化市）xx年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造
型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆. （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来. （2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 解：（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个，依题意，得： 80x+50（50-x）≤349040x+90（50-x）≤2950，解这个不等式组，得： x≤33x≥31，∴31≤x≤33. ∵x是整数，∴x可取31，32，33. ∴可设计三种搭配方案：
基本不等式（一） 教学目标： 1． 学会推导并掌握均值不等式定理； 2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab 4a ＋b ≥2ab 即 a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义 问：a ，b ∈R －？ 例题讲解： 例1 已知x ，y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14 S 2.
初中数学精品试卷 3.4 一元一次不等式组 学习目标 : 1.理解一元一次不等式组的概念； 2.理解不等式组的解的概念； 3.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解. 学习重点：一元一次不等式组的解法. 学习难点：例 2 较为复杂，几乎包含了一元一次不等式的全部步骤. 学习过程 自主预学 : x 2 y3, 1.解方程组 3x 8 y13; 2. 同时满足二元一次方程组中的解，叫做的解. 3.阅读教材中的本节内容后回答： （1）一元一次不等式组和二元一次方程组有哪些区别？ （2）所有的一元一次不等式组都会有解吗？ 课堂导学 : 一、知识梳理 1.由几个含有的一元一次不等式所组成的一组不等式组叫做. 2.归纳常见的不等式组解： a 初中数学精品试卷 x a x b 二、例题学习 例 1：解一元一次不等式组 3x 2 x 1 x ≤2 3 思考：结合一元一次方程组的解法，对本例题如何处理呢？ 3 5x x (2 x 1) 例 2：解一元一次不等式组 3x 2 x 4 2.5 2 思考：本例题与例 1 有什么不同的地方？如何处理呢？ 分层助学： 一、基础练习 1.下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示（ ） x 2 B. x 2 x 2 x 2 A. 1 x 1 C. D. x 1 x x 1 2.不等式组 x 2x 4 x 的正整数解有（ ） 2 4x 1 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.解下列不等式组，并把解在数轴上表示出来 . （1） 2x 1 1 （2） x 2 0 x ２≤ 3 x 5 ≤ 3x 7 二、拓展提高 12月29日家庭作业姓名： 1、2011年我国云南盈江发生地震，某地民政局迅速地组织了30吨饮用水和13吨粮食的救灾物资，准备租用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知甲型货车每辆可装饮用水5吨和粮食1吨，乙型货车每辆可装饮用水3吨和粮食2吨.已知可租用的甲种型号货车不超过4辆。 (1)若一共租用了9辆货车，且救灾物资一次性地运往灾区，共有哪几种运货方案？ (2)若甲、乙两种货车的租车费用每辆分别为4000元、3500元,在(1)的方案中，哪种方案费用最低？最低是多少？ (3) 若甲、乙两种货车的租车费用不变,在保证救灾物资一次性运往灾区的情况下，还有没有费用更低的方案？若有，请直接写出该方案和最低费用，若没有，说明理由。（租车数量不限） 2、某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 3、2011年4月28日，以“天人长安，创意自然-----------城市与自然和谐共生” 为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大 A种票张数的3倍还多8张，设购买A种票张数为x，C种票张数为y。 （1）、写出y与x 之间的函数关系式 （2）、设购票总费用为W元，求出W（元）与x（张）之间的函数关系式 （3）、若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A,B,C三种票的张数。 “基本不等式”教学设计与教学反思 一、教材背景分析 1.教材的地位和作用 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。 2.学情分析 在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质. 另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用. 3、教学重难点： 教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题. 教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题. 二、教学目标 1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法； 基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）； （4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． （2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立， 对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立． 对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ， 则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1， 当且仅当x ＝－错误!时，等号成立， 所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。 因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2）， 所以1a ＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系 下列不等式一定成立的是 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 第一节不等关系 【学习目标】 1．理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系。 2．能根据条件列出不等式，增强学生的符号感，发展其数学化的能力。 3．通过观察、分析、猜想、独立思考的过程感受不等式这个重要的过程，发展学生归纳、猜想能力。 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】重点：对不等式概念的理解。 难点：怎样建立量与量之间的不等关系。 【学习过程】 模块一预习反馈 一．学习准备 1．一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连成的式子叫做。 注意：用符号“≠”连接的式子也叫不等式。 2．列不等式：列不等式类似于列方程，列方程依据的是等量关系，列不等式依据的是不等关系，列不等式的关键是找不等关系。大于用符号表示，小于用符号表示；不大于用符号表示，不小于用符号表示。 3.阅读教材：第一节不等关系 二．教材精读 4.例题：如图，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆， （1）如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积不小于100 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？ （3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？ （4）你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试？ 分析：正方形的面积等于边长的平方.圆的面积是πR2，其中R是圆的半径.两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于. “不小于”就是大于或等于。 做一做：通过测量一棵树的树围（树干的周长），可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关系式） 归纳小结：一般地，用符号“〈”（或“≤”），“〉”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 实践练习：判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式。 ①x+y ② 3x＞y ③ 3+2=5 ④ x2≥5 ⑤2x－3y=1 ⑥－1＜0. 解：不等式有；既不是等式也不是不等式的有； 9.3一元一次不等式组（1） 一、教学内容及分析： 1、教学内容： （1）一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念； （2）解不等式组成的不等式组，用数轴确定解集； （3）用一元一次不等式组解决实际问题． 2、内容分析： （1）一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念是对代数知识的综合理解及运用，为学生在后面列不等式解决实际问题时打下基础； （2）解不等式组成的不等式组，用数轴确定解集主要是让学生更进一步清楚不等式的解集是多个解的集合，形成整体思想； （3）列利用一元一次不等式组解决实际问题是基于方程的应用，训练学生的分析问题的能力及解决问题的意识，到达训练思维的目的． 二、教学目标及分析： 1、学习目标： （1）了解一元一次不等式组及其解集等概念． （2）会解一元一次不等式组，并会用数轴确定解集． 2、目标分析： （1）了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念就是指能判断什么样的是不等式组，解集的含义等纯代数意义的解读，使学生找到知识间的内在联系； （2）会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集，就是 指学生清楚求不等式组解集的过程，知道用数轴表示不等式解集的四种形式，形成与方程的区别； （3）能够利用一元一次不等式组解决实际问题就是指会根据条件知道用不等式组来解决，知道不等式组与实际问题的联系． 三、问题诊断分析： 本节课学生可能会遇到的问题是学生很难找到问题中的不等关系，原因主要是学生分析问题的能力未到达，解决这些困难就把问题分类讨论，使学生知道不同问题的不同解决思路，而关键是列代数式，使问题分解。 四、教学过程： 问题一： 某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月．如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨.该校计划每月烧煤多少吨？ 设计意图：通过此问题的分析—解决让学生初步了解不等式与实际问题的联系，搞清已知条件和未知元素，从而确定用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解． 师生活动： 1、学生根据已有的不等式的知识进行独立思考．已知条件有：取暖时间为4个月，未知量是计划每月烧煤的数量（x ）．当每月比原计划多烧5吨煤时，每月实际烧煤（x +5）吨，这时总量4（x +5）＞100；当每月比原计划少烧5吨煤时，实际每月烧（x －5）吨煤，有4（x －5）＜68．进而归纳不等式组的概念． 2、这是一个实际问题，请学生先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解．此时引导学生发现x 的值要同时满足上述两个不等式，进而引导学生归纳一元一次不等式组的概念． 把两个不等式合起来，就组成了一元一次不等式组（此时可以与方程组类比理解）． 问题二：类比方程组的解，如何确定不等式???<->+68 )5(4100)5(4x x 的解集． 设计意图：进一步熟悉解一元一次不等式组的步骤，特别是了解用数轴表示解集的四种不同形式。 师生活动： 1、学生独立思考，容易分别解出两个不等式组，得到解集后，在解出后进行讨论，然后交流如何确定这个不等式组的解集，经过分析发现x 的值必须同时满足x ＞20，x ＜22两个不等式，于是可以发现x 的取值范围应该是20＜x ＜22；或者运用数轴，如图1，从数轴上容易观察，同时满足上述两个不等式的x 的值应是，两个不等式解集的公共部分，因此解集为 9.1 不等式 教材分析：本课由实际问题中的不等关系引出不等式的概念；类比方程的解，明确不等式解和解集的概念，以及不等式解集的两种表示方法。 教学目标：了解不等式概念，理解不等式的解和解集。 教学重难点：不等式及解集概念的理解。 教学过程： 一：引出新知。 现实世界中存在大量的数量关系，包括相等关系和不等关系。用等式（包括方程），我们可以研究相等关系，而研究不等关系需要用本章的不等式，如引言中选择购物商场问题. 二：探索新知。 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 km，要在12：00之前驶过A地.你能用式子表示出车速应满足的条件吗？ 1、汽车在12:00之前驶过A地的意思是什么？ 从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50 km所用的时间不到。 从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶的路程要超过50 km。 2、如何用式子表示以上不等关系？ 设：车速为x km/h． 从时间上看： 从路程上看： （1）对于不等式而言，车速可以是80 km/h吗？78 km/h呢？ 75 km/h呢？72 km/h呢？ （2）类比方程的解，什么叫不等式的解？ 使不等式成立的未知数的值. （3）不等式还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？ 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）除了用不等式表示取值范围，还有其他表示方法吗？ 数轴 三、运用新知。 例1 请用不等式表示： （1）是负数； （2）与5的和小于-7； （3）的一半大于3. 例2 直接说出不等式的解集，并在数轴上表 示出来. 四、归纳总结 （1）什么叫不等式？ （2）什么叫不等式的解？不等式的解和方程的解的区别？（3）什么叫不等式的解集？不等式的解和不等式的解集的区别？ 《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过 课题: 9.2.1一元一次不等式 课型:新授课主备人:徐宝永审核人: 段海涛二次审核人:七年级数学组 补偿应用补偿提高 ②不大于 3 1 2- x 的值; 小结:⑴什么叫一元一次不等式？解一元一次不等式的一般步骤是：①________ （根据不等式的基本性质2或3）；②________（根据等式的运算法则）；③_________ （根据不等式的基本性质1）；?④_____________（根据整式的运算法则）；⑤ _________（根据不等式的基本性质2或3）．⑵解一元一次不等式的注意点:①移 项要变号(同方程解法) ②当不等式两边都乘以或除以一个负数时,不等号方向改 变. 三补偿应用 1. 下列选项中，是不等式的是_____,是一元一次不等式的是____ (1) 3>2 (2) 3 2 50 < x (3)3x2+2x(4)x<3x+1 (5)x=2x+5 (6)a+b≠c (7)x-2<2x-1 (8)a-1 ≤3 (9)x2+4x<3x+1 2．在解不等式 221 35 x x +- >的下列过程中，错误的一步是（） A．去分母得5（2+x）>3（2x-1） B．去括号得10+5x>6x-3 C．移项得5x-6x>-3-10 D．系数化为1得x>13 3.（2011.重庆）解不等式2x-3< 3 1 + x ，并把解集在数轴上表示出来 4．（2012?嘉兴）解不等式2（x-1）-3＜1并把解集在数轴上表示出来 ． 四补偿提高 1、解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： ()()5 2 5 2 3 3+ > -x x()()3 2 2 14- < - - -x x； 2 2 5 3 1 - - > + x x 2.解不等式 532 1 23 x x ++ -<，小兵的解答过程是这样的． 解：去分母，得x+5-1<3x+2 ① 移项得x-3x<2-5+1 ② 合并同类项，得-2x<-2 ③ 在教学中， 仍要让学 生注意每 一步骤变 形的依据， 从而灵活 运用。 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】 【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 基本不等式完整版(非 常全面) 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取 “=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时 取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时 取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a + ≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、 课题 一元一次不等式的解法 【学习目标】 1．了解一元一次不等式的概念． 2．掌握解一元一次不等式的基本方法，并会在数轴上正确地表示不等式的解集． 【学习重点】 一元一次不等式的解法及解集的表示． 【学习难点】 区别与一元一次方程解法上的异同，并正确表示解集． 行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么． 行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知 识．情景导入 生成问题 旧知回顾： 1．什么叫一元一次方程？ 答：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程． 2．解一元一次方程的步骤有哪些？ 答：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1. 3．试解不等式2－3x 3>1. 解：两边乘以3得2－3x>3，两边减去2得－3x>1，两边除以－3，得x<－13 . 自学互研 生成能力 【自主探究】 阅读教材P 46的内容，回答下列问题： 什么叫一元一次不等式？ 答：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式． 方法指导：解一元一次不等式可以按照解一元一次方程的基本步骤求解：去分母、去括号、移项，合并同类项、两边都除以未知数的系数． 学习笔记： 行为提示：在群学后期教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示 ，有补充、有质疑、有评价穿插其中． 学习笔记： 教会学生整理反思． 范例1：下列式子中，是一元一次不等式的有( B ) ①2x －7≥－3；②1x －x>0；③7<9；④x 2＋3x>1；⑤a 2 －2(a ＋1)≤1；⑥m －n>3. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 仿例：下列不等式中，是一元一次不等式的是( A ) A ．2x －1>0 B ．－1<2 C ．3x －2y≤－1 D ．y 2＋3>5 阅读教材P 46－47的内容，回答下列问题： 范例2：解下列一元一次不等式，并在数轴上表示： (1)2? ?? ??x ＋12－1≤－x ＋9；(2)x －32－1>x －53. 解：(1)去括号，得2x ＋1－1≤－x ＋9，移项、合并同类项，得3x≤9，两边都除以3，得x≤3； (2)去分母，得3(x －3)－6>2(x －5)，去括号，得3x －9－6>2x －10，移项，得3x －2x>－10＋9＋6，合并同类项，得x>5. 仿例：解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)12x －1≤23x －12；(2)2x －13≤3x ＋24 －1 解：(1)去分母，得3x －6≤4x－3，移项，得3x －4x≤6－3.合并同类项，得－x≤3，系数化为1，得x≥－3.这个不等式的解集在数轴上表示为：. 一元一次不等式组的应用（2） 1.某水果经销商收购苹果20吨，梨12吨，现计划租用甲、乙两种货车共8辆将它们全部运出，已知一辆甲种货车可装苹果4吨和梨1吨，一辆乙种货车可装苹果和梨各2吨．（1）经销商如何安排甲、乙两种货可一次性地将水果全部运出，有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则经销商选择哪种方案才能使运输费用最少？最少是多少？ 2.某城市平均每天需处理垃圾700吨，有甲和乙两个处理厂处理，已知甲每小时可处理垃圾55吨，需要费用550元，乙厂每小时可处理垃圾45吨，需要费用495元。如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少要多少小时？ 3.某厂用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料中的维生素C含量及每千克原料的价格如下表所示： 现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，请根据以上条件解答下列问题： （1）设需用xkg甲种原料，写出x所满足的不等式组； （2）若按上述条件购买甲种原料的质量为整kg数，有几种购买方案，请写出购买方案． 4.某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李． （1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案； （2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案. 5.某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、Ｂ两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级一班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）问中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 6.某商场经销甲、乙两种商品，甲商品每件进价15元，售价20元．乙商品每件进价35元，售价45元． （1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的利润不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案． 11.1生活中的不等式 主备人：杨仔艳 一、教学目标 1、感受生活中存在的大量不等关系，了解不等式的意义。 2、会用不等式表示实际问 题中数量间的不等关系。 3、经历由具体问题建立不等式的过程，初步体不等式是刻画现实世界的一种数学模型。 二、教学重难点 重点：理解不等式的意义并会列不等式 难点：列不等式 二、教学方法 启发式、讲练式相结合 三、教学过程 （一）情境创设 情境一： 小明和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg 、55kg 和75kg. 周末，他们准备去公园游乐场玩跷跷板，若小明和妈妈玩时，谁会向上跷？若小明和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？你能知道游戏的结果吗？为什么？ 设计此情境的目的：自然引出课题 情境二： 1．用数学式子描述下列数量间的关系 （1）一个边长为a 米的正方形桌子的面积大于1平方米 （2）m （m ≠0）的倒数不大于5. （3）某种袋装牛奶中，每100克牛奶所含的蛋白质（x 克）不少于2.9克，脂肪（有y 克） 不少于3.1克。 （4)48座的客车载有游客x 人，到一个站又上2个人，车内仍有空位 (5)一辆轿车在公路上的行驶速度是akm/h,已知公路对轿车的限速是100km/h,那么 a 与100的关系如何？ 2．学生思考并给出答案 （二）新知探究 探究一： 1．观察刚才所列举的式子有什么特征？ 教师：提示从连接式子的符号观察并引导学生概括问题的答案 学生：都是用“＞”“＜”“≥”或“≤”号连接 教师：对学生给出的这个答案表示赞同并告诉学生这些都是不等号同时给出不等式的一个 描述性的定义。（注意补充常用不等号还有“≠”） 51≤m a ≤100， x ≥2.9， y ≥3.1， x +2＜48， a 2＞1 ， 51≤m 基本不等式 2 a b + 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤ 的证明过程。 难点：2a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和 是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为222)(2b a ab b a -=-+一元一次不等式组方案设计
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基本不等式教案第一课时
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八年级数学下册2一元一次不等式与一元一次不等式组课题一元一次不等式的解法学案新版北师大版
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